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【50道综合题·专项集训】浙教版八年级下册第1章 二次根式
1．已知，，求下列各式的值：
（1）
（2）
2．计算
（1）
（2）
（3）
（4）已知，，求的值．
3．小明在学习中发现了一个“有趣”的现象：
②
③
④
（1）上面的推导过程中，从第 步开始出现错误(填序号)；
（2）写出该步的正确结果．
4．在进行二次根式的运算时，如遇到这样的式子，我们可以按如下两种方法进行化简：
方法一：．
方法二：．
（1）请分别参照以上两种方法化简：；
（2）计算．
5．如图，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为.
（1）求长方体盒子的容积；
（2）求这个长方体盒子的侧面积.
6．
（1）计算： .
（2）当 时，求代数式 的值.
7．
（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2 ，AB=3 ，求Rt△ABC的周长和面积．
（2）已知a＝ ，b＝ ，求a2﹣ab+b2的值．
8．如图：每个小正方形的边长都是1.
（1）求四边形的周长.
（2）求证：.
9．求代数式
的值，其中a＝﹣2020
如图是小亮和小芳的解答过程．
小亮：解：原式=
小芳：解：原式=
（1） 的解法是不正确的；
（2）不正确的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；
（3）求代数式
的值，其中a＝﹣2019．
10．已知 ， .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
11．计算：
（1）已知 ，求代数式 的值；
（2）已知 ， ，求代数式 的值.
12．已知一个三角形的三边长分别为 ， ， .
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值.
13．嘉淇准备完成题目：计算：(▓ , 发现系数“▓”印刷不清楚.
（1）他把“▓”猜成 3，请你计算：(3 .
（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是 0.”请你通过计算说明原题中“▓”是几？
14．已知 .
（1）求a的值；
（2）求a2﹣b2的平方根.
15．像（ +2）（ ﹣2）＝1、 ＝a（a≥0）、（ +1）（ ﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如， 与 ， +1与 ﹣1，2 +3 与2 ﹣3 等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
（1）化简： ；
（2）计算： + ；
（3）比较 ﹣ 与 ﹣ 的大小，并说明理由．
16．综合题如图，D是BC上一点，若AB=10，AD=8，AC=17，BD=6，求BC的长．
（1）已知：x= +1，y= ﹣1，求 的值；
（2）如图，D是BC上一点，若AB=10，AD=8，AC=17，BD=6，求BC的长．
17．观察下列等式：① = +1；② = + ；③ = + ；…，
（1）请用字母表示你所发现的律.（n为正整数）
（2）化简计算：（ + + +…+ ）．
18．化简
（1） ﹣ +
（2） × ﹣ + ．
19．请在方格内画△ABC，使它的顶点都在格点上，且三边长分别为2，2 ，4 ，求：
（1）画出△ABC并求出它的面积；
（2）求出最长边上高．
20．计算：
（1）
（2）
21．计算：
（1） ﹣ +（ +1）（ ﹣1）
（2） × ÷ ．
22．已知：a= ﹣2，b= +2，分别求下列代数式的值：
（1）a2+2ab+b2
（2）a2b﹣ab2．
23．化简求值
已知x=2﹣ ，y=2+ ，求下列各式的值．
（1）x2﹣y2；
（2）x2+xy+y2．
24．若一个含根号的式子可以写成的平方其中，，，都是整数，为正整数，即，则称为完美根式．是的完美平方根例如：因为，所以是的完美平方根．
（1）已知是的完美平方根，求的值；
（2）若是的完美平方根，用含，的式子表示，．
（3）已知为完美根式，直接写出它的一个完美平方根．
25．先阅读，再解答.由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：
（1）的有理化因式是 ；
（2）化去式子分母中的根号： ， ；
（3）比较与的大小，并说明理由.
26．一个三角形的三边长分别为5 ， ， ．
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给出一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
27．（1）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根；
（2）若，的算术平方根是5，求的平方根．
28．已知.
（1）直接写出 ， ；
（2）试求的值；
（3）试求的值.
29．已知实数x，y满足y5，求：
（1）x与y的值；
（2）x2-y2的平方根.
30．解答下列各题：
（1）计算： .
（2）已知 ， ，求 的值.
31．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示－，设点B所表示的数为m.
（1）求m的值；
（2）求|m－1|＋(m＋)2的值．
32． 为何值时，下列各式有意义？
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
33．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2.设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn.这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法.请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ .
