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【50道选择题·专项集训】浙教版九年级下册第1章 解直角三角形
1．在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6，那么cosB的值是
A． B． C． D．
2．如图，在中，，点D和点E分别是边和上的点，，，，，则的长为（ ）
A．4.8 B．4.5 C．4 D．3.2
3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．某停车场入口栏杆如图，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置，已知，若栏杆的旋转角，则栏杆端点上升的垂直高度的长为（ ）
A． B． C． D．
5．计算sin 45°+cos45°的值为（ ）
A．1 B．2
C． D．2
6．如图所示，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18 m的地面上，若测角仪的高度为 1.5 m，测得教学楼的顶部A处的仰角为30°，则教学楼的高度是（ ）
A．55.5 m B．54 m C．19.5 m D．18 m
7．如图所示，在△ABC中，CA=CB=4，cos C=，则sin B的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，同学们为了测量伊通河两岸、两点间的距离，在河的一岸与垂直的方向上取一点，测得米，，则的长度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
9．如图，在平面直角坐标系中，有三点，则（ ）
A． B． C． D．
10．计算的值为( )
A． B． C． D．
11．如图，直角三角形中，，中线中线，且相交于，已知，则的长为（ ）
A． B． C． D．
12．在中，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，则的值是（ ）
A． B． C． D．
14．把一副三角尺如图所示拼在一起，其中边长是3，则的面积是（ ）
A． B．4 C． D．
15．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D在边AB上，DE⊥AB，交边BC于点E，EF⊥BC，交边AC于点F，GF⊥DE，交边DE于点G，设k＝，y＝GF，若，则y的取值范围是（ ）
A．0.4≤y≤25 B．0.8≤y≤2.7 C．0.9≤y≤3.6 D．1.1≤y≤3.8
16．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知BC＝6m，房顶A离地面EF的高度为6m，则tan∠ABC的值为（ ）
A． B． C． D．3
17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则tanB的值是（ ）
A． B． C． D．
18．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是（ ）
A．5 B． C．10- D．15-
19．下列说法中正确的是（ ）
A．在Rt△ABC中，若tanA＝，则a＝4，b＝3
B．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝3，b＝4，则tanA＝
C．tan30°＋tan60°＝1
D．tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°＋tan30°＝1＋
20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则tanA的值（ ）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
21．如图是教学用的直角三角板，边AC=30 cm，∠C=90°，tan∠BAC= ，则边BC的长为（ ）
A．30 cm B．20 cm C．10 cm D．5 cm
22．在△ABC中，AB=AC=3，BC=2，则cosB的值是（ ）
A．3 B． C．3 D．2
23．在△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，欲求∠A的值，最适宜的做法是（ ）
A．计算tanA的值求出
B．计算sinA的值求出
C．计算cosA的值求出
D．先根据sinB求出∠B，再利用90°-∠B求出
24．拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1∶ ，坝高BC=10 m，则坡面AB的长度是（ ）
A．15 m B．20 m C．10 m D．20 m
25．如图，一船向正北方向匀速行驶，在C处看见正西方两座相距10海里的灯塔A和B恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，在D处看见灯塔B在南偏西60°方向上，灯塔A在南偏西75°方向上，则该船的速度应该是（ ）海里/小时.
