第2章 《一元二次方程》——浙教版数学八年级下册单元检测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2019·遂宁）已知关于x的一元二次方程 有一个根为 ，则a的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有一个根为 ，
∴ ， ，
则a的值为： ．
故答案为：D．
【分析】将x=0代入方程可得a2-1=0，由一元二次方程的定义，可得a-1≠0，从而求出a的值.
2．（2020·临沂）一元二次方程 的解是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵ 中，
a=1，b=-4，c=-8，
∴△=16-4×1×（-8）=48＞0，
∴方程有两个不相等的实数根
∴x= ，
即 ， ，
故答案为：B.
【分析】得出方程各项系数，再利用公式法求解即可.
3．（2024·吉林）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．（x﹣2）2＝﹣1 B．（x﹣2）2＝0
C．（x﹣2）2＝1 D．（x﹣2）2＝2
【答案】B
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A、∵(x-2)2=-1＜0，∴该方程无实数根，此选项不符合题意；
B、∵(x-2)2=0，∴x-2=0，解得x1=x2=2，故该方程有两个相等的实数根，此选项符合题意；
C、∵(x-2)2=1，∴x-2=±1，解得x1=3，x2=1，故该方程有两个不相等的实数根，此选项不符合题意；
D、∵(x-2)2=2，∴x-2=±，解得x1=，x2=，故该方程有两个不相等的实数根，此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据偶数次幂的非负性可判断A选项；利用直接开平方法求出B、C、D三个方程的根，即可判断得出答案.
4．（2021·聊城）关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是﹣2，则k值为（ ）
A．2或4 B．0或4 C．﹣2或0 D．﹣2或2
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：将x=-2代入原方程得到： ，
解关于k的一元二次方程得：k=0或4，
故答案为：B．
【分析】先求出 ，再计算求解即可。
5．（2024九上·惠州期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A.
【分析】由含参数k的方程代入判别式中，利用非负性判断得出结论.
6．（2019·南通）用配方法解方程 ，变形后的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
，
所以 。
故答案为：D。
【分析】将常数项移到方程的右边，左右两边同时加上一次项系数一半的平方16，左边凑成一个完全平方式利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可。
7．（2024·宿迁）规定：对于任意实数a、b、c，有【a，b】★c＝ac+b，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1＝2×1+3＝5．若关于x的方程【x，x+1】★（mx）＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A．m B．m C．m且m≠0 D．m且m≠0
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意，得【x，x+1】 ★ (mx)=mx2+x+1=0，
∵关于x的方程【x，x+1】 ★ (mx)=0有两个不相等的实数根，
∴12-4m×1=1-4m>0，m≠0，
解得：且m≠0，
故答案为：D.
【分析】根据新定义得关于x的方程mx2+x+1=0，再根据一元二次方程根的判别式得1-4m>0，m≠0，解不等式即可求出m的取值范围.
8．（2024·呼和浩特）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（ ）
A． B．x（60+x）＝864
C．x（60﹣x）＝864 D．x（30﹣x）＝864
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设长为步，则宽为步，
故答案为：C.
【分析】设长为步，则宽为步，进而根据矩形的面积计算公式即可得到方程为据此即可求解.
9．（2022·乐山）关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，则这两根之积为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，
设另一根为，则，
，
.
故答案为：D.
【分析】设另一根为x2，根据根与系数的关系可得1+x2==，求出x2，然后根据有理数的乘法法则进行计算.
10．（2024·绥化）小影与小冬一起写作业， 在解一道一元二次方程时， 小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是 6 和 1 ；小冬在化简过程中写错了一次项的系数， 因而得到方程的两个根是 -2 和 -5 . 则原来的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设一元二次方程为
由题意知：6+1=-b，-2×(-5)=c
∴b=-7，c=10
∴方程为：
故选B.
【分析】本题考查的是韦达定理：，根据韦达定理即可解决问题.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024·宁海）已知是一元二次方程的一个解，则代数式的值是 ．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x= a代入方程得： ，
故答案为：2.
【分析】把x =a代入方程 得 整体代入是计算即可.
12．（2022·荆州）一元二次方程 配方为 ，则k的值是 .
【答案】1
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∴
故答案为：1.
【分析】先将常数项移到方程的右边，再在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方“4”，将左边写成完全平方式，即可求出k值.
13．（2024·广东）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 .
【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：c=1.
故答案为：1.
【分析】由一元二次方程根的情况直接利用判别式建立关系解之即可.
14．（2024·广州） 定义新运算：例如：，．若，则的值为 ．
【答案】或
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：当x≤0时，由新运算可得x2-1=，
∴x2=，
解得x1=(舍去)，x2=；
当x＞0时，由新运算可得-x+1=，
解得x=，
综上x的值为：或.
故答案为：或.
