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专题3.3 方差和标准差七大题型（一课一讲）
（内容：方差与标准差及其应用）
【浙教版】
题型一：求一组数据的方差
【经典例题1】5个同学进行投篮比赛，投中的个数分别是6，8，10，7，9，这组数据的方差是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练1-1】某射击爱好者的8次射击成绩（单位：环）依次为7，9，10，8，9，8，10，10，则下列结论正确的是（ ）
A．众数是9环 B．中位数是9环
C．平均数是8环 D．方差是1.2环
【变式训练1-2】某校随机调查了部分学生一周内背诵诗词的数量，并根据调查结果绘制成如图所示的折线统计图，分析图中的数据，则下列说法错误的是（ ）
A．众数是5 B．平均数是5.3
C．中位数是4 D．方差是0.81
【变式训练1-3】学校要求学生每天坚持体育锻炼，小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间，并制作了如图所示的统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（ ）
A．平均数为73分钟 B．众数为88分钟 C．中位数为67分钟 D．方差为60
【变式训练1-4】某校组织开展“篮球杯”赛事活动，其中参赛的六个班得分分别为“55，64，51，50，■，55”，整理时不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【变式训练1-5】小明计算出一组数据的方差为，小丽将这组数据中每个数据都除以，所得新数据的方差是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-6】某次射击比赛，甲队员的成绩如图所示，根据此统计图，判断下列结论中错误的是（ ）
A．最高成绩是9.4环 B．这组成绩的中位数是9环
C．这组成绩的众数是9环 D．这组成绩的方差是8.7
题型二：利用方差求未知数据的值
【经典例题2】淇淇在计算一组数据的方差时，列得没有化简的算式：
．关于这组数据，下列说法：①平均数是4；②中位数是4；③众数是5；④样本总数．其中不正确的结论是（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练2-1】为计算某样本数据的方差，列出如下算式，据此判断下列说法错误的是（ ）
A．n的值是4 B．样本平均数是4
C．样本众数是3 D．样本中位数是3
【变式训练2-2】如果样本方差，那么这个样本的平均数和样本容量分别为（ ）
A．2，4 B．2，6 C．3，6 D．4，6
【变式训练2-3】若1、2、3、4、x的方差与3、4、5、6、7的方差相等，则
【变式训练2-4】若一组数据2，3，x，4，5的方差为2，则这组数据的中位数为 ．
【变式训练2-5】一组数据，6，6，6，6，6的方差为0，则的值为 ．
【变式训练2-6】一组有n个数据的样本的平均数为x，它的方差为，则＝ ．
题型三：已知一组数据的方差，求另一组数据的相关值
【经典例题3】如果用公式计算一组数据的方差，那么数据，，，…，的和是（ ）
A．268 B．240 C．90 D．43
【变式训练3-1】已知一组数据、、、的平均数是2，方差为2，那么另一组数，，，的平均数和方差分别是（ ）
A．3，2 B．3，7 C．3，8 D．2，3
【变式训练3-2】已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是3，那么另一组数据3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的平均数和方差分别是（ ）
A．2，3 B．6，9 C．6，27 D．6，18
【变式训练3-3】已知一组数据的平均数是4，方差是6，则，的平均数和方差分别为（ ）
A．4和6 B．16和6 C．4和22 D．16和54
【变式训练3-4】下列说法正确的是（ ）
A．计算两个班同学数学成绩的平均分，可以用两个班的平均分除以2即可；
B．10，9，10，12，11，12这组数据的众数是10；
C．若，，，…，的平均数是，那么
D．若，，，…，的方差是，那么，，，…方差是．
【变式训练3-5】已知三个数据的平均数为2，方差为1，则的平均数为 ．
题型四：根据方差判断数据的稳定性
【经典例题4】甲、乙、丙、丁四位学生参加立定跳远训练，他们近期5次训练的平均成绩相同，设甲、乙、丙、丁这5次训练成绩的方差分别是，，，，且，，，，则四位学生中这5次训练成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【变式训练4-1】甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如表所示：
甲 乙 丙 丁
9.5 9.5 8.2 8.5
0.09 0.65 0.16 2.85
