浙教版八下数学第五章：特殊平行四边形培优训练
一．选择题：
1.下列命题是假命题的是（ ）
A． 四个角相等的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形
C． 对角线垂直的四边形是菱形 D．对角线垂直的平行四边形是菱形
2.如图，菱形ABCD中，对角线AC、BC相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（ ）www.21-cn-jy.com
A．3.5 B．4 C．7 D．14
3.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①④
4.如图，D为△ABC内部一点，E、F两点分别在AB、BC上，且四边形DEBF为矩形，直线CD交AB于G点．若CF＝6，BF＝9，AG＝8，则△ADC的面积为( )
A．16 B．24 C．36 D．54
5.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）21教育网
A. B. C. D.
6.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）21·世纪*教育网
A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选②④
7.如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（ ）2·1·c·n·j·y
A. B. C. D.
如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm，一只电子甲虫从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2014cm时停下，则它停的位置是（ ）21cnjy.com
A．点F B．点E C．点A D．点C
9．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，如果△ABC的周长比△AOB的周长长10厘米，则矩形边AD的长是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．5厘米 B．10厘米 C．7.5厘米 D．不能确定
某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为2.5m）围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（ ）2-1-c-n-j-y
A．20m B．25m C．30m D．35m
二．填空题：
11.如图，已知矩形ABCD的对角线长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的点，则四边形EFGH的周长等于__________cm． 21*cnjy*com
12.如图，已知E、F、G、H分别为菱形ABCD四边的中点，AB=6cm，∠ABC=60°，则四边形EFGH的面积为 cm2．www-2-1-cnjy-com
13．如图，矩形纸片ABCD，M为AD边的中点，将纸片沿BM、CM折叠，使A点落在A1处，D点落在D1处，若∠1=40°，则∠BMC的度数是
14.如图，正方向ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于 cm．
15.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则BED的度数是
16.如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则
DB′的长为
解答题：
17．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC．21世纪教育网版权所有
（1）求证：AB=AF；
（2）若∠ACB=30°，连接AG，判断四边形AGCD是什么特殊的四边形？并证明你的结论．
18．已知，如图，矩形ABCD中，E是CD的中点，连接BE并延长BE交AD的延长线于点F，连接AE．（1）求证：AD=DF；（2）若AD=3，AE⊥BE，求AB的长．
19．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB=∠ACB．
（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）若AB=12，∠DAB=60°，求四边形ABCD的面积．
20．如图，已知正方形ABCD，E是AB延长线上一点，F是DC延长线上一点，连接BF、EF，恰有BF=EF，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得FG，过点B作EF的垂线，交EF于点M，交DA的延长线于点N，连接NG．21·cn·jy·com
（1）求证：BE=2CF；
（2）试猜想四边形BFGN是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明．
浙教版八下数学第五章：特殊平行四边形培优训练答案
一．选择题：
1.答案：C
解析：根据矩形的判定对A、B进行判断；根据菱形的判定方法对C、D进行判断．
【解答】：解：A、四个角相等的四边形是矩形，所以A选项为真命题；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项为真命题；
C、对角线垂直的平行四边形是菱形，所以C选项为假命题；
D、对角线垂直的平行四边形是菱形，所以D选项为真命题．
故选C．
【分析】：本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．www.21-cn-jy.com
2.答案：A
解析：根据菱形的四条边都相等求出AB，菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OH是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OH=ABwww-2-1-cnjy-com
