第3章 《数据分析初步 》3.3 方差和标准差---浙教版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2023·宁波）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示：
甲 乙 丙 丁
9 8 9 9
1.2 0.4 1.8 0.4
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵甲、丙、丁的平均数都是9，
∴它们的平均水平差不多，
∵S丁2=S乙2＜S甲2＜S丙2，
∴丁和乙的成绩发挥稳定，
∴ 成绩好且发挥稳定的运动员是丁.
故答案为：D
【分析】观察表中数据可知甲、丙、丁的平均数都是9，他们的成绩较好，再比较他们的方差，根据方差越小成绩越稳定，可得到参赛选项.
2．（2018·河北）为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为： = =13， = =15：s甲2=s丁2=3.6，s乙2=s丙2=6.3．则麦苗又高又整齐的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】常用统计量的选择；分析数据的波动程度
【解析】【解答】∵ = ＞ = ，
∴乙、丁的麦苗比甲、丙要高，
∵s甲2=s丁2＜s乙2=s丙2，
∴甲、丁麦苗的长势比乙、丙的长势整齐，
综上，麦苗又高又整齐的是丁，
故答案为：D．
【分析】从平均数来看，乙、丁的麦苗比甲、丙要高，从方差来看，甲、丁麦苗的长势比乙、丙的长势整齐（方差越小，长势越整齐），综上所述可得出答案。
3．（2024·赤峰）在数据收集、整理、描述的过程中，下列说法错误的是( )
A．为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50
B．了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查
C．了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性
D．甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差，，则发挥稳定的是甲
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量；抽样调查的可靠性；方差
【解析】【解答】解： A、为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50，正确，故不符合题意；
B、了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查，正确，故不符合题意；
C、了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性，正确，故不符合题意；
D、甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差，，则发挥稳定的是乙，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据样本容量，全面调查与抽样调查，抽样调查的可靠性，方差的意义逐项判断即可.
4．（2024·凉山州）在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，每个团参加表演的8位女演员身高的折线统计图如下．则甲、乙两团女演员身高的方差s甲2、s乙2大小关系正确的是（ ）
A．s甲2＞s乙2 B．s甲2＜s乙2 C．s甲2＝s乙2 D．无法确定
【答案】B
【知识点】折线统计图；方差
【解析】【解答】解：根据折线统计图，波动越大，方差越小，乙的波动更大，
所以s甲2＜s乙2 .
【分析】根据折线统计图中数据的波动情况判断方差大小即可.
5．（2024·上海）已知某个人要种植，且种子有四种类别：甲、乙、丙、丁.对于每种种子， 发芽天数气稳定性(标准差)如下所示，在同时考量稳定性与种了能快速发芽的情况下，他应该选择（ ）
种类 甲 乙 丙 丁
发芽天数 2.3 2.3 3.1 2.8
标准差 1.05 0.78 1.05 0.78
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【知识点】标准差
【解析】【解答】解：开花时间最短的是甲和乙，标准差最小的是乙和丁，则开花时间最短并且最平稳的是乙种类。
故答案为：B
【分析】本题考查标准差的意义， 标准差能反映一个数据集的离散程度，标准差越小，数据越稳定，据此可得结论。
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2023·东营）为备战东营市第十二届运动会，某县区对甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，他们射击测试成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示：
甲 乙 丙 丁
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择 ．
【答案】丁
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由题意得丁的射击测试成绩的平均数最大且方差最小，
∴丁的成绩又好又稳定，
故答案为：丁
【分析】根据平均数和方差的定义结合题意即可求解。
7．（2024·常州）小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是20m，方差是m2．若第10次投掷标枪的落点恰好在20m线上，且投掷结束后这组成绩的方差是m2，则 （填“＞”、“＝”或“＜”）．
【答案】＞
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：因为前9次的平均成绩是20m，第10次的成绩也是20m，设次成绩的平均数为，
则.
∵
则，
故 .
故答案为：>.
【分析】平均数是所有数据的总和除以数据的个数，而方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数。据此计算出前9次和10次时的平均数和方差，即可判断两次方差的大小.
8．（2023·抚顺）某跳远队准备从甲、乙两名运动员中选取一名成绩稳定的参加比赛，这两名运动员10次测试成绩（单位：m）的平均数是，，方差是，，那么应选 去参加比赛．（填“甲”或“乙”）
【答案】甲
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵0.01=0.01，0.01＜0.02，
∴两人的平均水平相同，S甲2＜S乙2，
∴甲的成绩稳定，应该选甲去参加比赛.