根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【变式训练4-2】射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为和，则和的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【变式训练4-3】小姜，小徐，小林正在玩射击游戏，小姜同学四次成绩分别为9.5环、9.7环、10.5环、10.3环；小徐同学的四次成绩分别为9.6环、9.7环、10.7环、10.0环；小林同学四次成绩分别为9.8环、9.5环、10.6环、10.1环，则他们成绩较为稳定的是（ ）
A．小姜同学 B．小徐同学 C．小林同学 D．一样稳定
【变式训练4-4】为丰富学校课余生活，某校举行射击比赛．甲、乙两人参加学校举行的射击比赛，他们射击10次的成绩制成折线统计图如图所示，已知两人的射击平均成绩均为环，则下列说法正确的是（ ）
A．甲的成绩比乙的成绩更稳定
B．乙的成绩比甲的成绩更稳定
C．甲的10次射击成绩中，最好的成绩是9环
D．乙的10次射击成绩中，最差的成绩是4环
【变式训练4-5】2024年11月17日，世界沙滩排球职业巡回赛挑战赛收官，中国组合获女子组冠军，这一胜利也将进一步激活中国沙滩体育运动的活力．为此，某校进行了一次排球比赛，已知甲、乙两支队伍中队员的平均身高相等，均为，甲队5名队员身高的方差为，乙队5名队员的身高依次为、、、、，那么两队中身高更整齐的是 队．（填“甲”或“乙”）
题型五：求一组数据的标准差
【经典例题5】一组数据的平均数为，则数据的标准差和中位数分别为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】运动会米赛跑，位运动员成绩如下表所示，其中有两个数据被遮盖，那么被遮盖的两个数据依次是（ ）
运动员 平均成绩 标准差
时间（秒）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】已知一个样本数据为2，3，4，5，6，则这组数据的方差和标准差分别是（ ）
A．2、 B．3、 C．、 2 D．、3
【变式训练5-3】某小组五位同学参加某次考试（满分20分）的平均成绩是16分，其中三位男生成绩的方差为6，两位女生的成绩分别为17分、15分，则这五位同学成绩的标准差为（ ）
A． B．2 C． D．6
【变式训练5-4】已知2，3，5，m，n五个数据的方差是4，那么3，4，6，，五个数据的标准差是 ．
【变式训练5-5】一组数据的平均数为5，方差为16，n是正整数，则另一组数据的标准差是 ．
题型六：求一组数据的极差
【经典例题6】第31届世界大学生夏季运动会在成都圆满落幕，运动会激发了全民健身热情，许多市民利用闲暇之余积极参与各类锻炼活动．小明记录自己一周内每天户外锻炼的时间单位：为68，75，85，69，70，83，75，下列关于小明该周每天户外锻炼时间的描述正确的是（ ）
A．平均数为 B．众数为 C．中位数为 D．极差为
【变式训练6-1】一组数据5、3、、4的极差是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【变式训练6-2】如图，在中考体育模拟测试中，某校10名学生体育模拟测试成绩如图所示，对于这10名学生的体育模拟测试成绩，下列说法错误的是（ ）
A．极差是10 B．众数是90分
C．平均分一定大于90分 D．中位数是90分
【变式训练6-3】2024年12月26号，滨海的最高气温为，最低气温为，则该日的气温极差为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-4】某仪仗队名队员的身高（单位：）如下：则这个队队员的身高的极差和众数分别是（ ）
身高
人数
A．个， B．，
C．， D．个，
【变式训练6-5】下面是昆明市2024年春节8天的空气质量指数（）：
日期 2月10日 2月11日 2月12日 2月13日 2月14日 2月15日 2月16日 2月17日
46 47 47 42 57 50 69 47
下列说法正确的是（ ）
A．这8天的空气质量指数的众数是47
B．这8天的空气质量指数的中位数是49.5
C．这8天的空气质量指数的平均数是50
D．这8天的空气质量指数的极差是22
题型七：方差和标准差综合应用
【经典例题7】周老师平时上班有A，两条路线可以选择，她记录了两周共十天的上班路上所用的时间并绘制了如下统计图：
(1)这十天中周老师上班路上所用时间最多相差______．
(2)哪一条上班路线用时更稳定？请通过计算说明．
(3)你建议周老师应如何选择上班路线？
【变式训练7-1】传播科学知识，讲好科学故事．近期我校举办了第三届科普讲解大赛，赛后某学习小组从八年级和九年级参与了比赛的学生中各随机抽取了10名同学的成绩进行了收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息：（组：；组：；组：；组：；单位：分）．
九年级10名同学成绩是：80，82，88，90，92，92，95，95，95，99．
八年级10名同学中成绩在组中的数据为：84：在组中的数据为：90，92，93，93．根据以上信息，解答下列问题：