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： + ＝（ + ）2；
（3）化简
34．已知直角三角形的两直角边长分别为（2＋）和（﹣2）．
（1）求这个直角三角形的面积．
（2）求这个直角三角形的斜边长．
35．已知在△ABC中，AB=1，BC= ，CA=
（1）化简 和 ；
（2）在4×4的方格纸上画出△ABC，使它的顶点都在方格的顶点上(每个小方格的边长均为1)；
（3）求△ABC最长边上的高的长．
36．若b= -a+10．
（1）求ab及a+b的值；
（2）若a，b满足 ，试求x的值．
37．做一个底面积为24 cm2，长、宽、高的比为4 ：2：1的长方体．求：
（1）该长方体的长、宽、高．
（2）该长方体的表面积．
（3）该长方体的体积．
38．
（1） 成立的条件是
（2）已知 ，则a的取值范围是
（3）已知 ，则x的取值范围是
39．
（1）计算：
（2）已知 ， ，求代数式 值．
40．在进行二次根式计算时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（一式），
（二式），
（三式）．
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（四式）．
（1）请用不同的方法化简
参照（三式）化简
参照（四式）化简
（2）化简：
41．小明在解决问题，已知，求的值，他是这样分析与解答的：
∵.
∴.
∴，即.
∴，
∴.
请你根据小明分析过程的思想方法，解决如下问题：
（1）分母有理化： ；
（2）计算：；
（3）若，求的值.
42．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t(单位：s)和高度h(单位：m)近似满足公式t= (不考虑风速的影响)．
（1）从50m高空抛物到落地所需时间t1是多少s，从100m高空抛物到落地所需时间t2是多少s；
（2）t2是t1的多少倍？
（3）经过1.5s，高空抛物下落的高度是多少？
43．
（1）已知a为实数，求代数式： 的值.
（2）已知m是 的小数部分.①求m2+2m+1的值；②求 的值.
44．利用平方根去括号可以用一个无理数构造一个整系数方程．
例如： 时，移项 ，两边平方得 ，所以a2-2a+1=2，即a2-2a-1=0。仿照上述方法完成下面的题目，已知 ，
求：
（1）a2+a的值；
（2）a3-2a+2020的值．
45．已知长方形的长为 ，宽为 ，且 ， ．
（1）求长方形的周长；
（2）当 时，求正方形的周长．
46．阅读材料：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．
例如：；．
解答下列问题：
（1）的有理化因式是 ，的有理化因式是 ．
（2）观察下面的变形规律，请你猜想： ．
，，…
（3）利用上面的方法，请化简：
．
47．观察、发现：====-1
（1）试化简： ；
（2）直接写出：= ；
（3）求值：+++…+ ．
48．观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
…
（1）含n（n为正整数的关系式表示上述各式子的变形规律.并验证你的结论.
（2）利用上面的结论，求下列式子的值：
49．甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由图乙中的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1.
细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：
（ ）2＋1＝2，S1＝ ；（ ）2＋1＝3，S2＝ ；（ ）2＋1＝4，S3＝ ；….
（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律，并计算出OA10的长；
（2）求出 的值.
50．小明在学习了“二次根式”后，发现一些含根号的代数式可以写成另一个根号的代数式的平方，如 .善于思考的小明进行了以下探索：
设 （其中a、b、m、n均为整数），则有 . ， .这样小明就找到了一种把类似 的代数式化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为整数时，若 ，用含m、n的代数式分别表示a、b，则： ， ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： .
（3）若 ，且a、m、n均为正整数，求a的值.
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【50道综合题·专项集训】浙教版八年级下册第1章 二次根式
1．已知，，求下列各式的值：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
当 ， 时，
原式
；
（2）解：
当 ， 时，
原式
．
【解析】【分析】（1）将原式变形为，然后代入计算即可；
（2）利用分式的加减将原式化为，再代入计算即可.
2．计算
（1）
（2）
（3）
（4）已知，，求的值．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：∵，，
∴，，
则原式
.
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的性质及（a≥0）分别化简，再计算有理数的减法即可得出答案；
（2）先根据单项式乘以多项式的法则去括号，再根据二次根式的乘法法则计算乘法，最后根据二次根式的性质将各个二次根式化简即可；
（3）第一个加数利用分母有理化化简，第二个加数根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可；
（4）根据二次根式的加法法则算出m+n的值，根据平方差公式及二次根式的性质求出mn的值，进而利用配方法将待求式子变形为（m+n）2-3mn，然后整体代入加数即可.
3．小明在学习中发现了一个“有趣”的现象：
②
③
④
（1）上面的推导过程中，从第 步开始出现错误(填序号)；
（2）写出该步的正确结果．
【答案】（1）②
（2）解：
【解析】【分析】利用二次根式的性质及计算方法求解即可。
4．在进行二次根式的运算时，如遇到这样的式子，我们可以按如下两种方法进行化简：
方法一：．
方法二：．
（1）请分别参照以上两种方法化简：；
（2）计算．
【答案】（1）解：方法一：
方法二：
（2）解：
【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法利用分母有理化化简即可；
（2）先利用分母有理化化简，再计算即可。
5．如图，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为.
