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【50道综合题·专项集训】浙教版九年级下册第1章 解直角三角形
1．计算
（1）计算：；
（2）已知，且a+b＝20，求a，b的值.
2．某沿海城市O，每年都会受到几次台风侵袭，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在数十千米范围内形成气旋风景，有极强的破坏力.某次，据气象观察，距该城市正南方向的A处有一台风中心，中心最大风力为12级，每远离台风中心 千米，风力就会减弱一级，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东45°方向向B处移动，且台风中心风力不变，若城市受到风力达到或超过6级，则称受台风影响.
（注：结果四舍五入保留整数，参考数据： ， ）
（1）若该城市受此次台风影响共持续了10小时（即台风中心从C处移动到D处），那么受到台风影响的最大风力为几级
（2）求该城市O到A处的距离.
3．“为了安全，请勿超速”，如图所示是一条已经建成并通车的公路，且该公路的某直线路段MN上限速17m/s，为了检测来往车辆是否超速，交警在MN旁设立了观测点C．若某次从观测点C测得一汽车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200m．
（1）求观测点C到公路MN的距离；
（2）请你判断该汽车是否超速？（参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
4．如图，AB和CD两幢楼地面距离BC为30 米，楼AB高30米，从楼AB的顶部点A测得楼CD的顶部点D的仰角为45°．
（1）求∠CAD的大小；
（2）求楼CD的高度（结果保留根号）．
5．为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，我省森林保护区开展了寻找古树活动．如图，发现古树AB是直立于水平面，为测量古树AB的高度，小明从古树底端B出发，沿水平方向行走了26米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC=BC.在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得古树顶端A点的仰角∠AEF为15°（点A、B、C、D在同一平面内），斜坡CD的坡度（或坡比）i=1︰2.4.
（1）求斜坡CD的高；
（2）求古树AB的高？（已知sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15≈0.27°）
6．我国南海某海域有一个固定侦测点A，该侦测点的可侦测半径为 海里．某天，在点A侦测到西北方向上的点C处有一可疑船恰好进入侦测区域，且往正东方向匀速航行，我方与其进行多次无线电沟通无果后，可疑船只于2小时后恰好在D处离开侦测区域，我方立即通知（通知时间忽略不计）位于点A北偏东37°方向，且与A相距50海里的B处的军舰往正南方向对可疑船只进行侦测拦截．
（1）求可疑船只的速度及点B到直线CD的距离；
（2）若军舰航行速度为20海里/时，可侦测半径为10海里，问军舰最快几小时可以侦测到可疑船只？（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
7．如图，在 中， ．
（1）用尺规作图法作 的平分线 ，交 于点 ；（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）若 ，求 ．
8．如图，某汽车司机在平坦的公路上行驶，前面出现两个建筑物，在A处司机能看到甲建筑物一部分（把汽车看成一个点），这时视线与公路夹角为30°；
（1）汽车行驶到什么位置时，司机刚好看不到甲建筑物 请在图中标出这个D点；
（2）若CF的高度40米，当刚好看不到甲建筑物时，司机的视线与与公路夹角为45°，请问汽车行驶了多少米
9．在△ABC中，AB＝8，BC＝6，∠B为锐角且cosB＝ ．
（1）求△ABC的面积．
（2）求tanC．
10．如图1是超市的手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为5 cm，两个车轮的圆心的连线AB与地面平行，测得支架AC＝BC＝60cm，AC、CD所在直线与地面的夹角分别为30°、60°，CD＝50cm.
（1）求扶手前端D到地面的距离；
（2）手推车内装有简易宝宝椅，EF为小坐板，打开后，椅子的支点H到点C的距离为10 cm，DF＝20cm，EF∥AB，∠EHD＝45°，求坐板EF的宽度.（本题答案均保留根号）
11．如图1，AB⊥BC，分别过点A，C作BM的垂线，垂足分别为M，N．
（1）求证：BM·BC＝AB·CN；
（2）若AB＝BC．
①如图2，若BM＝MN，过点A作AD∥BC交CN的延长线于点D，求DN∶CN的值；
②如图3，若BM＞MN，延长BN至点E，使BM＝ME，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F，若E是CF的中点，且CN＝1，直接写出线段AF的长.
12．
（1）完成下列表格，并回答下列问题，
锐角
（2）当锐角 逐渐增大时， 的值逐渐 ， 的值逐渐 ， 的值逐渐 ．
（3） ， ；
（4） ；
（5） ；
（6）若 ，则锐角 ．
13．如图，育英学校前方有一斜坡AB长60米，坡度i＝1： ，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示），修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE.
（1）若修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，则平合DE最长是多少米？
（2）学校教学楼GH距离坡脚A点27米远（即AG＝27米），小明在D点测得教学楼顶部H的仰角（即∠HDM）为30°.点B、C、A、G、H在同一个平面上，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问：教学楼GH高为多少米？（结果精确到0.1米，参考数据 ≈1.732）
14．超速行驶是引发交通事故的主要原因。上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图。A0是一条东西方向的路，观测点设在到这条路距离为120米的点P处。这时，一辆小轿车由西向东匀速行使，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为5秒且∠APO=60°，∠BPO=45°.
（1）求A、B之间的路程：
（2）请判断此车是否超过了这条路每小时65千米的限制速度 请说明理由.（参考数据： ≈1.414， ≈1.73）.
15．如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°，已知原传送带AB长为4 米．
（1）求新传送带AC的长度；
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点5米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．（参考数据： ≈1.4， ≈1.7．）
16．在△ABC中，AB=AC=2，高BE= ，求∠BAC.已知两边解直角三角形的两种类型：
图1 图2
（1）在Rt△ABC中，已知两直角边a，b，如图1，则c= ，由tanA= 可求∠A，则∠B=90°-∠A.
（2）在Rt△ABC中，已知斜边和一直角边，如c，a，如图2，则b= ，由sinA= 可求∠A，则∠B=90°-∠A.
17．如图，E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上.
（1）求证：△ABF∽△DFE；
（2）若sin∠DFE= ，求tan∠EBC的值.
18．如图：
（1）已知sinα+cosα= ，求sinαcosα.
（2）已知α为锐角，tanα=2，求 的值.
19．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，DE=3，BC=9.
（1）求 的值；
（2）若BD=10，求sinA的值.
20．如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA= ，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．
（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠ABE的值．
21．如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于A．
（1）求tan∠BOA的值；
（2）将点B绕原点逆时针方向旋转90°后记作点C，求点C的坐标．
22．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=24，点P、D分别在边BC、AC上，AP2=AD AB，
（1） ∽ ；
（2）求∠APD的正弦值．
23．如图，某大楼的顶部有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知sin∠BAH= ，AB=10米，AE=15米．
（1）求点B距水平面AE的高度BH；
（2）求广告牌CD的高度．
24．如图1，是一种折叠椅，忽略其支架等的宽度，得到它的侧面简化结构图（图2），支架与坐板均用线段表示．若坐板CD平行于地面，前支撑架AB与后支撑架OF分别与CD交于点E，D，ED=25cm，OD=20cm，DF=40cm，∠ODC=60°，∠AED=50°．
（1）求两支架着地点B，F之间的距离；
（2）若A、D两点所在的直线正好与地面垂直，求椅子的高度．
（结果取整数，参数数据：sin60°=0.87，cos60°=0.5，tan60°=1.73，sin50°=0.77，cos50°=0.64，tan50°=1.19，可使用科学计算器）
25．如图，已知斜坡AB长为80米，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．
（1）若修建的斜坡BE的坡角为45°，求平台DE的长；（结果保留根号）
（2）一座建筑物GH距离A处36米远（即AG为36米），小明在D处测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，求建筑物GH的高度．（结果保留根号）
26．如图1，点O在线段AB上，AO＝2，OB＝1，OC为射线，且∠BOC＝60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒．
（1）当t＝ 时，则OP＝ ，S△ABP＝ ；
（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；
（3）如图2，当AP＝AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP＝∠B，求证：AQ·BP＝3．
27．如图，已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6．
（1）求△ABC的面积；
（2）求tanB的值．
28．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D点，AB=22，CD=8，tanA= ，求：
（1）BD的长为多少？
（2）sinB的值？
29．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．
（1）若AD=2，求AB；
（2）若AB+CD=2 +2，求AB．
30．如图，已知在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB=2，若将△ABC翻折，折痕EF分别交边AC、边BC于点E和点F（点E不与A点重合，点F不与B点重合），且点C落在AB边上，记作点D．过点D作DK⊥AB，交射线AC于点K，设AD=x，y=cot∠CFE，
（1）求证：△DEK∽△DFB；
（2）求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）联结CD，当 = 时，求x的值．
31．计算与解不等式
（1）计算：（3﹣π）0+2tan60°+（﹣1）2015﹣ ．
（2）解不等式组： ，并把它的解在数轴上表示出来．
32．如图1是某配电房的实物图，图2是它的部分示意图.已知，，，，参考数据：，，.
（1）根据以上信息可以求出的量有 （填序号）
①点A到的距离②的长③矩形的面积④点B到的距离
（2）选择（1）中的一个可求的量，写出求解过程.（结果精确到0.1m）
33．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方.某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，，此时各叶片影子在点M右侧成线段，测得，，设光线与地面夹角为α，测得
（1）求点O，M之间的距离.
（2）转动时，求叶片外端离地面的最大高度.
34．湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援.位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援.计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上.已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且B在C的正南方向900米处.
（1）求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：）；
（2）救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由.（接送游客上下船的时间忽略不计）
35．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，sinB＝，tanA＝，AC＝．
（1）求∠B的度数和AB的长．
（2）求tan∠CDB的值．
36．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（-2，1），B（-1，4），C（-3，2）.