八、九年级所抽学生大赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
八年级 90.8 93 32.56
九年级 90.8 92 31.92
八年级所抽学生大赛成绩扇形统计图
(1)上述图表中____，____，____；
(2)根据以上数据分析，你认为我校八、九年级中哪个年级学生的科普讲解大赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)我校八、九年级各有300名同学参加了此次科普讲解大赛，估计我校八、九年级参加此次科普讲解大赛成绩在组的学生人数是多少？
【变式训练7-2】高校航模比赛开赛以来，以其满满的科技感和独特的创新性吸引了各所高校学子报名参加，甲、乙两个学校设计的飞机模型在一次飞机模型运输比赛中的五次成绩（单位：分，满分100分）如图所示．
(1)根据条形统计图内容，补全下列表格内容．
平均数 中位数 众数 方差
甲学校 85 ______ 85 70
乙学校 ______ 80 ______ 160
(2)根据两个学校飞机航模五次成绩的平均数和中位数，简要分析哪个学校的飞机航模的成绩更好一些．
(3)若成绩更稳定的飞机航模胜出比赛，则______学校胜出比赛．（填“甲”或“乙”）
【变式训练7-3】某中学为选拔“校园形象代言人”，先后进行了笔试和面试，在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为100分）分别是87，85，90．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．对三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，并给出了相关信息．
c.甲、乙、丙三位同学面试情况统计表
同学 评委打分的中位数 评委打分的众数 面试成绩 方差
甲 9和10 85
乙 8 87
丙 8
根据以上信息，回答下列问题：
(1)_______，_______；
(2)求丙同学的面试成绩；
(3)通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度．据此推断评委对______同学的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）；
(4)按笔试成绩占，面试成绩占选出综合成绩最高的同学是_____（填“甲”、“乙”或“丙”）．
【变式训练7-4】射击比赛中，甲，乙两人在相同的条件下各射击10次，成绩统计如下：
甲，乙射击成绩统计表
平均数 中位数 方差
甲 8 c
乙 8 1.8
根据以上信息，回答下列问题：
(1)________，__________，__________；
(2)你认为谁的射击成绩更好？为什么？
(3)如果乙再射击1次，命中8环，那么乙射击成绩的方差将_________（填“变大”，“变小”或“不变”）．
【变式训练7-5】随着科技的发展人工智能渐渐走进了人们的生活，现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了20个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用表示），共分为四组，A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息．
甲款人工智能软件得分数据：
64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．
乙款人工智能软件在C组内（）的所有得分数据：
85，86，87，88，88，88，90，90．
甲、乙两款人工智能软件得分统计表：
软件 平均数 中位数 众数 方差
甲 86 85.5 96.6
乙 86 88
乙款人工智能软件得分扇形统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：_______，______，______；
(2)根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)若本次调查有900名用户对甲款人工智能软件进行了调查评分，有1200名用户对乙款人工智能软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的总用户数．中小学教育资源及组卷应用平台
专题3.3 方差和标准差七大题型（一课一讲）
（内容：方差与标准差及其应用）
【浙教版】
题型一：求一组数据的方差
【经典例题1】5个同学进行投篮比赛，投中的个数分别是6，8，10，7，9，这组数据的方差是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【详解】解：平均数，
方差．
故选：A．
【变式训练1-1】某射击爱好者的8次射击成绩（单位：环）依次为7，9，10，8，9，8，10，10，则下列结论正确的是（ ）
A．众数是9环 B．中位数是9环
C．平均数是8环 D．方差是1.2环
【答案】B
【详解】解：将8次射击成绩从小到大排列为：7，8，8，9，9，10，10，10，