故答案为：甲.
【分析】利用已知可知两人的平均数相同，再比较两人成绩的方差大小，根据方差越小，成绩越稳定，据此可求解.
9．（2024·遂宁）体育老师要在甲和乙两人中选择1人参加篮球投篮大赛，下表是两人5次训练成绩，从稳定的角度考虑，老师应该选 参加比赛.
甲 8 8 7 9 8
乙 6 9 7 9 9
【答案】甲
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：甲同学5次投篮成绩的平均数为：(8+8+7+9+8)÷5=8，
甲同学5次投篮成绩的方差为：[(8-8)2+(8-8)2+(7-8)2+(9-8)2+(8-8)2]=0.4；
乙同学5次投篮成绩的平均数为：(6+9+7+9+9)÷5=8，
乙同学5次投篮成绩的方差为：[(6-8)2+(9-8)2+(7-8)2+(9-8)2+(9-8)2]=1.6，
∵0.4＜1.6，
∴甲同学成绩更加稳定，
∴老师应该选甲同学参加比赛.
故答案为：甲.
【分析】方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，故算出甲乙两同学的方差再比大小即可得出答案.
10．（2019·北京）小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差 ．在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4， 4，9， 5．记这组新数据的方差为 ，则 . (填“ ”，“ ”或“ ”)
【答案】=
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵两组数据的平均值分别为91和1，
=
∴
故答案为:=
【分析】根据方差的计算公式得到两组数据的方差，得到答案即可。
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2024·河南）为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动.在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下.
技术统计表
队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误
甲 26.5 8 2
乙 26 10 3
根据以上信息，回答下列问题.
（1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是 （填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为 分.
（2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好.
（3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误×（-1），且综合得分越高表现越好.请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好.
【答案】（1）甲；29
（2）解：因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定，所以甲队员表现更好.
（3）解：甲的综合得分为：26.5×1+8×1.5+2×（-1）=36.5.
乙的综合得分为：26×1+10×1.5+3×（-1）=38.
因为38>36.5，所以乙队员表现更好.
【知识点】加权平均数及其计算；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）从折线统计图可得甲六场得分波动小，乙六场得分波动大，
∴得分更稳定的队员是甲；
乙队员得分按小到大排列为：14，20，28，30，32，32.
故此时中位数为（28+30）÷2=29（分）；
故答案为：甲；29；
【分析】（1）根据统计图数据波动程度分析稳定性；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（2）根据技术统计表分析平均分和成绩稳定性从而得出赛况表现情况；
（3）按统计表数据分析代入“综合得分”计算公式计算比较得出结论.
12．（2024·北京市）某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.
（1）初赛由10名数师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
a.教师评委打分：
b.学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）：
c.评委打分的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
教师评委 m
学生评委
根据以上信息，回答下列问题：
①m的值为 ，n的值位于学生评委打分数据分组的第 组；
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则 （填“>”“=”或“<”）；
（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：
评委1 评委2 评委3 评委4 评委5
甲
乙
丙 k
若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是 ，表中k（k为整数）的值为 .
【答案】（1）91；4；<
（2）甲；
【知识点】频数（率）分布直方图；平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：（1）①从10名教师评委的打分可以发现出现次数最多的是91分，出现了四次，
∴教师评委打分的众数m=91；
根据直方图，学生评委45为同学的打分从低到高排列后，排23位的成绩在第4组，
故答案为：91；4；
②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为
故答案为：＜；
（2）甲选手的平均数为×(93+90+92+93+92)=92，
甲选手的方差S2甲=×[2× (92-92)2+2×(93 -92)2+（90-92）2]=1，
乙选手的平均数为×(91+92+92+92+92) =91.8，
乙选手的方差S2乙=×[4× (92-91.8)2+(91 -91.8)2]=0.16，
∵甲选手的平均分高于乙选手的平均分，
∴甲的排序在乙的前面，
∵丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，
∴丙选手的平均数大于或等于乙选手的平均数，小于或等于甲选手的平均数，
∵5名专业评委给丙选手的打分为90，94，90，9 4，k
∴93+90 + 92+93+ 92≥90 +94 +90 +94+k≥9 1+92+92+92+92，
即92≥k≥91，
∵k为整数，
∴k=92或91，
当k=92时，
丙选手的平均数为×(90+94+90+94+92) =92，
丙选手的方差为S2丙=×[2× (90-92)2+2×(94 -92)2+（92-92）2]=3.2，
甲选手的平均分等于丙选手的平均分，丙选手的平均分大于乙选手的平均分，且丙选手的方差大于甲选手的方差，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手排序最靠前的是甲，符合题意；
当k=91时丙选手的平均数为×(90+94+90+94+91) =91.8，
丙选手的方差为S2丙=×[2× (90-91.8)2+2×(94 -91.8)2+（91-91.8）2]=3.36，
甲选手的平均分大于丙选手的平均分，丙选手的平均分等于乙选手的平均分，且丙选手的方差大于乙选手的方差，则乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不符合题意；
不符合题意.
