2.2一元二次方程的解法 培优练习（含答案）

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2.2一元二次方程的解法培优练习浙教版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1．若a﹣b＝3，则下列x的值一定是关于x的方程ax2+2bx﹣12＝0的根的是（　　）
A．x＝2 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝﹣2
2．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜2且k≠0 B．k≤2 C．k≤2且k≠1 D．k＜2且k≠1
3．一元二次方程x2﹣5x+3＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
4．一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（　　）
A．（x﹣2）2＝5 B．（x+2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝3
5．定义运算：a☆b＝a2﹣ab﹣b，例如：3☆2＝32﹣3×2﹣2＝1，则方程x☆2024＝1的解为（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝2025 B．x1＝﹣1，x2＝﹣2025
C．x1＝1，x2＝2025 D．x1＝1，x2＝﹣2025
二、填空题
6．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　 　．
7．一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程（x﹣1）（x﹣6）＝﹣6的根，则该三角形的周长为　 　．
8．已知x1，x2分别是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根，则的值为　 　．
9．若关于x的方程x2﹣2x﹣a＝0有一个根为﹣1，则方程的另一根为　 　．
10．若关于x的方程x2+bx+c＝0的两根分别是2，3，则c的值为 　 　．
三、解答题
11．用适当的方法解下列一元二次方程．
（1）（2x﹣1）2＝4；（2）4x2﹣4x+1＝0；（3）x2﹣2x﹣2＝0．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+4k＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根小于1，求k的取值范围．
13．已知关于x的方程x2+3mx+2m2﹣1＝0（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根是﹣2，求2025﹣2m2+6m的值．
14．定义：将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，我们称为配方．其本质是完全平方公式的逆用，即：a2±2ab+b2＝（a±b）2．
例如：若将多项式x2+2x+5进行配方，则x2+2x+5＝x2+2x+12+4＝（x+1）2+4．
配方法在解决最值问题、代数式求值问题等均有广泛应用．
（1）将多项式x2﹣6x+13配方为（x+m）2+n的形式，则m＝　 　，n＝ 　 　；
（2）若多项式A＝2x（x﹣2），B＝（x+3）（x﹣3），证明：无论x取何值，A﹣B＞0均成立；
（3）已知e，f为直角三角形的两条直角边的长，斜边长为6，关于y的代数式（y﹣e）（y﹣f）可变形为（y﹣4）2+k（k为常数），求k的值．
15．阅读下列材料，完成相应任务．
阅读材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，然后由（x+m）2≥0就可求出多项式x2+bx+c的最小值．
例题：求x2﹣12x+37的最小值
解：x2﹣12x+37＝x2﹣2x 6+62﹣62+37＝（x﹣6）2+1
∵不论x取何值，（x﹣6）2总是非负数，即（x﹣6）2≥0．
∴（x﹣6）2+1≥1
∵当x＝6时，（x﹣6）2有最小值为0
∴当x＝6时，x2﹣12x+37有最小值，最小值是1．
根据上述材料，解答下列任务：
任务一：填空：x2﹣14x+　 　＝（x﹣　 　）2
任务二：探索：将x2+10x﹣2变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2+10x﹣2的最小值．
任务三：应用：如图所示的第一个长方形边长分别是2a+5、3a+2，面积为S1，第二个长方形边长分别是5a、a+5，面积为S2，试用含a的式子表示S1﹣S2的值，并说明S1与S2的大小关系．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5
答案 D C A C A
二、填空题
6．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝0，
解得：m＝1，
故答案为：1．
7．【解答】解：由题意得，x2﹣7x+12＝0，
（x﹣3）（x﹣4）＝0，
x﹣3＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝3，x2＝4，
当x＝3时，2+3＝5，不能构成三角形，
当x＝4时，三角形的周长为2+4+5＝11，
故答案为：11．
8．【解答】解：由题知，
因为x1，x2分别是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根，
所以x1+x2＝3，x1x2＝1，
则．
故答案为：3．
9．【解答】解：由题意方程有一个根为﹣1
设另一根为x，则﹣1+x＝2，
解得x＝3．
故答案为3．
10．【解答】解：由题知，
因为关于x的方程x2+bx+c＝0的两根分别是2，3，
所以2×3＝c，
则c＝6．
故答案为：6．
三、解答题
11．【解答】解：（1）（2x﹣1）2＝4，
2x﹣1＝±2，
∴x1，x2．
（2）4x2﹣4x+1＝0，
（2x﹣1）2＝0，
∴x1＝x2．
（3）x2﹣2x﹣2＝0；
x2﹣2x+1＝3，
（x﹣1）2＝3，
x﹣1＝±，
∴x1＝1，x2＝1．
12．【解答】（1）证明：x2﹣（k+4）x+4k＝0．
∵Δ＝[﹣（k+4）]2﹣4×1×4k＝（k﹣4）2≥0，
∴该方程总有两个实数根
（2）解：根据求根公式得：．
∴x1＝4，x2＝k．
∴k＜1．
13．【解答】（1）证明：∵Δ＝（3m）2﹣4（2m2﹣1）＝m2+4＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程有一个根是﹣2，
∴4﹣6m+2m2﹣1＝0，
∴﹣2m2+6m＝3，
∴2025﹣2m2+6m＝2028
14．【解答】（1）解：∵x2﹣6x+13＝x2﹣6x+32+4＝（x﹣3）2+4，
∴m＝﹣3，n＝4，
故答案为：﹣3，4；
（2）证明：∵A＝2x（x﹣2），B＝（x+3）（x﹣3），
∴A﹣B＝2x（x﹣2）﹣（x+3）（x﹣3）
＝2x2﹣4x﹣x2+9
＝x2﹣4x+9
＝x2﹣4x+4+5
＝（x﹣2）2+5，
∵（x﹣2）2≥0，
∴（x﹣2）2+5＞0，
∴A﹣B＞0；
（3）解：∵e，f为直角三角形的两条直角边的长，斜边长为6，
∴e2+f2＝62，
即e2+f2＝36，
∵关于y的代数式（y﹣e）（y﹣f）可变形为（y﹣4）2+k（k为常数），
（y﹣e）（y﹣f）＝y2﹣（e+f）y+ef，
（y﹣4）2+k＝y2﹣8x+16+k，
∴e+f＝8，ef＝16+k，
∵（e+f）2＝e2+2ef+f2，
∴82＝36+2（16+k），
∴2k＝﹣4，
∴k＝﹣2．
15．【解答】解：任务一：x2﹣14x+49＝（x﹣7）2．
故答案为：49，7；
任务二：x2+10x﹣2＝x2+10x+25﹣25﹣2＝x2+10x+25﹣27＝（x+5）2﹣27，
当x＝﹣5时，x2+10x﹣2的最小值为﹣27；
任务三：，
，
，
∵（a﹣3）2≥0，
∴（a﹣3）2+1＞0，
∴S1﹣S2＞0，
∴S1＞S2．
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