【分析】根据新运算定义，分当x≤0时与当x＞0时两种情况，分别列出方程，解方程再判断出符合题意的x的值即可.
15．（2024·泸州）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
【答案】14
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2-3x-5=0的解，
∴x1+x2=3，x1x2=-5，
∴(x1-x2)2+3x1x2=(x1+x2)2-x1x2=32-(-5)=14.
故答案为：14.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2与x1x2的值，然后利用配方法将待求式子变形为(x1+x2)2-x1x2后整体代入计算可得答案.
16．（2022·青海）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设剪去的正方形边长为xcm，根据题意得：
．
故答案为：
【分析】根据小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒， 列方程求解即可。
三、解答题（共10题，共72分）
17．（2020·南京）解方程： .
【答案】解：因式分解得：（x+1）（x-3）=0，
即x+1=0或x-3=0，
解得：x1=-1，x2=3
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】将方程的左边因式分解后即可求得方程的解
18．（2022·齐齐哈尔）解方程：
【答案】解：∵
∴或
解得，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】利用直接开平方法求解一元二次方程即可。
19．（2021·常德）解方程：
【答案】解：由原方程，得：
（x+1）（x﹣2）=0，
解得：x1=2，x2=﹣1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】观察方程的特点：右边为0，左边可以分解因式，因此利用因式分解法求出方程的解.
20．（2020·黄石模拟）解方程
【答案】解： ，
移项得： ，
配方得： ，
，
开方得： ，
解得， 或 .
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】先把方程移项变形为 ，配方得到 ，然后开方求解即可.
21．（2021·北京）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若 ，且该方程的两个实数根的差为2，求 的值．
【答案】（1）证明：由题意得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：设关于 的一元二次方程 的两实数根为 ，则有： ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴ ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系求解即可。
22．（2018·北京）关于 的一元二次方程 ．
（1）当 时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的 ， 的值，并求此时方程的根．
【答案】（1）解：由题意： ．
∵ ，
∴原方程有两个不相等的实数根
（2）解：答案不唯一，满足 （ ）即可，例如：
解：令 ， ，则原方程为 ，
解得：
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据题干此题是关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+1=0 ．即可得出二次项系数 a ≠ 0 ．然后根据一元二次方程根的判别式 =b2-4ac，及 b=a+2算出判别式的值并化简，根据化简的结果及偶次方的非负性得出 =b2-4ac＞0，从而作出判断；
（2）此题是一个开放性的命题，所写的值只要满足b2-4a=0，且a ≠ 0即可。
23．（2023·南充）已知关于x的一元二次方程
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值．
【答案】（1）证明：关于的一元二次方程，
∴，，，
∴，
∵，即，
∴不论为何值，方程总有实数根；
（2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴，整理，得，解得，，
∴m的值为或．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的情况与判别式的关系即可求解；
（2）先根据一元二次方程根与系数的关系即可得到，，再结合题意即可得到，进而即可得到一个关于m的一元二次方程，进而即可求解。
24．（2024·遂宁）已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为，，且，求m的值.
【答案】（1）证明：，
无论m取何值，，恒成立，
无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：，是方程的两个实数根，
，，
∵，
∴
解得：或.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；配方法的应用
【解析】【分析】（1）此题就是证明根的判别式△=b2-4ac一定大于零即可；
（2）由一元二次方程根与系数关系可得，，进而将已知等式利用配方法变形为，最后整体代入可得关于字母m的方程，求解可得m的值.
25．（2023·东营）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设矩形的边，则边．
根据题意，得．
化简，得．
解得，．
当时，；
当时，．
答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈．
（2）解：不能，理由如下：
由题意，得．
化简，得．
∵，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意结合图片即可列出方程，进而得到x，再分类计算即可求解；
（2）不能，先由（1）中的式子，代入面积，进而根据一元二次方程根的判别式即可求解。
26．（2023·通辽）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴．
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程的两个实数根为，则 ， ；
（2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值；
（3）提升：已知实数s，t满足且，求的值．
【答案】（1）；
（2）解：∵一元二次方程的两根分别为m、n，
∴，，
∴
；
（3）解：∵实数s、t满足，
∴s、t可以看作方程的两个根，
∴，，
∵
，
∴或，
当时，
，
当时，
，
综上分析可知，的值为或．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的通分；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2=-=，x1x2==-.
故答案为：，-.
【分析】（1）直接根据一元二次方程根与系数的关系进行解答；
（2）根据根与系数的关系可得m+n=，mn=-，然后根据m2+n2=(m+n)2-2mn进行计算；
（3）由题意可得：s、t可以看作方程2x2+3x-1=0的两个根，则s+t=，st=-，根据(t-s)2=(t+s)2-4st可求出t-s的值，对待求式通分可得，据此计算.