可知众数为10环，故A错误，不符合题意；
中位数为：环，故B正确，符合题意；
平均数为：，故C错误，不符合题意；
方差：，故D错误，不符合题意，
故选：B．
【变式训练1-2】某校随机调查了部分学生一周内背诵诗词的数量，并根据调查结果绘制成如图所示的折线统计图，分析图中的数据，则下列说法错误的是（ ）
A．众数是5 B．平均数是5.3
C．中位数是4 D．方差是0.81
【答案】C
【详解】解：由折线图知：部分学生一周内背诵诗词从小到大重新排列为：4，4，5，5，5，5，6，6，6，7，
平均数是，故选项B不合题意；
中位数是，故选项C符合题意；
由5出现了4次，故其众数为5，故选项A不合题意；
方差是，故选项D不合题意；
故选：C．
【变式训练1-3】学校要求学生每天坚持体育锻炼，小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间，并制作了如图所示的统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（ ）
A．平均数为73分钟 B．众数为88分钟 C．中位数为67分钟 D．方差为60
【答案】A
【详解】解：平均数为（分钟），
7个数据按照从小到大排列为：，中位数是70分钟，
在7个数据中，67出现的次数最多，为2次，则众数为67分钟，
方差为：
，
观察四个选项，选项A符合题意，
故选：A．
【变式训练1-4】某校组织开展“篮球杯”赛事活动，其中参赛的六个班得分分别为“55，64，51，50，■，55”，整理时不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】B
【详解】解：∵一组数据“55，64，51，50，■，55”，该数据■在之间，
∴四个数据的和随数据■的变化而变化，所以平均数是变化的，选项A错误．
这组数据从小到大进行排序后，排在第3，4位的都是55，则中位数是55，不变，选项B正确．
众数与数据■有关，选项C错误．
因为平均数改变，所以方差也发生改变，选项D错误．
故选：B．
【变式训练1-5】小明计算出一组数据的方差为，小丽将这组数据中每个数据都除以，所得新数据的方差是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设，，，…，的平均数为，则方差，
由于小丽将这组数据中每个数据都除以，
∴
，
故选：．
【变式训练1-6】某次射击比赛，甲队员的成绩如图所示，根据此统计图，判断下列结论中错误的是（ ）
A．最高成绩是9.4环 B．这组成绩的中位数是9环
C．这组成绩的众数是9环 D．这组成绩的方差是8.7
【答案】D
【详解】解：由题意可知，最高成绩是9.4环，故选项A不合题意；
这组成绩的中位数为9环，故选项B不合题意；
这组成绩的众数是9环，故选项C不合题意；
这组成绩的方差是，
故选项D符合题意．
故选：D．
题型二：利用方差求未知数据的值
【经典例题2】淇淇在计算一组数据的方差时，列得没有化简的算式：
．关于这组数据，下列说法：①平均数是4；②中位数是4；③众数是5；④样本总数．其中不正确的结论是（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】解：由题意可知这组数据为2、4、5、5，
∴平均数为，故①正确；
∴中位数为，故②错误；
∵5出现的次数最多，
∴众数为5，故③正确；
共有4个数，
∴样本容量是4，故④错误；
故选：B．
【变式训练2-1】为计算某样本数据的方差，列出如下算式，据此判断下列说法错误的是（ ）
A．n的值是4 B．样本平均数是4
C．样本众数是3 D．样本中位数是3
【答案】B
【详解】解：根据方差算式可得，样本数据为，
因此样本容量为，样本众数为，
中位数是，
平均数为，
故选B．
【变式训练2-2】如果样本方差，那么这个样本的平均数和样本容量分别为（ ）
A．2，4 B．2，6 C．3，6 D．4，6
【答案】A
【详解】∵在公式平均数是，样本容量是n，
∴在中，这个样本的平均数为2，样本容量是4．
故选：A．
【变式训练2-3】若1、2、3、4、x的方差与3、4、5、6、7的方差相等，则
【答案】0或5
【详解】解：3、4、5、6、7的平均数为：，
则方差为：，
1、2、3、4、x的平均数为：，
∴由题意得，，
化简得，，
解得或，
故答案为：0或5．
【变式训练2-4】若一组数据2，3，x，4，5的方差为2，则这组数据的中位数为 ．
【答案】3或4/4或3
【详解】∵一组数据2，3，x，4，5，
∴平均数为
∵方差为2
∴
整理得，
∴
解得，
∴当时，原数据从小到大排列为：1，2，3，4，5
∴中位数为3
∴当时，原数据从小到大排列为：2，3，4，5，6
∴中位数为4，
综上所述，这组数据的中位数为3或4．
故答案为：3或4．
【变式训练2-5】一组数据，6，6，6，6，6的方差为0，则的值为 ．
【答案】6
【详解】解：∵，6，6，6，6，6的平均数为，
∴这组数据的方差为：，
整理，得：，
解得，
故答案为：．
【变式训练2-6】一组有n个数据的样本的平均数为x，它的方差为，则＝ ．
【答案】0
【详解】解：∵
∴这组数据分别为1、2、3、4、5，共5个，即n=5