A．10 B．5 C．10 D．5
26．已知β为锐角，cos β≤ ，则β的取值范围为（ ）
A．30°≤β<90° B．0°<β≤60°
C．60°≤β<90° D．30°≤β<60°
27．用计算器比较tan 25°，sin 27°，cos 26°的大小关系是（ ）
A．tan 25°C．sin 27°28．如图，河岸AD、BC互相平行，桥AB垂直于两岸，从C处看桥的两端A、B，夹角∠BCA=50度，测得BC=45m，则桥长AB=（ ）m．
A． B．45 cos50° C． D．45 tan50°
29．Rt△ABC中，∠C=90°，a：b=3：4，运用计算器计算，∠A的度数（精确到1°）（ ）
A．30° B．37° C．38° D．39°
30．下列是张悦、王强和赵涵的对话，张悦：“从学校向西直走500米，再向北直走100米就到医院了”．王强：“从学校向南直走300米，再向西直走200米就到电影院了．”赵涵：“火车站在电影院正北方向的200米处．”，则医院与火车站相距（ ）
A．100 米 B．200米 C．300米 D．500米
31．如图，一艘油轮在海中航行，在A点看到小岛B在A的北偏东25°方向距离60海里处，油轮沿北偏东70°方向航行到C处，看到小岛B在C的北偏西50°方向，则油轮从A航行到C处的距离是（ ）海里．（结果保留整数）（参考数据： ≈1.41， ≈1.74， ≈2.45）
A．66.8 B．67 C．115.8 D．116
32．下列说法错误的是（ ）
A．OA的方向是北偏东40° B．OB的方同是北偏西75°
C．OC的方向是西南方向 D．OD的方向是南偏东40°
33．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且a=5，b=12，c=16，下面四个式中错误的有（ ）
①sinA= ；②cosA= ；③tanA= ；④sinB= ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
34．如果Rt△ABC中各边的长度都扩大到原来的2倍，那么锐角∠A的三角比的值（ ）
A．都扩大到原来的2倍 B．都缩小到原来的一半
C．没有变化 D．不能确定
35．如图，已知正方形ABCD的边长为1，若将边BC绕点B旋转90°后，得到正方形BC′D′C，连接AC、AD′，设∠BAC=α∠C′AD′=β，那么sinα+sinβ等于（ ）
A． B． + C． D．
36．二次函数y=﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左边），它的顶点为C点．连接AC、BC，则tan∠CAB的值是（ ）
A． B． C． D．2
37．在△ABC中，已知∠A，∠B都是锐角，且sinA=，tanB=1，则∠C的度数为（ ）
A．75° B．105° C．60° D．45°
38．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinB的值为（ ）
A． B． C． D．1
39．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB．则cos∠AOB的值等于（ ）
A． B． C． D．
40．在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，BC=1，AB=2，那么下列结论正确的是（ ）
A．sinA= B．tanA= C．cosB= D．cotB=
41．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若∠B=60°，则+的值为（ ）
A． B． C．1 D．
42．已知，将如图的三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处，使斜边CD∥AB．则∠α的余弦值为（ ）
A． B． C． D．1
43．α是锐角，且sinα＞，则α（ ）
A．小于30° B．大于30° C．小于60° D．大于60°
44．把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A′B′C′，那么锐角A、A′的余弦值的关系为（ ）
A．cosA=cosA′ B．cosA=3cosA′ C．3cosA=cosA′ D．不能确定
45．使 有意义的锐角x的取值范围是（ ）
A．x=45° B．x≠45°
C．45°＜x＜90° D．0°＜x＜45°
46．如图，在正方形中，点E、F分别在边上，连接，过点E作交于点H，交于点G，连接，若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
47． 如图，在中，，于点，点在线段上，点是边的中点，连接，作，点在边上，若，，则（ ）
A．当时，点与点重合 B．当时，
C．当时， D．当时，
48．如图，已知在矩形ABCD中，M是AD边的中点，BM与AC垂直，交直线AC于点N，连接DN，则下列四个结论中：①CN＝2AN；②DN＝DC；③tan∠CAD＝；④△AMN∽△CAB.正确的有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
49．如图，等边边长为，和的角平分线相交于点O，将绕点O逆时针旋转得到，交BC于点D，交AC于点E，则DE=（ ）
A．2 B． C． D．
50．如图，在 中， ， 为 上一点，连接 ，将 沿 翻折，点 恰好落在 上的点 处，连 .若 ， ，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
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【50道选择题·专项集训】浙教版九年级下册第1章 解直角三角形
1．在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6，那么cosB的值是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】如图，过A作AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC=BC=3，
在Rt△ABD中，AB=4，BD=3，
∴cosB==．
故选C．
【分析】
过A作AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到BD=DC=
BC=3，然后利用余弦的定义即可得到cosB的值．本题考查了解直角三角形：利用勾股定理和三角函数，通过已知条件求出直角三角形中未知的边或角的过程叫解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质．
2．如图，在中，，点D和点E分别是边和上的点，，，，，则的长为（ ）
A．4.8 B．4.5 C．4 D．3.2
【答案】D
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据锐角三角函数求出，再根据勾股定理求出，再根据三角形面积即可求出答案.
3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，过作于，则，
＝5．
．
故答案为：D
【分析】过作于，根据勾股定理可得AC=5，再根据锐角三角函数的定义即可求出答案.