（1）求长方体盒子的容积；
（2）求这个长方体盒子的侧面积.
【答案】（1）解：由题意可知：长方体盒子的容积为：
，
答：长方体盒子的容积为.
（2）解：长方体盒子的侧面积为：
，
答：这个长方体盒子的侧面积为.
【解析】【分析】（1）无盖的长方体盒子的长、宽为cm，高为cm，根据长方体的容积=长×宽×高，据此计算即可；
（2）长方体盒子的侧面是4个全等的长方形，其长为cm，高为cm，根据长方形的面积=长×宽进行计算即可.
6．
（1）计算： .
（2）当 时，求代数式 的值.
【答案】（1）解：原式
（2）解：当 时，
原式
【解析】【分析】(1)先进行二次根式的化简，再进行二次根式的加减法运算，即可得出结果；
(2)先利用完全平方式对原式进行配方，然后代值计算即可.
7．
（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2 ，AB=3 ，求Rt△ABC的周长和面积．
（2）已知a＝ ，b＝ ，求a2﹣ab+b2的值．
【答案】（1）解：如图，
∵ ∠C＝90°，AC＝2 ，AB=3 ，
∴，
∴△ABC的周长为；
∴；
（2）解：， ，
a2﹣ab+b2=（a+b）2-3ab=.
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出BC的长，从而可求出△ABC的周长和面积.
（2）分别求出a+b和ab的值，再将代数式转化为（a+b）2-3ab，然后整体代入求值.
8．如图：每个小正方形的边长都是1.
（1）求四边形的周长.
（2）求证：.
【答案】（1）解：利用勾股定理得：，，，
∴四边形的周长
（2）证明：连接BD.
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴.
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出AB、BC、CD和AD长，再计算四边形ABCD的周长即可；
（2）连接BD ，根据勾股定理求出BD长，再根据勾股定理逆定理求△BCD是直角三角形即可.
9．求代数式
的值，其中a＝﹣2020
如图是小亮和小芳的解答过程．
小亮：解：原式=
小芳：解：原式=
（1） 的解法是不正确的；
（2）不正确的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；
（3）求代数式
的值，其中a＝﹣2019．
【答案】（1）小芳
（2）
（3）解：
，
，
，
原式 ，
即代数式 的值是2025．
【解析】【解答】解：（1）
，
，
故小芳开方时，出现错误，
故答案为：小芳；
（2）不正确的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：
，
故答案为：
；
【分析】（1）根据
的性质，可以判断哪位同学做错了；
（2）根据
的性质，为正确运用被开方数具有非负性；
（3）根据
的性质，对代数式进行化简，然后代值进行计算。
10．已知 ， .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
，
∴
（2）解：
.
【解析】【分析】（1）根据题意先计算 和 的值，再化简原式得出 ，整体代入求解即可；（2）化简原式得出 ，利用 和 的值即可求解.
11．计算：
（1）已知 ，求代数式 的值；
（2）已知 ， ，求代数式 的值.
【答案】（1）解：∵
∴原式= ；
（2）解：∵ ，
∴原式= .
【解析】【分析】（1）将x的值代入代数式，先算乘方和乘法运算，再合并同类二次根式.
（2）将a，b的值代入代数式，先利用完全平方公式进行计算，再合并同类二次根式.
12．已知一个三角形的三边长分别为 ， ， .
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值.
【答案】（1）解：周长= + + .
＝
＝ .
（2）解：当x=4时，周长= = =14.（答案不唯一）
【解析】【分析】（1）把三角形的三边长相加，即为三角形的周长.再运用二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.（2）该题答案不唯一，只要使它的周长为整数即可.
13．嘉淇准备完成题目：计算：(▓ , 发现系数“▓”印刷不清楚.
（1）他把“▓”猜成 3，请你计算：(3 .
（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是 0.”请你通过计算说明原题中“▓”是几？
【答案】（1）解：原式=（3× ﹣ ×3 ）﹣（ ﹣4× ）= ﹣2 ﹣ +2 = .
（2）解：设“▓”是a，则原式=（a - ）﹣（ ﹣4 ）
=（ a﹣ ×3 ）﹣（ ﹣4× ）= a﹣2 ﹣ +2 = a﹣ .
∵标准答案的结果是0，
∴ a﹣ =0，解得：a=6.
∴原题中“▓”是6.
【解析】【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后去括号合并即可；（2）设“▓”是a，然后把所求代数式化简，再根据结果是0，列方程解之即可
14．已知 .
（1）求a的值；
（2）求a2﹣b2的平方根.
【答案】（1）解：根据题意得： ，
解得：a=17；
（2）b+8=0，
解得：b=﹣8.