故答案为：92.
【分析】（1）平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（2）由题意可得丙选手的平均数大于或等于乙选手的平均数，小于或等于甲选手的平均数，据此建立不等式组求出k的取值范围，再结合k是整数，分情况算出甲、乙、丙的平均数及方差，再比较 即可得出结论.
13．（2024·武威）在阳光中学运动会跳高比赛中，每位选手要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分(单位：分，满分10分)进行了数据的收集、整理和分析，信息如下：
信息一：甲、丙两位选手的得分折线图：
信息二：选手乙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是9.0，8.9，8.3；
信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下：
选手 统计量 甲 乙 丙
平均数 m 9.1 8.9
中位数 9.2 9.0 n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中的值： ， ；
（2）从甲、丙两位选手的得分折线图中可知，选手 发挥的稳定性更好(填“甲”或“丙”)；
（3）该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由.
【答案】（1）9.1；9.1
（2）甲
（3）解：推荐选手甲.理由：选手甲和选手乙的平均数均为9.1分，高于选手丙的平均数，所以从选手甲和选手乙中推荐一位选手参加市级比赛；又因为选手甲比选手乙的中位数高，而且选手甲的最低分高于选手乙的最低分，所以应该推荐选手甲参加市级比赛.
【知识点】折线统计图；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1） 甲的平均数是：m= ×（9.2+8.8+9.3+8.4+9.5）=9.1，
把这些数从小到大排列为：8.3，8.4，9.1，9.3，9.4，
中位数n=9.1；
故答案为：9.1，9.1；
（2） 由题意可知，甲五轮比赛成绩的波动较小，丙的波动较大，所以选手甲发挥的稳定性更好．
故答案为：甲；
【分析】（1）平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；据此求解即可；
（2）观察统计图，找出波动较小的即可得到甲发挥的稳定性更好；
（3）从平均数，中位数和稳定性等方向进行分析描述即可.
14．（2024·泸州）某地两块试验田中分别栽种了甲、乙两种小麦，为了考察这两种小麦的长势，分别从中随机抽取16株麦苗，测得苗高（单位：cm）如下表．
甲 7 8 10 11 11 12 13 13 14 14 14 14 15 16 16 18
乙 7 10 13 11 18 12 13 13 10 13 13 14 15 16 11 17
将数据整理分析，并绘制成以下不完整的统计表格和频数分布直方图．
苗高分组 甲种小麦的频数
a
b
7
3
甲 乙
平均数 12.875 12.875
众数 14 d
中位数 c 13
方差 8.65 7.85
根据所给出的信息，解决下列问题：
（1） ， ，并补全乙种小麦的频数分布直方图；
（2） ， ；
（3）甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是 （填甲或乙）；若从栽种乙种小麦的试验田中随机抽取1200株，试估计苗高在（单位：cm）的株数 ．
【答案】（1）2；4
（2）13.5；13
（3）乙；375
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：（1）由统计表可得甲种小麦苗高在7≤x＜10的频数a=2，
甲种小麦苗高在10≤x＜13的频数b=4；
乙种小麦苗高在13≤x＜16的频数7，
补全乙种小麦苗高的频数分布直方图如下：
故答案为：2，4；
（2）将甲抽取的16株麦苗的高度从低到高排列后排第8与9位的麦苗高度是13和14，
∴甲种小麦苗高的中位数为c=（13+14）÷2=13.5，
从统计表可得乙种小麦苗高的众数为d=13，
故答案为：13.5；13；
（3）∵8.65＞7.85，即甲种小麦苗高的方差大于乙种小麦苗高的方差，
∴ 甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是乙；
若从栽种乙种小麦的试验田中随机抽取1200株，试估计苗高在10≤x＜13的株数为：1200×=375（株）.
