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【全优金卷】2024-2025学年八年级下学期数学单元测试卷
第2章 一元二次方程单元测试卷02
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
学校： 年级： 姓名： 考号：
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.考试范围：浙教版八年级下册第2章 一元二次方程所有内容
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定，把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．关于的一元二次方程．若方程有一个根小于1，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵．
∴，
则，
∵若方程有一个根小于1，
∴，解得，
故答案为：C．
2．为响应国家惠农政策，某品牌插秧机经过两次降价后，零售价由2000元/台降至1280元/台，则平均每次降价的百分率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，
根据题意得：，
解得：，（舍去），
因此平均每次降价的百分率为．
故选：A．
3．对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无实数根
【答案】C
【详解】解：由题意得：，
整理得：，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
4．若事件“关于的方程有实数根”是必然事件，则的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
【答案】C
【详解】解：∵事件“关于的方程有实数根”是必然事件，
∴关于的方程有实数根，
①当时，原方程为，
此时方程的解为，符合题意，
②当时，
∵方程有实数根，
∴，
解得
∴且，
综上，，
故选：C．
5．关于的一元二次方程的两实根，，且满足，则的值为（ ）
A．1或5 B．1或 C． D．5
【答案】C
【详解】解：∵，是方程的两实根，
∴，，
，
∴，解得：，
∵，
∴，
整理得，
解得或（舍去），
∴；
故选：C．
6．已知，，，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由已知得：、是关于的方程的两根，
由韦达定理得：，，
，
又，
当时，取得最小值，最小值为：，
故选：A．
7．已知关于的方程，若等腰的一边长为4，另外两边恰好是这个方程的两个实数根，则的周长是( )
A．8 B．10 C．8或10 D．无法计算
【答案】B
【详解】解：①若为腰，则、中必有一个与之相等，不妨设
为方程的一根
将代入，解得 ，
原方程为
，
周长为
②若为底，则、为腰，即
方程有两相等实根，即：
，解得：
原方程为： 即
，
，，不能构成三角形．
综上，三角形的周长为．
故选：B．
8．关于的方程有两个实数根为，，若，则为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】D
【详解】解：关于的方程有两个实数根为，，
，，
，即，
，
解得：，
关于的方程有两个实数根，
，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
．
故选：D．
9．若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：把代入一元二次方程，得，
两边除以，得，
，
是一元二次方程的一根，
故选：C．
10．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，，关于x的方程的根为，给出下面三个结论：
①；
②；
③．
上述结论中，所有可能正确的结论的序号是（ ）
A．① B．② C．①③ D．①②③
【答案】C
【详解】解：因为关于x的方程有两个不相等的实数根，，
所以，，
则，
又因为关于x的方程的根为，
所以，
则，
所以，，
则当时，，，
所以；
当时，，，
所以；
当，且时，，，
所以；
当，且时，，，
所以．
综上所述，所有可能正确的结论是①；③．
故选：C
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分32分，每小题4分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．已知a、b是一元二次方程的两个根，则的值是 ．
【答案】
【详解】解：∵a、b是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
故答案为：．
12．如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为 ．
【答案】5
【详解】解：设长为，则的长为，
根据题意得，，
整理得：，
解得或（舍去），
∴长为．
故答案为：5．
13．已知是关于x的方程的两个实数根，且，则的值是 ．
【答案】/
【详解】解：由题意可得：，
∴，
∴．
故答案为：．
14．若关于x的方程的解是，，则关于y的方程的解是 ．
【答案】，
【详解】解：∵关于x的方程的解是，，
∴关于的方程的解为或，
解得：或，
∴关于y的方程的解为，．
故答案为：，．
15．已知，且，则的值为 ．
【答案】/1.5
【详解】解：令，
∵，
∴，
则，
那么，x和z为方程的两根，
∴，
则，
故答案为：．
16．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．你来解决这道古算题，可以求得矩形的宽为 步．
【答案】24
【详解】解：设矩形的宽为步，则矩形的长为步，
依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），．
故答案为：24．
17．若整数a既使关于x的分式方程的解为正数，又使关于x的一元二次方程有实数解，则符合条件的所有a的和是 ．
【答案】3
【详解】解：，
去分母，得：，
解得：，
分式方程的解为正数，
且，
且，
方程有实数解，
，
解得：，
且，
是整数，
，
符合条件的所有a的和是．
故答案为：3．
18．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程互为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则n= ．
【答案】或2/2或
【详解】解：∵同时满足和，
∴关于x的方程两个实数根为，，
∵，
∴或，
∴的根为或，
∵与互为“同伴方程”，
∴或，
故答案为：或2．
三、解答题（本大题共6个小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：，
．
．
方程有两个不等的实数根，
即．
（2）解：，
移项，得，
因式分解，得．
于是得，或，
∴
20．已知方程是关于x的一元二次方程．
(1)求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根是2，求k的值及方程的另一个根．
【答案】(1)见解析
(2)k的值为1，方程的另一个根是
【详解】（1）证明：中，，，，
，
，
，
对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：将代入，
得：，
解得，
，即，
，
或，
解得，，
即k的值为1，方程的另一个根是．
21．某大型品牌书城购买了A、B两种新出版书籍，商家用1600元购买A书籍，1200元购买B书籍，A、B两种书籍的进价之和为40元，且购买A书籍的数量是B书籍的2倍．
(1)求商家购买A书籍和B书籍的进价；
(2)商家在销售过程中发现，当A书籍的售价为每本25元，B书籍的售价为每本33元时，平均每天可卖出50本A书籍，25本B书籍．据统计，B书籍的售价每降低0.5元，平均每天可多卖出5本．商家在保证A书籍的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，为了促进B的销量，想使A书籍和B书籍平均每天的总获利为775元，则每本B书籍的售价为多少元？
【答案】(1)商家购买书籍的进价为16元，购买书籍的进价为24元
(2)29元