则a2﹣b2=172﹣（﹣8）2=225，
则平方根是：±15.
【解析】【分析】（1）根据二次根式的被开方数不为负数，列出不等式组，求解得出a的值；
（2）将a的值代入方程，即可求出b的值，将a,b的值代入代数式即可算出按有理数的混合运算法则算出答案，进而算出其平方根即可。
15．像（ +2）（ ﹣2）＝1、 ＝a（a≥0）、（ +1）（ ﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如， 与 ， +1与 ﹣1，2 +3 与2 ﹣3 等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
（1）化简： ；
（2）计算： + ；
（3）比较 ﹣ 与 ﹣ 的大小，并说明理由．
【答案】（1）解： ＝ ＝
（2）解： +
＝2+ +
＝2+2 +
（3）解： ﹣ ＜ ﹣，
理由：∵ ﹣ ＝ ， ﹣ ＝ ， ，
∴ ＜ ，
∴ ﹣ ＜ ﹣ ．
【解析】【分析】（1）根据题意可知，题目中思想为利用平方差公式进行二次根式的化简，根据化简方法，进行化简即可；
（2）将二次根式的分母进行有理数因式，去除分母中的根号进行计算即可。
（3）将代数式化为有理化因式的形式，进行大小的比较。
16．综合题如图，D是BC上一点，若AB=10，AD=8，AC=17，BD=6，求BC的长．
（1）已知：x= +1，y= ﹣1，求 的值；
（2）如图，D是BC上一点，若AB=10，AD=8，AC=17，BD=6，求BC的长．
【答案】（1）解：∵x= +1，y= ﹣1，
∴x+y=2 ，x﹣y=2，
∴ = = =
（2）解：解：∵BD2+AD2=62+82=102=AB2，∴△ABD是直角三角形，∴AD⊥BC，
在Rt△ACD中，CD= =15，
∴BC=BD+CD=6+15=21，
答：BC的长是21．
【解析】【分析】①先把原分式的分子、分母分解因式，化简为最简分式；再化简出x+y=2 ，x﹣y=2，的值，代入计算即可.②根据勾股定理的逆定理得到△ABD是直角三角形，根据勾股定理求出CD =15，BC=BD+CD=6+15=21.
17．观察下列等式：① = +1；② = + ；③ = + ；…，
（1）请用字母表示你所发现的律.（n为正整数）
（2）化简计算：（ + + +…+ ）．
【答案】（1）解：请用字母表示你所发现的律：即 = ﹣ （n为正整数），
故答案为： ﹣ ；
（2）解：原式= ﹣1+ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ + ﹣
= ﹣1
=2 ﹣1．
【解析】【分析】（1）根据观察，发现：连续两个正整数的算术平方根的和乘以这两个算术平方根的差积是1，根据二次根式的乘法，可得答案；（2）根据上述规律，可得答案．
18．化简
（1） ﹣ +
（2） × ﹣ + ．
【答案】（1）解：原式=4 ﹣ +
=
（2）解：原式=3﹣1+
=2+
=
【解析】【分析】（1）先化简二次根式再进行计算即可；（2）根据二次根式的化简、零指数幂进行计算即可．
19．请在方格内画△ABC，使它的顶点都在格点上，且三边长分别为2，2 ，4 ，求：
（1）画出△ABC并求出它的面积；
（2）求出最长边上高．
【答案】（1）解：如图
∵AC=2，BD=2
∴S△ABC= AC×BD=2
（2）解：∵最长边AB=2 ，设最长边上的高为h，则S△ABC= AB×h=2，
∴h= ，
即最长边上高为 ．
【解析】【分析】①根据题意画出图形，已知AC的长为2，观察可得其边上的高BD的长为2，从而不难求得其面积．②根据第（1）问求得的面积，再利用面积公式即可求得其边上的高．
20．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=4 +3 ﹣2 +4 =7
（2）解：原式=（8 ） =﹣
【解析】【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，再进行计算．（2）观察，可以首先把括号内的化简，合并同类项，然后相乘．
21．计算：
（1） ﹣ +（ +1）（ ﹣1）
（2） × ÷ ．
【答案】（1）解：原式=3 ﹣2 +3﹣1
= +2
（2）解：原式=2 × ×
=8
【解析】【分析】（1）先化简二次根式、根据平方差公式去括号，再合并同类二次根式可得；（2）先化简，再计算乘除法可得．
22．已知：a= ﹣2，b= +2，分别求下列代数式的值：
（1）a2+2ab+b2
（2）a2b﹣ab2．
【答案】（1）解：当a= ﹣2，b= +2时，
a2+2ab+b2，
=（a+b）2，
=（ ﹣2+ +2）2，
=（2 ）2，
=12
（2）解：a2b﹣ab2，
=ab（a﹣b），
=（ ﹣2）（ +2）（ ﹣2﹣ ﹣2），
=[（ ）2﹣22]×（﹣4），
=﹣1×（﹣4），
=4
【解析】【分析】（1）利用完全平方和公式分解因式后再代入计算．（2）先提公因式，再代入计算．
23．化简求值
已知x=2﹣ ，y=2+ ，求下列各式的值．
（1）x2﹣y2；
（2）x2+xy+y2．
【答案】（1）解：∵x=2﹣ ，y=2+ ，
∴x+y=4，x﹣y=﹣2 ，xy=4﹣3=1
x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=4×（﹣2 ）=﹣8
（2）解：x2+xy+y2=（x+y）2﹣xy=42﹣1=15
【解析】【分析】（1）求出x+y=4，x﹣y=﹣2 ，xy=4﹣3=1，再根据平方差公式变形后代入求出即可；（2）根据完全平方公式变形，代入求出即可．
24．若一个含根号的式子可以写成的平方其中，，，都是整数，为正整数，即，则称为完美根式．是的完美平方根例如：因为，所以是的完美平方根．
（1）已知是的完美平方根，求的值；
（2）若是的完美平方根，用含，的式子表示，．
（3）已知为完美根式，直接写出它的一个完美平方根．
【答案】（1）解：是的完美平方根，
，
，
.