故答案为：乙；375.
【分析】（1）由表格可直接得出a，b的值；求出乙种小麦苗高在13x<16的频数，补全乙种小麦的频数分布直方图即可；
（2）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（3）根据方差越大，数据的波动越大，越不稳定，可得甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是乙；根据用样本估计总体，用1200乘以样本中乙种小麦苗高在10≤x<13 (单位：cm)的株数所占的百分比，即可得出答案.
15．（2023·北京）某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：
a.16名学生的身高：
161，162，162，164，165，165，165，166，
166，167，168，168，170，172，172，175
b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：
平均数 中位数 众数
166.75 m n
（1）写出表中m，n的值；
（2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是 （填“甲组”或“乙组”）；
甲组学生的身高 162 165 165 166 166
乙组学生的身高 161 162 164 165 175
（3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为 和 ．
【答案】（1）解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175，
出现次数最多的数是165，出现了3次，即众数，
16个数据中的第8和第9个数据分别是166，166，
∴中位数，
∴，；
（2）甲组
（3）170；172
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】 （2）解：甲组身高的平均数为 ，
甲组身高的方差为
乙组身高的平均数为 ，
乙组身高的方差为 ，
∵
∴舞台呈现效果更好的是甲组，
故答案为：甲组；
（3）解：168，168，172的平均数为
∵所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于 ，
∴数据的差别较小，数据才稳定，
可供选择的有：170， 172，
且选择170， 172时，平均数会增大，
故答案为：170， 172．
【分析】（1）根据中位数、众数的定义结合题意即可求解；
（2）先分别计算出甲组和乙组的平均数，进而即可计算方差，再比较大小即可求解；
（3）先根据题意求出168，168，172的平均数，进而结合题意即可求解。
1 / 1第3章 《数据分析初步 》3.3 方差和标准差---浙教版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2023·宁波）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示：
甲 乙 丙 丁
9 8 9 9
1.2 0.4 1.8 0.4
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．（2018·河北）为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为： = =13， = =15：s甲2=s丁2=3.6，s乙2=s丙2=6.3．则麦苗又高又整齐的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．（2024·赤峰）在数据收集、整理、描述的过程中，下列说法错误的是( )
A．为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50
B．了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查
C．了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性
D．甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差，，则发挥稳定的是甲
4．（2024·凉山州）在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，每个团参加表演的8位女演员身高的折线统计图如下．则甲、乙两团女演员身高的方差s甲2、s乙2大小关系正确的是（ ）
A．s甲2＞s乙2 B．s甲2＜s乙2 C．s甲2＝s乙2 D．无法确定
5．（2024·上海）已知某个人要种植，且种子有四种类别：甲、乙、丙、丁.对于每种种子， 发芽天数气稳定性(标准差)如下所示，在同时考量稳定性与种了能快速发芽的情况下，他应该选择（ ）
种类 甲 乙 丙 丁
发芽天数 2.3 2.3 3.1 2.8
标准差 1.05 0.78 1.05 0.78
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2023·东营）为备战东营市第十二届运动会，某县区对甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，他们射击测试成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示：
甲 乙 丙 丁
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择 ．
7．（2024·常州）小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是20m，方差是m2．若第10次投掷标枪的落点恰好在20m线上，且投掷结束后这组成绩的方差是m2，则 （填“＞”、“＝”或“＜”）．
8．（2023·抚顺）某跳远队准备从甲、乙两名运动员中选取一名成绩稳定的参加比赛，这两名运动员10次测试成绩（单位：m）的平均数是，，方差是，，那么应选 去参加比赛．（填“甲”或“乙”）
9．（2024·遂宁）体育老师要在甲和乙两人中选择1人参加篮球投篮大赛，下表是两人5次训练成绩，从稳定的角度考虑，老师应该选 参加比赛.
甲 8 8 7 9 8
乙 6 9 7 9 9
10．（2019·北京）小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差 ．在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4， 4，9， 5．记这组新数据的方差为 ，则 . (填“ ”，“ ”或“ ”)
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2024·河南）为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动.在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下.