∴x=（1+2+3+4+5）÷5=3
∴
∴．
故答案为0．
题型三：已知一组数据的方差，求另一组数据的相关值
【经典例题3】如果用公式计算一组数据的方差，那么数据，，，…，的和是（ ）
A．268 B．240 C．90 D．43
【答案】B
【详解】解：由题意得：这组数据的平均数为6，
则，
解得：，
∴
故选：B．
【变式训练3-1】已知一组数据、、、的平均数是2，方差为2，那么另一组数，，，的平均数和方差分别是（ ）
A．3，2 B．3，7 C．3，8 D．2，3
【答案】C
【详解】解：、、、的平均数是2，
，，，的平均数为，
、、、的方差为2，
，，，的方差为，
故选：C．
【变式训练3-2】已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是3，那么另一组数据3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的平均数和方差分别是（ ）
A．2，3 B．6，9 C．6，27 D．6，18
【答案】C
【详解】∵数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是3，
∴数据3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的平均数是3×2=6，方差是3 ×3=27．
故选：C
【变式训练3-3】已知一组数据的平均数是4，方差是6，则，的平均数和方差分别为（ ）
A．4和6 B．16和6 C．4和22 D．16和54
【答案】D
【详解】根据题意得：，
∴，
∴的平均数为：
∵的方差是6，
∴数据的方差为：
，
故选：D．
【变式训练3-4】下列说法正确的是（ ）
A．计算两个班同学数学成绩的平均分，可以用两个班的平均分除以2即可；
B．10，9，10，12，11，12这组数据的众数是10；
C．若，，，…，的平均数是，那么
D．若，，，…，的方差是，那么，，，…方差是．
【答案】C
【详解】∵两个班同学数学成绩的平均分=两个班总成绩÷两个班级总人数，
∴A错误，
∵10，9，10，12，11，12这组数据的众数是10和12，
∴B错误，
∵，，，…，的平均数是，那么，
∴C正确，
∵若，，，…，的方差是，那么，，，…方差是，
∴D错误，
故选C．
【变式训练3-5】已知三个数据的平均数为2，方差为1，则的平均数为 ．
【答案】5
【详解】解：由题意可知：，
，
，
，
解得：，
则的平均数为：5，
故答案为：5．
题型四：根据方差判断数据的稳定性
【经典例题4】甲、乙、丙、丁四位学生参加立定跳远训练，他们近期5次训练的平均成绩相同，设甲、乙、丙、丁这5次训练成绩的方差分别是，，，，且，，，，则四位学生中这5次训练成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【详解】解：甲、乙、丙、丁这5次训练成绩的方差分别是，，，，且，，，，
，
四位学生中这5次训练成绩最稳定的是丁，
故选：．
【变式训练4-1】甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如表所示：
甲 乙 丙 丁
9.5 9.5 8.2 8.5
0.09 0.65 0.16 2.85
根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【详解】解：由表格中的数据来看甲的平均成绩最高，方差最小，
所以甲成绩好且发挥稳定，
故应选择甲．
故选：A．
【变式训练4-2】射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为和，则和的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【详解】解：∵方差表示数据的离散程度，方差越大，数据波动越大，方差越小，数据波动越小，由折线图可知乙选手的成绩波动较小，
∴；
故选：B．
【变式训练4-3】小姜，小徐，小林正在玩射击游戏，小姜同学四次成绩分别为9.5环、9.7环、10.5环、10.3环；小徐同学的四次成绩分别为9.6环、9.7环、10.7环、10.0环；小林同学四次成绩分别为9.8环、9.5环、10.6环、10.1环，则他们成绩较为稳定的是（ ）
A．小姜同学 B．小徐同学 C．小林同学 D．一样稳定
【答案】C
【详解】解：小姜成绩的平均数，方差为 ，以此方法，计算小徐成绩的方差为0.185，平均数为10，小林的平均数为10，方差为0.165,
∵，
∴小林同学成绩较为稳定，
故选：C．
【变式训练4-4】为丰富学校课余生活，某校举行射击比赛．甲、乙两人参加学校举行的射击比赛，他们射击10次的成绩制成折线统计图如图所示，已知两人的射击平均成绩均为环，则下列说法正确的是（ ）
A．甲的成绩比乙的成绩更稳定
B．乙的成绩比甲的成绩更稳定
C．甲的10次射击成绩中，最好的成绩是9环
D．乙的10次射击成绩中，最差的成绩是4环
【答案】B
【详解】解：由题意两人的射击平均成绩均为环，
由图可得乙的设计成绩比甲更稳定，甲的10次射击成绩中，最好的成绩是10环，乙的10次射击成绩中，最差的成绩是7环，
