2.3 一元二次方程的应用培优练习（含解析）

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2.3一元二次方程的应用培优练习浙教版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1．为丰富全县职工文体生活，增强各单位凝聚力、向心力，进一步推动全县全民健身运动的开展，由上蔡县总工会主办的县直机关职工篮球赛，在蔡明园公园开赛，规定每两个球队之间都要进行一场比赛，共要比赛240场．设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）
A．x（x+1）＝240 B．x（x﹣1）＝240
C． D．
2．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为x m，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A．（20﹣x）（32﹣x）＝540
B．（20﹣x）（32﹣x）＝32×20﹣540
C．（20﹣2x）（32﹣2x）＝540
D．（20﹣2x）（32﹣2x）＝32×20﹣540
3．某中学九年级学生在七年级时植树400棵，计划到今年毕业时使植树总数达到1324棵，若设植树年平均增长率为x，则所列方程为（　　）
A．400（1+x）2＝1324
B．400+400（1+x）2＝1324
C．400（1+x）+400（1+x）2＝1324
D．400+400（1+x）+400（1+x）2＝1324
4．春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共49人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（　　）
A．1+x+x2＝49 B．x+x2＝49
C．（1+x）2＝49 D．x+x（1+x）＝49
5．一商店销售某种进价为20元/件的商品，当售价为60元时，平均每天可售出20件．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件，若该商店每天要实现1400元的利润，每件需降价多少元？设每件商品降价x元，由题意可列方程（　　）
A．（60﹣x）（20+4x）＝1400
B．（40﹣x）（20+4x）＝1400
C．（60﹣x）（20+2x）＝1400
D．（40﹣x）（20+0.5x）＝1400
二、填空题
6．元旦期间，某商场为了吸引顾客，对某种商品连续两次降价，每次降价的百分率相同，已知该商品原来每件售价为750元，降价两次后每件售价为480元，那么每次降价的百分率是 　 　．
7．今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，戴口罩可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染．现在有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为 　 　．
8．如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条宽均为x m的小路（阴影），余下部分作为草地，草地面积为551m2，根据图中数据，求得小路宽x的值为 　 　；
9．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯105次，则参加酒会的人数为 　 　．
10．如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB向B点以1cm/s的速度运动，点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么　 　秒后，线段PQ将△ABC分成面积2：1的两部分．
三、解答题
11．某商店的一种服装每件成本为50元，经市场调研，售价为60元时，可销售800件；售价每提高1元，销售量将减少20件．设这种服装每件售价提高x元．
（1）用含x的代数式表示提价后这批服装的销售量为 　 　件；
（2）若要使商店销售这批服装获利12000元，每件服装售价应定为多少元？
12．如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题．
（1）若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数．
（2）虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由．
13．“读书，使人思想活跃，聪颖智慧；使人增长见识，谈吐不凡；使人目光远大，志存高远”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆384人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆1824人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过1350人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
14．如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．点P从点A开始，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，点Q从点B开始，沿着BC边向点C以每秒2cm的速度移动．如果P，Q同时出发，当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止．问：
（1）经过几秒钟后，P、Q两点间的距离为．