（1）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A1B1C1；
（2）直接写出C1点坐标 ；若线段AB上点D的坐标为（a，b），则对应的点D1的坐标为 ；
（3）求出∠C1A1B1的正切值为 .
37．今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力.如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，在A处测得C港在北偏东45°方向上，在B处测得C港在北偏西60°方向上，且 千米，以台风中心为圆心，周围600千米以内为受影响区域.
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？（结果保留整数，参考数据 ， ， ）
38．在直角梯形ABCD中，，，，，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F．
（1）求证：；
（2）求的值．
39．已知在中，的对边分别是，关于x的方程有两个相等实根.
（1）试判断的形状；
（2）若，求.
40．如图，小松在斜坡 坡脚 处测得山坡对面一水泥厂烟囱顶点 的仰角为67.5°，沿山坡向上走到 处再测得烟囱顶点 的仰角为53°.已知 米，且 、 在同一条直线上，山坡坡度 .
（1）求小松所在位置点 的铅直高度.
（2）求水泥厂烟囱 的高.（测倾器的高度忽略不计，参考数据： ， ， ， ， ， ）
41．如图，将一个直角三角形形状的楔子（Rt△ABC）从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底，可以使木桩向上运动.如果楔子底面的倾斜角为10°，其高度AC为1.8厘米，楔子沿水平方向前进一段距离（如箭头所示），留在外面的楔子长度HC为3厘米.
（sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，结果精确到0.1厘米）
（1）求BH的长；
（2）木桩上升了多少厘米？
42．如图，AB∥CD，∠ACB＝∠BDC＝90°，CE⊥AB于点E，DF⊥CB于点F.
（1）求证：△ABC∽△BCD；
（2）已知tan∠ABC＝2，求 的值.
43．如图，为了测出旗杆AB的高度，在旗杆前的平地上一点C，测得旗杆顶部的仰角为45°，在C、B之间选择一点D（B，C，D三点共线），测得旗杆顶部的仰角为75°，且CD=8米.
（1）求D到CA的距离；
（2）求旗杆AB的高度（保留根号）.
44．如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE＝AF.
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）若∠ABC＝60°，BD＝6，求DE的长.
45．如图，某市郊景区内一条笔直的公路 经过 、 两个景点，景点 位于景点 的北偏东 方向，景点 与景点 距离为4km．景区管委会又开发了风景优美的景点 ，经测量景点 位于景点 的北偏东 方向，位于景点 的正北方向.
（1）求景点 与景点 的距离；
（2）为方便游客到景点游玩，景区管委会准备由景点 向公路 修建一条距离最短的公路，不考虑其它因素，求出这条公路的长．（结果保留根号）
46．如图，在等腰直角三角形中，，，D、E分别是、上一点，且；
（1）如图1，当时，求的长度．
（2）如图2，过点E作，交于点F，作，交于点G，求证：．
（3）连接，当的长度最小时，求的面积．
47．如图，在菱形中，，
（1）连接，求的值；
（2）点E以每秒2个单位长度的速度从B点出发向点C运动，同时点Q以每秒个单位长度的速度从D点出发向点B运动，当其中一点达到终点，另外一点随之停止运动．
①连接，能否为等腰三角形？如果能，求点E，Q的运动时间；如果不能，请说明理由；
② 连接，当时，求的值．
48．如图，E为正方形中边上的一个动点，，以为边画正方形与边交于点H.
（1）当E为边的中点时，求的长；
（2）当时，连接，求的长；
（3）连接，，求面积的最小值.
49．如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD=42m．
（1）求楼间距AB；
（2）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）
50．今年，我国海关总署严厉打击“洋垃圾”违法行动，坚决把“洋垃圾”拒于国门之外．如图，某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时，发现在B的北偏东60°方向，相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶，C点在A港口的北偏东30°方向上，海监船向A港口发出指令，执法船立即从A港口沿AC方向驶出，在D处成功拦截可疑船只，此时D点与B点的距离为75 海里．
（1）求B点到直线CA的距离；
（2）执法船从A到D航行了多少海里？（结果保留根号）
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【50道综合题·专项集训】浙教版九年级下册第1章 解直角三角形
1．计算
（1）计算：；
（2）已知，且a+b＝20，求a，b的值.
【答案】（1）解：
（2）解：∵，
∴，
∵a+b＝20，
∴，
解得：b＝12，
则
【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、0次幂以及负整数指数幂的运算法则可得原式=-2×+1-3，然后计算乘法，再计算加减法即可；
（2）由已知条件可得a=，结合a+b=20可得b的值，进而可得a的值.
2．某沿海城市O，每年都会受到几次台风侵袭，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在数十千米范围内形成气旋风景，有极强的破坏力.某次，据气象观察，距该城市正南方向的A处有一台风中心，中心最大风力为12级，每远离台风中心 千米，风力就会减弱一级，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东45°方向向B处移动，且台风中心风力不变，若城市受到风力达到或超过6级，则称受台风影响.
（注：结果四舍五入保留整数，参考数据： ， ）
（1）若该城市受此次台风影响共持续了10小时（即台风中心从C处移动到D处），那么受到台风影响的最大风力为几级
（2）求该城市O到A处的距离.
【答案】（1）解：如图，作
由题意知 千米
千米
∵
∴
∴
∵
∴当台风中心位于 点时，城市受到台风影响最大，最大风力为5级
（2）解：由题意知
千米
∴城市O到A处的距离为238千米.
【解析】【分析】（1）作OE⊥AB，由题意知CD=10×20=200千米，OC=OD=200千米，推出△OCD为等边三角形，得到∠OCD=60°，利用三角函数的概念求出OE，据此解答；
（2）由题意知∠OAC=45°，∠AOE=45°，AE=OE，则AO=AE，据此计算.
3．“为了安全，请勿超速”，如图所示是一条已经建成并通车的公路，且该公路的某直线路段MN上限速17m/s，为了检测来往车辆是否超速，交警在MN旁设立了观测点C．若某次从观测点C测得一汽车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200m．
（1）求观测点C到公路MN的距离；
（2）请你判断该汽车是否超速？（参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
【答案】（1）解：过C作CH⊥MN，垂足为H，如图所示：
∵∠CBN=60°，BC=200m，∴CH=BC sin60°=200× =100 （m），即观测点C到公路MN的距离为100 m；
（2）该汽车没有超速．理由如下：
∵BH=BC cos60°=100（米），
∵∠CAN=45°，
∴AH=CH=100 m，
∴AB=100 ﹣100≈73（m），
∴车速为 =14.6m/s．
∵60千米/小时= m/s，
又∵14.6＜ ，
∴该汽车没有超速．
【解析】【分析】（1）根据题意结合锐角三角函数关系得出CH即可；（2）汽车BH、AB的长，进而求出汽车的速度，进而得出答案．
4．如图，AB和CD两幢楼地面距离BC为30 米，楼AB高30米，从楼AB的顶部点A测得楼CD的顶部点D的仰角为45°．
（1）求∠CAD的大小；
（2）求楼CD的高度（结果保留根号）．
【答案】（1）解：过A作AE⊥CD于E，
∵∠DAE=45°，
∴DE=AE=BC=30，
∴EC=AB=30，
∴tan∠CAE=，
∴∠CAE=30°，
∴∠CAD=∠CAE+∠DAE=30°+45°=75°；
（2）解：CD=CE+DE=30+30 .
【解析】【分析】 (1)过A作AE⊥CD于E，根据等腰直角三角形的性质求出ED的长，在Rt△AEC中利用三角函数的定义求出∠CAE，则∠CAD的大小可求；
(2) 根据线段和差关系求CD即可.
5．为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，我省森林保护区开展了寻找古树活动．如图，发现古树AB是直立于水平面，为测量古树AB的高度，小明从古树底端B出发，沿水平方向行走了26米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC=BC.在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得古树顶端A点的仰角∠AEF为15°（点A、B、C、D在同一平面内），斜坡CD的坡度（或坡比）i=1︰2.4.
（1）求斜坡CD的高；
（2）求古树AB的高？（已知sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15≈0.27°）
【答案】（1）解：如图，作EM⊥BC交BC的延长线于M，
∵斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：2.4，DC=BC=26米，设DM=x米，则CM=2.4x米，
在Rt△DCM中，∵ ，∴ ，解得x=10，即斜坡CD的高度为10米.
（2）解：作EN⊥AB于N，
由⑴知CM=24米，EM=10+0.8=10.8米，BM=BC+CM=26+24=50米，
∵EN⊥AB，EM⊥BC，AB⊥BC
∴四边形ENBM是矩形.
∴EN=BM=50米，BN=EM=10.8米.在Rt△AEN中，
∵∠AEF=15°，
∴AN=EN﹒
tan15°≈50×0.27≈13.5，
∴AB=AN+BN=13.5+10.8=24.3米.
【解析】【分析】（1）作EM⊥BC交BC的延长线于M，根据坡度i=1： 2.4，设DM=x，则CM=2.4x，利用勾股定理求出x的值，即可得出斜坡CD的高；
（2） 作EN⊥AB于N，由（1）可得出CM与DM的长，进而得出ND的长，再由矩形的判定定理得出四边形ENBN是矩形，故可得出EM=BN，BM=EN，再由锐角三角函数的定义求出AN的长，进而可得结论.