1 / 1第2章 《一元二次方程》——浙教版数学八年级下册单元检测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2019·遂宁）已知关于x的一元二次方程 有一个根为 ，则a的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
2．（2020·临沂）一元二次方程 的解是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．（2024·吉林）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．（x﹣2）2＝﹣1 B．（x﹣2）2＝0
C．（x﹣2）2＝1 D．（x﹣2）2＝2
4．（2021·聊城）关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是﹣2，则k值为（ ）
A．2或4 B．0或4 C．﹣2或0 D．﹣2或2
5．（2024九上·惠州期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
6．（2019·南通）用配方法解方程 ，变形后的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·宿迁）规定：对于任意实数a、b、c，有【a，b】★c＝ac+b，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1＝2×1+3＝5．若关于x的方程【x，x+1】★（mx）＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A．m B．m C．m且m≠0 D．m且m≠0
8．（2024·呼和浩特）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（ ）
A． B．x（60+x）＝864
C．x（60﹣x）＝864 D．x（30﹣x）＝864
9．（2022·乐山）关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，则这两根之积为（ ）
A． B． C．1 D．
10．（2024·绥化）小影与小冬一起写作业， 在解一道一元二次方程时， 小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是 6 和 1 ；小冬在化简过程中写错了一次项的系数， 因而得到方程的两个根是 -2 和 -5 . 则原来的方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024·宁海）已知是一元二次方程的一个解，则代数式的值是 ．
12．（2022·荆州）一元二次方程 配方为 ，则k的值是 .
13．（2024·广东）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 .
14．（2024·广州） 定义新运算：例如：，．若，则的值为 ．
15．（2024·泸州）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
16．（2022·青海）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 ．
三、解答题（共10题，共72分）
17．（2020·南京）解方程： .
18．（2022·齐齐哈尔）解方程：
19．（2021·常德）解方程：
20．（2020·黄石模拟）解方程
21．（2021·北京）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若 ，且该方程的两个实数根的差为2，求 的值．
22．（2018·北京）关于 的一元二次方程 ．
（1）当 时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的 ， 的值，并求此时方程的根．
23．（2023·南充）已知关于x的一元二次方程
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值．
24．（2024·遂宁）已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为，，且，求m的值.
25．（2023·东营）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
26．（2023·通辽）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴．
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程的两个实数根为，则 ， ；
（2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值；
（3）提升：已知实数s，t满足且，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有一个根为 ，
∴ ， ，
则a的值为： ．
故答案为：D．
【分析】将x=0代入方程可得a2-1=0，由一元二次方程的定义，可得a-1≠0，从而求出a的值.
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵ 中，
a=1，b=-4，c=-8，
∴△=16-4×1×（-8）=48＞0，
∴方程有两个不相等的实数根
∴x= ，
即 ， ，
故答案为：B.
【分析】得出方程各项系数，再利用公式法求解即可.
3．【答案】B
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A、∵(x-2)2=-1＜0，∴该方程无实数根，此选项不符合题意；
B、∵(x-2)2=0，∴x-2=0，解得x1=x2=2，故该方程有两个相等的实数根，此选项符合题意；
C、∵(x-2)2=1，∴x-2=±1，解得x1=3，x2=1，故该方程有两个不相等的实数根，此选项不符合题意；
D、∵(x-2)2=2，∴x-2=±，解得x1=，x2=，故该方程有两个不相等的实数根，此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据偶数次幂的非负性可判断A选项；利用直接开平方法求出B、C、D三个方程的根，即可判断得出答案.
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：将x=-2代入原方程得到： ，
解关于k的一元二次方程得：k=0或4，
故答案为：B．
【分析】先求出 ，再计算求解即可。
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A.
【分析】由含参数k的方程代入判别式中，利用非负性判断得出结论.
6．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
，
所以 。
故答案为：D。
【分析】将常数项移到方程的右边，左右两边同时加上一次项系数一半的平方16，左边凑成一个完全平方式利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可。
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意，得【x，x+1】 ★ (mx)=mx2+x+1=0，
∵关于x的方程【x，x+1】 ★ (mx)=0有两个不相等的实数根，
∴12-4m×1=1-4m>0，m≠0，
解得：且m≠0，
故答案为：D.
【分析】根据新定义得关于x的方程mx2+x+1=0，再根据一元二次方程根的判别式得1-4m>0，m≠0，解不等式即可求出m的取值范围.
8．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设长为步，则宽为步，
故答案为：C.
【分析】设长为步，则宽为步，进而根据矩形的面积计算公式即可得到方程为据此即可求解.
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，
设另一根为，则，
，
.
故答案为：D.
【分析】设另一根为x2，根据根与系数的关系可得1+x2==，求出x2，然后根据有理数的乘法法则进行计算.
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设一元二次方程为
由题意知：6+1=-b，-2×(-5)=c
∴b=-7，c=10
∴方程为：
故选B.