【解答】：解：∵菱形ABCD的周长为28，
∴AB=28÷4=7，OB=OD，
∵H为AD边中点，
∴OH是△ABD的中位线，
∴OH=AB=×7=3.5．故选A．
【分析】：本题考查了菱形的对角线互相平分的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键． 21*cnjy*com
3.答案：
解析：求出BE=2AE，根据翻折的性质可得PE=BE，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠APE=30°，然后求出∠AEP=60°，再根据翻折的性质求出∠BEF=60°，根据直角三角形两锐角互余求出∠EFB=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得EF=2BE，判断出①正确；利用30°角的正切值求出PF=PE，判断出②错误；求出BE=2EQ，EF=2BE，然后求出FQ=3EQ，判断出③错误；求出∠PBF=∠PFB=60°，然后得到△PBF是等边三角形，判断出④正确【出处：21教育名师】
【解答】：解：∵AE=AB，∴BE=2AE，
由翻折的性质得，PE=BE，∴∠APE=30°，
∴∠AEP=90°﹣30°=60°，
∴∠BEF=（180°﹣∠AEP）=（180°﹣60°）=60°，
∴∠EFB=90°﹣60°=30°，∴EF=2BE，故①正确；
∵BE=PE，∴EF=2PE，
∵EF＞PF，∴PF＞2PE，故②错误；
由翻折可知EF⊥PB，∴∠EBQ=∠EFB=30°，∴BE=2EQ，EF=2BE，
∴FQ=3EQ，故③错误；
由翻折的性质，∠EFB=∠BFP=30°，
∴∠BFP=30°+30°=60°，
∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，
∴∠PBF=∠PFB=60°，
∴△PBF是等边三角形，故④正确；综上所述，结论正确的是①④．故选D．
【分析】：本题考查了翻折变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等边三角形的判定，熟记各性质并准确识图是解题的关键．21教育网
4.答案：B
解析：由于△ADC＝△AGC﹣△ADG，根据矩形的性质和三角形的面积公式计算即可求解．
【解答】：△ADC＝△AGC﹣△ADG＝×AG×BC﹣×AG×BF
＝×8×(6＋9)﹣×8×9＝60﹣36＝24．
故选：B．
【分析】：考查了三角形的面积和矩形的性质，本题关键是活用三角形面积公式进行计算
答案：B
解析：连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【解答】：如图，连接AC、CF，
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，
∴AC=，CF=3，∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，
由勾股定理得，AF=，
∵H是AF的中点，∴CH=AF=×2=．故选B．
【分析】：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
6.答案：B
解析：要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形．
【解答】：解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；
C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意．
故选B．
【分析】：本题考查了正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定
7.答案：B
解析：由于点B与D关于AC对称，所以BE与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．21cnjy.com
【解答】：解：由题意，可得BE与AC交于点P．
∵点B与D关于AC对称，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最小．
∵正方形ABCD的面积为12，∴AB=．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=．故所求最小值为．故选B．
【分析】：此题考查了轴对称﹣﹣最短路线问题，正方形的性质，等边三角形的性质，找到点P的位置是解决问题的关键．21·世纪*教育网
8.答案：A
解析：观察图形不难发现，每移动8cm为一个循环组依次循环，用2014除以8，根据商和余数的情况确定最后停的位置所在的点即可．【版权所有：21教育】
【解答】：解：∵两个菱形的边长都为1cm，
∴从A开始移动8cm后回到点A，
∵2014÷8=251余6，
∴移动2014cm为第252个循环组的第6cm，在点F处．
故选：A．
【分析】：本题是对图形变化规律的考查，观察图形得到每移动8cm为一个循环组依次循环是解题的关键．
9.答案：B
解析：因为矩形的对角线AC和BD 相交于O，所以，且AC=BD，
因为△ABC的周长比△AOB的周长长10厘米，所以BC=10，即AD=10，故选择B
10.答案：C
解析：根据题意和正六边形的性质得出△BMG是等边三角形，再根据正六边形的边长得出BG=GM=2.5m，同理可证出AF=EF=2.5m，再根据AB=BG+GF+AF，求出AB，从而得出扩建后菱形区域的周长．21教育名师原创作品
【解答】：解：如图，∵花坛是由两个相同的正六边形围成，
∴∠FGM=∠GMN=120°，GM=GF=EF，
∴∠BMG=∠BGM=60°，
∴△BMG是等边三角形，
∴BG=GM=2.5（m），
同理可证：AF=EF=2.5（m）
∴AB=BG+GF+AF=2.5×3=7.5（m），
∴扩建后菱形区域的周长为7.5×4=30（m），
故选：C．
【分析】：此题考查了菱形的性质，用到的知识点是等边三角形的判定与性质、菱形的性质和正六边形的性质，关键是根据题意作出辅助线，找出等边三角形．
二．填空题：