技术统计表
队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误
甲 26.5 8 2
乙 26 10 3
根据以上信息，回答下列问题.
（1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是 （填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为 分.
（2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好.
（3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误×（-1），且综合得分越高表现越好.请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好.
12．（2024·北京市）某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.
（1）初赛由10名数师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
a.教师评委打分：
b.学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）：
c.评委打分的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
教师评委 m
学生评委
根据以上信息，回答下列问题：
①m的值为 ，n的值位于学生评委打分数据分组的第 组；
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则 （填“>”“=”或“<”）；
（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：
评委1 评委2 评委3 评委4 评委5
甲
乙
丙 k
若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是 ，表中k（k为整数）的值为 .
13．（2024·武威）在阳光中学运动会跳高比赛中，每位选手要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分(单位：分，满分10分)进行了数据的收集、整理和分析，信息如下：
信息一：甲、丙两位选手的得分折线图：
信息二：选手乙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是9.0，8.9，8.3；
信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下：
选手 统计量 甲 乙 丙
平均数 m 9.1 8.9
中位数 9.2 9.0 n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中的值： ， ；
（2）从甲、丙两位选手的得分折线图中可知，选手 发挥的稳定性更好(填“甲”或“丙”)；
（3）该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由.
14．（2024·泸州）某地两块试验田中分别栽种了甲、乙两种小麦，为了考察这两种小麦的长势，分别从中随机抽取16株麦苗，测得苗高（单位：cm）如下表．
甲 7 8 10 11 11 12 13 13 14 14 14 14 15 16 16 18
乙 7 10 13 11 18 12 13 13 10 13 13 14 15 16 11 17
将数据整理分析，并绘制成以下不完整的统计表格和频数分布直方图．
苗高分组 甲种小麦的频数
a
b
7
3
甲 乙
平均数 12.875 12.875
众数 14 d
中位数 c 13
方差 8.65 7.85
根据所给出的信息，解决下列问题：
（1） ， ，并补全乙种小麦的频数分布直方图；
（2） ， ；
（3）甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是 （填甲或乙）；若从栽种乙种小麦的试验田中随机抽取1200株，试估计苗高在（单位：cm）的株数 ．
15．（2023·北京）某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：
a.16名学生的身高：
161，162，162，164，165，165，165，166，
166，167，168，168，170，172，172，175
b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：
平均数 中位数 众数
166.75 m n
（1）写出表中m，n的值；
（2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是 （填“甲组”或“乙组”）；
甲组学生的身高 162 165 165 166 166
乙组学生的身高 161 162 164 165 175
（3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为 和 ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵甲、丙、丁的平均数都是9，
∴它们的平均水平差不多，
∵S丁2=S乙2＜S甲2＜S丙2，
∴丁和乙的成绩发挥稳定，
∴ 成绩好且发挥稳定的运动员是丁.
故答案为：D
【分析】观察表中数据可知甲、丙、丁的平均数都是9，他们的成绩较好，再比较他们的方差，根据方差越小成绩越稳定，可得到参赛选项.
2．【答案】D
【知识点】常用统计量的选择；分析数据的波动程度
【解析】【解答】∵ = ＞ = ，
∴乙、丁的麦苗比甲、丙要高，
∵s甲2=s丁2＜s乙2=s丙2，
∴甲、丁麦苗的长势比乙、丙的长势整齐，
综上，麦苗又高又整齐的是丁，
故答案为：D．
【分析】从平均数来看，乙、丁的麦苗比甲、丙要高，从方差来看，甲、丁麦苗的长势比乙、丙的长势整齐（方差越小，长势越整齐），综上所述可得出答案。
3．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量；抽样调查的可靠性；方差
【解析】【解答】解： A、为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50，正确，故不符合题意；
B、了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查，正确，故不符合题意；
C、了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性，正确，故不符合题意；
D、甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差，，则发挥稳定的是乙，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据样本容量，全面调查与抽样调查，抽样调查的可靠性，方差的意义逐项判断即可.
4．【答案】B
【知识点】折线统计图；方差
【解析】【解答】解：根据折线统计图，波动越大，方差越小，乙的波动更大，
所以s甲2＜s乙2 .