6．我国南海某海域有一个固定侦测点A，该侦测点的可侦测半径为 海里．某天，在点A侦测到西北方向上的点C处有一可疑船恰好进入侦测区域，且往正东方向匀速航行，我方与其进行多次无线电沟通无果后，可疑船只于2小时后恰好在D处离开侦测区域，我方立即通知（通知时间忽略不计）位于点A北偏东37°方向，且与A相距50海里的B处的军舰往正南方向对可疑船只进行侦测拦截．
（1）求可疑船只的速度及点B到直线CD的距离；
（2）若军舰航行速度为20海里/时，可侦测半径为10海里，问军舰最快几小时可以侦测到可疑船只？（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
【答案】（1）解：由题意可得，AC=AD= ，∠ACD=∠ADC=45°，
∴∠CAD=90°，
∴CD= =20，
∴可疑船只的速度是：20÷2=10海里/时，
作BF⊥CD交CD于点F，如图所示，
∵CD=20，AC=AD，AE⊥CD于点E，∠CAD=90°，
∴AE=10，
又∵EAG=37°，∠AEG=90°，
∴AG= ，
∵AB=50，
∴BG= ，
∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴AE∥BF，
∴∠GBF=∠GAE=37°，
∴BF=BG cos37°= ，
即可疑船只的速度是10海里/时，点B到直线CD的距离是30海里；
（2）解：EG=AE tan∠EAG=7.5，
∴DG=ED﹣EG=2.5，
GF=BF tan∠B=22.5，
则DF=GF﹣GD=20，
设军舰最快x小时可以侦测到可疑船只，
由勾股定理得，MN2=NF2+MF2，即（20﹣10x）2+（30﹣20x）2=102，
解得x= ．
答：军舰最快 小时可以侦测到可疑船只．
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的判定定理求出CD，求出可疑船只的速度，作BF⊥CD交CD于点F，根据正切的定义求出BF；（2）根据题意和勾股定理列出方程，解方程即可．
7．如图，在 中， ．
（1）用尺规作图法作 的平分线 ，交 于点 ；（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）若 ，求 ．
【答案】（1）解：作图如下：
所以 即为所求．
（2）解：∵AD＝BD＝4
∴∠A＝∠ABD
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD＝∠DBC
∵∠C＝90°
∴∠A＝∠ABD＝∠DBC＝30°
∴BC＝BD·cos30°＝ ．
【解析】【分析】（1）根据尺规作图法作∠ABC的平分线BD，交AC于点D即可；（2）根据AD=BD=4，可求出∠A=∠ABD=∠DBC=30°，即可求出BC。
8．如图，某汽车司机在平坦的公路上行驶，前面出现两个建筑物，在A处司机能看到甲建筑物一部分（把汽车看成一个点），这时视线与公路夹角为30°；
（1）汽车行驶到什么位置时，司机刚好看不到甲建筑物 请在图中标出这个D点；
（2）若CF的高度40米，当刚好看不到甲建筑物时，司机的视线与与公路夹角为45°，请问汽车行驶了多少米
【答案】（1）解：如图所示：汽车行驶到点位置D时，司机刚好看不到建筑物B；
（2）解：∵CF⊥AE，∠CDF=45°，
∴DF=CF=40(米)，
∵∠A=30°，tan30°= ，
∴AF＝40 ，
∴AD=AF﹣DF=(40 ﹣40) (米)．
∴汽车向前行驶了(40 ﹣40)米
【解析】【分析】(1)连接BC并延长到EA上一点D，即为所求答案；(2)利用解Rt△CFD求FD，解Rt△ACF，求得AF，利用AD=AF-DF求出汽车行驶的距离．
9．在△ABC中，AB＝8，BC＝6，∠B为锐角且cosB＝ ．
（1）求△ABC的面积．
（2）求tanC．
【答案】（1）解：如图，过点A作AH⊥BC于H．
∵cosB= ，
∴∠B=60°，
∴BH=AB·cosB=8 =4，AH= ，
∴S△ABC= ·BC·AH= ×6× = ；
（2）解：在Rt△ACH中，
∵∠AHC=90°，AH= ，CH=BC﹣BH=7﹣4=2，
∴tanC ．
【解析】【分析】（1） 过点A作AH⊥BC于H，解直角三角形求出AH，再利用三角形的面积计算公式求解即可；（2）解直角三角形求出AH、CH即可解决问题。
10．如图1是超市的手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为5 cm，两个车轮的圆心的连线AB与地面平行，测得支架AC＝BC＝60cm，AC、CD所在直线与地面的夹角分别为30°、60°，CD＝50cm.
（1）求扶手前端D到地面的距离；
（2）手推车内装有简易宝宝椅，EF为小坐板，打开后，椅子的支点H到点C的距离为10 cm，DF＝20cm，EF∥AB，∠EHD＝45°，求坐板EF的宽度.（本题答案均保留根号）
【答案】（1）解：如图2，过C作CM⊥AB，垂足为M，
又过D作DN⊥AB，垂足为N，过C作CG⊥DN，垂足为G，则∠DCG＝60°，
∵AC＝BC＝60cm，AC、CD所在直线与地面的夹角分别为30°、60°，∴∠A＝∠B＝30°，
则在Rt△AMC中，CM＝ ＝30cm.
∵在Rt△CGD中，sin∠DCG＝ ，CD＝50cm，
∴DG＝CD×sin∠DCG＝50×sin60°＝ ＝ ，
又GN＝CM＝30cm，前后车轮半径均为5cm，
∴扶手前端D到地面的距离为DG＋GN＋5＝ ＋30＋5＝35＋ （cm）.
（2）解：∵EF∥CG∥AB，∴∠EFH＝∠DCG＝60°，
∵CD＝50cm，椅子的支点H到点C的距离为10cm，DF＝20cm，
∴FH＝20cm，
如图2，过E作EQ⊥FH，垂足为Q，设FQ＝x，
在Rt△EQF中，∠EFH＝60°，∴EF＝2FQ＝2x，EQ＝ ，
在Rt△EQH中，∠EHD＝45°，∴HQ＝EQ＝ ，
∵HQ＋FQ＝FH＝20cm，∴ ＋x＝20，解得x＝ ，
∴EF＝2（ ）＝ .
答：坐板EF的宽度为（ ）cm.
【解析】【分析】（1）如图，构造直角三角形Rt△AMC、Rt△CGD然后利用解直角三角形分段求解扶手前端D到地面的距离即可；（2）由已知求出△EFH中∠EFH＝60°，∠EHD＝45°，然后由HQ＋FQ＝FH＝20cm解三角形即可求解.
11．如图1，AB⊥BC，分别过点A，C作BM的垂线，垂足分别为M，N．
（1）求证：BM·BC＝AB·CN；
（2）若AB＝BC．
①如图2，若BM＝MN，过点A作AD∥BC交CN的延长线于点D，求DN∶CN的值；
②如图3，若BM＞MN，延长BN至点E，使BM＝ME，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F，若E是CF的中点，且CN＝1，直接写出线段AF的长.
【答案】（1）解：∵AB⊥BC，∴∠ABM＋∠CBM＝90°，
∵AM⊥BM，CN⊥BM，
∴∠AMB＝∠BNC＝90°，
∴∠A＋∠ABM＝90°，∴∠A＝∠CBN，
∴△ABM∽△BCN．
∴BM·BC＝AB·CN
（2）解：①延长BN，AD交于点H，在△ABM和△BCN中，∴△ABM≌△BCN（AAS） ∴BM＝CN，AM=BN设BM=CN=MN=x，∴AM=BN=BM+MN=2x，在Rt△CBN中∵AD∥BC∴∠H=∠CBN∴∴MH=4x，∴NH=MH-MN=4x-x=3x∵AD∥BC，∴即DN：CN=3：2.
②
【解析】【解答】解：（2）②连接AE并延长AE交BC的延长线于点H，
∵点E是FC的中点，
∴EF=EC，
∵AF∥BC
∴∠F=∠ECH，∠FAE=∠H
在△AFE和△HCE中
∴△AFE≌△HCE（AAS）
∴AE=EH，
∴BE是Rt△ABH的中线，
∴BE=AE=EH，
∵AM⊥BE，点M是BE的中点，
∴AB=BE=AE=EH，
由①可知△ABM≌△BCN，
∴CN=BM=1，AB=BC
∴BE=AB=AE=EH=2
∴AH=2AE=4
在Rt△ABH中，
，
∴AF=CH=BH-BC=.
【分析】（1）利用垂直的定义及余角的性质可证得∠A＝∠CBN，∠A＋∠ABM，由此可推出△ABM∽△BCN，再利用相似三角形的对应边成比例可得比例式，然后将比例式转化为等积式即可。
（2）①延长BN，AD交于点H，利用AAS证明△ABM≌△BCN，利用全等三角形的性质，可知BM＝CN，AM=BN，设BM=CN=MN=x，可推出AM=BN=2x，利用锐角三角函数的定义求出tan∠CBN的值，再证明∠H=∠CBN，利用解直角三角形就可得到MH=4x，NH=3x，然后利用平行线分线段成比例定理就可求出DN：CN的值；②连接AE并延长AE交BC的延长线于点H，利用已知条件易证△AFE≌△HCE，利用全等三角形的性质可得到AE=EH，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及线段垂直平分线的性质，可证得AB=BE=AE=EH；由①可知△ABM≌△BCN，就推出CN=BM=1，AB=BC，即可求出AH，AB的长；然后利用勾股定理求出AF的长，根据AF=CH=BH-BC，就可求出AF的长。
12．
（1）完成下列表格，并回答下列问题，
锐角
（2）当锐角 逐渐增大时， 的值逐渐 ， 的值逐渐 ， 的值逐渐 ．
（3） ， ；
（4） ；
（5） ；
（6）若 ，则锐角 ．
【答案】（1）解：如表，
锐角
1
（2）增大；减少；增大
（3）；30°
（4）1
（5）30°
（6）45°
【解析】【解答】解：（2）由（1）表格可知，随着锐角α逐渐增大，sinα的值逐渐增发，cosα的值逐渐减少，tanα的值逐渐增大.
（3）由（1）表格可知，sin30°=cos60°.