11.答案：16
解析：连接AC、BD，根据三角形的位线求HG、GF、EF、EH的长，再求四边形EFGH的周长即可．
【解答】：解：如图，连接C、BD，
∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD=8cm，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的点，
∴HG=EF=AC=4cm，EH=FG=BD=4cm，
∴四边形EFGH的周长等于4cm+4cm+4cm+4cm=16cm，
故答案为：16．
【分析】：本题考查了矩形的性质，三角形的位线的应用，能求四边形的各个边的长是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，三角形的位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
12.答案：
解析：连接AC、BD，首先判定四边形EFGH的形状为矩形，然后根据菱形的性质求出AC与BD的值，进而求出矩形的长和宽，然后根据矩形的面积公式计算其面积即可．
【解答】：解：连接AC，BD，相交于点O，如图所示，
∵E、F、G、H分别是菱形四边上的中点，
∴EH=BD=FG，EH∥BD∥FG，EF=AC=HG，
∴四边形EHGF是平行四边形，
∵菱形ABCD中，AC⊥BD，∴EF⊥EH，
∴四边形EFGH是矩形，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴∠ABO=30°，
∵AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∴AO=AB=3，∴AC=6，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB=，
∴BD=6，
∵EH=BD，EF=AC，∴EH=3，EF=3，
∴矩形EFGH的面积=EF?FG=9cm2．
故答案为：9．
【分析】：本题考查了中点四边形和菱形的性质，解题的关键是判定四边形EFGH的形状为矩形．
13.答案：
解析：根据∠A1MD1=40°，得∠A1MA+∠DMD1=180°﹣40°=140°，根据折叠的性质，得∠A1MB=AMB，∠D1MC=∠DMC，从而求解．【来源：21cnj*y.co*m】
【解答】：解：∵∠A1MD1=40°，
∴∠A1MA+∠DMD1=180°﹣40°=140°，
根据折叠的性质，得∠A1MB=AMB，∠D1MC=∠DMC，
∴∠BMC=140°×+40°=110°．故答案为：110°．
【分析】：本题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是根据折叠得到相等的角，结合平角定义进行求解，难度一般．21*cnjy*com
14.答案：1或2．
解析：根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，由ABCD为正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用的角求出DE的长，进而利用勾股定理求出AE的长，根据M为AE中点求出AM的长，利用HL得到三角形ADE与三角形PQN全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，再由PN与DC平行，得到∠PFA=∠DEA=60°，进而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根据AM的长，利用的角求出AP的长，再利用对称性确定出AP′的长即可．
【解答】：解：根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，
∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC=PN，
在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AD=3cm，∴DE=cm，
根据勾股定理得：AE=cm，
∵M为AE的中点，∴AM=AE=cm，
在Rt△ADE和Rt△PNQ中，，∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL），
∴DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，
∵PN∥DC，∴∠PFA=∠DEA=60°，
∴∠PMF=90°，即PM⊥AF，
在Rt△AMP中，∠MAP=30°，，
由对称性得到AP′=DP=AD﹣AP=3﹣2=1cm，
综上，AP等于1cm或2cm．故答案为：1或2．
【分析】：此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键
15.答案：
解析：根据正方形的性质，可得AB与AD的关系，∠BAD的度数，根据等边三角形的性质，可得AE与AD的关系，∠AED的度数，根据等腰三角形的性质，可得∠AEB与∠ABE的关系，根据三角形的内角和，可得∠AEB的度数，根据角的和差，可得答案．
【解答】：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°．
∵等边三角形ADE，
∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．
∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，AB=AE，
∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°，
∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，
故答案为：45°．
【分析】：本题考查了正方形的性质，先求出∠BAE的度数，再求出∠AEB，最后求出答案．
16.答案：16或
解析：若△CD恰为等腰三角形，判断以CD为腰或为底边分为三种情况：①DB′=DC；②CB′=CD；③CB′=DB′，针对每一种情况利用正方形和折叠的性质进行分析求解.
