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解直角三角形 单元综合演练提分卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如果∠α是等边三角形的一个内角，那么cosα的值等于（ ）
A． B． C． D．1
2． 2022年2月4日在北京举办了第24届冬季奥运会，很多学校都开展冰雪项目学习．如图，某滑雪斜坡的坡角为，一位同学乘滑雪板沿斜坡下滑了100米，则该同学在竖直方向上下降的高度为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，某中学初三数学兴趣小组的学生用一个锐角是30°的三角板测量教学楼的高度，已知测量人员与教学楼的水平距离为18米，测量人员的A眼睛与地面的距离为1.5米，则教学楼的高度是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．如图是一把圆弧形企面的雨伞简易图，伞面的圆心为，若的度数为，伞柄，则伞面展开距离（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，于D，下列条件中，不能使的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在菱形中，过顶点作，，垂足分别为，，连接，若，的面积为，则菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=8，则AC等于（ ）
A．6 B． C．10 D．12
8．如果三角形满足一个角是另一个角的4倍，那么我们称这个三角形为“实验三角形”，下列各组数据中，能作为一个“实验三角形”三边长的一组是（ ）
A．1，1， B．1，1， C．1，2， D．1，2，3
9．如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（ ）
A．2m B．2m C．4m D．m
10．如图，在中，，分别以、为边向外作正方形、，连结并延长交于点H，连结．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，长为的梯子AB靠在墙上与地面成角，则梯子的顶端与地面的距离BC为 .
12．计算： .
13．如图，在中，平分，于点D，，若，，则的值为 .
14．某校数学兴趣小组为测量学校旗杆的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，，，，已知测角仪的高度为，则旗杆的高度约为 m．（结果精确到，参考数据：）
15．如图，是半圆O的直径，弦相交于点P，且是一元二次方程的两根，则是 .
16．6个全等的小正方形如图放置在中，则的值是 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，已知矩形中.
（1）请用直尺和圆规在AD上找一点E，使EC平分，（不写画法，保留画图痕迹）；
（2）在（1）的条件下若，，求出的值.
18．某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区的坡度i为1：2，顶端C离水平地面的高度为，从顶棚的D处看E处的仰角，竖直的立杆上C、D两点间的距离为，E处到观众区底端A处的水平距离为.求：
（1）观众区的水平宽度；
（2）顶棚的E处离地面的高度.（，，结果精确到）
19．如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼．甲船以每小时 千米的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进．甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇．
（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？
（2）甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？
20．如图，直线 与⊙O相切于点D，过圆心O作EF∥ 交⊙O于E、F两点，点A是⊙O上一点，连接AE，AF，并分别延长交直线 于B、C两点；
（1）求证：∠ABC+∠ACB=90°；
（2）若⊙O的半径 ，BD=12，求tan∠ACB的值.
21．如图，P为⊙O直径AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，过点B作CP的垂线BH交⊙O于点D，交CP于点H，连结AC，CD．
（1）求证：∠PBH＝2∠D．
（2）若sin∠P＝ ，BH＝2，求⊙O的半径及BD的长．
22．如图所示，在矩形 中， 是 边上的点， ， ，垂足为 ，连接 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的值.
23．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到万丰路（直线AO）的距离为120米的点P处．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为5秒且∠APO=60°，∠BPO=45°．
（1）求A、B之间的路程；
（2）请判断此车是否超过了万丰路每小时65千米的限制速度？请说明理由．（参考数据： ， ）．
24．如图，在△ABC中，∠B=∠C=67.5°．
（1）求sinA的值；
（2）求tanC的值．
25．已知是的直径，C，D，E是半圆上三点，且，．
（1）如图（1），求证：；
（2）如图（2），若，，求的值．
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解直角三角形 单元综合演练提分卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如果∠α是等边三角形的一个内角，那么cosα的值等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】【分析】根据等边三角形的性质及特殊角的三角函数值即可解答．
【解答】∵∠α是等边三角形的一个内角，
∴∠α=60°．
∴cosα=cos60°=．
故选A．
【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要掌握特殊角度的三角函数值和等边三角形的性质．
2． 2022年2月4日在北京举办了第24届冬季奥运会，很多学校都开展冰雪项目学习．如图，某滑雪斜坡的坡角为，一位同学乘滑雪板沿斜坡下滑了100米，则该同学在竖直方向上下降的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】坡角为， 斜边为00米，
竖直方向上下降的高度为，
故答案为：A.