（2）解：是的完美平方根，
，
，
，.
（3）解：是完美根式，
，
，
，，
，或，，
，都是整数，
，，
的完美平方根是或．
【解析】【分析】(1)由完美平方根的定义可得，利用完全平方公式进行化简后，可得.
(2)由完美平方根的定义可得，利用完全平方公式进行展开，可得，.
(3)由完美平方根的定义可得，利用完全平方公式进行展开，进而可得，，故，或，，解得，，即可求得的完美平方根是或．
25．先阅读，再解答.由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：
（1）的有理化因式是 ；
（2）化去式子分母中的根号： ， ；
（3）比较与的大小，并说明理由.
【答案】（1）
（2）；
（3）解：，理由如下：，
，
∵，
∴，
所以.
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴的有理化因式是；
故答案为：；
（2），；
故答案为：，；
【分析】（1）根据平方差公式可得(-1)(-1)=2-1=1，据此可得-1的有理化因式；
（2）给的分子、分母同时乘以即可，给的分子、分母同时乘以(3+)，然后化简即可；
（3）作差可得=，，然后进行比较.
26．一个三角形的三边长分别为5 ， ， ．
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给出一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
【答案】（1）解：∵个三角形的三边长分别为5 ， ， ，
∴这个三角形的周长是：
5 + +
＝
＝
（2）解：当x＝20时，这个三角形的周长是：
【解析】【分析】（1）根据三角形的周长公式，将三边的长相加求和，根据二次根式相加减的性质进行计算。
（2）根据题意可知，二次根式进行求值后，为整数，根据题意选择合适的x的值，求三角形的周长即可。
27．（1）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根；
（2）若，的算术平方根是5，求的平方根．
【答案】（1）解：由题意知，，
∴，，
∴，，
∴，
∴的立方根为；
（2）解：由，解得，
∴．
∵的算术平方根是5，
∴，
∴，
∴的平方根为．
【解析】【分析】（1）根据算术平方根、立方根的定义结合题意即可求解；
（2）根据二次根式有意义的条件结合算术平方根即可求解。
28．已知.
（1）直接写出 ， ；
（2）试求的值；
（3）试求的值.
【答案】（1）4；1
（2）解：∵，，
∴
（3）解：∵，，
，
∴
.
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴；
；
故答案为：4；1.
【分析】（1）根据二次根式的减法法则可得x+y，根据平方差公式可得xy的值；
（2）由完全平方公式可得x2+y2=(x+y)2-2xy，然后代入进行计算；
（3）根据二次根式的加法法则求出x-y，对待求式进行通分并化简可得=，然后代入进行计算.
29．已知实数x，y满足y5，求：
（1）x与y的值；
（2）x2-y2的平方根.
【答案】（1）解：∵x-13≥0，13-x≥0，
∴x=13，
∴y=0+5=5；
（2）解：∵x2-y2=132-52=144，
∴x2-y2的平方根是±12.
【解析】【分析】（1）根据二次根式的被开方数不能为负数可得 x-13≥0且13-x≥0，求解得出x的值，将x的值代入原等式可算出y的值；
（2）将x、y的值代入算出x2-y2的值，最后再根据平方根的定义求其平方根即可.
30．解答下列各题：
（1）计算： .
（2）已知 ， ，求 的值.
