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2.1一元二次方程 课时梳理卷
一、选择题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．若是关于的一元二次方程的一个根，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．-1 D．-3
3．某商场销售一种商品，原销售价为100元，为减少库存，经过两次降价，现销售价为81元，如果每次降价率都为x，则根据题意所列的方程正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
4．某放射性元素经2天后，质量衰变为原来的．若设这种放射性元素质量的日平均减少率为，则可列出方程为（ ）
A． B． C． D．
5．某市要组织一次篮球联赛，比赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排45场比赛，若设有支球队参加比赛，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若x为实数，且满足，则（ ）
A． B． C．或 D．无法确定
7．若关于的一元二次方程的解为，则关于的一元二次方程的解为（ ）
A． B．
C． D．
8．受电子商务的发展及国家法治环境改善等因素的影响，某公司快递业务量迅猛发展，2020年公司快递业务量为200万件，2022年快递业务量达到288万件，若设快递量平均每年增长率为x，则下列方程中，正确的是（ ）
A．200(1+2x)=288 B．200(1+x)2=288
C．200(1+x2)=288 D．200(1+2x)2=288
9．已知1和2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根，则关于x的方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0的根为（ ）
A．0和1 B．1和2 C．2和3 D．0和3
10．关于x的一元二次方程 有两个实数根，那么实数k的取值范围是（ ）
A． B． 且
C． 且 D．
二、填空题
11．如图，在一块长为60米，宽为40米的长方形空地内修建一间正方形凉亭和两条宽度相等的小路，且小路的宽度是正方形凉亭边长的，其余部分种植草坪，若草坪的面积为 2 328平方米，求小路的宽.设小路的宽为x米，由题意可列方程为 .
12．若关于x的一元二次方程x2 +bx+c=0(b，c 为常数)的两根x1，x2满足-313．已知m是方程x2﹣x+9＝0的一个根，则m﹣m2的值为 ．
14．某网络学习平台2020年底的新注册用户数为100万，到2022年底的新注册用户数达到169万，设新注册用户数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为 ．
15．若关于的一元二次方程有一个根为，则 ．
16．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）有一个根为-2，则的值为 。
三、综合题
17．已知a是方程x2﹣5x﹣1=0的一个根，则
（1）a2﹣5a﹣1
（2）a+ ．
18．完成下列问题：
（1）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx﹣2n=0的根，求m+n的值；
（2）已知x，y为实数，且y=2 +3 ﹣2．求2x﹣3y的值．
19．解下列一元二次方程：
（1）x2﹣5x+1=0；
（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）．
20．已知关于x的一元二次方程（a＋c）x2＋2bx＋（a-c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
21．完成下列问题：
（1）已知x，y为实数，且 ，求 的值.
（2）已知 是方程 的一个根，求代数式 的值.
22．已知关于x的方程（k+1）xk2+1+（k-3）x-1=0
（1）当k取何值时，它是一元一次方程？
（2）当k取何值时，它是一元二次方程？
23．在一元二次方程x2-2ax+b=0中，若a2-b>0，则称a是该方程的中点值.
（1）方程x2-8x+3=0的中点值是 ；
（2）已知x2-mx+n=0的中点值是3，其中一个根是2，求mn的值.
24．已知：x2+3x+1=0．求：
（1）x+ ；
（2）x2+ ．
25．已知，下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：
①x2﹣1=0，②x2+x﹣2=0，③x2+2x﹣3=0，④x2+3x﹣4=0，…， ，…
（1）上述一元二次方程的解为① ，② ，③ ，④ ．
（2）猜想：第n个方程为 ，其解为 ．
（3）请你指出这n个方程的根有什么共同的特点（写出一条即可）．
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2.1一元二次方程 课时梳理卷
一、选择题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A：x3+2x=0，最高次数为3，不满足一元二次方程的概念，故不满足题意；
B：x(x-3)=0，化为一般形式为x2-3x=0，满足一元二次方程的概念，故满足题意；
C：-x=1，分母中含有字母x，不满足一元二次方程的概念，故不满足题意；
D：y-x2=4，含有两个未知数，不满足一元二次方程的概念，故不满足题意.
故答案为：B.
【分析】含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程，据此判断.