【分析】根据三角函数的定义即可求解.
3．如图，某中学初三数学兴趣小组的学生用一个锐角是30°的三角板测量教学楼的高度，已知测量人员与教学楼的水平距离为18米，测量人员的A眼睛与地面的距离为1.5米，则教学楼的高度是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过作，
依题意，
∵
∴四边形是矩形
，
，
故选：B．
【分析】过作，根据题意得到，再根据矩形的判定结合题意解直角三角形得到AE，再根据AB=AE+BE即可求解。
4．如图是一把圆弧形企面的雨伞简易图，伞面的圆心为，若的度数为，伞柄，则伞面展开距离（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：连接OA，则
根据题意：，
在Rt中，
故答案为：D.
【分析】根据题意，本题利用垂径定理及锐角三角函数即可表示出弦长.
5．如图，在中，于D，下列条件中，不能使的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
，故A不符合题意；
，，
，
，
，故B不符合题意；
不能使，故C符合题意；
，
，
，
，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据相似三角形的判定结合正弦函数的定义对选项逐一分析即可求解。
6．如图，在菱形中，过顶点作，，垂足分别为，，连接，若，的面积为，则菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：过点F 作FG⊥AB，垂足为G
在四边形ABCD中，AD=BC=CD，AD∥CB，∠A=∠C，
∴∠A=∠FBG∵，
∴∠AED=∠CFD=90°
∴△ADE≌△CDF
∴AE=CF
∴EB=BF
∵
设BG=2a，
∴BF=3a=BE
∴
∵的面积为
∴
∴
∵
∴，
∴，
∴ AB=3BE
∴ AB2=9BE2=9×9a2=81a2
∴菱形的面积为
故答案为：D.
【分析】先通过证明△ADE≌△CDF，得出AE=CF，根据菱形的性质得出BE=BF，，设BG=2a，根据的面积为 ，求出a2，再把菱形的面积表示成含a的代数式，代入求值即可.
7．已知Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=8，则AC等于（ ）
A．6 B． C．10 D．12
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，
在Rt△ACB中，∵sinA=，
∴=，
∴AB=10，
∴AC==6．
故选A．
【分析】先根据正弦的定义得到sinA==，则可计算出AB=10，然后利用勾股定理计算AC的长．
8．如果三角形满足一个角是另一个角的4倍，那么我们称这个三角形为“实验三角形”，下列各组数据中，能作为一个“实验三角形”三边长的一组是（ ）
A．1，1， B．1，1， C．1，2， D．1，2，3
【答案】B
【解析】【解答】解：A、若三边为1，1，，由于12+12=（）2，则此三边构成一个等腰直角三角形，所以这个三角形不是“实验三角形”，所以A选项错误；
B、由1，1，能构成，此三边构成一个等腰三角形，通过作底边上的高可得到底角为30°，顶角为120°，所以这个三角形是“实验三角形”，所以B选项正确；
C、若三边为1，2，，由于12+（）2=22，则此三边构成直角三角形，最小角为30°，所以这个三角形不是“实验三角形”，所以C选项错误；
D、由1，2，3不能构成三角形，所以D选项错误．
故选B．
【分析】根据勾股定理的逆定理对A、C进行判断；利用等腰三角形的性质和锐角三角函数对B进行判断；根据三角形三边的关系对D进行判断．
9．如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（ ）
A．2m B．2m C．4m D．m
【答案】A
【解析】【解答】解：∵i=1：2，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了10m，
∴小球距离地面的高度为：10× =2m，
故选A．
【分析】根据题目中的坡度可以求得坡角的正弦值，由一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了10m，可以求得小球距离地面的高度．
10．如图，在中，，分别以、为边向外作正方形、，连结并延长交于点H，连结．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：连接AF，过点H作HP⊥AF于点P，如图：
∵ 正方形、中，AD和AF为对角线，
∴∠DAB=∠CAF=45°=∠HFP.