【答案】（1）解：原式＝5－4＋2，
＝3；
（2）解：∵ ，
∴当 时，
原式＝ ，
＝8＋1＝9.
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质先分别化简，再进行加减计算即可；
（2） 利用配方将原式变形为 ，再代入计算即可.
31．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示－，设点B所表示的数为m.
（1）求m的值；
（2）求|m－1|＋(m＋)2的值．
【答案】（1）解：∵蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，
∴点B所表示的数比点A表示的数大2.
∵点A表示－，点B表示m，
∴m＝－＋2.
（2）解：|m－1|＋(m＋)2＝|－＋2－1|＋(－＋2＋)2＝|－＋1|＋4＝－1＋4＝＋3.
【解析】【分析】（1）根据题意列出算式求出m＝－＋2即可；
（2）将m的值代入代数式|m－1|＋(m＋)2变形为|－＋2－1|＋(－＋2＋)2，再计算即可。
32． 为何值时，下列各式有意义？
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
【答案】（1） 解：要使 有意义，必须 ，
解得： 为任何实数，
所以当 为任何实数时， 都有意义；
（2） 解：要使 有意义，必须 ，
解得： ，
所以当 时， 有意义；
（3） 解：要使 有意义，必须 且 ，
解得： ，
所以当 时， 都有意义；
（4） 解：要使 有意义，必须 且 ，
解得： 且 ，
所以当 且 时， 都有意义.
【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得x2≥0，求解可得x的范围；
（2）根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得x-4≥0，求解可得x的范围；
（3）根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得x+1≥0且1-x≥0，求解可得x的范围；
（4）根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件可得x-1≥0且x-3≠0，求解可得x的范围.
33．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2.设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn.这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法.请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ .
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： + ＝（ + ）2；
（3）化简
【答案】（1）m2+3n2；2mn
（2）21；4；1；2
（3）解：
＝-
＝-
＝-
＝-
＝++-
＝
【解析】【解答】解：（1）∵，＝m2+2mn+3n2
∴a＝m2+3n2，b＝2mn
故答案为：m2+3n2，2mn.
（2）设a+b＝
则＝m2+2mn+5n2
∴a＝m2+5n2，b＝2mn
若令m＝1，n＝2，则a＝21，b＝4
故答案为：21，4，1，2.
【分析】（1）a+b＝(m+n)2=m2+2mn+3n2，据此可得a、b；
（2）设a+b＝(m+n)2=m2+2mn+5n2，则a＝m2+5n2，b＝2mn，令m＝1，n＝2，求出a、b的值即可；
（3）原式可变形为-，根据二次根式的性质可得原式=-，然后分母有理化并化简即可.
34．已知直角三角形的两直角边长分别为（2＋）和（﹣2）．
（1）求这个直角三角形的面积．
（2）求这个直角三角形的斜边长．
【答案】（1）解：这个直角三角形的面积＝；
（2）解：由勾股定理得：这个直角三角形的斜边长＝．
【解析】【分析】（1）利用直角三角形的面积公式计算求解即可；
（2）利用勾股定理计算求解即可。
35．已知在△ABC中，AB=1，BC= ，CA=
（1）化简 和 ；
（2）在4×4的方格纸上画出△ABC，使它的顶点都在方格的顶点上(每个小方格的边长均为1)；
（3）求△ABC最长边上的高的长．
【答案】（1）解：BC= ，CA=
（2）解：画图如下(△ABC的位置不唯一)．
（3）解：如图，作高AD，S△ABC= ×1×2= BC·AD，
则2=2 AD，∴AD=
【解析】【分析】(1)根据二次根式的性质分别将BC和AC化成最简二次根式即可；
(2)先作出AB，再根据勾股定理分别作出AC=和BC=2即可；
(3)根据等积法列式，再代值计算，即可解答.
36．若b= -a+10．
（1）求ab及a+b的值；
（2）若a，b满足 ，试求x的值．
【答案】（1）解：∵b= -a+ 10，
∴ab=10，b=-a+10，∴a+b= 10．
（2）解：∵a，b满足x2- =0∴x2=
∴x2= = =8，∴x=±
【解析】【分析】(1)先根据二次根式有意义的条件求出ab的值，再代入条件，即可求出a+b的值；
(2)根据条件把x2用含a、b的代数式表示，然后利用完全平方式变形，再代值计算，最后求平方根即可.