2．若是关于的一元二次方程的一个根，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．-1 D．-3
【答案】C
【解析】【解答】解：将x=2代入x2+mx-2=0可得22+2m-2=0，
解得m=-1.
故答案为：C.
【分析】根据方程根的概念，将x=2代入方程可得关于字母m的方程，求解即可.
3．某商场销售一种商品，原销售价为100元，为减少库存，经过两次降价，现销售价为81元，如果每次降价率都为x，则根据题意所列的方程正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：第一次降价后的价格为100×(1-x)，两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为100×(1-x)×(1-x)，则列出的方程是100×(1-x)2=81.
故答案为：C
【分析】由题意可得第一次降价后的价格为100×(1-x)，第二次降价后的价格为100×(1-x)×(1-x)，结合降到现销售价81元就可列出方程.
4．某放射性元素经2天后，质量衰变为原来的．若设这种放射性元素质量的日平均减少率为，则可列出方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得，某放射性元素经1天后的质量为，
某放射性元素经2天后的质量为，
∵某放射性元素经2天后的质量为原来的，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据等量关系质量衰为原来的，列一元二次方程即可求解.
5．某市要组织一次篮球联赛，比赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排45场比赛，若设有支球队参加比赛，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设有x支球队参加比赛，由题意可得x(x-1)=45.
故答案为：B.
【分析】根据球队数×(球队数-1)÷2=比赛的场数就可列出方程.
6．若x为实数，且满足，则（ ）
A． B． C．或 D．无法确定
【答案】B
【解析】【解答】解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：t=3或t=-1（舍去），
∴，
故答案为：B.
【分析】先设，再求出，最后解方程求解即可。
7．若关于的一元二次方程的解为，则关于的一元二次方程的解为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解： ∵的解为，
∴ 方程中y+1=1，y+1=-2，
解得： ；
故答案为：C.
【分析】由于的解为，可得方程中y+1=1，y+1=-2，解出y值即可.
8．受电子商务的发展及国家法治环境改善等因素的影响，某公司快递业务量迅猛发展，2020年公司快递业务量为200万件，2022年快递业务量达到288万件，若设快递量平均每年增长率为x，则下列方程中，正确的是（ ）
A．200(1+2x)=288 B．200(1+x)2=288
C．200(1+x2)=288 D．200(1+2x)2=288
【答案】B
【解析】【解答】解：若设快递量平均每年增长率为x，根据题意得
200(1+x)2=288 .
故答案为：B
【分析】此题的等量关系为：2020年公司快递业务量×（1+增长率）2=2022年公司快递业务量，列方程即可.
9．已知1和2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根，则关于x的方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0的根为（ ）
A．0和1 B．1和2 C．2和3 D．0和3
【答案】A
【解析】【解答】解：∵1和2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根，
又∵a（x+1）2+b（x+1）+c＝0 ，
∴x+1=1或x+1=2，
解得：x=0或1，
∴方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0的根为0和1.
故答案为：A.
【分析】1和2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根，结合a（x+1）2+b（x+1）+c＝0 ，则可得出x+1=1或x+1=2，从而求出x的值，即方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0的根.
10．关于x的一元二次方程 有两个实数根，那么实数k的取值范围是（ ）
A． B． 且
C． 且 D．
【答案】C
【解析】【解答】由一元二次方程 有两个实数根，可得△=4-4k≥0，且k≠0，解得 k≤1且k≠0，
故答案为：C
【分析】一元二次方程有两个根说明△0，注意一元二次方程二次项系数不为0.
二、填空题
11．如图，在一块长为60米，宽为40米的长方形空地内修建一间正方形凉亭和两条宽度相等的小路，且小路的宽度是正方形凉亭边长的，其余部分种植草坪，若草坪的面积为 2 328平方米，求小路的宽.设小路的宽为x米，由题意可列方程为 .
【答案】
【解析】【解答】解： 设小路的宽为x米 ，
根据题意得：.
故答案为：.
【分析】设小路的宽为x米 ，则凉亭边长为4x米，根据“ 草坪的面积为 2328平方米 ” 列出方程即可.