∵∠DAB+∠BAC+∠CAF+∠α=180°.
∴∠BAC+∠α=90°.
∵ 在中，，
∴∠BAC+∠BCA=90°.
∴∠α=∠BCA.
∵，
设CF=x，，
∴HF=kx，
∵.
.
∴
∴.
故答案为：D.
【分析】连接AF，过点H作HP⊥AF于点P，根据平角的定义和正方形的性质可证得∠BAC+∠α=90°.再根据直角三角形角的性质可证得∠α=∠BCA.设CF=x，利用表示出HF，计算出AF.在△HPF中求出HP和FP，利用AF-PF得到AP，再在△HAP中计算tan∠α，即可得到的值.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，长为的梯子AB靠在墙上与地面成角，则梯子的顶端与地面的距离BC为 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵∠BAC=60°，∠BCA=90°，AB=4，
∴在中，，
故答案为：.
【分析】利用特殊角的三角函数值解直角三角形进行求解.
12．计算： .
【答案】
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：.
【分析】根据0次幂的运算性质以及特殊角的三角函数值可得原式=1+4×，据此计算.
13．如图，在中，平分，于点D，，若，，则的值为 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，延长交于点E，
∵平分，于点D，
，
在和中，
，
，
，
∵，
，
∵，
，
，
.
故答案为：.
【分析】延长BD交AC于点E，由角平分线的概念可得∠DCE=∠DCB，利用ASA证明△DCE≌△DCB，得到BD=ED=1，CB=CE，由已知条件可知∠ABD=∠A，则AE=BE=2BD=2，CE=AC-AE=5，然后利用三角函数的概念进行计算.
14．某校数学兴趣小组为测量学校旗杆的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，，，，已知测角仪的高度为，则旗杆的高度约为 m．（结果精确到，参考数据：）
【答案】10.2
【解析】【解答】解：由题意得：，，
设，
在中，
则，
在中，，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
∴，
故答案为：10.2．
【分析】设，根据正切定义及特殊角的三角函数值可得，则，在中，根据特殊角的三角函数值及正切定义可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
15．如图，是半圆O的直径，弦相交于点P，且是一元二次方程的两根，则是 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接，解方程，
得，，
即，.
，，
，
.
为半圆O的直径，
.
.
故答案为：.
【分析】连接BD，利用因式分解法求出方程的解，得到AB、CD的值，由圆周角定理可得∠CDP=∠ABP，∠C=∠A，∠ADB=90°，证明△DPC∽△BPA，然后根据相似三角形的性质以及三角函数的概念进行解答.
16．6个全等的小正方形如图放置在中，则的值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，
∵有个大小相同的小正方形，恰好如图放置在中，设小正方形的边长为，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】
本题考查解直角三角形，熟知锐角三角函数是解题关键.设小正方形的边长为，依题意可得，，，根据平行线的判定：内错角相等，两直线平行可知：，再根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等可知：，最后根据锐角三角函数的定义：，代入数据化简即可得出答案.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，已知矩形中.
（1）请用直尺和圆规在AD上找一点E，使EC平分，（不写画法，保留画图痕迹）；
（2）在（1）的条件下若，，求出的值.
【答案】（1）解：如图
（2）解： EC平分
矩形ABCD
，
在中由勾股定理得
在中得
.
【解析】【解答】解：（1）解：以点C为圆心，CD长为半径画圆，作BC的垂直平分线，以BC的垂直平分线与BC的交点为圆心，BC长为直径画圆，与圆C相交，连接点B与交点并延长交AD于点E，交点E即为所求.
【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求解；
（2）由角平分线的定义和平行线的性质可得∠BEC=∠BCE，于是由等角对等边可得BC=BE，在直角三角形ABE中，用勾股定理可求得AE的值，由线段的构成ED=AD-AE可求得ED的值，在直角三角形CDE中，根据锐角三角函数=可求解.
