2.4一元二次方程根与系数的关系 培优练习（含答案）

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2.4一元二次方程根与系数的关系培优练习浙教版2024—2025学年八年级下册
一．选择题
1．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0的一个根﹣1，则方程的另一根是（　　）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
2．设a，b是方程x2+x﹣2024＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
3．关于x的一元二次方程x2+2x+k+1＝0的两根x1，x2，满足x1+x2﹣x1x2＜﹣1，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣2 B．k＞2 C．﹣2＜k≤0 D．0≤k＜2
4．已知关于x的一元二次方程x2+3x+m+2＝0的两个实数根是x1，x2，且x1＝2x2，则m的值是（　　）
A．0 B．2 C．﹣1 D．1
5．设m，n是方程2x2+3|x|﹣2＝0的两个实数根，则的值是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题
6．若m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣2025＝0的两个实数根，则m2+mn+3n+2的值为 　 　．
7．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m＝0的两实数根为x1，x2，且满足，则m的值为　 　．
8．设x1，x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两个实数根，则（x1﹣2）（x2﹣2）＝　 　．
9．已知a、b是方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则的值为　 　．
10．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，且x1＝2x2，若a+b+c＝0，则 　 　．
三．解答题
11．已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣4＝0有两个不等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程有一个根为2，求方程的另一根．
12．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m﹣3＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2﹣2x1x2＝2m+1，求m的值．
13．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0满足2a+b+c＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若一元二次方程的两实根为x1，x2，且，请确定a，b之间的数量关系．
14．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么由求根公式可推出x1+x2＝﹣p，x1 x2＝q，请根据这一结论，解决下列问题：
（1）若α，β是方程x2﹣3x+1＝0的两根，则α+β＝ 　 　，α β＝ 　 　；
（2）已知a，b满足a2﹣5a+3＝0，b2﹣5b+3＝0，求的值；
（3）已知a，b，c满足a+b+c＝0，abc＝5，求正整数c的最小值．
15．阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2和系数a，b，c，有如下关系：，．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，
∴m+n＝1，mn＝﹣1．
则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝ 　 　，x1x2＝ 　 　；
（2）类比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m，n，求m2+n2的值；
（3）提升：已知实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0且s≠t，求的值．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5
答案 A B C A B
二、填空题
6．【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣2025＝0的两个实数根，
∴m+n＝3，mn＝﹣2025，且m2﹣3m﹣2025＝0，
则m2﹣3m＝2025，
∴m2+mn+3n+2
＝m2﹣3m+mn+3（m+n）+2
＝2025+（﹣2025）+3×3+2
＝11．
故答案为：11．
7．【解答】解：∵关于x的一元二次方程的两实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝m，
∵，
∴，
∴x1＝x2或x1＝﹣x2，
①当x1＝x2时，这个方程有两个相等的实数根，
Δ＝（﹣m）2﹣4×1×2m＝m2﹣8m＝0，
解得m＝0或m＝8；
②当x1＝﹣x2时，则m＝x1+x2＝0，符合题意；
综上，m的值为0或8，
故答案为：0或8．
8．【解答】解：∵（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1 x2﹣2（x1+x2）+4①，
又∵x1、x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣2②；x1x2③，
把②③代入①得：（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1 x2﹣2（x1+x2）+42×（﹣2）+4．
故答案为：．
9．【解答】解：∵a、b是方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，
∴a+b＝3，ab＝﹣1；
∴，
故答案为：﹣11．
10．【解答】解：由题知，
因为a+b+c＝0，
所以x＝1是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根．
又因为关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，且x1＝2x2，
则当x1＝1时，，
则1，
所以．
当x2＝1时，x1＝2，
则1+2，
所以，
综上所述：的值为或﹣3．
故答案为：或﹣3．
三、解答题
11．【解答】解：（1）由题意，
∴k且k≠0；
（2）∵方程有一个根为2，
∴4k﹣4﹣4＝0，
∴k＝2，
∴方程为2x2﹣2x﹣4＝0，即x2﹣x﹣2＝0，
∴（x﹣2）（x+1）＝0，
∴x﹣2＝0或x+1＝0，
∴x＝2或﹣1，
∴另一个根为﹣1．
12．【解答】（1）证明：Δ＝（m+3）2﹣4×1 （m﹣3）
＝m2+2m+21
＝（m+1）2+20
∵（m+1）2≥0，
∴（m+1）2+20＞0恒成立，
故无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：，，
代入x1+x2﹣2x1x2＝2m+1可得：﹣m﹣3﹣2（m﹣3）＝2m+1，
解得．
13．【解答】（1）证明：∵2a+b+c＝0，
∴b＝﹣2a﹣c，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2a﹣c）2﹣4ac＝4a2+c2，
∵ax2+bx+c＝0是关于x的一元二次方程，
∴a≠0，
∴a2＞0，c2≥0
∴Δ＝4a2+c2＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵方程ax2+bx+c＝0的两实根为x1；x2，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵c＝﹣b﹣2a，
∴，
整理得：，
∴，4或1，
∴a，b之间的数量关系为b＝﹣4a或b＝a．
14．【解答】解：（1）由题知，
因为α，β是方程x2﹣3x+1＝0的两根，
所以α+β＝3，αβ＝1．
故答案为：3，1．
（2）因为a，b满足a2﹣5a+3＝0，b2﹣5b+3＝0，
所以a和b可看成是方程x2﹣5x+3＝0的两个根．
因为Δ＝（﹣5）2﹣4×3＝13＞0，
所以a≠b，
所以a+b＝5，ab＝3，
所以．
（3）由a+b+c＝0，abc＝5得，
a+b＝﹣c，ab，
所以a和b可看成方程x2+cx0的两个根，
则Δ＝c20，
解得．
又因为c为正整数，
所以c的最小值为3．
15．【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2，x1 x2．
故答案为：，；
（2）∵一元二次方程 2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m，n，
∴m+n，mn，
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn
＝（）2﹣2×（）
1
；
（3）∵实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0且s≠t，
∴s，t可以看作关于x的方程2x2+3x﹣1＝0的两个根，
∴s+t，st，
∴（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st＝（）2﹣4×（），
∴t﹣s＝±，
∴±，
∴的值为或．
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