4．某停车场入口栏杆如图，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置，已知，若栏杆的旋转角，则栏杆端点上升的垂直高度的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，过点D作于E，
由题意得O米，
在中，，，
∴栏杆端点A上升的垂直距离米，
故答案为：A．
【分析】过点D作于E，在中，利用正弦解题即可．
5．计算sin 45°+cos45°的值为（ ）
A．1 B．2
C． D．2
【答案】C
【解析】【解答】 解：
.
故答案为：C.
【分析】直接代入特殊角的三角函数值，然后再合并同类二次根式即可得出答案.
6．如图所示，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18 m的地面上，若测角仪的高度为 1.5 m，测得教学楼的顶部A处的仰角为30°，则教学楼的高度是（ ）
A．55.5 m B．54 m C．19.5 m D．18 m
【答案】C
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图所示：
∵在Rt△ADE中，∠ADE＝ 30° ，tan∠ADE=，DE＝CD＝ 18 m ，
∴AE＝DEtan∠ADE=18×=18（m），
又∵AB＝AE+BE，BE＝DC，DC＝1.5（m）
∴AB＝18+1.5＝19.5（m）．
故答案为：C.
【分析】 过点D作DE⊥AB于点E，再由正切的定义求出AC，再计算AB＝AC+DC的长即可．
7．如图所示，在△ABC中，CA=CB=4，cos C=，则sin B的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ACD中，∵cosC=，
∴
解得CD=1.
∵AC=CB=1，
∴AD=，BD=BC-CD=3.
在Rt△ABD中，AB=
∴sinB=
故答案为：D.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，先利用cosC=，求出CD，再利用勾股定理求出AD，AB，最后求出sinB.
8．如图，同学们为了测量伊通河两岸、两点间的距离，在河的一岸与垂直的方向上取一点，测得米，，则的长度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AC=200m，∠ACB=α，
tan∠ACB=tanα=，
∴AB=200·tanα米.
故答案为：A.
【分析】根据正切的定义，在Rt△ABC中列式变形即可求解.
9．如图，在平面直角坐标系中，有三点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：过C作CD⊥AB于点D，如图：
∵， ，
∴，AB//x轴，
.
故答案为：C.
【分析】构造含∠BAC的直角三角形，再根据锐角三角函数的定义计算即可.
10．计算的值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】．
故答案为：C．
【分析】代入特殊角三角函数值，根据二次根式和绝对值的性质化简即可．
11．如图，直角三角形中，，中线中线，且相交于，已知，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如下图，连接，
∵，是边上的中线，是边上的中线，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵中线中线，
∴即，
解得，（负值舍去），
故答案为：B.
【分析】连接，即可得到，进而求得，得到，，，然后根据勾股定理解题即可．
12．在中，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵cos∠B=，∠B=35°，AB=7，
∴BC=AB·cos∠B=7cos35°.
故答案为：B.
【分析】根据三角函数的概念可得cos∠B=，据此解答.
13．如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图所示，，则，
∴，
故答案为：A．
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再利用正弦的定义可得。
14．把一副三角尺如图所示拼在一起，其中边长是3，则的面积是（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥DE交DC的延长线于点E，如图，
由题意得，AB=AC=3，∠CAB=90°，
∴ BC=，
∵ ∠CBD=30°，
∴ CD=tan∠CBD×BC=，
∵ ∠ACE=45°，AE⊥DE，
∴ AE=，
∴ △ACD的面积==.
故答案为：C.
【分析】过点A作AE⊥DE交DC的延长线于点E，由等腰直角三角形性质及勾股定理可得BC，再根据∠CBD的正切函数及特殊锐角三角函数值可得CD，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得AE，再根据三角形的面积公式，即可求得.
15．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D在边AB上，DE⊥AB，交边BC于点E，EF⊥BC，交边AC于点F，GF⊥DE，交边DE于点G，设k＝，y＝GF，若，则y的取值范围是（ ）
A．0.4≤y≤25 B．0.8≤y≤2.7 C．0.9≤y≤3.6 D．1.1≤y≤3.8
【答案】C
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB＝6，∠B＝∠C＝60°，
∵DE⊥AB，EF⊥BC，GF⊥DE，
∴∠EDB＝∠FEC＝∠FGE＝90°，
∴∠BED＝30°，
∴∠FEG＝60°，
在Rt△FEG中，
∵sin∠FEG＝ ，
∴y＝sin60° FE＝ FE，
在Rt△FEG中，
∵sinC＝ ，
∴FE＝sin60° FC＝ FC，
∴y＝ FC，
∵k＝ ，
∴AF＝6k，
∴FC＝6-6k，
∴y＝ （6-6k）＝- k+ ，
当k＝ 时，y＝ ；当k＝ 时，y＝ ，
∵ ≤k≤ ，
∴ ≤y≤ .