18．某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区的坡度i为1：2，顶端C离水平地面的高度为，从顶棚的D处看E处的仰角，竖直的立杆上C、D两点间的距离为，E处到观众区底端A处的水平距离为.求：
（1）观众区的水平宽度；
（2）顶棚的E处离地面的高度.（，，结果精确到）
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴.
（2）解：如图，过D点作与平行，交于点G，
∴，
∵，
∴
∴，
答：的高度约为.
【解析】【分析】（1）根据AC的坡度可知 ， 据此即可求解；
（2）过D点作与平行，交于点G，由求出EG的长，利用EF=EG+BC+CD即可求解.
19．如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼．甲船以每小时 千米的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进．甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇．
（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？
（2）甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？
【答案】（1）如图，过A作AD⊥BC于点D．
由题意知：AC=，AG∥NS，∠WAB=45°，∠EAC=30°，∠NCB=75°
∴∠BAC=180°-∠WAB-∠EAC=180°-45°-30°=105°
∠GAC=90°-∠EAC=90°-30°=60°
∵AG∥NS
∴∠ACS=∠GAC=60°
∴∠ACB=180°-∠NCB-∠ACS=180°-75°-60°=45°
∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=180°-105°-45°=30°
又∵AD⊥BC
∴∠ADC=∠ADB=90°
在Rt△ACD中，AD=AC·sin45°==30
在Rt△ACD中，∠B=30° ∴AB=2AD=60
甲船从C处追赶上乙船用的时间为：60÷15-2=2（小时）
（2）在Rt△ACD中，CD=AC·cos∠ACB==30
在Rt△ABD中，BD=
∴BC=CD+BD=30+30
（30+30）÷2=（15+15）千米/时
答：甲船从C处追赶上乙船用了2小时，甲船追赶乙船的速度是每小时15+15千米．
【解析】【分析】（1）作AD⊥BC，先利用已知的方向角求出△ABC中的各角的度数，然后利用锐角三角函数的定义在Rt△ACD中求得AD，再利用直角三角形中30°角的性质在Rt△ABD中求得AB的长，就可求出时间；
（2）利用锐角三角函数的定义分别在Rt△ACD和Rt△ABD中求出CD、BD，则可求BC的长，根据（1）中的结果求得时间，即可求得速度．
20．如图，直线 与⊙O相切于点D，过圆心O作EF∥ 交⊙O于E、F两点，点A是⊙O上一点，连接AE，AF，并分别延长交直线 于B、C两点；
（1）求证：∠ABC+∠ACB=90°；
（2）若⊙O的半径 ，BD=12，求tan∠ACB的值.
【答案】（1）证明：如图，∵EF是⊙O的直径，∴∠EAF=90°.∴∠ABC+∠ACB=90°
（2）解：连接OD，则OD⊥BD，过点E作EH⊥BC，垂足为点H，
∴EH∥OD.
∵EF∥BC，EH∥OD，OE=OD，
∴四边形EODH是正方形.∴EH=HD=OD=5.
∵BD=12，∴BH=7.
在Rt△BEH中，tan∠BEH= .
又∵∠ABC+∠BEH=90°，∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠BEH.∴tan∠ACB .
【解析】【分析】（1）由直径所对圆周角是直角的性质和三角形内角和定理可得结论.（2）求出tan∠BEH= ，由∠ACB=∠BEH可得结论.
21．如图，P为⊙O直径AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，过点B作CP的垂线BH交⊙O于点D，交CP于点H，连结AC，CD．
（1）求证：∠PBH＝2∠D．
（2）若sin∠P＝ ，BH＝2，求⊙O的半径及BD的长．
【答案】（1）证明：如图所示：连结OC，
∵PC切⊙O于点C，
∴∠OCP＝90°，
又∵BH⊥CP，
∴OC∥BH，
∴∠COP＝∠PBH，
又∵∠COB＝2∠D，
∴∠PBH＝2∠D；
（2）解：如图所示：连结AD，
∵在Rt△BPH中，sin∠P＝ ，BH＝2，
∴BP＝3，
∵在Rt△COP中，sin∠P＝ ，
设OC＝x，则OP＝x+3，
∴ ，
解得：x＝6，即半径为6．
∴AB＝12，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠BHP＝90°，
∵∠ABD＝∠HBP，
∴∠P＝∠DAB，即sin∠P＝sin∠DAB，
∴在Rt△ABD中，BD＝AB×sin∠DAB＝ ×12＝8．
【解析】【分析】（1）如图，连接OC，由PC与圆相切，得到OC垂直于PC，再由DH与PC垂直，得到OC与BH平行，根据圆周角定理及等量代换即可得证；（2）连接AD，在直角三角形BPH与直角三角形COP中，设OC=x，利用锐角三角函数定义分别表示出sin∠P，列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．
22．如图所示，在矩形 中， 是 边上的点， ， ，垂足为 ，连接 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的值.
