中小学教育资源及组卷应用平台
二次根式 单元真题汇编培优卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．计算 ， 结果是（ ）
A．2 B． C．4 D．
2．使式子 有意义的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．在函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤2 B．x≥2 C．x＜2 且x≠0 D．x≤2且x≠0
4．下列根式中，能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列等式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．设，用含a、b的式子表示，下列表示正确的是
A．2a B．2b C．a+b D．ab
7．若实数、满足，且、恰好是的两条边长，则第三条边长为（ ）．
A．5 B． C．5或 D．以上都不对
8．已知 是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
9． 下列各式中，一定能成立的是( )
A． B．
C． D．
10． 已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若x，y为实数，且，则 ．
12．计算： = ．
13．已知是整数，则满足条件的最小正整数n为
14． 如果，则的取值范围是 ．
15．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则图中、、三个实数的积为 ．
1 b
3 a 2
6 c
16．已知，则＝ ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知x= ，y= ，求下列各式的值：
（1）x2- xy+y2．
（2）
18．解答下列各题
（1）计算：
（2）已知一次函数 的图象经过点 与 ，求一次函数的解析式.
19．已知 ， ， ， .
（1）求m，n的值；
（2）若 ， ，求 的值.
20．求代数式的值，其中．如图是小亮和小芳的解答过程．
（1） 的解法是不正确的；
（2）求代数式的值，其中．
21．
（1）计算
（2）解不等式≤﹣1，并把解集在数轴上表示出来.
22．计算：
（1）
（2）（1+ ）（ ）﹣（2 ﹣1）2
23．（1）当 时，求 的值；
（2）①x为何值时二次根式 的值是10？
②当x＝▲时二次根式 有最小值.
24．有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm 和32dm 的正方形木板。
（1）求剩余木料的面积。
（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出 块这样的木条。
25．计算下面各题
（1）已知 ﹣ =2，求 + 的值
（2）已知 ﹣ =2，求 + 的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
二次根式 单元真题汇编培优卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．计算 ， 结果是（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【解析】【解答】解：
故答案为：C
【分析】根据平方根的定义可知由此可求出结果。
2．使式子 有意义的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意可得：x-2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：B.
【分析】 利用二次根式有意义的条件列出不等式，再求解即可.
3．在函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤2 B．x≥2 C．x＜2 且x≠0 D．x≤2且x≠0
【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意得：，
解得：且．
故答案为：D
【分析】先求出，再求解即可。
4．下列根式中，能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A.∵ ，∴不可以与 合并；
B.∵ ，∴不可以与 合并；
C.∵∴可以与 合并；
D.∵ 2 ，∴不可以与 合并；
故答案为：C.
【分析】先根据二次根式的性质分别把每项化为最简二次根式，然后判断结果是否和是否为同类二次根式即可判断.
5．下列等式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】A． ，不符合题意．
B． ，不符合题意．
C． ，符合题意．
D． ，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的性质和算术平方根的定义逐项化简可得答案。
6．设，用含a、b的式子表示，下列表示正确的是
A．2a B．2b C．a+b D．ab
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴=ab．
故答案为：D．
【分析】根据
，
，即可得到答案。
7．若实数、满足，且、恰好是的两条边长，则第三条边长为（ ）．
A．5 B． C．5或 D．以上都不对
【答案】C
【解析】【解答】∵，
，
∴m-3=0，n-4=0，
解得m=3，n=4，
当3、4都是直角三角形的直角边长时，第三边长=
=5；
当3是直角边长，4是斜边长时，第三边长=
，
故答案为：C．
【分析】根据绝对值及二次根式的非负性求出m、n的值，分两种情况：4是直角边长和4是斜边长时，根据勾股定理求解即可.
8．已知 是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【解析】【解答】解：∵ ，且 是整数，
∴ 是整数，即6n是完全平方数，
∴n的最小正整数值为6.
故答案为：B.
【分析】因为 是整数，且 ，则6n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为6.
9． 下列各式中，一定能成立的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】 A：，当x<3时不成立；
B： ，当a<0时不成立；
C： ，当x<1时不成立；
D： 成立；
故D正确，A、B、C错误.
故答案为：D
【分析】二次根式运算性质成立条件考查，二次根式的乘法
根据以上规则不难得出正确答案。
10． 已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：，
∴=±，
∵ 0＜x＜1，
∴ 0＜＜1，
∴＞1，
∴＜0，
∴=-.
故答案为：B.
【分析】先取的平方，再将 的值求得的值，再根据x的取值范围求得＜0，即可确定的值.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若x，y为实数，且，则 ．
【答案】4
【解析】【解答】解：∵
∴x－1≥0，1－x≥0.
解得：x=1.
代入得y=4.
故xy=1×4=4.
故答案为：4.
【分析】根据二次根式有意义的条件确定x的值，从而可得y的值，代入即可计算xy.
12．计算： = ．
【答案】2
【解析】【解答】解：原式=4 -6× =4 -2 =2 ．
故答案为：2 ．
【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
13．已知是整数，则满足条件的最小正整数n为
【答案】5
【解析】【解答】解：∵，且是整数；
∴2是整数，即5n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为5．
故答案为：5．
【分析】因为是整数，且，则5n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为5．
14． 如果，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据题意并结合二次根式的性质得到：，解此不等式组即可得到x的取值范围.