12．若关于x的一元二次方程x2 +bx+c=0(b，c 为常数)的两根x1，x2满足-3【答案】x2-4=0
【解析】【解答】解：根据题意选出一组符合条件的解：
故符合条件的方程为x2-4=0（答案不唯一）
故答案为：x2-4=0（答案不唯一）
【分析】根据题意选出一组符合条件的解，符合条件的方程为。
13．已知m是方程x2﹣x+9＝0的一个根，则m﹣m2的值为 ．
【答案】9
【解析】【解答】解：∵m是方程x2-x+9=0的一个根，
∴m2-m-9=0，
∴m2-m=-9，
∴m-m2=9．
故答案为：9．
【分析】利用一元二次方程解的定义得到m2-m=-9，再利用等式的性质解答即可．
14．某网络学习平台2020年底的新注册用户数为100万，到2022年底的新注册用户数达到169万，设新注册用户数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意可得100(1+x)2=169.
故答案为：100(1+x)2=169.
【分析】由题意可得：2021年底的新注册用户数为100(1+x)万，2022年底的新注册用户数为100(1+x)2万，然后根据到2022年底的新注册用户数达到169万就可列出方程.
15．若关于的一元二次方程有一个根为，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的一个根为-2，
∴4a-2b-1=0，
∴4a-2b=1，
∴2a-b=.
故答案为：.
【分析】将x=-2代入方程中可得4a-2b-1=0，据此不难得到2a-b的值.
16．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）有一个根为-2，则的值为 。
【答案】4
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）有一个根为-2，
∴4a-2b+1=0，
∴2b=4a+1，
∴=4.
故答案为：4.
【分析】将x=-2代入方程中可得4a-2b+1=0，变形可得2b=4a+1，然后代入进行化简即可.
三、综合题
17．已知a是方程x2﹣5x﹣1=0的一个根，则
（1）a2﹣5a﹣1
（2）a+ ．
【答案】（1）解：把x=a代入方程x2﹣5x﹣1=0，得
a2﹣5a﹣1=0
（2）解：a2﹣5a﹣1=0，
两边同时除以a可得a﹣5﹣ =0，
则a﹣ =5，
则a+ =± =±
【解析】【分析】（1）把x=a代入方程，得到a2﹣5a﹣1=0，即可求解；（2）将a2﹣5a﹣1=0两边同时除以a可得a﹣ =5，再根据完全平方公式和平方根的定义即可求解．
18．完成下列问题：
（1）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx﹣2n=0的根，求m+n的值；
（2）已知x，y为实数，且y=2 +3 ﹣2．求2x﹣3y的值．
【答案】（1）解：∵n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，
代入得：n2+mn﹣2n=0，
∵n≠0，
∴方程两边都除以n得：n+m﹣2=0，
∴m+n=2．
（2）解：由题意得：x﹣5≥0，5﹣x≥0，
∴x=5，y=﹣2，
∴2x﹣3y=10+6=16．
【解析】【分析】（1）把x=n代入方程得出n2+mn﹣2n=0，方程两边都除以n得出m+n﹣2=0，求出即可．（2）根据二次根式有意义的条件求出x=5，然后求出y的值，最后代入求解．
19．解下列一元二次方程：
（1）x2﹣5x+1=0；
（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）．
【答案】（1）解： =25-4×1×1=21，则x= .
（2）解：3（x﹣2）2-x（x-2）=0
（x-2）[3（x-2）-x]=（x-2）（2x-6）=0
x1=2，x2=3
【解析】【分析】运用公式法、提公因式法解一元二次方程。
20．已知关于x的一元二次方程（a＋c）x2＋2bx＋（a-c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【答案】（1）解：是等腰三角形；
理由：把代入方程得，则，所以为等腰三角形
（2）解：为等边三角形，
，
方程化为，
解得，．
【解析】【分析】（1）将x=-1代入方程化简可得，从而可得为等腰三角形；
（2）根据等边三角形的性质可得，将方程化为，再求出x的值即可。
21．完成下列问题：
（1）已知x，y为实数，且 ，求 的值.
（2）已知 是方程 的一个根，求代数式 的值.