（4）原式=
（5）∵左边=
tan30°=
∴
故答案为：30°
【分析】（1）利用特殊角的三角函数值，科研解答表格中的问题。
（2）观察特殊角的三角函数值随角度的变化规律，可得到角度随函数值的变化情况。
（3）根据一个锐角的正弦值和它的余角的余弦值相等，可得答案。
（4）先将特殊角的三角函数值代入，再进行计算，可求解。
（5）先将特殊角的三角函数值代入，再进行计算，可求解。
（6）观察表中特殊角的三角函数值，可得答案。
13．如图，育英学校前方有一斜坡AB长60米，坡度i＝1： ，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示），修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE.
（1）若修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，则平合DE最长是多少米？
（2）学校教学楼GH距离坡脚A点27米远（即AG＝27米），小明在D点测得教学楼顶部H的仰角（即∠HDM）为30°.点B、C、A、G、H在同一个平面上，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问：教学楼GH高为多少米？（结果精确到0.1米，参考数据 ≈1.732）
【答案】（1）解：∵斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，
∴∠BEF最大为45°，
当∠BEF＝45°时，EF最短，此时ED最长.
∵tan∠BAC＝i＝ ，
∴∠BAC＝∠BDF＝30°.
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD＝ AB＝30米，
∴BF＝EF＝ BD＝15米，DF＝15 米，
∴DE＝DF﹣EF＝15（ ﹣1）≈11.0米.
答：平合DE最长是11.0米.
（2）解：如图，过点D作DP⊥AC，垂足为点P.
在Rt△DPA中，DP＝ AD＝15米，PA＝AD cos30°＝15 米.
在矩形DPGM中，MG＝DP＝15米，DM＝PG＝PA+AD＝（15 +27）米，
在Rt△DMH中，HM＝DM tan30°＝（15 +27）× ＝（15+9 ）米，
∴GH＝HM+MG＝15+15+9 ≈45.6米.
答：教学楼GH高为45.6米.
【解析】【分析】（1）由斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，可得出当∠BEF=45°时，EF最短，此时ED最长，由斜坡AB的坡度可得出∠BAC=∠BDF=30°，由点D是AB的中点可得出AD，BD的长，通过解直角三角形可求出EF，DF的长，结合DE=DF-EF可求出平合DE最大值；（2）过点D作DP⊥AC，垂足为点P，在Rt△DPA中，通过解直角三角形可求出PA的长，利用矩形的性质可求出DM的长，在Rt△DMH中，通过解直角三角形可求出HM的长，再结合GH=HM+MG可求出教学楼GH的值.
14．超速行驶是引发交通事故的主要原因。上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图。A0是一条东西方向的路，观测点设在到这条路距离为120米的点P处。这时，一辆小轿车由西向东匀速行使，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为5秒且∠APO=60°，∠BPO=45°.
（1）求A、B之间的路程：
（2）请判断此车是否超过了这条路每小时65千米的限制速度 请说明理由.（参考数据： ≈1.414， ≈1.73）.
【答案】（1）在Rt△APO中，∠APO=60v，PO=120米.
∴AO= PO=120 米，
在Rt△BPO中，∠BPO=45°，BO=PO=120米，
∴AB=AO-BO=120 米-120米≈87.6米.
（2）年速为 =17.52（米/秒）
限速约为 =18.06(米/秒）
∵17.52<18.06
此车没有超过这条路每小时65千米的限制速度。
（或将17.52米/秒化成63.07千米小时，63.07千米/小时<65千米/小时，没有超速）
【解析】【分析】（1）在Rt△APO中，利用解直角三角形求出AO的长， 由已知易证△BPO是等腰直角三角形，就可求出BO的长，然后根据AB=AO-BO，就可求出A、B之间的距离。
（2）根据路程除以时间等于速度，再将单位化为统一，比较大小，即可作出判断。
15．如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°，已知原传送带AB长为4 米．
（1）求新传送带AC的长度；
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点5米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．（参考数据： ≈1.4， ≈1.7．）
【答案】（1）解： 如图，
在Rt△ABD中，∠ABD=45°，
∴AD=BD，
∴2AD2=AB2=（4 ）2，
解得，AD=4．
在Rt△ACD中，
∵∠ACD=30°，
∴AC=2AD=8．
即新传送带AC的长度约为8米
（2）解： 货物MNQP不用挪走．
理由：在Rt△ABD中，BD=AD=4．
在Rt△ACD中，CD= =4 （m）．
∴CB=CD﹣BD=4 ﹣4≈2.8（m）．
∵PC=PB﹣CB≈4﹣2.8=2.2＞2，
∴货物MNQP不应挪走．
【解析】【分析】（1）
在等腰Rt△ABD中，由勾股定理可求得AD的值；在Rt△ACD中，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2AD ；
（2） 在Rt△ACD中，用勾股定理可求得CD 的长；由图可得 CB=CD﹣BD ；则 PC=PB﹣CB ；将求得的PC的值与 2米 比较大小即可判断 货物MNQP不用挪走 。
16．在△ABC中，AB=AC=2，高BE= ，求∠BAC.已知两边解直角三角形的两种类型：
图1 图2
（1）在Rt△ABC中，已知两直角边a，b，如图1，则c= ，由tanA= 可求∠A，则∠B=90°-∠A.
（2）在Rt△ABC中，已知斜边和一直角边，如c，a，如图2，则b= ，由sinA= 可求∠A，则∠B=90°-∠A.
【答案】（1）解：当∠BAC为锐角时，如图①所示.
∵sinA= ，∴∠BAC=60°.
（2）解：当∠BAC为钝角时，如图②.
在Rt△ABE中，∵sin∠BAE= ，∴∠BAE=60°，∴∠BAC=180°-60°=120°.∴∠BAC的度数为60°或120°
【解析】【分析】(1)当∠BAC为锐角时，作高画出图形可得sinA=，根据它的值得到∠BAC的值；
（2）当∠BAC为钝角时，作高画出图形，可得sin∠BAE=，从而求出∠BAE的值，而∠BAC=180°-∠BAE。
17．如图，E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上.
（1）求证：△ABF∽△DFE；
（2）若sin∠DFE= ，求tan∠EBC的值.
【答案】（1）证明：由题意可得∠A=∠D=∠C=∠BFE=90°，∴∠ABF=90°-∠AFB，
∠DFE=180°-∠BFE-∠AFB=90°-∠AFB=∠ABF，∴△ABF∽△DFE.
（2）解：由折叠可得FB=BC，EF=EC，∵sin∠DFE= ，∴ 即EF=3DE.∴AB=CD=DE+EC=DE+EF=4DE，DF= =DE× =2 DE.
∵△ABF∽△DFE，∴ 即FB= = =3 DE.
又∵FB=BC，EF=EC，在Rt△BCE中，∴tan∠EBC= = = = .
【解析】【分析】（1）考查运用“AA”判定两个三角形相似；
（2）在Rt△BCE中，tan∠EBC=，则需要求出EC与BC；由sin∠DFE= ，可得EF=3DE，由EF=EC，可得AB=4DE，从而由勾股定理用DE表示出DF；由（1）可知△ABF∽△DFE，从而求出FB，而FB=BC，EC=EF，即可求出tan∠EBC。
18．如图：
（1）已知sinα+cosα= ，求sinαcosα.
（2）已知α为锐角，tanα=2，求 的值.
【答案】（1）解：把已知式子两边同时平方，得(sin α+cos α)2= ，
sin 2α+2sin αcos α+cos 2α= ，∴2sin αcos α= -1= ，sin αcos α= .
（2）解： = =7.
【解析】【分析】（1）根据sin 2α+cos 2α=1，可考虑将sinα+cosα= 两边平方，再将sin 2α+cos 2α=1代入即可求得sinαcosα.
（2）中不含tanα，由tanα=，可将分式中的分子分母同时除以cosα，可转化为tanα的代数式，代入值即可求得。
19．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，DE=3，BC=9.
（1）求 的值；
（2）若BD=10，求sinA的值.
【答案】（1）解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ = .
又∵DE=3，BC=9，∴ = = .
（2）解： 根据(1) = 得： = ，∵BD=10，DE=3，BC=9，
∴ = ，∴AD=5，∴AB=15.
∴在Rt△AB中，sin A= = =
【解析】【分析】（1）由DE∥BC，即可得△ADE∽△ABC，则，代入DE，BC的值即可求得的值；
（2）在Rt△AB中，sin A=，BC已知，只需要求AB；由（1）可得，代入BD，DE，BC的值即可AD的长度，从而可得AB的长度。
20．如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA= ，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．
（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠ABE的值．
【答案】（1）解：在△ABC中，∵∠ACB=90°，
∴sinA= = ，
而BC=8，
∴AB=10，
∵D是AB中点，
∴CD= AB=5
（2）解：在Rt△ABC中，∵AB=10，BC=8，∴AC= =6，∵D是AB中点，∴BD=5，S△BDC=S△ADC，∴S△BDC= S△ABC，即 CD BE= AC BC，∴BE= = ，在Rt△BDE中，cos∠DBE= = = ，
即cos∠ABE的值为
【解析】【分析】（1）根据解直角三角形中正弦的定义，求出AB的值，得到CD的值；（2）根据勾股定理和三角形的面积公式，求出BE的值，再由余弦的定义得到cos∠ABE的值.
