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2.2一元二次方程的解法 专项练习提升卷
一、选择题
1．若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根， 则 的值为( )
A．0 或 4 B．4 或 8 C．0 D．4
2． 一元二次方程经过配方后，可以得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
3．关于一元二次方程是常数根的情况，下列说法中，正确的是 （ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
4．已知关于x的方程 给出以下结论，其中错误的是 （ ）
A．当m=0时，方程只有一个实数根
B．若 是方程的一个根，则方程的另一个根是一1
C．无论m取何值，方程都有一个负数根
D．当m≠0时，方程有两个不相等的实数根
5．一元二次方程 配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
6．下列用配方法解方程 x2-x-2=0的四个步骤中，出现错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
7．若代数式x(x-1)和3(1-x)的值互为相反数，则x的值为（ ）．
A．1或3 B．-1或-3 C．1或-1 D．3或-3
8． 利用配方法解一元二次方程时，将方程配方为，则、的值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
9．用公式法解方程：，其中的值是（ ）
A．56 B．16 C．4 D．8
10．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），下列命题是真命题的有（ ）
①若a＋2b＋4c＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0必有实数根；②若b＝3a＋2，c＝2a＋2，则方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则一定有ac＋b＋1＝0成立；④若t是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2at＋b）2.
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
二、填空题
11．若一元二次方程x2-6x+m-1=0有两个相等的实数根，则m= ．
12．已知，则的值为 ．
13．一个三角形两边长分别为3和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为 ．
14．对于竖直向上抛出的物体，在不考虑空气阻力的情况下，有如下的关系式：h=vt-gt2，其中h是物体上升的高度，v是抛出时的速度，g是重力加速度(g≈10m/s2)，t是抛出后的时间．如果一物体以25m/s的初速度从地面竖直向上抛出，经过 秒钟后它在，离地面20m高的地方．
15． 若关于x的一元一次不等式组的解集为，关于x的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
16．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3，若将实数对（x，﹣3x）放入其中，得到一个新数为5，则x= ．
三、综合题
17．已知x＝，y＝.
（1）计算x+y＝_ ；xy＝_ .
（2）求x2-4xy+y2的值.
18．已知关于x的一元二次方程x2－(a＋2)x＋a＋1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根．
（2）若方程的两个根都是正整数，求a的最小值．
19．解方程：
（1）3x2-5x+1=0（配方法）；
（2）(x+3)(x-1)=5（公式法）．
20．解方程：
（1）；
（2）x2－4x＋3＝0．
21．如果方程x2+px+q＝0满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定：满足G＝ ，例如x2﹣7x+12＝0有整数解3和4，所以x2﹣7x+12＝0属于同族方程，所以G＝ ＝ ．
（1）如果同族方程x2+px+q＝0中有两个相等的解、我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有G＝4；
（2）关于x的一元二次方程kx2﹣（k﹣3）x﹣3＝0属于同族方程，求整数k的值．
22．计算：
（1） ；
（2） ．
（3）用两种不同的方法解方程：x2+4x﹣5＝0．
23．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+ =0
（1）若x=1是方程的一个解，写出a、b满足的关系式；
（2）当b=a+1时，利用根的判别式判断方程根的情况．
24．已知关于x的一元二次方程：
（1）判断这个一元二次方程的根的情况
（2）若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是方程的两个根，求这个等腰三角形的周长
25．基本事实：“若ab=0，则a=0或b=0”．一元二次方程x2-x-2＝0可通过因式分解化为（x-2）（x＋1）=0，由基本事实得x-2=0或x＋1=0，即方程的解为x=2或x=-1．
（1）试利用上述基本事实，解方程：2x2－x=0：
（2）若（x2＋y2）（x2＋y2－1）－2＝0，求x2＋y2的值．
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2.2一元二次方程的解法 专项练习提升卷
一、选择题
1．若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根， 则 的值为( )
A．0 或 4 B．4 或 8 C．0 D．4
【答案】D
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2-2kx+4=0有两个相等的实数根，
∴(-2k)2-4k×4=0且k≠0
解得k=4.
故答案为：D.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意建立不等式组，求解即可.
2． 一元二次方程经过配方后，可以得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，即，
故答案为：D．
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方“1”，将方程左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可．
3．关于一元二次方程是常数根的情况，下列说法中，正确的是 （ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【答案】A
【解析】【解答】解：已知方程
所以
∴
因为
所以，即
因此方程总有两个不相等的实数根
故答案为：A.
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，先通过方程找出，再求出根的判别式，通过配方可得：，根据平方具有非负性可推出，进而判断一元二次方程根的个数.
4．已知关于x的方程 给出以下结论，其中错误的是 （ ）
A．当m=0时，方程只有一个实数根
B．若 是方程的一个根，则方程的另一个根是一1
C．无论m取何值，方程都有一个负数根
D．当m≠0时，方程有两个不相等的实数根
【答案】D
【解析】【解答】解： 方程
A、当m=0时，则方程为x+1=0，解得x=-1，此项正确，故不符合题意；
B、 把x=代入方程得：m+-m+1=0，解得m=4，
∴方程为4x2+x-3=0，
（4x-3）（x+1）=0，
解得x1=，x2=-1，此项正确，故不符合题意；
C、当m≠0时，△=12-4m(-m+1)=(2m-1)2≥0，
∴x1=，x2=-1，
当m=0时，方程的解x=-1，此项正确，故不符合题意；
D、当m≠0时，△=12-4m(-m+1)=(2m-1)2≥0，
∴ 方程有两个实数根 ，此项错误，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据方程根的定义，一元二次方程根的判别式的应用及解方程逐一判断即可.
5．一元二次方程 配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解： ，
x2-6x=2
x2-6x+9=2+9，
∴.