【答案】（1）解：由题意得， ，
∴
∴
（2）解：∵ 是方程 的一个根，
∴
∴
∴
【解析】【分析】(1)先利用二次根式成立的条件分别列不等式求出x值，则可求出y值，然后代值计算即可；
(2)把m代入方程得出，将此代入原式，再化简，得出，再把代入其中，继续化简，即得得出结果.
22．已知关于x的方程（k+1）xk2+1+（k-3）x-1=0
（1）当k取何值时，它是一元一次方程？
（2）当k取何值时，它是一元二次方程？
【答案】（1）解：若关于x的方程（k+1）xk2+1+（k-3）x-1=0是一元一次方程，则
或 ，解得k=-1或k=0，
所以当k=-1或k=0时，关于x的方程（k+1）xk2+1+（k-3）x-1=0是一元一次方程.
（2）解：若关于x的方程（k+1）xk2+1+（k-3）x-1=0是一元二次方程，则
，解得k=1，
所以当k=1时，关于x的方程（k+1）xk2+1+（k-3）x-1=0是一元二次方程.
【解析】【分析】(1)根据一元一次方程的一次项系数不等于0，x最高项次数为1，分别列关于k的方程，联立求解即可；
(2)根据一元二次方程的二次项系数不等于0，x最高项次数为2，分别列关于k的方程，联立求解即可.
23．在一元二次方程x2-2ax+b=0中，若a2-b>0，则称a是该方程的中点值.
（1）方程x2-8x+3=0的中点值是 ；
（2）已知x2-mx+n=0的中点值是3，其中一个根是2，求mn的值.
【答案】（1）4
（2）解：由中点值的定义得： =3，.m=6.
∴x2-6x+n=0.将x=2代入方程，得：4-12+n=0，∴n=8，∴mn=48.
【解析】【解答】（1）∵，
∴方程x2-8x+3=0的中点值为4。
故答案为：4
【分析】（1）根据方程的中点值的定义：在一元二次方程x2-2ax+b=0中，若a2-b>0，则称a是该方程的中点值，就可求出方程x2-8x+3=0的中点值为一次项系数绝对值的一半。
（2）根据已知x2-mx+n=0的中点值是3 求出m的值，再求出n的值，然后就可求出mn的值。
24．已知：x2+3x+1=0．求：
（1）x+ ；
（2）x2+ ．
【答案】（1）解：∵x2+3x+1=0，
而x≠0，
∴x+3+ =0，
∴x+ =﹣3；
（2）解：x2+ =（x+ ）2﹣2=（﹣3）2﹣2=7．
【解析】【分析】（1）把方程两边除以x即可得到x+ =﹣3；（2）先利用完全平方公式得到x2+ =（x+ ）2﹣2，然后把（1）中的计算结果代入计算即可．
25．已知，下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：
①x2﹣1=0，②x2+x﹣2=0，③x2+2x﹣3=0，④x2+3x﹣4=0，…， ，…
（1）上述一元二次方程的解为① ，② ，③ ，④ ．
（2）猜想：第n个方程为 ，其解为 ．
（3）请你指出这n个方程的根有什么共同的特点（写出一条即可）．
【答案】（1）x1=1，x2=﹣1；x1=1，x2=﹣2；x1=1，x2=﹣3；x1=1，x2=﹣4
（2）x2+（n﹣1）x﹣n=0；x1=1，x2=﹣n
（3）解：这n个方程都有一个根是1； 另一个根是n的相反数； a+b+c=0； b2﹣4ac=（n+1）2；都有两个不相等的实数根； 两个根异号
【解析】【解答】解：（1）①（x+1）（x﹣1）=0，
∴x1=1，x2=﹣1．
②（x+2）（x﹣1）=0，
∴x1=1，x2=﹣2．
③（x+3）（x﹣1）=0，
∴x1=1，x2=﹣3．
④（x+4）（x﹣1）=0，
∴x1=1，x2=﹣4．
⑵由（1）找出规律，可写出第n个方程为：
x2+（n﹣1）x﹣n=0，
（x﹣1）（x+n）=0，
解得x1=1，xn=﹣n．
【分析】（1）用十字相乘法因式分解可以求出它们的根．（2）由（1）找出规律，写出方程，解方程求出方程的根．（3）根据（1）、（2）可以写出它们的共同特点．
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