21．如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于A．
（1）求tan∠BOA的值；
（2）将点B绕原点逆时针方向旋转90°后记作点C，求点C的坐标．
【答案】（1）解：tan∠BOA= = =
（2）解：点C的坐标是（﹣2，4）
【解析】【分析】（1）在直角三角形ABO中，根据锐角三角函数的定义可求tan∠BOA的值；（2）根据旋转的性质可求点C的坐标。
22．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=24，点P、D分别在边BC、AC上，AP2=AD AB，
（1） ∽ ；
（2）求∠APD的正弦值．
【答案】（1）解：∵AP2=AD AB，AB=AC，
∴AP2=AD AC，
，
∵∠PAD=∠CAP
∴△ADP∽△APC
（2）解：∵△ADP∽△APC∴∠APD=∠ACB，作AE⊥BC于E，∵AB=AC，∴CE= ×24=12，∴AE= =5
∴sin∠APD=sin∠ACB=
【解析】【分析】（1）把已知条件中的乘积式转化为比例式，根据两个三角形对应边的比相等且夹角相等，这两个三角形相似；（2）作AE⊥BC于E，用∠APD的正弦可求解。
23．如图，某大楼的顶部有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知sin∠BAH= ，AB=10米，AE=15米．
（1）求点B距水平面AE的高度BH；
（2）求广告牌CD的高度．
【答案】（1）解：由题意得，sin∠BAH= = ，又AB=10米，
∴BH= AB=5米；
（2）解：∵BH⊥HE，GE⊥HE，BG⊥DE，
∴四边形BHEG是矩形．
∵由（1）得：BH=5，AH=5 ，
∴BG=AH+AE=5 +15，
Rt△BGC中，∠CBG=45°，
∴CG=BG=5 +15．
Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，
∴DE= AE=15 ．
∴CD=CG+GE﹣DE=5 +15+5﹣15 =20﹣10 ．
答：广告牌CD的高度为（20﹣10 ）米．
【解析】【分析】（1）根据正弦的概念求出BH的长；（2）在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE﹣DE即可求出广告牌的高度．
24．如图1，是一种折叠椅，忽略其支架等的宽度，得到它的侧面简化结构图（图2），支架与坐板均用线段表示．若坐板CD平行于地面，前支撑架AB与后支撑架OF分别与CD交于点E，D，ED=25cm，OD=20cm，DF=40cm，∠ODC=60°，∠AED=50°．
（1）求两支架着地点B，F之间的距离；
（2）若A、D两点所在的直线正好与地面垂直，求椅子的高度．
（结果取整数，参数数据：sin60°=0.87，cos60°=0.5，tan60°=1.73，sin50°=0.77，cos50°=0.64，tan50°=1.19，可使用科学计算器）
【答案】（1）解：连接BF，过D作DM⊥BF，过E作EN⊥BF于N，
则MN=DE=25cm，EN=DM，
∵DE∥BF，
∴∠F=∠ODE=60°，∠B=∠OED=50°，
∵DF=40，
∴EN=DM=20 =34.6，MF=20，
∴BN= = ≈29.08，
∴BF=BN+MN+MF=74.08cm，
故两支架着地点B，F之间的距离我74.08cm；
（2）解：在Rt△ADE中，AD=DE tan50°=29.75cm，
∴AM=29.75+20 ≈64cm，
故椅子的高度是64cm．
【解析】【分析】（1）连接BF，过D作DM⊥BF，过E作EN⊥BF于N，于是得到MN=DE=25cm，EN=DM，根据平行线的性质得到∠F=∠ODE=60°，∠B=∠OED=50°，求得EN=DM=20 =34.6，MF=20，由三角函数的定义得到BN= = ≈29.08，于是得到结论；（2）根据三角函数的定义即刻得到结论．
25．如图，已知斜坡AB长为80米，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．
（1）若修建的斜坡BE的坡角为45°，求平台DE的长；（结果保留根号）
（2）一座建筑物GH距离A处36米远（即AG为36米），小明在D处测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，求建筑物GH的高度．（结果保留根号）
【答案】（1）解：∵修建的斜坡BE的坡角为45°，
∴∠BEF=45°，
∵∠DAC=∠BDF=30°，AD=BD=40，
∴BF=EF= BD=20，DF= ，
∴DE=DF﹣EF=20 ﹣20，
∴平台DE的长为（20 ﹣20）米
（2）解：过点D作DP⊥AC，垂足为P．
在Rt△DPA中，DP= AD= ×40=20，PA=AD cos30°=20 ，
在矩形DPGM中，MG=DP=20，DM=PG=PA+AG=20 +36．
在Rt△DMH中，HM=DM tan30°=（20 +36）× =20+12 ，
则GH=HM+MG=20+12 +20=40+12 ．
答：建筑物GH高为（40+12 ）米．
【解析】【分析】（1）根据题意得出∠BEF=45°，解直角△BDF，求出BF，DF，进而得出EF的长，即可得出答案；（2）利用在Rt△DPA中，DP= AD，以及PA=AD cos30°进而得出DM的长，利用HM=DM tan30°得出即可．
26．如图1，点O在线段AB上，AO＝2，OB＝1，OC为射线，且∠BOC＝60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒．
（1）当t＝ 时，则OP＝ ，S△ABP＝ ；
（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；
（3）如图2，当AP＝AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP＝∠B，求证：AQ·BP＝3．
【答案】（1）1；
（2）解：①∵∠A＜∠BOC＝60°，∴∠A不可能是直角②当∠ABP＝90°时∵∠BOC＝60°，∴∠OPB＝30°∴OP＝2OB，即2t＝2∴t＝1
③当∠APB＝90°时
作PD⊥AB，垂足为D，则∠ADP＝∠PDB＝90°
∵OP＝2t，∴OD＝t，PD＝ t，AD＝2＋t，BD＝1－t（△BOP是锐角三角形）
∴AP2＝(2＋t)2＋3t2，BP2＝(1－t)2＋3t2
∵AP2＋BP2＝AB2，∴(2＋t)2＋3t2＋(1－t)2＋3t2＝9
即4t2＋t－2＝0，解得t1解得t1＝ ，t2＝ （舍去）
综上，当△ABP是直角三角形时，t＝1或
（3）解：连接PQ，设AP与OQ相交于点E∵AQ∥BP，∴∠QAP＝∠APB
∵AP＝AB，∴∠APB＝∠B
∴∠QAP＝∠B
又∵∠QOP＝∠B，∴∠QAP＝∠QOP
∵∠QEA＝∠PEO，∴△QEA∽△PEO
∴
又∵∠PEQ＝∠OEA，∴△PEQ∽△OEA
∴∠APQ＝∠AOQ
∵∠AOC＝∠AOQ＋∠QOP＝∠B＋∠BPO
∴∠AOQ＝∠BPO，
∴∠APQ＝∠BPO
∴△APQ∽△BPO，
∴
∴AQ·BP＝AP·BO＝3×1＝3
【解析】【解答】 （1）当t= 秒时，OP=2t=2× =1.
如图，过点P作PD⊥AB于D.
在Rt POD中，PD=OP·sin60 °=1× = ，
∴S ABP= AB·PD= ×(2+1) × =
【分析】（1）当t= 秒时，OP=2t=2 =1；根据题意作辅助线，过点P作PD⊥AB于D.在Rt POD中，用∠BOC的正弦可求得PD=OP·sin60 °=，所以三角形ABP的面积=AB·PD=（2+1）=；
（2）分3种情况：①∵∠A＜∠BOC＝60°，所以∠A不可能是直角；
②当∠ABP＝90°时，已知∠BOC＝60°，根据直角三角形两锐角互余可得，∠OPB＝30°，
由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得，OP＝2OB，即2t＝2，解得，t＝1；
③当∠APB＝90°时，作PD⊥AB，垂足为D，则∠ADP＝∠PDB＝90°，由②中的结论可知，OP＝2t，∴OD＝t，PD＝ 3 t，AD＝2＋t，BD＝1－t（△BOP是锐角三角形），由勾股定理可得AP2＝(2＋t)2＋3t2，BP2＝(1－t)2＋3t2，而AP2＋BP2＝AB2，所以(2＋t)2＋3t2＋(1－t)2＋3t2＝9，符合题意的解为，t=，即当△ABP是直角三角形时，t＝1或；
（3）连接PQ，设AP与OQ相交于点E，根据AQ∥BP可得∠QAP＝∠APB，由AP＝AB可得∠APB＝∠B，所以∠QAP＝∠B，又因为∠QOP＝∠B，所以∠QAP＝∠QOP，根据对顶角相等可得∠QEA＝∠PEO，所以可得△QEA∽△PEO，所以=，又∠PEQ＝∠OEA，所以△PEQ∽△OEA，所以∠APQ＝∠AOQ，而∠AOC＝∠AOQ＋∠QOP＝∠B＋∠BPO，所以∠AOQ＝∠BPO，∠APQ＝∠BPO，由相似三角形的判定可得△APQ∽△BPO，=，
所以AQ·BP＝AP·BO＝3×1＝3。
27．如图，已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6．
（1）求△ABC的面积；
（2）求tanB的值．
【答案】（1）解：作AD⊥BC于点D，
∵在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，
∴BD=3，
∴AD=4，
∴S△ABC= =12
（2）解：∵在Rt△ABD中，AD=4，BD=3，
∴tanB= ．
∵在Rt△ABD中，AD=4，BD=3，
∴tanB= ．
【解析】【分析】（1）作AD⊥BC，由在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，可以求得AD的长，从而可以求得△ABC的面积；（2）根据AD和BD的长可以求得tanB的值．
28．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D点，AB=22，CD=8，tanA= ，求：
（1）BD的长为多少？
（2）sinB的值？
【答案】（1）解：∵在△ABC中，CD⊥AB于D点，AB=22，CD=8，tanA= ，
∴tanA= ，
解得，AD=6，
∴BD=AB﹣AD=22﹣6=16
（2）解：由（1）知BD=16，
∵CD⊥AB，CD=8，
∴BC= = ，
∴sinB=
【解析】【分析】（1）根据在△ABC中，CD⊥AB于D点，AB=22，CD=8，tanA= ，可以求得AD的长，从而可以求得BD的长；（2）由（1）中BD的长和题目中CD的长可以求得BC的长，从而可以求得sinB的值．
29．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．
（1）若AD=2，求AB；
（2）若AB+CD=2 +2，求AB．
【答案】（1）解：过A点作DE⊥AB，过点B作BF⊥CD，
∵∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，
∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC=360°﹣45°﹣45°﹣105°=165°，
∴∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°，△ADE与△BCF为等腰直角三角形，
∵AD=2，
∴AE=DE= = ，
∵∠ABC=105°，
∴∠ABD=105°﹣45°﹣30°=30°，
∴BE= = = ，
∴AB=
（2）解：设DE=x，则AE=x，BE= = = ，
∴BD= =2x，
∵∠BDF=60°，∴∠DBF=30°，
∴DF= BD=x，
∴BF= = = ，
∴CF= ，
∵AB=AE+BE= ，CD=DF+CF= ，AB+CD= ，
∴AB= ．
【解析】【分析】过A点作DE⊥AB，过点B作BF⊥CD，在锐角三角形、钝角三角形中求线段，可以分割成直角三角形，进行解直角形进而求出相应的线段长.设DE=x，则AE=x，解直角三角形列方程求解即可.