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的性质可得AC＝AB＝6，∠B＝∠C＝60°，由垂直的概念可得∠EDB=∠FEC=∠FGE＝90°，则∠BED＝30°，∠FEG＝60°，根据三角函数的概念可得y=FE，FE=FC，则y＝FC，AF＝6k，FC＝6-6k，y＝(6-6k)＝-k+，分别求出k＝、对应的y的值，进而可得y的范围.
16．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知BC＝6m，房顶A离地面EF的高度为6m，则tan∠ABC的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图，
∵它是一个轴对称图形，
∴AB＝AC，
∵AD⊥BC，
∴BD＝ BC＝3（m），AD＝6-4＝2cm，
∴tan∠ABC＝ ＝ .
故答案为：A.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据轴对称的性质可得AB＝AC，结合等腰三角形的性质可得BD＝BC＝3m，则AD＝2cm，然后利用三角函数的概念进行计算.
17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则tanB的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴sinA＝＝，tanB＝，a2＋b2＝c2.
∵sinA＝，设a＝3x，则c＝5x，结合a2＋b2＝c2得b＝4x.
∴tanB＝＝＝.
故答案为：C.
【分析】由于sinA＝＝，可设a＝3x，则c＝5x，由勾股定理求出b＝4x，根据tanB＝即可求解.
18．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是（ ）
A．5 B． C．10- D．15-
【答案】D
【解析】【解答】解：过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝，
∵AB∥CF，
∴BM＝BC×sin30°＝×＝，
CM＝BC×cos30°＝15，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝，
∴CD＝CM-MD＝15-．
故答案为：D．
【分析】过点B作BM⊥FD于点M，先利用解直角三角形的方法求出BM和CM的长，再利用线段的和差求出CD的长即可。
19．下列说法中正确的是（ ）
A．在Rt△ABC中，若tanA＝，则a＝4，b＝3
B．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝3，b＝4，则tanA＝
C．tan30°＋tan60°＝1
D．tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°＋tan30°＝1＋
【答案】B
【解析】【解答】解：A．在Rt△ABC中，若tanA=，由于没有指明直角，也没有给出具体某条边的长度，所以无法确定边长，故A不符合题意．
B．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝3，b＝4，则tanA＝，故B符合题意．
C．tan30°＋tan60°=，故C不符合题意，
D．tan75°=tan（45°+30°）==，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据锐角三角形函数的定义及特殊角三角函数值逐一解答即可.
20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则tanA的值（ ）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
【答案】A
【解析】【解答】解：∵三角函数值与对应边的比值有关，
∴各边都扩大5倍后，tanA的值不变.
故答案为：A.
【分析】三角函数值的大小只与夹角的大小有关，与边的长短无关.
21．如图是教学用的直角三角板，边AC=30 cm，∠C=90°，tan∠BAC= ，则边BC的长为（ ）
A．30 cm B．20 cm C．10 cm D．5 cm
【答案】C
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AC=30 cm，∠C=90°，tan∠BAC=，
则BC=AC×tan∠BAC=30×=10cm
故答案为：C。
【分析】根据正切函数可得tan∠BAC=，代入相关值即可得出。
22．在△ABC中，AB=AC=3，BC=2，则cosB的值是（ ）
A．3 B． C．3 D．2
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过A作BC上的高AD，
∵AB=AC=3，
∴BD=BC=1，
在Rt△ABD中，
∴cosB=
故答案为：B。
【分析】∠B所在的三角形中没有直角三角形，则需要构造，可过A作BC上的高AD，根据等腰三角形的“三线合一”定理可得BD=BC=1，则可求出cosB。
23．在△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，欲求∠A的值，最适宜的做法是（ ）
A．计算tanA的值求出
B．计算sinA的值求出
C．计算cosA的值求出
D．先根据sinB求出∠B，再利用90°-∠B求出
【答案】C
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，
则AB为斜边，且AC为∠A的邻边，
根据余弦函数的定义可得cos A=，
故答案为：C。
【分析】△ABC是直角三角形，则直接运用三角函数的定义；题中AB是斜边，AC是∠A的邻边，则直接求出∠A的余弦值。
24．拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1∶ ，坝高BC=10 m，则坡面AB的长度是（ ）
A．15 m B．20 m C．10 m D．20 m
【答案】D
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，因为坡比BC：AC=1：，BC=10 m
所以AC=10m
则AB=m
故答案为：D。
【分析】考查坡比的概念，坡比是坡角的正切值。
25．如图，一船向正北方向匀速行驶，在C处看见正西方两座相距10海里的灯塔A和B恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，在D处看见灯塔B在南偏西60°方向上，灯塔A在南偏西75°方向上，则该船的速度应该是（ ）海里/小时.
