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【全优金卷】2024-2025学年八年级下学期数学单元测试卷
第2章 一元二次方程单元测试卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
学校： 年级： 姓名： 考号：
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.考试范围：浙教版八年级下册第2章 一元二次方程所有内容
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定，把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．下列选项中是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：A、含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，是一元二次方程，符合题意；
B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
C、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
D、未知数的最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意；
故选A．
2．若是一元二次方程的一个根，则m的值是（ ）
A．0 B． C．3 D．
【答案】D
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴把代入，得，
解得，
故选：D．
3．小颖在探索一元二次方程的近似解时做了下表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是（ ）
0 1 2
5
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【详解】解：当时，；
当时，，
∵更接近于0，
∴方程的一个解得整数部分是1，
故选：C．
4．用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：
∴，
∴
故选：B
5．定义新运算a※b：对于任意实数a，b满足，例如1※．若（为实数）是关于的方程，则它的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】B
【详解】解：∵对于任意实数a，b满足，
∴，
∴，
则，
∵，
∴，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
6．《千里江山图》是青山绿水画中的一幅巨制杰作，由我国北宋著名画家王希孟所作．图1是《千里江山图》的一幅局部临摹画作，该画作是一个长为，宽为的矩形．将该画的四周装裱上宽度相等的边衬（如图2），装裱后整幅画的面积为．若四周装裱上的边衬的宽度为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：根据题意得：，
故选：D．
7．已知方程的两根分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵方程的两根分别为、，
∴，，，
∴，
∴．
故选：A．
8．已知m是关于x的一元二次方程的一个实数根，且满足，则a的值为（ ）
A． B．1 C．或 D．或1
【答案】A
【详解】解：∵m是关于x的一元二次方程的一个实数根，
，
，
，
，
∴或，
当时，一元二次方程为，此时方程无解，舍去．
．
故选：A．
9．当时，一次函数最大值4，则实数m的值为（ ）
A．或0 B．0或1 C．或 D．或1
【答案】A
【详解】解：当即时，一次函数y随x的增大而增大，
∴当时，，
即，
整理得：
解得：或（舍去）
当即时，一次函数y随x的增大而减小，
∴当时，，
即，
整理得：
解得：或（舍去）
综上，或，
故选：A．
10．关于x的一元二次方程有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（ ）
A．p是正数，q是负数 B．
C．q是正数，p是负数 D．
【答案】D
【详解】解：方程的两根为，方程的两根为．
根据题意，得，，
故A与C都错误，不符合题意；
由方程有两个实数根，由根的判别式得出，
∴，
∴，
∴，
故选项B说法错误，不符合题意；选项D说法正确，符合题意；
故选：D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分32分，每小题4分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．方程的解是 ．
【答案】，
【详解】解：
移项，得
或
解得：，．
12．如果m，n是一元二次方程的两个实数根，那么的值是 ．
【答案】11
【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，即的两个不相等的实数根，
∴
∴
∴
．
故答案为：11．
13．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟了一条航线，一共开辟了6条航线，这个航空公司共有 个飞机场．
【答案】
【详解】解：设这个航空公司共有个飞机场，依题意得：
，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
即这个航空公司共有个飞机场，
故答案为：．
14．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
【答案】且
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
且，
∴且．
故答案为：且
15．已知是方程的两个根，则 ．
【答案】
【详解】解：，是方程的两个根，
，，
．
故答案为：．
16．已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：把代入，，得：
，，，
得：，
∴，
∵，
∴，
故答案是：．
17．方程的较大根为，方程的较小根为，则 ．
【答案】
【详解】解：
，
∴，
解得，，
∵较大根为，
∴，
由方程
，
解得：，，
∵较小根为，
∴，
∴，
故答案为：．
18．若整数使得关于的一元一次不等式组有解，也使得关于的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数的值的和是 ．
【答案】
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
关于的一元一次不等式组有解，
，
解得：，
关于的一元二次方程有实数根，
，且，
解得：，且，
，且，
所有满足条件的整数为，，，，，
所有满足条件的整数的值的和是，
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（1）解方程：；
（2）解方程：．
【答案】（1），；（2），
【详解】解：（1），
变为一般形式为：，
因式分解得：，
∴或，
解得：，；
（2），
因式分解得：，
即，
∴或，
解得：，．
20．设一元二次方程，在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①，；
②，；
③，；
④，．
【答案】答案不唯一，见解析
【详解】解：∵使这个方程有两个不相等的实数根，
∴，即，
∴②③均可，①④不满足题意；
选②解方程，则这个方程为：，
，
∴，
∴，；
选③解方程，则这个方程为：，
，
∴，
∴，．
21．已知：关于x的一元二次方程．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(2)求证：无论m为何值（），方程总有一个固定的根．
【答案】(1)且(2)见解析
【详解】（1）解：，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴且，
∴且，
∴的取值范围是且；
（2）证明：∵，
∴由求根公式得
，
∴，
，
∴无论为何值，方程总有一个固定的根是1 ．
22．2024年成都世界园艺博览会于4月26日至10月28日举行．在盛会期间，某销售商进行市场调查发现：某类盆栽每盆进货价为60元．当销售价为90元时，平均每天能售出24盆；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2盆．现设销售价降低元，解答下列问题．
(1)填空：现在平均每天可售出______盆，每盆盈利______元（用含的代数式表示）；
(2)试向：当为何值时，平均每天盈利784元？
(3)若该销售商打算平均每天盈利900元，那么他的这种想法能实现吗？请说明理由．
【答案】(1)，．
(2)当2元或16元时，平均每天盈利784元．(3)见解析．
【详解】（1）解：由题意可得现在平均每天售卖盆，每盆盈利为元，即元．
故答案为：，．
（2）解：由题意可得：，
整理得：，
解得：，
答：当为2元或16元时，平均每天的盈利为784元．
（3）解：不能实现，理由如下：
由题可得方程：
整理得：，
∵
∴原方程无解，
∴该销售商的这种想法不能实现．