30．如图，已知在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB=2，若将△ABC翻折，折痕EF分别交边AC、边BC于点E和点F（点E不与A点重合，点F不与B点重合），且点C落在AB边上，记作点D．过点D作DK⊥AB，交射线AC于点K，设AD=x，y=cot∠CFE，
（1）求证：△DEK∽△DFB；
（2）求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）联结CD，当 = 时，求x的值．
【答案】（1）证明：如图1，
由折叠可得：∠EDF=∠C=90°，∠DFE=∠CFE．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°．
∵DK⊥AB，
∴∠ADK=∠BDK=90°，
∴∠AKD=45°，∠EDF=∠KDB=90°，
∴∠EKD=∠FBD，∠EDK=∠FDB，
∴△DEK∽△DFB；
（2）解：∵∠A=∠AKD=45°，
∴DK=DA=x．
∵AB=2，
∴DB=2﹣x．
∵△DFB∽△DEK，
∴ = ，
∴y=cot∠CFE=cot∠DFE= = = ．
当点F在点B处时，
DB=BC=AB sinA=2× = ，AD=AB﹣AD=2﹣ ；
当点E在点A处时，
AD=AC=AB cosA=2× = ；
∴该函数的解析式为y= ，定义域为2﹣ ＜x＜
（3）取线段EF的中点O，连接OC、OD，
∵∠ECF=∠EDF=90°，
∴OC=OD= EF．
设EF与CD交点为H，根据轴对称的性质可得EF⊥CD，且CH=DH= CD．
∵ = ，∴sin∠HOC= = ，
∴∠HOC=60°
① 若点K在线段AC上，如图2，
∵CO= EF=OF，
∴∠OCF=∠OFC= ∠HOC=30°，
∴y=cot30°= ，
∴ = ，
解得：x= ﹣1；
②若点K在线段AC的延长线上，如图3，
∵OC=OF，∠FOC=60°，
∴△OFC是等边三角形，
∴∠OFC=60°，
∴y=cot60°= ，
∴ = ，
解得：x=3﹣ ；
综上所述：x的值为 ﹣1或3﹣
【解析】【分析】（1）要证△DEK∽△DFB，只需证到∠EKD=∠FBD，∠EDK=∠FDB即可；（2）易得DK=DA=x，DB=2﹣x，由△DFB∽△DEK可得到 = ，从而可得y=cot∠CFE=cot∠DFE= = = ；然后只需先求出在两个临界位置（点F在点B处、点E在点A处）下的x值，就可得到该函数的定义域；（3）取线段EF的中点O，连接OC、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OC=OD= EF．设EF与CD交点为H，根据轴对称的性质可得EF⊥CD，且CH=DH= CD．由 = 可得tan∠HOC= = ，从而得到∠HOC=60°．①若点K在线段AC上，如图2，由∠HOC=60°可求得∠OFC=30°，由此可得到y的值，再把y的值代入函数解析式就可求出x的值；②若点K在线段AC的延长线上，如图3，由∠HOC=60°可求得∠OFC=60°，由此可得到y的值，再把y的值代入函数解析式就可求出x的值．
31．计算与解不等式
（1）计算：（3﹣π）0+2tan60°+（﹣1）2015﹣ ．
（2）解不等式组： ，并把它的解在数轴上表示出来．
【答案】（1）解：计算：（3﹣π）0+2tan60°+（﹣1）2015﹣ ．
=1+2 ﹣1﹣2
=0
（2）解： ，
由①得：x＞﹣2，
由②得：x≤1，
∴原不等式的解集为：﹣2＜x≤1．
在数轴上表示为：
【解析】【分析】（1）根据零指数幂、特殊角的三角函数值以及二次根式的化简的知识求解即可求得答案；（2）首先分别求得各不等式的解集，继而求得不等式组的解集．
32．如图1是某配电房的实物图，图2是它的部分示意图.已知，，，，参考数据：，，.
（1）根据以上信息可以求出的量有 （填序号）
①点A到的距离②的长③矩形的面积④点B到的距离
（2）选择（1）中的一个可求的量，写出求解过程.（结果精确到0.1m）
【答案】（1）①②④
（2）解：①如图，过点A作，
，
是等腰三角形，
，
在中，
，，
∴点A到的距离为
②解：在中，，，
，
又∵，
，
④解：如图，过点B作，
，，
在中，，
，
∴点B到的距离为4.6米.
【解析】【解答】解：（1）如图，过点A作，
，
是等腰三角形，
，
，
在中，
，，
，
，
，
∴点A到的距离为，
故①可求；
在中，，，
，
，
又∵，
，
故②可求；
，，
，，
，
∴四边形是矩形，
∵矩形的面积为：，
由已知条件不可求，所以矩形不可求，
故③不可求；
如图，过点B作，
，，
在中，，
，
∴点B到的距离为米；
故④可求；
故答案为：①②④；
【分析】（1）过点A作AH⊥BC，由题意可得△ABC是等腰三角形，BH=BC=3，根据三角函数的概念可得AH，据此可求出点A到EF的距离；根据三角函数的概念可得AB，易得四边形DEFG是矩形，由矩形的面积公式可判断③；过点B作BN⊥AC，根据三角函数的概念可得BN，据此可得点B到AC的距离；
（2）根据（1）的过程进行解答.
33．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方.某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，，此时各叶片影子在点M右侧成线段，测得，，设光线与地面夹角为α，测得
（1）求点O，M之间的距离.
（2）转动时，求叶片外端离地面的最大高度.
【答案】（1）解：如图，过点O作、的平行线，交于H，
由题意可知，点O是的中点，
∵，
∴，
∴点H是的中点，
∵，
∴，
∴，
又∵由题意可知：
∴，
∴，
解得，
∴点O、M之间的距离等于；
（2）解：过点O作水平线交于点J，过点B作，垂足为I，延长，使得，
∵，
∴，
∵由题意可知：，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，，，
∵在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴叶片外端离地面的最大高度等于.
【解析】【分析】（1）过点O作AC，BD的平行线，交CD于点H，可证得OH∥AC∥BD，利用点O是AB的中点可证得HC=HD，利用点H是CD的中点，可求出CH的长，根据MH=MC+CH，可求出MH的长；利用已知可证得∠OHM=∠BDC=α，利用解直角三角形求出MO的长.
（2）过点O作水平线OJ交BD于点J，过点B作BI⊥OJ于点I，延长MO，使OK=OB，利用垂直的定义和余角的性质，可证得∠BOI=∠JBI，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△BIO∽△JIB，利用相似三角形的性质可表示出BI，OI的长；再证明四边形OHDJ是平行四边形，可求出JO的长，根据OJ=OI+IJ，可求出IJ，BI，OI的长；利用勾股定理求出OB的长，可得到OK的长，然后根据MK=MO+OK，代入计算求出MK的长.
34．湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援.位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援.计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上.已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且B在C的正南方向900米处.
（1）求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：）；
（2）救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由.（接送游客上下船的时间忽略不计）
【答案】（1）解：过点作垂线，交延长线于点，如图所示，
由题意可得：，，米，则，
设，则，，，
在中，，
∴，解得，
在中，，
∴（米），
∴湖岸与码头的距离为1559米；
（2）解：快艇能在5分钟内将该游客送上救援船，理由如下，
设快艇将游客送上救援船时间为分钟，
由题意可得：，
，
∴在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船.
【解析】【分析】（1） 过点A作CB垂线，交CB延长线于点D，由题知∠NAB=60°，∠NAC=30°，CB=900米，则∠CAD=60°， ∠BAD=30°，设BD=x，则AB=2x，AD=x，CD=900+x，在Rt△ACD中，根据正切函数的定义建立方程可求出x的值，在Rt△ACD中根据正弦阿含糊的定义可求出AC的长；
（2） 设快艇将游客送上救援船时间为t分钟，根据等量关系：快艇航行的路程+救援船航行的路程=AC+BC， 建立方程，求解即可得出答案.
35．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，sinB＝，tanA＝，AC＝．
（1）求∠B的度数和AB的长．
（2）求tan∠CDB的值．
【答案】（1）解：作CE⊥AB于E，设CE＝x，
在Rt△ACE中，∵tanA＝ ，
∴AE＝2x，
∴AC＝ x，
∴ x＝ ，
解得x＝1，
∴CE＝1，AE＝2．
在Rt△BCE中，∵sinB＝ ，
∴∠B＝45°，
∴△BCE为等腰直角三角形，
∴BE＝CE＝1，
∴AB＝AE＋BE＝3，
答：∠B的度数为45°，AB的值为3
（2）解：∵CD为中线，
∴BD＝ AB＝1.5，
∴DE＝BD－ BE＝0.5，
∴tan∠CDE＝2.