（2）经过几秒钟后，四边形APQC的面积是9cm2？
15．某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．
（1）若除丝绸花边外白色部分的面积为1750cm2，求丝绸花边的宽度；
（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外还需支付各种费用2000元．根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司把单价降低多少元时，当日所获利润为10000元；
（3）当销售单价定为多少元时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5
答案 D A D C B
二、填空题
6．【解答】解：设每次降价的百分率是x，
根据题意得：750（1﹣x）2＝480，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合题意，舍去），
即每次降价的百分率是20%，
故答案为：20%．
7．【解答】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人，
∴第一轮传染了x人，第二轮传染了x（1+x）人．
根据题意得：1+x+x（1+x）＝49．
故答案为：1+x+x（1+x）＝49．
8．【解答】解：根据题意得：（30﹣x）（20﹣x）＝551，
整理得：x2﹣50x+49＝0，
解得：x1＝1，x2＝49（不符合题意，舍去），
即小路宽x的值为1，
故答案为：1．
9．【解答】解：设参加酒会的人数为x人，
依题意，得：x（x﹣1）＝105，
整理，得：x2﹣x﹣210＝0，
解得：x1＝15，x2＝﹣14（不合题意，舍去）．
故答案为：15．
10．【解答】解：AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB向B点以1cm/s的速度运动，点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动．设运动时间为t s，则AP＝t cm，BQ＝2t cm，
∵AB＝6cm，BC＝8cm，
∴BP＝AB﹣AP＝（6﹣t）cm，
∵线段PQ将△ABC分成面积2：1的两部分，
∴或，
∴，或，
整理得：t2﹣6t+8＝0或t2﹣6t+16＝0（无实数解），
解得t1＝2，t2＝4，
即线段PQ将△ABC分成面积2：1的两部分，运动时间为2或4秒．
故答案为：2或4．
三、解答题
11．【解答】解：（1）由题意得：提价后这批服装的销售量为：[800﹣（x﹣60）×20]件，
故答案为：[800﹣（x﹣60）×20]；
（2）由题意得：（x﹣50）[800﹣（x﹣60）×20]＝12000，
整理得：x2﹣150x+5600＝0，
解得：x1＝70，x2＝80，
答：每件服装售价应定为70元或80元．
12．【解答】解：（1）设最小数为x，则最大数为x+8，
由题意得：（x+8）x＝180，
整理得：x2+8x﹣180＝0，
解得x＝﹣18或10，
当x＝﹣18时，不符合题意，舍去，
从日历表中可以看出10是第二行第6个数，符合要求，
所以最小数为10，
答：最小数为10；
（2）方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由如下：
设最小数为y，则另外三个数分别是y+1，y+7，y+8，
由题意得：y（y+8）+y+（y+1）+（y+7）+（y+8）＝80，
整理得：y2+12y﹣64＝0，
解得y＝﹣16或4，
当y＝﹣16时，不符合题意，舍去，
∵y＝4在最后一列，
∴假设不成立，
即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80．
13．【解答】解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
384+384（1+x）+384（1+x）2＝1824．
化简得：4x2+12x﹣7＝0．
∴（2x﹣1）（2x+7）＝0，
∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍）．
答：进馆人次的月平均增长率为50%．
（2）能，理由如下：
∵进馆人次的月平均增长率为50%，
∴第四个月的进馆人次为：384（1+50%）3＝3841296＜1350．
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
14．【解答】解：（1）设经过几秒钟后，P、Q两点间的距离为．
由勾股定理得：（8﹣x）2+（2x）2＝（2）2，
解得：x＝2或x，
答：经过2秒钟或秒钟后，P、Q两点间的距离为．
（2）设经过t秒钟后，四边形APQC的面积是9cm2，
由题意得：8×6（8﹣t）×2t＝9，
解得：t＝3或t＝5（不符合题意舍去），
∴t＝3，
答：经过3秒钟后，四边形APQC的面积是9cm2．
15．【解答】解：（1）设条带的宽度为x cm，
根据题意，得（60﹣2x）（40﹣x）＝1750．
整理，得x2﹣70x+325＝0，
解得x1＝5，x2＝65（舍去）．
答：丝绸条带的宽度为5cm．
（2）设每件工艺品降价y元出售，
由题意得：（100﹣y﹣40）（200+20y）﹣2000＝10000．
解得：y1＝y2＝50．
答：当单价降低50元时能达到利润10000元．
（3）设利润为W，每件工艺品降价y元出售，
则：W＝（100﹣y﹣40）（200+20y）﹣2000＝﹣20y2+1000y+10000＝﹣20（y﹣25）2+22500
∵﹣20＜0，
∴当y＝25，即：降价25元，定价为75元时，利润最大为22500．
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