23．如图，把一张长，宽的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．
(1)要使无盖长方体盒子的底面积为，那么剪去的正方形的边长为多少？
(2)你认为折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有可能等于吗？请说明理由
(3)当把长方形硬纸板的四周分别剪去个同样大小的正方形和个同样形状、同样大小的长方形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，它的侧面积（指的是高为剪去的正方形边长的长方体的侧面积）为时请直接写出结果并画出平面示意图
【答案】(1)(2)不可能，理由见解析(3)或，示意图见解析
【详解】（1）设剪去的正方形边长为，由题意，得
，
即，
解得：（不合题意，舍去），．
∴剪去的正方形的边长为．
（2）折合而成的无盖长方体盒子的侧面积不可能等于，理由如下：
设剪去的正方形边长为，由题意，得
，
整理得：，
∵，
∴原方程没有实数解．
即折合而成的无盖长方体盒子的侧面积不可能等于．
（3）设剪去的正方形边长为，
若按图1所示的方法剪折，
有：，
整理得：，
，
∴此方程无解；
若按图2所示的方法剪折，
有：，
整理得：，
解得：，，
当按图2所示的方法剪去的正方形边长为或时，能使得到的有盖长方体盒子的侧面积达到．
24．阅读下面材料：已知，是一元二次方程的两实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”．在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现：
．最后得到“差根方程”中a，b，c之间的关系是．
(1)请通过计算判断方程是否是“差根方程”．
(2)若方程是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根．
(3)若关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，），则方程是“差根方程”吗 若是，请求出它的根；若不是，请说明理由．
【答案】(1)方程是“差根方程”
(2)；，
(3)方程是“差根方程”.它的根是，或，．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴或，
∴，，
∴，
∴方程是“差根方程”；
（2）解：∵方程是“差根方程”，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∴方程为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，；
（3）解：∵关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，），
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，），
∴，
∴，.
将代入方程可得：，
解得：，，
∴，
∴方程是“差根方程”，它的根为，．
即，或，．
∴方程是“差根方程”.它的根是，或，．中小学教育资源及组卷应用平台
【全优金卷】2024-2025学年八年级下学期数学单元测试卷
第2章 一元二次方程单元测试卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
学校： 年级： 姓名： 考号：
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.考试范围：浙教版八年级下册第2章 一元二次方程所有内容
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定，把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．下列选项中是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若是一元二次方程的一个根，则m的值是（ ）
A．0 B． C．3 D．
3．小颖在探索一元二次方程的近似解时做了下表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是（ ）
0 1 2
5
A． B．0 C．1 D．2
4．用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．定义新运算a※b：对于任意实数a，b满足，例如1※．若（为实数）是关于的方程，则它的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
6．《千里江山图》是青山绿水画中的一幅巨制杰作，由我国北宋著名画家王希孟所作．图1是《千里江山图》的一幅局部临摹画作，该画作是一个长为，宽为的矩形．将该画的四周装裱上宽度相等的边衬（如图2），装裱后整幅画的面积为．若四周装裱上的边衬的宽度为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知方程的两根分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知m是关于x的一元二次方程的一个实数根，且满足，则a的值为（ ）
A． B．1 C．或 D．或1
9．当时，一次函数最大值4，则实数m的值为（ ）
A．或0 B．0或1 C．或 D．或1
10．关于x的一元二次方程有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（ ）
A．p是正数，q是负数 B．
C．q是正数，p是负数 D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分32分，每小题4分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．方程的解是 ．
12．如果m，n是一元二次方程的两个实数根，那么的值是 ．
13．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟了一条航线，一共开辟了6条航线，这个航空公司共有 个飞机场．
14．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
15．已知是方程的两个根，则 ．
16．已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为 ．
17．方程的较大根为，方程的较小根为，则 ．
18．若整数使得关于的一元一次不等式组有解，也使得关于的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数的值的和是 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（1）解方程：；
（2）解方程：．
20．设一元二次方程，在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①，；
②，；
③，；
④，．
21．已知：关于x的一元二次方程．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(2)求证：无论m为何值（），方程总有一个固定的根．
22．2024年成都世界园艺博览会于4月26日至10月28日举行．在盛会期间，某销售商进行市场调查发现：某类盆栽每盆进货价为60元．当销售价为90元时，平均每天能售出24盆；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2盆．现设销售价降低元，解答下列问题．
(1)填空：现在平均每天可售出______盆，每盆盈利______元（用含的代数式表示）；
(2)试向：当为何值时，平均每天盈利784元？
(3)若该销售商打算平均每天盈利900元，那么他的这种想法能实现吗？请说明理由．
23．如图，把一张长，宽的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．
(1)要使无盖长方体盒子的底面积为，那么剪去的正方形的边长为多少？
(2)你认为折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有可能等于吗？请说明理由
(3)当把长方形硬纸板的四周分别剪去个同样大小的正方形和个同样形状、同样大小的长方形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，它的侧面积（指的是高为剪去的正方形边长的长方体的侧面积）为时请直接写出结果并画出平面示意图
24．阅读下面材料：已知，是一元二次方程的两实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”．在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现：
．最后得到“差根方程”中a，b，c之间的关系是．
(1)请通过计算判断方程是否是“差根方程”．
(2)若方程是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根．
(3)若关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，），则方程是“差根方程”吗 若是，请求出它的根；若不是，请说明理由．