37．做一个底面积为24 cm2，长、宽、高的比为4 ：2：1的长方体．求：
（1）该长方体的长、宽、高．
（2）该长方体的表面积．
（3）该长方体的体积．
【答案】（1）解：设长方体的高为 x cm，则长为4x cm，宽为2x cm，由
题意得4x×2x=24，解得x1= ，x2=- (舍去)，
则4x=4 ，2x=2 ，
答：这个长方体的长宽、高分别是4 cm，2 cm， cm．
（2）解：(4 ×2 + ×4 +2 × )×2
=(24+12+6) ×2=42×2= 84(cm2 )．
答：长方体的表面积是84 cm2．
（3）解：4 ×2 × =24 (cm3 )．
答：长方体的体积是24 cm3．
【解析】【分析】（1）利用比例设未知数，列出方程4x×2x=24，得到结果。
（2）利用长方体的表面积公式，得到(4 ×2 + ×4 +2 × )×2 ，得到结果。
（3）利用长方体体积公式，得到4 ×2 × ，得到结果。
38．
（1） 成立的条件是
（2）已知 ，则a的取值范围是
（3）已知 ，则x的取值范围是
【答案】（1）x≥1
（2）0
（3）x≥3
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：，
∴ x≥1；
（2）根据题意得：，
∴ 0（3）根据题意得：，
∴ x≥3.
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件，列出不等式组，解不等式组即可得出答案；
（2）根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式组，解不等式组即可得出答案；
（1）根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式组，解不等式组即可得出答案.
39．
（1）计算：
（2）已知 ， ，求代数式 值．
【答案】（1）解：
=
=
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴
=
=
=
＝
【解析】【分析】（1）先去括号，再利用二次根式的加减计算即可；
（2）先利用二次根式的加减化简，再将 ， 整体代入计算即可。
40．在进行二次根式计算时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（一式），
（二式），
（三式）．
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（四式）．
（1）请用不同的方法化简
参照（三式）化简
参照（四式）化简
（2）化简：
【答案】（1）解：参照（三式）：原式；
参照（四式）：原式；
（2）解：原式，
，
，
．
【解析】【分析】（1）根据已知中的式子，三式的方式是：分子、分母上同时乘以与分母构成平方差公式的式子，从而化解；四式的方式是：把2化成两个数的差，利用平方差公式分解，再约分即可；
（2）根据（1）的结论，直接运用计算即可。
41．小明在解决问题，已知，求的值，他是这样分析与解答的：
∵.
∴.
∴，即.
∴，
∴.
请你根据小明分析过程的思想方法，解决如下问题：
（1）分母有理化： ；
（2）计算：；
（3）若，求的值.
【答案】（1）
（2）解：由（1）的启示可得：
（3）解：，
【解析】【解答】解：（1）
【分析】（1）给分子、分母同时乘以( - )，然后结合平方差公式化简即可；
（2）根据分母有理化可将原式变形为 ，据此计算；
（3）对a化简可得a= +2，则a-2= ，结合完全平方公式可得a2-4a的值，待求式可变形为3(a2-4a)+6，据此计算.
42．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t(单位：s)和高度h(单位：m)近似满足公式t= (不考虑风速的影响)．
（1）从50m高空抛物到落地所需时间t1是多少s，从100m高空抛物到落地所需时间t2是多少s；
（2）t2是t1的多少倍？
（3）经过1.5s，高空抛物下落的高度是多少？
【答案】（1）解：当h=50时，t1= = (秒)
当h=100时，t2= = =2 (秒)
（2）解： ∵ ，∴t2是t1的 倍
（3）解：当t=1.5时，1.5= ，得h=11.25，∴下落的高度是11.25米
【解析】【分析】（1）将h=50代入公式进行计算可求出t1的值；将t=100代入公式计算可求出t2的值.
（2）利用（1）中计算的结果可求出t2与t1的比值，即可求解.
（3）将t=1.5代入公式计算求出h的值.
43．
（1）已知a为实数，求代数式： 的值.
（2）已知m是 的小数部分.①求m2+2m+1的值；②求 的值.
【答案】（1）解：由 ，得， ，
则 .
（2）解：①m＝ ﹣1：
原式＝（m+1）2＝2；
②原式＝|m﹣ |＝| ﹣1﹣ ﹣1|＝2.
【解析】【分析】（1）由二次根式有意义的条件可得：-a2≥0，则a=0，代入原式化简即可；
（2）①由题意可得m=-1，则m2+2m+1=(m+1)2，代入计算即可；
②由m=-1，可得=+1.则原式=|m-|，代入计算即可.