15．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则图中、、三个实数的积为 ．
1 b
3 a 2
6 c
【答案】18
【解析】【解答】解：∵每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的积均相等，
∴，
解得，，
故答案为：18．
【分析】根据每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的积均相等，可得到方，求出a、b、c的值后再代入计算．
16．已知，则＝ ．
【答案】9
【解析】【解答】解：
则
=
=
=9
故答案为：9
【分析】先根据，进行分母有理化，再代入代数式，去括号，合并同类项即可求出答案.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知x= ，y= ，求下列各式的值：
（1）x2- xy+y2．
（2）
【答案】（1）解：∵x= ，y=
∴x+y= ，xy=
x2-xy+y2=(x+y)2-3xy=( )2-3× =.
（2）解： =12
【解析】【分析】（1）利用完全平方差公式，可以把要求的式子转化为两数和，两数积的运算，继而可求解；
（2）利用完全平方公式，可以把要求的式子转化为两数平方和和，两数积的运算，然后得到关于两数和，两数积的运算，继而可求解.
18．解答下列各题
（1）计算：
（2）已知一次函数 的图象经过点 与 ，求一次函数的解析式.
【答案】（1）解：原式
（2）解：把点 与 代入 中，
得 ，
解得： ，
一次函数的析式为
【解析】【分析】（1）先将二次根式化为最简二次根式，再合并即可；
（2） 直接将点 与 代入中，可得关于k、b的方程组，解之即可.
19．已知 ， ， ， .
（1）求m，n的值；
（2）若 ， ，求 的值.
【答案】（1）解：由题意得， ，
（2）解：由（1）得， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴
【解析】【分析】（1）将x、y值直接代入计算即可；
（2）先求出， 的值，再根据完全平方公式将原式变形， 然后代入计算即可.
20．求代数式的值，其中．如图是小亮和小芳的解答过程．
（1） 的解法是不正确的；
（2）求代数式的值，其中．
【答案】（1）小芳
（2）解：，
∵，
∴，
∴原式，
即代数式的值是2025．
【解析】【解答】解：（1）小芳；
因为小芳开出来的a-1是个小于零的数，这是不可能的．
【分析】（1）根据题目中的解答过程可以得出哪位同学做错了；
（2）根据题目中的式子和a的值，可以求得所求式子的值。
21．
（1）计算
（2）解不等式≤﹣1，并把解集在数轴上表示出来.
【答案】（1）解：原式=.
（2）解：去分母得；2﹣x≤3（x+1）﹣6，
去括号得：2﹣x≤3x+3﹣6，
移项得：﹣x﹣3x≤3﹣6﹣2，
合并同类项得：﹣4x≤﹣5，
系数化为1得：，
用数轴表示为：
.
【解析】【分析】（1）先将各个二次根式化简，再合并括号内的同类二次根式，进而计算二次根式的乘法即可得出答案；
（2）根据一元一次不等式的解题步骤“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”可求得不等式的解集；在数轴上表示解集时，再根据“≥”实心向右即可求解.
22．计算：
（1）
（2）（1+ ）（ ）﹣（2 ﹣1）2
【答案】（1）解：原式＝2 ﹣6
＝﹣4
（2）解：原式＝ ﹣ + ﹣3 ﹣13+4
＝4 ﹣2 ﹣13
【解析】【分析】（1）利用二次根式的混合运算计算即可；
（2）利用二次根式的混合运算计算即可。
23．（1）当 时，求 的值；
（2）①x为何值时二次根式 的值是10？
②当x＝▲时二次根式 有最小值.
【答案】（1）解：当 时， ，
（2）解：①由题意得：12﹣x= 解得x= ﹣88
即：x= ﹣88时二次根式 的值是10；
②12
【解析】【解答】解：（2）②∵ ，
取等号时当且仅当12-x=0，
即x=12；
故答案是：12；
【分析】（1）将x=代入计算，可求出结果.
（2）①由题意可知，两边同时平方，解方程求出x的值；②利用二次根式的性质的性质可知12-x≥0， ，即可求出代数式的最小值.
24．有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm 和32dm 的正方形木板。
（1）求剩余木料的面积。
（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出 块这样的木条。
【答案】（1）解：∵两个正方形的面积分别为18dm 和32dm ，
∴这两个正方形的边长分别为3 dm和4 dm，
∴剩余木料的面积为(4 -3 )×3 =6(dm).
（2）2
【解析】【解答】解：（2）4<3 <4.5，1< <2，
∴从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出2块这样的木条
【分析】（1）利用正方形的面积等于边长的平方，可求出两个正方形的边长，然后求出剩余木材的面积。
（2）分别求出和3的范围，就可得出答案。
25．计算下面各题
（1）已知 ﹣ =2，求 + 的值
（2）已知 ﹣ =2，求 + 的值．
【答案】（1）解：∵ ﹣ =2，
∴（ ﹣ ）（ + ）=2（ + ），
∴39+x2﹣15﹣x2=2（ + ），
∴24=2（ + ），
∴ + =12
（2）解：∵ ﹣ =2，
∴（ ﹣ ）2=4，
∴ ，
∴ ，
∴（ + ）2= =44+2×20=84，
∴ + =
【解析】【分析】（1）根据平方差公式可以解答本题；（2）根据题目中的式子，进行变形建立与所求式子之间的关系，注意所求的式子的结果是正值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