【解析】【分析】（1）作CE⊥AB于E，设CE＝x，在Rt△ACE中，根据正切函数的定义可得AE=2x，利用勾股定理得AC＝ x，从而结合AC=5建立方程，求出x的值，从而得出CE、AE的长，在Rt△BCE中，根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值可得△BCE为等腰直角三角形，从而可得BE=CE=1，然后根据AB=AE+BE算出AB的长；
（2）根据中线定义求出BD的长，然后根据DE=BD-BE算出DE的长，进而根据正切函数的定义即可求出答案.
36．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（-2，1），B（-1，4），C（-3，2）.
（1）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A1B1C1；
（2）直接写出C1点坐标 ；若线段AB上点D的坐标为（a，b），则对应的点D1的坐标为 ；
（3）求出∠C1A1B1的正切值为 .
【答案】（1）解：如图所示：
（2）（-6，4）；（2a，2b）
（3）2
【解析】【解答】解：（2）由图可得：C1点坐标（-6，4）；若线段AB上点D的坐标为（a，b），则对应的点D1的坐标为（2a，2b）；
（3）∠C1A1B1的正切值为2，
故答案为：（-6，4）；（2a，2b）；2
【分析】（1）分别连接OA、OB、OC并延长，使OA1=2OA，OB1=2OB，OC1=2OC，然后顺次连接即可；
（2）根据点C1的位置可得相应的坐标，给点D的横纵坐标分别乘以2可得点D1的坐标；
（3）根据三角函数的概念进行计算即可.
37．今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力.如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，在A处测得C港在北偏东45°方向上，在B处测得C港在北偏西60°方向上，且 千米，以台风中心为圆心，周围600千米以内为受影响区域.
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？（结果保留整数，参考数据 ， ， ）
【答案】（1）解：如下图，过点C作 交AB于点H，
设
在 中， ，
在 中， ，
∴
∴ ，∴
∵ ，海港C受台风影响
（2）解：如下图，以CP=600千米为半径画弧交AB于P、Q两点，此时台风在PQ之间时，海港受到影响，
在 中， ，
∴
∴
则时间： （小时）
答：台风影响该海港持续的时间有45小时.
【解析】【分析】（1）过点C作CH⊥AB交AB于点H，设CH=x，则AH=CH=x，BH=x，然后根据AB=BH+AH求出x的值，然后与600进行比较即可判断；
（2）设台风在P点，海港开始受到影响，Q点时停止受影响，利用勾股定理求出PH，得到PQ，然后除以速度可求出时间.
38．在直角梯形ABCD中，，，，，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F．
（1）求证：；
（2）求的值．
【答案】（1）证明：∵E，F为线段OA，OB的中点，
∴且，
∵，
∴，，
∴∠OCD=∠OEF，且∠DOC=∠FOE，
在△FOE和△DOC中： ，
∴；
（2）解：过D点作DH⊥AB于H，
∵∠DAB=60°，
∴AH=，设DH=，则AH=x，
∵AB∥CD，∠DHB=∠ABC=90°，
∴四边形DCBH为矩形，
∴BC=DH=，CD=BH，
又AB=2CD，
∴BH=AH=x，
在Rt△ABC中，由勾股定理可知：，
∵得到∠OEF=∠OAB，
∴．
【解析】【分析】（1）由E，F为线段OA，OB的中点， 根据三角形中位线的性质可得且，由AB∥CD，AB=2CD，可判定EF=CD，∠OCD=∠OEF，∠DOC=∠FOE， 根据AAS证明△FOE≌△DOC；
（2）过D点作DH⊥AB于H，可证四边形DCBH为矩形，设DH=，则BH=AH=x， BC=DH=，CD=BH， 由勾股定理求出AC=x，由平行线的性质可得∠OEF=∠OAB，根据 ∴即可求解．
39．已知在中，的对边分别是，关于x的方程有两个相等实根.
（1）试判断的形状；
（2）若，求.
【答案】（1）解：由题意，得 =4b2-4a2-4c2=0，
∴b2-a2-c2=0，
∴b2=a2+c2，
∴是直角三角形；
（2）解：∵，
∴，
∵b2=a2+c2，
∴b2=(3b-3c)2+c2，
∴4b2+5c2-9bc=0，
∴，
∴，或，
为直角三角形的内角，
舍去
∴=.
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程有两个相等的实数根可得 =0，代入并化简可得b2=a2+c2，据此可确定出△ABC的形状；
（2）根据已知条件可得a=3b-3c，结合b2=a2+c2可得4b2+5c2-9bc=0，两边同时除以b2可得的值，然后根据三角函数的概念进行计算.
40．如图，小松在斜坡 坡脚 处测得山坡对面一水泥厂烟囱顶点 的仰角为67.5°，沿山坡向上走到 处再测得烟囱顶点 的仰角为53°.已知 米，且 、 在同一条直线上，山坡坡度 .
（1）求小松所在位置点 的铅直高度.
（2）求水泥厂烟囱 的高.（测倾器的高度忽略不计，参考数据： ， ， ， ， ， ）
【答案】（1）解：如图，过点D作DF⊥AB 交BA延长线于点F，
∵山坡坡度 ，
∴可设 米，则 米，
∵ 米，
∴ ，
解得： ，
∴DF=10米，
即小松所在位置点 的铅直高度为10米；
（2）解：如图，过点D作DE⊥BC于点E，
根据题意得：∠ABC=90°，∠BAC=67.5°，∠CDE=53°，
∴∠ABC=∠BED=∠AFD=90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴DE=BF，BE=DF=10米，
由（1）得AF=24米，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
由①②联立得：CE=84.5米，
∴BC=BE+CE=94.5米，
答：水泥厂烟囱 的高为94.5米.
【解析】【分析】（1）过点D作DF⊥AB 交BA延长线于点F，根据坡度可设DF=5x米，则AF=12x米，然后在Rt△ADF中，应用勾股定理求解即可；
（2）易得：∠ABC=90°，∠BAC=67.5°，∠CDE=53°，则∠ABC=∠BED=∠AFD=90°，推出四边形BEDF是矩形，得到DE=BF，BE=DF=10米，根据三角函数的概念得CE、AB，然后根据BC=BE+CE进行计算.
41．如图，将一个直角三角形形状的楔子（Rt△ABC）从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底，可以使木桩向上运动.如果楔子底面的倾斜角为10°，其高度AC为1.8厘米，楔子沿水平方向前进一段距离（如箭头所示），留在外面的楔子长度HC为3厘米.
（sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，结果精确到0.1厘米）
（1）求BH的长；
（2）木桩上升了多少厘米？
【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠ABC＝10°，tan∠ABC＝ ，
则BC＝ ≈ ＝10（cm），
∴BH＝BC﹣HC＝7（cm）
（2）解：在Rt△ABC中，∠ABC＝10°，tan∠ABC＝ ，
则PH＝BH×tan∠ABC≈7×0.18≈1.3（cm），
答：木桩上升了大约1.3厘米
【解析】【分析】 （1）根据正切的定义求出BC，则线段的和差关系即可求出BH；
（2）根据正切的定义得出PH=BH×tan∠ABC，代入数值计算即可得到答案．
42．如图，AB∥CD，∠ACB＝∠BDC＝90°，CE⊥AB于点E，DF⊥CB于点F.
（1）求证：△ABC∽△BCD；
（2）已知tan∠ABC＝2，求 的值.
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
又∵∠ACB＝∠BDC＝90°，
∴△ABC∽△BCD
（2）解：∵tan∠ABC＝2，
∴可设AC＝2k，则BC＝k.
∵∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2＝5k2，
∴AB＝ .
∵△ABC∽△BCD，
∴∠BAC＝∠CBD，∠ACB＝∠BDC＝90°，
∴sin∠BAC＝sin∠CBD，
∵CE⊥AB于点E，DF⊥CB于点F，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ .
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质，结合垂直定义得出两个角分别相等即可证明 △ABC∽△BCD ；
（2）设BC=k，则AC=2k，根据勾股定理可求得AB，再根据△ABC∽△BCD，得出∠BAC＝∠CBD， 再结合对应边比值相等即可解题．
43．如图，为了测出旗杆AB的高度，在旗杆前的平地上一点C，测得旗杆顶部的仰角为45°，在C、B之间选择一点D（B，C，D三点共线），测得旗杆顶部的仰角为75°，且CD=8米.
（1）求D到CA的距离；
（2）求旗杆AB的高度（保留根号）.
【答案】（1）解：过点D作DE⊥AC于点E，
测得旗杆顶部的仰角为45°，即∠C=45°，CD=8m，
DE=CD sin45° = m，即D到CA的距离为 m
（2）解： C测得旗杆顶部的仰角为45°，即∠C=45°，
又 D测得旗杆顶部的仰角为75°，即∠ADB=75°，
∠CAD=∠ADB-∠C=30°，
在 中，∠CAD=30°，
AE= DE=4 ，
AC=AE+EC=AE+ED=(4 +4 )m，
在 中，∠C=45°，
AB=(4+4 )m.
【解析】【分析】 （1）作DE⊥AC于点E，根据sinC=，即可得DE；
（2）由∠C=45°可得CE，由tan∠EAD=可得AE，则AC的长可求，再在Rt△ABC中，根据sinC=即可得AB的长．
44．如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE＝AF.
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）若∠ABC＝60°，BD＝6，求DE的长.