【分析】本题考查的是韦达定理：，根据韦达定理即可解决问题.
11．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x= a代入方程得： ，
故答案为：2.
【分析】把x =a代入方程 得 整体代入是计算即可.
12．【答案】1
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∴
故答案为：1.
【分析】先将常数项移到方程的右边，再在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方“4”，将左边写成完全平方式，即可求出k值.
13．【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：c=1.
故答案为：1.
【分析】由一元二次方程根的情况直接利用判别式建立关系解之即可.
14．【答案】或
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：当x≤0时，由新运算可得x2-1=，
∴x2=，
解得x1=(舍去)，x2=；
当x＞0时，由新运算可得-x+1=，
解得x=，
综上x的值为：或.
故答案为：或.
【分析】根据新运算定义，分当x≤0时与当x＞0时两种情况，分别列出方程，解方程再判断出符合题意的x的值即可.
15．【答案】14
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2-3x-5=0的解，
∴x1+x2=3，x1x2=-5，
∴(x1-x2)2+3x1x2=(x1+x2)2-x1x2=32-(-5)=14.
故答案为：14.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2与x1x2的值，然后利用配方法将待求式子变形为(x1+x2)2-x1x2后整体代入计算可得答案.
16．【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设剪去的正方形边长为xcm，根据题意得：
．
故答案为：
【分析】根据小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒， 列方程求解即可。
17．【答案】解：因式分解得：（x+1）（x-3）=0，
即x+1=0或x-3=0，
解得：x1=-1，x2=3
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】将方程的左边因式分解后即可求得方程的解
18．【答案】解：∵
∴或
解得，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】利用直接开平方法求解一元二次方程即可。
19．【答案】解：由原方程，得：
（x+1）（x﹣2）=0，
解得：x1=2，x2=﹣1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】观察方程的特点：右边为0，左边可以分解因式，因此利用因式分解法求出方程的解.
20．【答案】解： ，
移项得： ，
配方得： ，
，
开方得： ，
解得， 或 .
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】先把方程移项变形为 ，配方得到 ，然后开方求解即可.
21．【答案】（1）证明：由题意得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：设关于 的一元二次方程 的两实数根为 ，则有： ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴ ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系求解即可。
22．【答案】（1）解：由题意： ．
∵ ，
∴原方程有两个不相等的实数根
（2）解：答案不唯一，满足 （ ）即可，例如：
解：令 ， ，则原方程为 ，
解得：
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据题干此题是关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+1=0 ．即可得出二次项系数 a ≠ 0 ．然后根据一元二次方程根的判别式 =b2-4ac，及 b=a+2算出判别式的值并化简，根据化简的结果及偶次方的非负性得出 =b2-4ac＞0，从而作出判断；
（2）此题是一个开放性的命题，所写的值只要满足b2-4a=0，且a ≠ 0即可。
23．【答案】（1）证明：关于的一元二次方程，
∴，，，
∴，
∵，即，
∴不论为何值，方程总有实数根；
（2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴，整理，得，解得，，
∴m的值为或．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的情况与判别式的关系即可求解；
（2）先根据一元二次方程根与系数的关系即可得到，，再结合题意即可得到，进而即可得到一个关于m的一元二次方程，进而即可求解。
24．【答案】（1）证明：，
无论m取何值，，恒成立，
无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：，是方程的两个实数根，
，，
∵，
∴
解得：或.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；配方法的应用
【解析】【分析】（1）此题就是证明根的判别式△=b2-4ac一定大于零即可；
（2）由一元二次方程根与系数关系可得，，进而将已知等式利用配方法变形为，最后整体代入可得关于字母m的方程，求解可得m的值.
25．【答案】（1）解：设矩形的边，则边．
根据题意，得．
化简，得．
解得，．
当时，；
当时，．
答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈．
（2）解：不能，理由如下：
由题意，得．
化简，得．
∵，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意结合图片即可列出方程，进而得到x，再分类计算即可求解；
（2）不能，先由（1）中的式子，代入面积，进而根据一元二次方程根的判别式即可求解。
26．【答案】（1）；
（2）解：∵一元二次方程的两根分别为m、n，
∴，，
∴
；
（3）解：∵实数s、t满足，
∴s、t可以看作方程的两个根，
∴，，
∵
，
∴或，
当时，
，
当时，
，
综上分析可知，的值为或．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的通分；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2=-=，x1x2==-.
故答案为：，-.
【分析】（1）直接根据一元二次方程根与系数的关系进行解答；
（2）根据根与系数的关系可得m+n=，mn=-，然后根据m2+n2=(m+n)2-2mn进行计算；
（3）由题意可得：s、t可以看作方程2x2+3x-1=0的两个根，则s+t=，st=-，根据(t-s)2=(t+s)2-4st可求出t-s的值，对待求式通分可得，据此计算.
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