A．10 B．5 C．10 D．5
【答案】A
【解析】【解答】根据题意得：AB=10海里，∠ADC=75°，∠BDC=60°，DC⊥AC，∴∠DBC=30°，∠BDA=∠A=15°，∴BD=AB=10海里，∵DC⊥AC，∴在Rt△BDC中，DC=BD·sin ∠DBC=10× =5(海里)，∵从C到D行驶了半小时，∴速度为5÷ =10(海里/小时)，
故答案为：A。
【分析】求速度，则需要求出CD的长度；由方位角可得∠ADC=75°，∠BDC=60°，则∠DBC=30°，∠BDA=∠A=15°，所以BD=AB，然后在Rt△BDC中，求出CD即可。
26．已知β为锐角，cos β≤ ，则β的取值范围为（ ）
A．30°≤β<90° B．0°<β≤60°
C．60°≤β<90° D．30°≤β<60°
【答案】C
【解析】【解答】解：当角度是锐角时，余弦函数是随着角度的增加而减小的，
因为cos β≤=cos60°，
所以60°≤cosβ≤90°，
故答案为：C。
【分析】考查余弦函数的增减性：当0°<α<90°，则cosα随着α的增大而减小。
27．用计算器比较tan 25°，sin 27°，cos 26°的大小关系是（ ）
A．tan 25°C．sin 27°【答案】C
【解析】【解答】解：因为sin27°tan 25°≈0.4663，
cos25°>cos 30°=，
所以sin 27°故答案为：C。
【分析】根据三角函数不能比较出两个三角函数值的就需要用计算器计算更为快捷。
28．如图，河岸AD、BC互相平行，桥AB垂直于两岸，从C处看桥的两端A、B，夹角∠BCA=50度，测得BC=45m，则桥长AB=（ ）m．
A． B．45 cos50° C． D．45 tan50°
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可得，
∠ABC=90°，BC=45m，∠BCA=50°，
∴AB=BC tan50°=45 tan45°，
故选D．
【分析】根据锐角三角函数可以求得AB的长，本题得以解决．
29．Rt△ABC中，∠C=90°，a：b=3：4，运用计算器计算，∠A的度数（精确到1°）（ ）
A．30° B．37° C．38° D．39°
【答案】B
【解析】【解答】∵a：b=3：4，
∴设a=3x，b=4x，
由勾股定理知，c=5x．
∴sinA=a：c=3：5=0.6，
运用计算器得，∠A=37°．
故选B．
【分析】根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出各边的长，然后求出∠A．
30．下列是张悦、王强和赵涵的对话，张悦：“从学校向西直走500米，再向北直走100米就到医院了”．王强：“从学校向南直走300米，再向西直走200米就到电影院了．”赵涵：“火车站在电影院正北方向的200米处．”，则医院与火车站相距（ ）
A．100 米 B．200米 C．300米 D．500米
【答案】D
【解析】【解答】解：作DE⊥BE于点E，如右图所示，
∵OA=500米，AB=100米，OC=300米，CD=200米，
∴DE=300米，BE=400米，
∴BD= 米，
故选D．
【分析】根据题意可以画出相应的图形，然后根据勾股定理可以求得BD的长，从而可以解答本题．
31．如图，一艘油轮在海中航行，在A点看到小岛B在A的北偏东25°方向距离60海里处，油轮沿北偏东70°方向航行到C处，看到小岛B在C的北偏西50°方向，则油轮从A航行到C处的距离是（ ）海里．（结果保留整数）（参考数据： ≈1.41， ≈1.74， ≈2.45）
A．66.8 B．67 C．115.8 D．116
【答案】B
【解析】【解答】解：过B作BD⊥AC于D，则∠BDA=∠BDC=90°，
由题意知：∠BAC=70°﹣25°=45°，
∵AM∥CN，
∴∠MAC+∠NCA=180°，
∴∠NCA=180°﹣70°=110°，
∴∠BCA=110°﹣50°=60°，
∵AB=60海里，∠BAD=45°，
∴AD=AB×cos45°=30 海里，BD=AD=30 海里，CD= =10 海里，
30 +10 ≈30×1.41+10×2.45≈67
∴AC=AD+CD=67海里，
故选B．
【分析】过B作BD⊥AC于D，求出∠BAC和∠BCA，解直角三角形求出AD、BD、CD，即可求出答案．
32．下列说法错误的是（ ）
A．OA的方向是北偏东40° B．OB的方同是北偏西75°
C．OC的方向是西南方向 D．OD的方向是南偏东40°
【答案】A
【解析】【解答】解：∵OA的方向是北偏东50°，故A说法错误，
故选：A．
【分析】根据图形中各条射线所形成的角，可得答案．
33．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且a=5，b=12，c=16，下面四个式中错误的有（ ）
①sinA= ；②cosA= ；③tanA= ；④sinB= ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】【解答】解：∵a=5，b=12，c=16，
∴a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形，
∴四个式都不对，
故选D．
【分析】根据三角函数的定义即可得到结论．
34．如果Rt△ABC中各边的长度都扩大到原来的2倍，那么锐角∠A的三角比的值（ ）