【详解】（1）解：设商家购买书籍的进价为元，则购买书籍的进价为元，
由题意得：，
解得，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
则，
答：商家购买书籍的进价为16元，购买书籍的进价为24元．
（2）解：设每本书籍的售价为元，则平均每天可卖出书籍本，
由题意得：，
整理得：，
解得或，
∵要促进书籍的销量，
∴，
答：每本书籍的售价为29元．
22．关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)设此方程的两个根分别为，若，求的值．
【答案】(1)见解析(2)2或
【详解】（1）证明：∵
，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：设此方程的两个根分别为，
则，，
∵，
∴，
解得或，
∴满足条件的m值为2或．
23．定义：如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”．
(1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由；
①；
②．
(2)已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值．
【答案】(1)①不是“差1方程”，见解析；②是“差1方程”，见解析
(2)或
【详解】（1）解：①，
，，
，
不是“差1方程”，
②，，，
，
，
，
是“差1方程”；
（2）解：，
，，
方程（是常数）是“差1方程”，
或，
或．
24．阅读下列材料：
若设关于x的一元二次方程的两根为，，那么由根与系数关系得：，
∵，
∴．
于是二次三项式可分解为．这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题：
(1)请用上面方法分解二次三项式；
(2)如果关于x的二次三项式能用上面方法分解因式，求m的取值范围；
(3)若关于x的方程的两个根为c，d，请直接写出关于x的方程的两个根（用含a，b的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)且
(3)，
【详解】（1）解：令，
∵，，，
，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：令 ，
由二次三项式能用上面的方法分解因式，则可得方程有解，
∴，
整理得，，
解得，
又∵且，
∴且；
（3）解：∵方程的两根是，
∴，
∴，
∵当时，代入上式，得，
∴是方程的一个根，
同理，也是方程 的一个根，
∴方程的两个根为 或，
在方程中，设，
得，
∴或，
∴或，
解得， ，
∴方程的根是，．中小学教育资源及组卷应用平台
【全优金卷】2024-2025学年八年级下学期数学单元测试卷
第2章 一元二次方程单元测试卷02
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
学校： 年级： 姓名： 考号：
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.考试范围：浙教版八年级下册第2章 一元二次方程所有内容
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定，把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．关于的一元二次方程．若方程有一个根小于1，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．为响应国家惠农政策，某品牌插秧机经过两次降价后，零售价由2000元/台降至1280元/台，则平均每次降价的百分率为（ ）
A． B． C． D．
3．对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无实数根
4．若事件“关于的方程有实数根”是必然事件，则的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
5．关于的一元二次方程的两实根，，且满足，则的值为（ ）
A．1或5 B．1或 C． D．5
6．已知，，，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知关于的方程，若等腰的一边长为4，另外两边恰好是这个方程的两个实数根，则的周长是( )
A．8 B．10 C．8或10 D．无法计算
8．关于的方程有两个实数根为，，若，则为（ ）
A．或 B．或 C． D．
9．若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（ ）
A． B． C． D．
10．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，，关于x的方程的根为，给出下面三个结论：
①；
②；
③．
上述结论中，所有可能正确的结论的序号是（ ）
A．① B．② C．①③ D．①②③
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分32分，每小题4分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．已知a、b是一元二次方程的两个根，则的值是 ．
12．如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为 ．
13．已知是关于x的方程的两个实数根，且，则的值是 ．
14．若关于x的方程的解是，，则关于y的方程的解是 ．
15．已知，且，则的值为 ．
16．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．你来解决这道古算题，可以求得矩形的宽为 步．
17．若整数a既使关于x的分式方程的解为正数，又使关于x的一元二次方程有实数解，则符合条件的所有a的和是 ．
18．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程互为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则n= ．
三、解答题（本大题共6个小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．解方程：
(1)；
(2)．
20．已知方程是关于x的一元二次方程．
(1)求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根是2，求k的值及方程的另一个根．
21．某大型品牌书城购买了A、B两种新出版书籍，商家用1600元购买A书籍，1200元购买B书籍，A、B两种书籍的进价之和为40元，且购买A书籍的数量是B书籍的2倍．
(1)求商家购买A书籍和B书籍的进价；
(2)商家在销售过程中发现，当A书籍的售价为每本25元，B书籍的售价为每本33元时，平均每天可卖出50本A书籍，25本B书籍．据统计，B书籍的售价每降低0.5元，平均每天可多卖出5本．商家在保证A书籍的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，为了促进B的销量，想使A书籍和B书籍平均每天的总获利为775元，则每本B书籍的售价为多少元？
22．关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)设此方程的两个根分别为，若，求的值．
23．定义：如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”．
(1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由；
①；
②．
(2)已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值．
24．阅读下列材料：
若设关于x的一元二次方程的两根为，，那么由根与系数关系得：，
∵，
∴．
于是二次三项式可分解为．这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题：
(1)请用上面方法分解二次三项式；
(2)如果关于x的二次三项式能用上面方法分解因式，求m的取值范围；
(3)若关于x的方程的两个根为c，d，请直接写出关于x的方程的两个根（用含a，b的代数式表示）．