【分析】根据折线统计图中数据的波动情况判断方差大小即可.
5．【答案】B
【知识点】标准差
【解析】【解答】解：开花时间最短的是甲和乙，标准差最小的是乙和丁，则开花时间最短并且最平稳的是乙种类。
故答案为：B
【分析】本题考查标准差的意义， 标准差能反映一个数据集的离散程度，标准差越小，数据越稳定，据此可得结论。
6．【答案】丁
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由题意得丁的射击测试成绩的平均数最大且方差最小，
∴丁的成绩又好又稳定，
故答案为：丁
【分析】根据平均数和方差的定义结合题意即可求解。
7．【答案】＞
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：因为前9次的平均成绩是20m，第10次的成绩也是20m，设次成绩的平均数为，
则.
∵
则，
故 .
故答案为：>.
【分析】平均数是所有数据的总和除以数据的个数，而方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数。据此计算出前9次和10次时的平均数和方差，即可判断两次方差的大小.
8．【答案】甲
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵0.01=0.01，0.01＜0.02，
∴两人的平均水平相同，S甲2＜S乙2，
∴甲的成绩稳定，应该选甲去参加比赛.
故答案为：甲.
【分析】利用已知可知两人的平均数相同，再比较两人成绩的方差大小，根据方差越小，成绩越稳定，据此可求解.
9．【答案】甲
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：甲同学5次投篮成绩的平均数为：(8+8+7+9+8)÷5=8，
甲同学5次投篮成绩的方差为：[(8-8)2+(8-8)2+(7-8)2+(9-8)2+(8-8)2]=0.4；
乙同学5次投篮成绩的平均数为：(6+9+7+9+9)÷5=8，
乙同学5次投篮成绩的方差为：[(6-8)2+(9-8)2+(7-8)2+(9-8)2+(9-8)2]=1.6，
∵0.4＜1.6，
∴甲同学成绩更加稳定，
∴老师应该选甲同学参加比赛.
故答案为：甲.
【分析】方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，故算出甲乙两同学的方差再比大小即可得出答案.
10．【答案】=
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵两组数据的平均值分别为91和1，
=
∴
故答案为:=
【分析】根据方差的计算公式得到两组数据的方差，得到答案即可。
11．【答案】（1）甲；29
（2）解：因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定，所以甲队员表现更好.
（3）解：甲的综合得分为：26.5×1+8×1.5+2×（-1）=36.5.
乙的综合得分为：26×1+10×1.5+3×（-1）=38.
因为38>36.5，所以乙队员表现更好.
【知识点】加权平均数及其计算；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）从折线统计图可得甲六场得分波动小，乙六场得分波动大，
∴得分更稳定的队员是甲；
乙队员得分按小到大排列为：14，20，28，30，32，32.
故此时中位数为（28+30）÷2=29（分）；
故答案为：甲；29；
【分析】（1）根据统计图数据波动程度分析稳定性；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（2）根据技术统计表分析平均分和成绩稳定性从而得出赛况表现情况；
（3）按统计表数据分析代入“综合得分”计算公式计算比较得出结论.
12．【答案】（1）91；4；<
（2）甲；
【知识点】频数（率）分布直方图；平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：（1）①从10名教师评委的打分可以发现出现次数最多的是91分，出现了四次，
∴教师评委打分的众数m=91；
根据直方图，学生评委45为同学的打分从低到高排列后，排23位的成绩在第4组，
故答案为：91；4；
②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为
故答案为：＜；
（2）甲选手的平均数为×(93+90+92+93+92)=92，
甲选手的方差S2甲=×[2× (92-92)2+2×(93 -92)2+（90-92）2]=1，
乙选手的平均数为×(91+92+92+92+92) =91.8，
乙选手的方差S2乙=×[4× (92-91.8)2+(91 -91.8)2]=0.16，
∵甲选手的平均分高于乙选手的平均分，
∴甲的排序在乙的前面，
∵丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，
∴丙选手的平均数大于或等于乙选手的平均数，小于或等于甲选手的平均数，
∵5名专业评委给丙选手的打分为90，94，90，9 4，k
∴93+90 + 92+93+ 92≥90 +94 +90 +94+k≥9 1+92+92+92+92，
即92≥k≥91，
∵k为整数，
∴k=92或91，
当k=92时，
丙选手的平均数为×(90+94+90+94+92) =92，
丙选手的方差为S2丙=×[2× (90-92)2+2×(94 -92)2+（92-92）2]=3.2，
甲选手的平均分等于丙选手的平均分，丙选手的平均分大于乙选手的平均分，且丙选手的方差大于甲选手的方差，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手排序最靠前的是甲，符合题意；
当k=91时丙选手的平均数为×(90+94+90+94+91) =91.8，
丙选手的方差为S2丙=×[2× (90-91.8)2+2×(94 -91.8)2+（91-91.8）2]=3.36，
甲选手的平均分大于丙选手的平均分，丙选手的平均分等于乙选手的平均分，且丙选手的方差大于乙选手的方差，则乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不符合题意；
不符合题意.