44．利用平方根去括号可以用一个无理数构造一个整系数方程．
例如： 时，移项 ，两边平方得 ，所以a2-2a+1=2，即a2-2a-1=0。仿照上述方法完成下面的题目，已知 ，
求：
（1）a2+a的值；
（2）a3-2a+2020的值．
【答案】（1）∵
移项变形可得
两边平方得
∴
∴
（2）
=
=
=
=
=2019
【解析】【分析】（1）原式移项变形可得 ，两边平方得 ，然后化简即可求出结论；（2）将原式 ，然后利用整体代入法求值即可．
45．已知长方形的长为 ，宽为 ，且 ， ．
（1）求长方形的周长；
（2）当 时，求正方形的周长．
【答案】（1）∵a = = ，b = = ，
∴长方形的周长是：2(a+b)=2( + )= ；
（2）设正方形的边长为x，则有x2=ab，
∴x= = = = ，
∴正方形的周长是4x= ．
【解析】【分析】（1）先化简二次根式，然后列式计算即可；（2）利用二次根式乘法计算即可得出答案．
46．阅读材料：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．
例如：；．
解答下列问题：
（1）的有理化因式是 ，的有理化因式是 ．
（2）观察下面的变形规律，请你猜想： ．
，，…
（3）利用上面的方法，请化简：
．
【答案】（1）；或
（2）
（3）解：利用（2）中的规律，可得：
【解析】【解答】（2）
【分析】 (1)、 根据题中所给的两种互为有理化因式的例子，可写出有理化因式；
(2)、运用平方差公式，可以把复杂的有理化过程变得简单：
(3) 运用 (2) 的结论，用具体数值代替字母，正常代换即可。
47．观察、发现：====-1
（1）试化简： ；
（2）直接写出：= ；
（3）求值：+++…+ ．
【答案】（1）解：原式=
=
=；
（2）
（3）解：由（2）可知：
原式=-1++-+…+-
=-1+
=9．
【解析】【解答】解：（2） ；
故答案为：；
【分析】（1）把分子分母同乘，然后计算即可；
（2）把分子分母同乘，然后计算即可；
（3）根据（2）结论将原式化为-1++-+…+- ，再计算加减即可.
48．观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
…
（1）含n（n为正整数的关系式表示上述各式子的变形规律.并验证你的结论.
（2）利用上面的结论，求下列式子的值：
【答案】（1）解：根据题意得： ，
验证：左边＝ ＝ ＝ ＝右边；
（2）解：原式＝ ﹣1+ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）（ +1）
＝（ ﹣1）（ +1）
＝2008﹣1
＝2007.
【解析】【分析】（1）被开方数是两个相邻的数，即 ，它的有理化因式为 ；（2）由（1）得，原式＝（ ﹣1）（ +1），再根据平方差公式可得结果.
49．甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由图乙中的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1.
细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：
（ ）2＋1＝2，S1＝ ；（ ）2＋1＝3，S2＝ ；（ ）2＋1＝4，S3＝ ；….
（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律，并计算出OA10的长；
（2）求出 的值.
【答案】（1）解：∵OA1=1= ，OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，
∴OA22= =1+1=2，
∴OA2= ， ，
∵OA32= =（ ）2＋1＝3，
∴ ， ，
∵OA42= =（ ）2＋1＝4，
∴OA4=2， ，
，
∴ ， ，
∴OA102= =10，
∴OA10= ，
∴含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律为： ，OA10的长为 ；
（2）解：由（1）知： ，
∴ ， ， ， ， ，
∴ = = .
【解析】【分析】（1）根据勾股定理分别求出OA22、OA32，OA42及OA2、OA3、OA4得到OAn2及OAn对应的S值，再计算得到OA10；（2）由（1）知 ，分别求出S1、S2、S3、 、S10，将结果代入代数式计算即可.
50．小明在学习了“二次根式”后，发现一些含根号的代数式可以写成另一个根号的代数式的平方，如 .善于思考的小明进行了以下探索：
设 （其中a、b、m、n均为整数），则有 . ， .这样小明就找到了一种把类似 的代数式化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为整数时，若 ，用含m、n的代数式分别表示a、b，则： ， ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： .
（3）若 ，且a、m、n均为正整数，求a的值.
【答案】（1）m2＋3n2；2mn
（2）13；4；1；2
（3）解：由（1）可知：a＝m2＋3n2，4＝2mn，
∴a＝m2＋3n2，mn=2，
∵a、m、n均为正整数，
∴m=1，n=2或m=2，n=1，
∴a＝12＋3×22=13或a＝22＋3×12=7，即a=13或7.
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
又∵ ，
∴a＝m2＋3n2，b＝2mn；
故答案为：m2＋3n2，2mn；
（2）令m＝1，n＝2，则a＝m2＋3n2＝1＋3×4＝13，b＝2mn＝4，
∴13＋4 ＝（1＋2 ）2；
故答案为：13，4，1，2；
【分析】（1）将等式右边利用完全平方公式展开，根据题意表示出a与b即可；
（2） 开放性的命题，此题应该从等式的右边入手，令m=1，n=2填入，再将右边展开合并即可求出，根据题干的方法分别确定出a与b的值即可；
（3）利用（1）的结论，结合a、m、m均为正整数，求解即可.
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