故选：B．
【变式训练4-5】2024年11月17日，世界沙滩排球职业巡回赛挑战赛收官，中国组合获女子组冠军，这一胜利也将进一步激活中国沙滩体育运动的活力．为此，某校进行了一次排球比赛，已知甲、乙两支队伍中队员的平均身高相等，均为，甲队5名队员身高的方差为，乙队5名队员的身高依次为、、、、，那么两队中身高更整齐的是 队．（填“甲”或“乙”）
【答案】乙
【详解】解：，
∵甲队5名队员身高的方差为，
∴，
∴两队中身高更整齐的是乙队，
故答案为：乙．
题型五：求一组数据的标准差
【经典例题5】一组数据的平均数为，则数据的标准差和中位数分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：根据题意，，
解得，，
∴方差为，
∴标准差为，
数据从小到大排序为：，
∴中位数为：，
故选：C ．
【变式训练5-1】运动会米赛跑，位运动员成绩如下表所示，其中有两个数据被遮盖，那么被遮盖的两个数据依次是（ ）
运动员 平均成绩 标准差
时间（秒）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由表可得，运动员的成绩为，
∴位运动员成绩分别为
∴个数据的方差为，
∴标准差为，
故选：．
【变式训练5-2】已知一个样本数据为2，3，4，5，6，则这组数据的方差和标准差分别是（ ）
A．2、 B．3、 C．、 2 D．、3
【答案】A
【详解】解：这组数据的平均数，
方差，
标准差，
故选：A．
【变式训练5-3】某小组五位同学参加某次考试（满分20分）的平均成绩是16分，其中三位男生成绩的方差为6，两位女生的成绩分别为17分、15分，则这五位同学成绩的标准差为（ ）
A． B．2 C． D．6
【答案】B
【详解】解：∵两位女生的成绩分别为17分、15分，
∴两位女生的成绩的平均数是（分），
∴三位男生成绩的平均数是16分．
三位男生的方差，
，
这个学习小组5位同学考试分数的方差
，
标准差是，
故选：B．
【变式训练5-4】已知2，3，5，m，n五个数据的方差是4，那么3，4，6，，五个数据的标准差是 ．
【答案】2
【详解】解：由题意知，原数据的平均数为，新数据的每一个数都加了1，则平均数变为，
则原来的方差，
现在的方差
，
所以方差不变，标准差为2．
故答案为：2．
【变式训练5-5】一组数据的平均数为5，方差为16，n是正整数，则另一组数据的标准差是 ．
【答案】8
【详解】解：由题意知，，
即；
而，
∵，
∴
，
∴标准差为；
故答案为：8．
题型六：求一组数据的极差
【经典例题6】第31届世界大学生夏季运动会在成都圆满落幕，运动会激发了全民健身热情，许多市民利用闲暇之余积极参与各类锻炼活动．小明记录自己一周内每天户外锻炼的时间单位：为68，75，85，69，70，83，75，下列关于小明该周每天户外锻炼时间的描述正确的是（ ）
A．平均数为 B．众数为 C．中位数为 D．极差为
【答案】B
【详解】解：A．平均数为，故A错误，不符合题意；
B．众数为，故B正确，符合题意；
C．数据排列为：68，69，70，75，75，83，95，则中位数为，故C错误，不符合题意；
D．极差为，故D错误，不符合题意；
故选：B．
【变式训练6-1】一组数据5、3、、4的极差是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【详解】解：数据中最大数据为5，最小数据，
则极差为：．
故选：C．
【变式训练6-2】如图，在中考体育模拟测试中，某校10名学生体育模拟测试成绩如图所示，对于这10名学生的体育模拟测试成绩，下列说法错误的是（ ）
A．极差是10 B．众数是90分
C．平均分一定大于90分 D．中位数是90分
【答案】A
【详解】解：极差为，
故A选项说法错误，符合题意；
分出现了次，出现的次数最多，众数是90分，
故B选项说法正确，不符合题意；
平均分为，
，
故C选项说法正确，不符合题意；
第名同学的成绩的平均值为中位数，中位数是分
故D选项说法正确，不符合题意；
故选：A ．
【变式训练6-3】2024年12月26号，滨海的最高气温为，最低气温为，则该日的气温极差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：该日的气温极差为．
故选：D．
【变式训练6-4】某仪仗队名队员的身高（单位：）如下：则这个队队员的身高的极差和众数分别是（ ）
身高
人数
A．个， B．，
C．， D．个，
【答案】C
【详解】解：极差是：，
出现了次，出现的次数最多，则众数是，
故选：C．
【变式训练6-5】下面是昆明市2024年春节8天的空气质量指数（）：
日期 2月10日 2月11日 2月12日 2月13日 2月14日 2月15日 2月16日 2月17日
46 47 47 42 57 50 69 47
下列说法正确的是（ ）
A．这8天的空气质量指数的众数是47
B．这8天的空气质量指数的中位数是49.5
C．这8天的空气质量指数的平均数是50
D．这8天的空气质量指数的极差是22
【答案】A
【详解】解：A.这8天的空气质量指数中47出现了3次，次数最多，所以众数为47，
故选项A正确；