故答案为：92.
【分析】（1）平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（2）由题意可得丙选手的平均数大于或等于乙选手的平均数，小于或等于甲选手的平均数，据此建立不等式组求出k的取值范围，再结合k是整数，分情况算出甲、乙、丙的平均数及方差，再比较 即可得出结论.
13．【答案】（1）9.1；9.1
（2）甲
（3）解：推荐选手甲.理由：选手甲和选手乙的平均数均为9.1分，高于选手丙的平均数，所以从选手甲和选手乙中推荐一位选手参加市级比赛；又因为选手甲比选手乙的中位数高，而且选手甲的最低分高于选手乙的最低分，所以应该推荐选手甲参加市级比赛.
【知识点】折线统计图；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1） 甲的平均数是：m= ×（9.2+8.8+9.3+8.4+9.5）=9.1，
把这些数从小到大排列为：8.3，8.4，9.1，9.3，9.4，
中位数n=9.1；
故答案为：9.1，9.1；
（2） 由题意可知，甲五轮比赛成绩的波动较小，丙的波动较大，所以选手甲发挥的稳定性更好．
故答案为：甲；
【分析】（1）平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；据此求解即可；
（2）观察统计图，找出波动较小的即可得到甲发挥的稳定性更好；
（3）从平均数，中位数和稳定性等方向进行分析描述即可.
14．【答案】（1）2；4
（2）13.5；13
（3）乙；375
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：（1）由统计表可得甲种小麦苗高在7≤x＜10的频数a=2，
甲种小麦苗高在10≤x＜13的频数b=4；
乙种小麦苗高在13≤x＜16的频数7，
补全乙种小麦苗高的频数分布直方图如下：
故答案为：2，4；
（2）将甲抽取的16株麦苗的高度从低到高排列后排第8与9位的麦苗高度是13和14，
∴甲种小麦苗高的中位数为c=（13+14）÷2=13.5，
从统计表可得乙种小麦苗高的众数为d=13，
故答案为：13.5；13；
（3）∵8.65＞7.85，即甲种小麦苗高的方差大于乙种小麦苗高的方差，
∴ 甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是乙；
若从栽种乙种小麦的试验田中随机抽取1200株，试估计苗高在10≤x＜13的株数为：1200×=375（株）.
故答案为：乙；375.
【分析】（1）由表格可直接得出a，b的值；求出乙种小麦苗高在13x<16的频数，补全乙种小麦的频数分布直方图即可；
（2）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（3）根据方差越大，数据的波动越大，越不稳定，可得甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是乙；根据用样本估计总体，用1200乘以样本中乙种小麦苗高在10≤x<13 (单位：cm)的株数所占的百分比，即可得出答案.
15．【答案】（1）解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175，
出现次数最多的数是165，出现了3次，即众数，
16个数据中的第8和第9个数据分别是166，166，
∴中位数，
∴，；
（2）甲组
（3）170；172
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】 （2）解：甲组身高的平均数为 ，
甲组身高的方差为
乙组身高的平均数为 ，
乙组身高的方差为 ，
∵
∴舞台呈现效果更好的是甲组，
故答案为：甲组；
（3）解：168，168，172的平均数为
∵所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于 ，
∴数据的差别较小，数据才稳定，
可供选择的有：170， 172，
且选择170， 172时，平均数会增大，
故答案为：170， 172．
【分析】（1）根据中位数、众数的定义结合题意即可求解；
（2）先分别计算出甲组和乙组的平均数，进而即可计算方差，再比较大小即可求解；
（3）先根据题意求出168，168，172的平均数，进而结合题意即可求解。
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