A．都扩大到原来的2倍 B．都缩小到原来的一半
C．没有变化 D．不能确定
【答案】C
【解析】【解答】解：∵各边的长度都扩大两倍，
∴扩大后的三角形与Rt△ABC相似，
∴锐角A的各三角函数值都不变．
故选C．
【分析】根据三边对应成比例，两三角形相似，可知扩大后的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答．
35．如图，已知正方形ABCD的边长为1，若将边BC绕点B旋转90°后，得到正方形BC′D′C，连接AC、AD′，设∠BAC=α∠C′AD′=β，那么sinα+sinβ等于（ ）
A． B． + C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=1，
∴AC= ，
∵将边BC绕点B旋转90°后，得到正方形BC′D′C，
∴BC′=C′D′=1，
∴AC′=2，
∴AD′= ，
∴sinα+sinβ= + = ，
故选D．
【分析】由四边形ABCD是正方形，得到AB=BC=1，根据勾股定理得到AC= ，由旋转的性质得到BC′=C′D′=1，根据勾股定理得到AD′= ，然后根据三角函数的定义即可得到结论．
36．二次函数y=﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左边），它的顶点为C点．连接AC、BC，则tan∠CAB的值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【解析】【解答】解：对于抛物线y=﹣x2﹣2x+3，令y=0，得﹣x2﹣2x+3=0，解得x=﹣3或1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，
∴顶点C（﹣1，4），如图，设对称轴交x轴于D．
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AD=2，CD=4，
∴tan∠CAB= =2，
故选D．
【分析】利用待定系数法求出A、B、C三点坐标，设对称轴交x轴于D，在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AD=2，CD=4，根据tan∠CAB= ，计算即可．
37．在△ABC中，已知∠A，∠B都是锐角，且sinA=，tanB=1，则∠C的度数为（ ）
A．75° B．105° C．60° D．45°
【答案】B
【解析】【解答】解：由∠A，∠B都是锐角，且sinA= ，tanB=1，得
A=30°，B=45°．
由三角形的内角和，得
C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣30°﹣45°=105°，
故选：B．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据三角形的内角和，可得答案．
38．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinB的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】【解答】解：由勾股定理得，AB=，
所以，sinB= ．
故选B．
【分析】根据勾股定理列式求出AB，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．
39．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB．则cos∠AOB的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：连接AB，
由图可知：OA=0B，AO=AB
∴OA=AB=OB，即三角形OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴cos∠AOB=cos60°=．
故选B．
【分析】根据作图可以证明△AOB是等边三角形，则∠AOB=60°，据此即可求解．
40．在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，BC=1，AB=2，那么下列结论正确的是（ ）
A．sinA= B．tanA= C．cosB= D．cotB=
【答案】D
【解析】【解答】解：如图所示：
∵∠ACB=90°，BC=1，AB=2，
∴AC= ，
∴sinA=，故选项A错误；
tanA==，故选项B错误；
cosB=，故选项C错误；
cotB=，正确．
故选：D．
【分析】直接利用锐角三角函数关系分别求出即可．
41．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若∠B=60°，则+的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】解：过A点作AD⊥BC于D，在Rt△BDA中，由于∠B=60°，
∴DB=，AD=c，
在Rt△ADC中，DC2=AC2﹣AD2，
∴（a﹣）2=b2﹣c2，
即a2+c2=b2+ac，
∴．
故选C．
【分析】先过点A作AD⊥BC于D，构造直角三角形，结合∠B=60°，利用sin60°=，cos60°=可求DB=，AD=c，把这两个表达式代入到另一个Rt△ADC的勾股定理表达式中，化简可得即a2+c2=b2+ac，再把此式代入通分后所求的分式中，可求其值等于1．