B. 从小到大排列这8天的空气质量指数，第4、第5个数据分别是47，47，所以中位数是，
故选项B错误；
C. 这8天的空气质量指数的平均数为：，
故选项C错误；
D. 这8天的空气质量指数的极差是，
故选项D错误；
故选：A
题型七：方差和标准差综合应用
【经典例题7】周老师平时上班有A，两条路线可以选择，她记录了两周共十天的上班路上所用的时间并绘制了如下统计图：
(1)这十天中周老师上班路上所用时间最多相差______．
(2)哪一条上班路线用时更稳定？请通过计算说明．
(3)你建议周老师应如何选择上班路线？
【答案】(1)22
(2)路线所用的时间更稳定，理由见解析
(3)周一上班选择路线，周二到周五上班选择路线
【详解】（1）解：这十天中周老师上班路上所用时间最多的为40分钟，最少为18分钟，则这十天中周老师上班路上所用时间最多相差分钟．
故答案为：22．
（2）解：路线所用的时间更稳定，理由如下：
记第一周上班选择路线A用时的平均数，方差分别为，，第二周上班选择路线用时的平均数，方差分别为，．
，．
，
．
因为，即，
所以路线所用的时间更稳定．
（3）解：对比这两周的折线统计图：可建议周老师周一上班选择路线，周二到周五上班选择路线A．
【变式训练7-1】传播科学知识，讲好科学故事．近期我校举办了第三届科普讲解大赛，赛后某学习小组从八年级和九年级参与了比赛的学生中各随机抽取了10名同学的成绩进行了收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息：（组：；组：；组：；组：；单位：分）．
九年级10名同学成绩是：80，82，88，90，92，92，95，95，95，99．
八年级10名同学中成绩在组中的数据为：84：在组中的数据为：90，92，93，93．根据以上信息，解答下列问题：
八、九年级所抽学生大赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
八年级 90.8 93 32.56
九年级 90.8 92 31.92
八年级所抽学生大赛成绩扇形统计图
(1)上述图表中____，____，____；
(2)根据以上数据分析，你认为我校八、九年级中哪个年级学生的科普讲解大赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)我校八、九年级各有300名同学参加了此次科普讲解大赛，估计我校八、九年级参加此次科普讲解大赛成绩在组的学生人数是多少？
【答案】(1)91；95；．
(2)九年级学生的科普讲解大赛成绩较好，理由见解析．
(3)人．
【详解】（1）解：八年级名学生，
∴A组的人数为1人，占比为：，
C组的人数为4人，占比为：，
D组的人数占比为：，人数为（人），
B组的人数占比为：，即，人数为（人），
八年级成绩的中位数在第5，6为同学的成绩的平均数，
即为C组中90，92的平均数，即，
九年级10名同学成绩出现次数最多的是95，
∴，
故答案为：91；95；．
（2）解：九年级学生的科普讲解大赛成绩较好，理由：在平均数相同的情况下，九年级学生的科普讲解大赛成绩的方差小于八年级学生的科普讲解大赛成绩的方差．
（3）解：（人）；
答：估计我校八、九年级参加此次科普讲解大赛成绩在组的学生人数是人．
【变式训练7-2】高校航模比赛开赛以来，以其满满的科技感和独特的创新性吸引了各所高校学子报名参加，甲、乙两个学校设计的飞机模型在一次飞机模型运输比赛中的五次成绩（单位：分，满分100分）如图所示．
(1)根据条形统计图内容，补全下列表格内容．
平均数 中位数 众数 方差
甲学校 85 ______ 85 70
乙学校 ______ 80 ______ 160
(2)根据两个学校飞机航模五次成绩的平均数和中位数，简要分析哪个学校的飞机航模的成绩更好一些．
(3)若成绩更稳定的飞机航模胜出比赛，则______学校胜出比赛．（填“甲”或“乙”）
【答案】(1)85，85，100
(2)甲学校成绩较好，分析见解析
(3)甲
【详解】（1）解：由题图可知，甲学校设计的飞机模型在一次飞机模型运输比赛中的五次成绩分别为85，75，80，85，100；
乙学校设计的飞机模型在一次飞机模型运输比赛中的五次成绩分别70，100，100，75，80；
乙学校设计的飞机模型在一次飞机模型运输比赛中的五次成绩的平均数为；
甲学校设计的飞机模型在一次飞机模型运输比赛中的五次成绩按从小到大的顺序排列为75，80，85，85，100；
故甲学校设计的飞机模型在一次飞机模型运输比赛中的五次成绩的中位数是85；
乙学校设计的飞机模型在一次飞机模型运输比赛中的五次成绩的众数为100；
填表如下：
平均数 中位数 众数 方差
甲学校 85 85 85 70
乙学校 85 80 100 160
故答案为：85，85，100
（2）解：甲学校成绩较好，
两个学校成绩的平均数相同，甲学校成绩的中位数高，
在平均数相同的情况下，中位数高的甲学校成绩较好；
（3）在平均数相同的情况下，甲学校的方差小于乙学校的方差，
∴若成绩更稳定的飞机航模胜出比赛，则甲学校胜出比赛．
故答案为：甲