【解答】：本题考查正方形、矩形的性质和勾股定理的运用，以及分类讨论思想..根据题意，若△CD恰为等腰三角形需分三种情况讨论：（1）若DB′=DC时，则DB′=16（易知点F在BC上且不与点C、B重合） ；（2）当CB′=CD时，∵EB=EB′，CB=CB′∴点E、C在BB′的垂直平分线上，∴EC垂直平分BB′，由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去；（3）如解图，当CB′=DB′时，作BG⊥AB与点G，交CD于点H.∵AB∥CD，
∴B′H⊥CD，∵CB′=DB′，∴DH=CD=8，∴AG=DH=8，∴GE=AG－AE=5，在Rt△B′EG中，由勾股定理得B′G=12，∴B′H=GH－B′G=4.在Rt△B′DH中，由勾股定理得DB′=，综上所述DB′=16或.21世纪教育网版权所有
解答题：
17.解析：（1）根据AAS证出△ABC≌△AFE，根据全等三角形的性质推出即可；
（2）求出AF=CF，证△DAF≌△GCF，推出AD=CG，即可得出答案．
【解答】：（1）证明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC，∴∠ABC=∠AFE=90°，
在△ABC和△AFE中∵
∴△ABC≌△AFE（AAS），∴AB=AF．
（2）四边形AGCD是菱形．
证明：∵∠ACB=30°，∠ABC=90°，∴2AB=AC，
∵AB=AF，∴AC=2AF=AF+FC，∴AF=CF，
∵AD∥BC，∴∠DAF=∠FCG，
在△DAF和△GCF中
∴△DAF≌△GCF（ASA），∴AD=CG，
∵AD∥CG，∴四边形AGCD是平行四边形，
∵DG⊥AC，∴平行四边形AGCD是菱形．
【分析】：本题考查了直角梯形，全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定等知识点的综合运用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．21·cn·jy·com
18..解析：（1）根据E是CD的中点，BC∥AF可确定EF=EB，从而得出△EBC≌△EFD，继而得出结论．2-1-c-n-j-y
（2）由（1）得出的EF=EB，结合AE⊥BE可得AB=AF，从而根据AD=3可得出答案．
【解答】：解：（1）∵BC∥AF，E是CD的中点，
∴E是线段FB的中点，∴FE=EB，
又∠FED=∠BEC，DE=EC，
∴△EBC≌△EFD，∴AD=DF．
（2）由（1）得：EF=EB，
又AE⊥BE，
∴AB=AF（中垂线的性质）
∴AB=AF=2AD=6．
【分析】：本题考查了矩形的性质及勾股定理的知识，有一定的难度，解答本题的关键是根据题意得出E是FB的中点，这是本题的突破口．
19.解析：（1）根据等腰三角形的判定得出AB=BC，根据菱形的判定得出即可；
（2）根据菱形的性质得出AO=OC，BO=OD，AC⊥ND，求出AO、OD，求出AC和BD，根据面积公式求出即可．
【解答】：证明：（1）∵∠CAB=∠ACB，
∴AB=BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形；
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
又∵∠DAB=60°，
∴∠OAB=∠DAB=30°
在Rt△AOB中，
OB=AB=×12=6，
∴OA=，
∴BD=20B=12，AC=20A=12，
∴S菱形ABCD=BD×AC=×12×12=72．
【分析】：本题考查了勾股定理，菱形的性质和判定的应用，能熟记菱形的性质和判定定理是解此题的关键．
20.解析：（1）过F作FH⊥BE于点H，可证明四边形BCFH为矩形，可得到BH=CF，且H为BE中点，可得BE=2CF；2·1·c·n·j·y
（2）由条件可证明△ANB≌△CFB，可得BN=BF，可得到BN=GF，且BN∥FG，可证得四边形BFGN为菱形．
【解答】：（1）证明：过F作FH⊥BE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠FHB=∠HBC=∠BCF=90°，
∴四边形BCFH为矩形，
∴BH=CF，
又∵BF=EF，
∴BE=2BH，
∴BE=2CF；
（2）解：四边形BFGN为菱形，证明如下：
∵MN⊥EF，
∴∠E+∠EBM=90°，且∠EBM=∠ABN，
∴∠ABN+∠E=90°，
∵BF=EF，
∴∠E=∠EBF，
∴∠ABN+∠EBF=90°，
又∵∠EBC=90°，
∴∠CBF+∠EBF=90°，
∴∠ABN=∠CBF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠NAB=∠CBF=90°，
在△ABN和△CBF中
∴△ABN≌△CBF（ASA），
∴BF=BN，
又由旋转可得EF=FG=BF，
∴BN=FG，
∵∠GFM=∠BME=90°，
∴BN∥FG，
∴四边形BFGN为菱形．