【答案】（1）证明：在矩形 中， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ≌
∴ ；
（2）解：由（1）可知： ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ .
【解析】【分析】（1）根据矩形的对边平行且相等得到AD=BC=AE，∠DAF=∠EAB.再结合一对直角相等即可证明△ABE≌△DFA；然后根据全等三角形的对应边相等证明AB=DF；（2）根据全等三角形的对应边相等以及勾股定理，可以求得DF，EF的长；再根据勾股定理求得DE的长，运用三角函数定义求解.
23．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到万丰路（直线AO）的距离为120米的点P处．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为5秒且∠APO=60°，∠BPO=45°．
（1）求A、B之间的路程；
（2）请判断此车是否超过了万丰路每小时65千米的限制速度？请说明理由．（参考数据： ， ）．
【答案】（1）解：在Rt△APO中，∠APO=60°，PO=120米，
∴AO= PO=120 米，
在Rt△BPO中，∠BPO=45°，BO=PO=120米，
∴ (米)．
（2）解：车速为 米/秒，限速约为 米/秒
∵17.52<18.06
∴没有超过万丰路每小时65千米的限制速度．
(或17.52米/秒化成：63.07千米/小时＜65千米/小时，没有超速)
【解析】【分析】（1）
在Rt△APO中，根据已知解直角三角形可求得AO长，在Rt△BPO中利用等腰三角形的性质可得BO长，再通过AB=AO-BO即可求得；
（2）根据
求出车速，再与限速的速度进行比较即可判断是否超速。
24．如图，在△ABC中，∠B=∠C=67.5°．
（1）求sinA的值；
（2）求tanC的值．
【答案】（1）解：∵在△ABC中，∠B=∠C=67.5°，
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°，
∴sinA=sin45°= ，
即sinA=
（2）解：作BD⊥AC于点D，如下图所示，
∵由（1）可知∠A=45°，设BD=a，
∴AD=a，AB= ，
∵AB=AC，
∴AC= ，
∴CD=AC﹣AD= ，
∴ = ，
即tanC= ．
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和算出 ∠A 的度数，然后根据特殊锐角三角函数值即可得出答案；
（2） 作BD⊥AC于点D，如下图所示， 设BD=a， 根据等腰直角三角形的性质AD，AB的长，根据AB=AC从而得出AC的长，根据线段的和差算出CD的长，然后根据正切函数的定义，由tanC=即可算出答案。
25．已知是的直径，C，D，E是半圆上三点，且，．
（1）如图（1），求证：；
（2）如图（2），若，，求的值．
【答案】（1）证明：如图（1），连接．
，
．同理：．
，．
，
，即．
，．
（2）解：如图（2），连接，相交于点M．
是直径，
，
，
，．
，，．
∴
在中，．．
．
【解析】【分析】（1）连接OC、CD、OE，根据"圆心角、弦、弧”关系定理易得∠COD=∠AOD，∠DOE=∠DOB，结合平角等于180°可得∠COD+∠DOE=90°，于是可得三角形COE是等腰直角三角形，由勾股定理可得CE=OE，结合已知可求解；
（2）连接BC、AE、OC、CE、OE，由直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=∠AEB=90°，由圆周角定理可得∠CAE=∠CBE=∠COE=45°，则ME=BE，用勾股定理可得AM=AC，结合已知的线段可求得AM、BE的值，由线段的构成AE=AM+ME求出AE的值，在中，用勾股定理求出AB，然后根据锐角三角函数cos∠ABE=可求解.
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