42．已知，将如图的三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处，使斜边CD∥AB．则∠α的余弦值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】【解答】解：∵CD∥AB，
∴∠AOC=∠OCD=30°，∠α=180°﹣30°﹣90°=60°，
∴cosα=cos60°= ．
故选A．
【分析】根据平行线的性质及特殊角的三角函数值解答．
43．α是锐角，且sinα＞，则α（ ）
A．小于30° B．大于30° C．小于60° D．大于60°
【答案】D
【解析】【解答】解：∵sin60°=，
而锐角的正弦是增函数，且sinα＞，
∴α＞60°．
故选D．
【分析】首先明确sin60°=，再根据锐角的正弦是增函数进行分析．
44．把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A′B′C′，那么锐角A、A′的余弦值的关系为（ ）
A．cosA=cosA′ B．cosA=3cosA′ C．3cosA=cosA′ D．不能确定
【答案】A
【解析】【解答】解：根据锐角三角函数的概念，知
把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍，那么它们的余弦值不变．
故选A．
【分析】锐角三角函数即为直角三角形中有关边的比值．
45．使 有意义的锐角x的取值范围是（ ）
A．x=45° B．x≠45°
C．45°＜x＜90° D．0°＜x＜45°
【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意，得
tanx﹣1＞0，即tanx＞1．
又tan45°=1，正切值随着角的增大而增大，得
x＞45°．
故选C．
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件讨论解答．
46．如图，在正方形中，点E、F分别在边上，连接，过点E作交于点H，交于点G，连接，若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设EH交AF于N，如图所示，
∵四边形ABCD是正方形，
，DC=BC，
，
，即是等腰直角三角形，
∵，
∴，
，
，
∴四边形ABEH是矩形，
，，
，
，
，
，
∴GH=DF=1，
，
在中，，
．
故选：B．
【分析】设EH交AF于N，证三角形CEF是等腰直角三角形，运用勾股定理求出CE的长，根据ASA证明，根据勾股定理求得FG，最后根据正弦的定义求解即可．
47． 如图，在中，，于点，点在线段上，点是边的中点，连接，作，点在边上，若，，则（ ）
A．当时，点与点重合 B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】C
【解析】【解答】解：当时，如图，作于，于．
在中，
，，，
，
，
，
．
∵，
∴点Q为中点，而点M为中点，
∴为中位线，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
在中，，
设，则，
∵，于，于，
∴，
而，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或，
当时，，而，
∴，
∴点P与点D不重合，A错误；
此时，
∴，B错误；
由得，
∴，D错误；
如图，作于，于．
在中，，，，
，
，
，
．
，，
，
当时，，
，
，，
，
，
，
，设，，
，
，
，
，
，
，
解得，
，
，
，
，
，
C正确；
故答案为：C．
【分析】作于，于，先利用勾股定理求出，再根据三角形的面积求出，，然后利用以及，得到进行求解即可．
48．如图，已知在矩形ABCD中，M是AD边的中点，BM与AC垂直，交直线AC于点N，连接DN，则下列四个结论中：①CN＝2AN；②DN＝DC；③tan∠CAD＝；④△AMN∽△CAB.正确的有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【解析】【解答】解：∵AD//BC，
∴△AMN∽△CBN，
∴，
∵M是AD边的中点，
∴AM＝MD＝
AD＝
BC，
∴，
∴CN＝2AN，故①正确；
如图，过D作DH//BM交AC于G，
∵DH//BM，BM⊥AC，
∴DH⊥AC，
∵DH//BM，AD//BC，
∴四边形BMDH是平行四边形，
∴BH＝MD＝
AD＝
BC，
∴BH＝CH，
∵∠BNC＝90°，
∴NH＝HC，
∵DH⊥AC，
∴DH是NC的垂直平分线，
∴DN＝CD，故②正确；
∵AD//BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵∠BAC+∠ACB＝90°，∠DAC+∠AMB＝90°，
∴∠BAC＝∠AMB，
∵∠BAM＝∠ABC，
∴△ABM∽△BCA，
∴，
∴AB2＝
BC2，
∴AB＝
BC，
∵tan∠DAC＝tan∠ACB＝
，
∴tan∠DAC＝
，故③错误，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵∠ABC＝∠ANM＝90°，
∴△AMN∽△CAB，故④正确；
故答案为：C.