【答案】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBE，
∵DE∥AB，
∴∠ABD=∠BDE，
∴∠DBE=∠BDE，
∴BE=DE；
∵BE=AF，
∴AF=DE；
∴四边形ADEF是平行四边形；
（2）解：过点E作EH⊥BD于点H.
∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠EBD=30°，
∴DH= BD= ×6=3，
∵BE=DE，
∴BH=DH=3，
∴BE= = ，
∴DE=BE= .
【解析】【分析】（1）由BD是△ABC的角平分线，DE∥AB，可证得△BDE是等腰三角形，且BE=DE；又由BE=AF，可得DE=AF，即可证得四边形ADEF是平行四边形；（2）过点E作EH⊥BD于点H，由∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线，可求得BH的长，从而求得BE、DE的长，即可求得答案.
45．如图，某市郊景区内一条笔直的公路 经过 、 两个景点，景点 位于景点 的北偏东 方向，景点 与景点 距离为4km．景区管委会又开发了风景优美的景点 ，经测量景点 位于景点 的北偏东 方向，位于景点 的正北方向.
（1）求景点 与景点 的距离；
（2）为方便游客到景点游玩，景区管委会准备由景点 向公路 修建一条距离最短的公路，不考虑其它因素，求出这条公路的长．（结果保留根号）
【答案】（1）解：如图，
过点B作BD⊥AC于点D，
在Rt△ADB中，∵∠ADB=90°，∠BAD=75°-30°=45°，AB=4km，
∴AD=BD= AB= km，
在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠BCD=30°，
∴CD= BD=2 km，
∴AC=AD+CD=（2 +2）km；
答：景点A与景点C的距离为（2 +2 ）km
（2）解：过点 作 于点 ，
在 中，∵ ， ，AC=（2 +2 ）km，
∴CE= AC=（2+2 ）km。
答：这条公路长为（2+2 ）km。
【解析】【分析】（1）过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ADB中，利用∠BAD的锐角三角函数，求出AD的长，在Rt△CBD中，利用∠BCD的锐角三角函数求出CD的长，进而求出AD+CD即景点A与景点C的距离AC的长；
（2）由景点C向公路a修建一条距离最短的公路，即为点C到直线a的垂线段. 过点C作CE⊥AB于点E，在Rt△ACE中，利用∠CAE的锐角三角函数，求出CE的长.
46．如图，在等腰直角三角形中，，，D、E分别是、上一点，且；
（1）如图1，当时，求的长度．
（2）如图2，过点E作，交于点F，作，交于点G，求证：．
（3）连接，当的长度最小时，求的面积．
【答案】（1）解：如图1：过D作交于S，设，
∵等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
解得，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由题意知，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
如图2，连接，
图2
∵，，，
∴，
∴，，
设，则，，，，，
∴，
∴，
∵，
∴四点共圆，
如图2，作的外接圆，延长交的外接圆于，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图3，连接，作于，
图3
由题意知，，，
由（2）可知，，
设，则，，，
由勾股定理得，，
∵，
∴当时，最小，即最小，
∵，
∴最小时，，
∴当的长度最小时，的面积为．
【解析】【分析】（1）过D作交于S，设，根据等腰三角形性质可得，再根据正切，余弦定义及特殊角的三角函数值可得，，，再根据边之间的关系建立方程，解方程可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据余弦定义即特殊角答三角函数值可得，再根据余弦定义及特殊角的三角函数值可得，再根据边之间的关系可得，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，，设，则，，，，，再根据角之间的关系可得，则四点共圆，作的外接圆，延长交的外接圆于，连接，根据等校对等边可得，再根据角之间的关系可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）连接，作于，根据正弦，余弦定义及特殊角的三角函数值可得，，设，则，，，根据勾股定理可得，结合二次函数的性质可得当时，最小，即最小，再根据三角形面积即可求出答案.
47．如图，在菱形中，，
（1）连接，求的值；
（2）点E以每秒2个单位长度的速度从B点出发向点C运动，同时点Q以每秒个单位长度的速度从D点出发向点B运动，当其中一点达到终点，另外一点随之停止运动．
①连接，能否为等腰三角形？如果能，求点E，Q的运动时间；如果不能，请说明理由；
② 连接，当时，求的值．
【答案】（1）解：连接，交于点，
∵在菱形中，，
∴，，
∴，
∴；
（2）①能，设点的运动时间为，则：，
∴，
如图，当时，过点作，则：，
∵，
∴，
∴，即：，
解得：，
∴当点E，Q的运动时间为秒时，为等腰三角形；
②过点作，则：，
∵菱形，，
∴，，，，
∴，，
∴，
将三角形绕点旋转得到，
∴，
∵，
∴，
∴四点共圆，
∴，
在中，，
∴，，
设运动时间为，则：，，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
解得：（不合题意，舍去）或，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）连接，交于点，根据菱形性质可得，则，，再根据余弦定义即可求出答案.
（2）①设点的运动时间为，则，根据边之间的关系可得，当时，过点作，则：，根据特殊角的三角函数值，即余弦定义可得，建立方程，解方程即可求出答案.
②过点作，根据菱形性质可得，，，，则，再根据旋转性质可得，根据圆内接四边形性质可得四点共圆，则，根据含30°角的直角三角形性质可得，，设运动时间为，则，，根据勾股定理可得，根据边之间的关系可得，在中，解直角三角形可得，，在中，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
48．如图，E为正方形中边上的一个动点，，以为边画正方形与边交于点H.
（1）当E为边的中点时，求的长；
（2）当时，连接，求的长；
（3）连接，，求面积的最小值.
【答案】（1）解：∵四边形，四边形都是正方形，，E为边的中点，
∴，，，，
∴，
∴，即，
解得；
（2）解：如图，过点F作于点M，
∵四边形，四边形都是正方形，，
∴，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴，，，，，，
∴，，
∴；
（3）解：如图，过点F作于点M，，交的延长线于点N，
∵四边形，四边形都是正方形，，
∴，，，，
∴四边形是矩形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵
，
设，由（1）得，
∴，即，
解得，
∴，
∴，
故当时，取得最小值，且最小值为96.
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质以及中点的概念可得∠A=∠B=∠FEC=90°，由同角的余角相等可得∠BEC=∠AHE，AB=BC=16，AE=BE=8，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△BEC∽△AHE，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算；
（2）过点F作FM⊥AD于点M，同理可证△BEC∽△AHE，得到FM∥AE，由平行线的性质可得∠BCE=∠AEH=∠HFM，结合三角函数的概念可得CE，利用勾股定理可得BE、HM，由HD=AD-HM-AH可得HD，再次利用勾股定理可得DF；
（3）过点F作FM⊥AD于点M，FN⊥AB，交BA的延长线于点N，同理可得∠A=∠B=∠FEC=90°，∠BEC=∠AHE=∠NFE，AB=BC=16，FE=EC，推出四边形FNAM是矩形，得到AN=FM，利用AAS证明△BEC≌△NFE，得到EN=CB=16，然后根据S△DEF=S△DHF+S△DHE表示出S△DEF，设AE=x，由（1）得△BEC∽△AHE，根据相似三角形的性质可得AH，接下来利用二次函数的性质进行解答.
49．如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD=42m．
（1）求楼间距AB；
（2）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）
【答案】（1）解： 过点C作CE⊥PB，垂足为E，过点D作DF⊥PB，垂足为F，
则∠CEP=∠PFD=90°，
由题意可知：设AB=x，在Rt△PCE中，
tan32.3°= ，
∴PE=x tan32.3°，
同理可得：在Rt△PDF中，
tan55.7°= ，
∴PF=x tan55.7°，
由PF﹣PE=EF=CD=42，
可得x tan55.7°﹣x tan32.3°=42，
解得：x=50
∴楼间距AB=50m
（2）解： 由（1）可得：PE=50 tan32.3°=31.5m，
∴CA=EB=90﹣31.5=58.5m
由于2号楼每层3米，可知点C位于20层．
【解析】【分析】（1）
过点C作CE⊥PB，垂足为E，过点D作DF⊥PB，垂足为F， 构造出两个直角三角形，
在Rt△PCE 和
Rt△PDF中利用两个角的正切值即可求出答案．
（2）在 Rt△PCE 中求出PE的长，即可计算出CA的高度即可求出楼层数.
50．今年，我国海关总署严厉打击“洋垃圾”违法行动，坚决把“洋垃圾”拒于国门之外．如图，某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时，发现在B的北偏东60°方向，相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶，C点在A港口的北偏东30°方向上，海监船向A港口发出指令，执法船立即从A港口沿AC方向驶出，在D处成功拦截可疑船只，此时D点与B点的距离为75 海里．
（1）求B点到直线CA的距离；
（2）执法船从A到D航行了多少海里？（结果保留根号）
【答案】（1）解： 过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H，
∵∠MBC=60°，
∴∠CBA=30°，
∵∠NAD=30°，
∴∠BAC=120°，
∴∠BCA=180°﹣∠BAC﹣∠CBA=30°，
∴BH=BC×sin∠BCA=150× =75（海里）．
答：B点到直线CA的距离是75海里
（2）解： ∵BD=75 海里，BH=75海里，
∴DH= =75（海里），
∵∠BAH=180°﹣∠BAC=60°，
在Rt△ABH中，tan∠BAH= = ，
∴AH=25 ，
∴AD=DH﹣AH=（75﹣25 ）（海里）．
答：执法船从A到D航行了（75﹣25 ）海里．
【解析】【分析】（1）
过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H， 由题意易求得
∠BCA=180°﹣∠BAC﹣∠CBA=30°， 所以由锐角三角函数
sin∠BCA =
可求解；
（2）在直角三角形BDH中，用勾股定理可求得 DH 的值； 在Rt△ABH中，根据tan∠BAH= 可求得AH的值， 所以 AD=DH﹣AH可求解。
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