【变式训练7-3】某中学为选拔“校园形象代言人”，先后进行了笔试和面试，在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为100分）分别是87，85，90．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．对三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，并给出了相关信息．
c.甲、乙、丙三位同学面试情况统计表
同学 评委打分的中位数 评委打分的众数 面试成绩 方差
甲 9和10 85
乙 8 87
丙 8
根据以上信息，回答下列问题：
(1)_______，_______；
(2)求丙同学的面试成绩；
(3)通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度．据此推断评委对______同学的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）；
(4)按笔试成绩占，面试成绩占选出综合成绩最高的同学是_____（填“甲”、“乙”或“丙”）．
【答案】(1)9，8(2)丙同学的面试成绩为83分(3)乙(4)乙
【详解】（1）解∶由折线统计图得，甲的得分是7，10，10，7，9，9，8，9，10，6，
把甲的得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是9，9，故中位数，
乙的得分是8，8，9，10，8，10，9，8，9，8，
其中8出现次数最多，故众数．
故答案为：9，8；
（2）解∶ 丙同学的面试成绩（分），
答∶丙同学的面试成绩为83分；
（3）解∶乙的平均得分为（分），
乙的方差为，
，可知，乙的得分的波动比甲和丙小，
所以甲、乙、丙三位同学中，评委对乙的评价更一致，
故答案为∶乙．
（4）解∶ 甲的综合成绩为∶ (分)，
乙的综合成绩为∶ (分)，
丙的综合成绩为∶ (分)，
．
所以综合成绩最高的是乙．
故答案为∶乙．
【变式训练7-4】射击比赛中，甲，乙两人在相同的条件下各射击10次，成绩统计如下：
甲，乙射击成绩统计表
平均数 中位数 方差
甲 8 c
乙 8 1.8
根据以上信息，回答下列问题：
(1)________，__________，__________；
(2)你认为谁的射击成绩更好？为什么？
(3)如果乙再射击1次，命中8环，那么乙射击成绩的方差将_________（填“变大”，“变小”或“不变”）．
【答案】(1)8，，；
(2)甲的成绩更好，理由见解析
(3)变小
【详解】（1）解：由题意知，
；
将乙的10次数据从小到大排列为：6，7，7，7，7，8，9，9，10，10，
中位数；
甲的方差：；
故答案为：8，，；
（2）解：甲的射击成绩更好，
理由：甲，乙两人的平均数相等，甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩更稳定；
（3）解：乙再射击1次，命中8环时，
平均数为：；
方差为：，
乙射击成绩的方差将变小，
故答案为：变小．
【变式训练7-5】随着科技的发展人工智能渐渐走进了人们的生活，现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了20个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用表示），共分为四组，A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息．
甲款人工智能软件得分数据：
64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．
乙款人工智能软件在C组内（）的所有得分数据：
85，86，87，88，88，88，90，90．
甲、乙两款人工智能软件得分统计表：
软件 平均数 中位数 众数 方差
甲 86 85.5 96.6
乙 86 88
乙款人工智能软件得分扇形统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：_______，______，______；
(2)根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)若本次调查有900名用户对甲款人工智能软件进行了调查评分，有1200名用户对乙款人工智能软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的总用户数．
【答案】(1)，，
(2)乙，理由见解析
(3)名
【详解】（1）解：共个数据，乙组数据第个、第个数据分别为、，
中位数，
甲组数据中出现的次数最多，
众数，
，
，
故答案为：，，；
（2）解：乙款人工智能软件更受用户欢迎，理由如下：
因为甲、乙两款人工智能软件得分的平均数相等，但乙款人工智能软件得分的中位数和众数均高于甲，而且乙的方差小于甲的方差，乙更稳定，所以乙款人工智能软件更受用户欢迎（答案不唯一，合理即可），
答：乙款人工智能软件更受用户欢迎；
（3）解：（名），
估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的总用户数约为名．