【分析】由平行线可证△AMN∽△CBN，结合M是AD边的中点，可得
=
，可得CN=2AN据此判断①正确；如图，过D作DH//BM交AC于G，可证四边形BMDH是平行四边形，可得BH＝MD＝
AD＝
BC，即得BH＝CH，可求出DH是NC的垂直平分线，可得DN＝CD，故②正确；证明△ABM∽△BCA，可得
，据此可求出AB＝
BC，从而求出tan∠DAC＝tan∠ACB＝
=
，据此判断③错误；由矩形的性质可得∠DAC＝∠ACB，∠ABC＝∠ANM＝90°，可证△AMN∽△CAB，据此判断④正确.
49．如图，等边边长为，和的角平分线相交于点O，将绕点O逆时针旋转得到，交BC于点D，交AC于点E，则DE=（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：过O点作OH⊥BC于H，OB1与BC交于点M，过M作MF⊥BO于F，如下图所示：
∵△ABC为等边三角形，且OB、OC分别为∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠1=∠ABC=30°，∠3=∠ACB=30°，
∴△OBC为等腰三角形，由“三线合一”可知：
BH=CH=BC=，
∴BO=BH=4，
∵绕点O逆时针旋转得到，
∴∠2=30°=∠1，
∴△OBM为等腰三角形，由“三线合一”可知：
BF=BO=2，
∴MO=BM=BF=，
∴MB1=OB1-OM=OB-OM=，
又由旋转可知∠B=∠B1=30°，且对顶角∠BMO=∠DMB1=120°，
∴∠MDB1=180°-∠B1-∠DMB1=180°-30°-120°=30°，
∴△MB1D为等腰三角形，
∴MD=MB1=，
∴CD=BC-MD-BM=，
∵对顶角∠EDC=∠MDB1=30°，且∠ACB=60°，
∴∠DEC=180°-∠EDC-∠ACB=90°，
∴△CDE为30°、60°、90°直角三角形，
∴DE=CD=.
故答案为：B.
【分析】过O点作OH⊥BC于H，OB1与BC交于点M，过M作MF⊥BO于F，根据等边三角形的性质以及角平分线的概念可得∠1=∠ABC=30°，∠3=∠ACB=30°，根据等腰三角形的性质可得BH=CH=，然后求出BO，根据旋转的性质可得∠2=30°=∠1，由等腰三角形的性质可得BF=BO=2，然后求出MO、MB1，易得△MB1D为等腰三角形，则MD=MB1，由CD=BC-MD-BM可得CD，推出△CDE为直角三角形，然后根据三角函数的概念进行计算.
50．如图，在 中， ， 为 上一点，连接 ，将 沿 翻折，点 恰好落在 上的点 处，连 .若 ， ，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，记 交于 过 作 于 过 作 于
中 上的高相等，
， ，
，
由对折可得：
是 的中垂线，
，
设 则
整理得：
检验：当 时， 不合题意舍去，取
故答案为：A
【分析】设BD、CE交于N，过D作DM⊥AB于M，过D作DH⊥BC于H，先利用角平分线的性质证明：，再求解再求解AM = DM = AD.cos45°=，由tan∠ABD= ， 求解BM=，AB=14，再证明BD时CE的中垂线，由， 设EN=x 则BN=3x，求解BE=可得ME=-x， 由， 可得CD=x=DE，再利用勾股定理列方程，解方程并检验即得答案.
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