故答案为：A.
【分析】先将常数项移到方程右边，再在方程两边同加一次项系数一半的平方，即可配方.
6．下列用配方法解方程 x2-x-2=0的四个步骤中，出现错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【解析】【解答】解： x2-x-2=0
∴x2-2x=4
x2-2x+1=4+1
（x-1）2=5
∴
∴，错在第4步.
故答案为：D.
【分析】观察解答过程可知正数的平方根有两个，它们互为相反数，可得出出现错误的步骤。
7．若代数式x(x-1)和3(1-x)的值互为相反数，则x的值为（ ）．
A．1或3 B．-1或-3 C．1或-1 D．3或-3
【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意： x(x-1)+3(1-x)=0
故答案为：A
【分析】根据相反数性质列出方程求解。
8． 利用配方法解一元二次方程时，将方程配方为，则、的值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】【解答】解：，
，
，
，
则，.
故答案为：D.
【分析】首先将常数项移至等号的右边，然后给两边同时加上9，再对左边的式子利用完全平方公式分解即可将方程化为(x-m)2=n的形式，进而可得m、n的值.
9．用公式法解方程：，其中的值是（ ）
A．56 B．16 C．4 D．8
【答案】A
【解析】【解答】解：，
∴
∵，
∴.
故答案为：A.
【分析】首先将方程化为一般形式，得到a、b、c的值，然后求出b2-4ac的值即可.
10．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），下列命题是真命题的有（ ）
①若a＋2b＋4c＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0必有实数根；②若b＝3a＋2，c＝2a＋2，则方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则一定有ac＋b＋1＝0成立；④若t是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2at＋b）2.
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【答案】C
【解析】【解答】解：①∵a+2b+4c=0，
∴a=-2b-4c，
∴方程为（-2b-4c）x2+bx+c=0，
∴Δ=b2-4（-2b-4c） c=b2+8bc+16c2=（b+4c）2≥0，
∴方程ax2+bx+c=0必有实数根，故①正确.
②∵b=3a+2，c=2a+2，
∴方程为ax2+（3a+2）x+2a+2=0，
∴Δ=（3a+2）2-4a（2a+2）=a2+4a+4=（a+2）2，
当a=-2时，Δ=0，方程有相等的实数根，故②错误，
③当c=0时，c是方程ax2+bx=0的根，但是b+1不一定等于0，故③错误.
④∵t是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
∴t= ，
∴2at+b=± ，
∴b2-4ac=（2at+b）2，故④正确，
故答案为：C.
【分析】利用a+2b+4c=0可得到a=-2b-4c，由此可得方程（-2b-4c）x2+bx+c=0；再证明Δ≥0，可对①作出判断；将b，c代入方程可得到ax2+（3a+2）x+2a+2=0，再求出Δ，根据其值，可对②作出判断；当c=0时，c是方程ax2+bx=0的根，但是b+1不一定等于0，可对③作出判断；求出方程的解t，再求出2at+b的值，由此可对④作出判断，综上所述可得到正确结论的序号.
二、填空题
11．若一元二次方程x2-6x+m-1=0有两个相等的实数根，则m= ．
【答案】10
【解析】【解答】解： 关于的方程x2-6x+m-1=0有两个相等的实数根且根据一元二次方程根的判别式可知，a=1，b=-6，c=m-1.
解得m=10.
故答案为：10.
【分析】当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根。根据以上就可以求出答案.
12．已知，则的值为 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：原式=，
当时，原式=（-2）2-3 =2；
故答案为：2.
【分析】将原式变形为，再将x代入计算即可.
13．一个三角形两边长分别为3和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为 ．
【答案】14
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴或，
解得或，
当时，三角形三边长为3，5，6，能构成三角形，则三角形周长为；
当时，三角形三边长为3，5，2，不能构成三角形；
综上所述，该三角形的周长为14，
故答案为：14．
【分析】先利用十字相乘法求出x的值，再利用三角形三边的关系及三角形的周长公式求解即可。
14．对于竖直向上抛出的物体，在不考虑空气阻力的情况下，有如下的关系式：h=vt-gt2，其中h是物体上升的高度，v是抛出时的速度，g是重力加速度(g≈10m/s2)，t是抛出后的时间．如果一物体以25m/s的初速度从地面竖直向上抛出，经过 秒钟后它在，离地面20m高的地方．
【答案】1或4
【解析】【解答】解：由题意得
20=25t-×10t2
解之：t1=1，t2=4.
故答案为：1或4
【分析】将g和v代入公式，可得到关于t的方程，解方程求出t的值.
15． 若关于x的一元一次不等式组的解集为，关于x的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：
解不等式①得：x≤4
解不等式②得：x
∵不等式组的解集为：x≤4
∴a+5>4，解得a>-1，
∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴Δ=32-4(a-1)≥0，a-1≠0，
解得a≤且a≠1，
综上所述，-1∴所有满足条件的整数a的值是0、2、3，
∴所有满足条件的整数a的值之和是0+2+3=5，
故答案为：5．
【分析】先出不等式组的解集，得出求出a的范围，再根据根的判别式得出Δ>0，求出a的范围，最后取符合条件的整数a即可．
16．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3，若将实数对（x，﹣3x）放入其中，得到一个新数为5，则x= ．
【答案】﹣3
【解析】【解答】解：根据题意，得：x2+6x+3=5，
即x2+6x﹣2=0，
∵a=1，b=6，c=﹣2，
∴△=36﹣4×1×（﹣2）=44＞0，
则x= =﹣3 ，
故答案为：﹣3 ．
【分析】根据题意列出方程x2+6x+3=5，即x2+6x﹣2=0，公式法求解可得．
三、综合题
17．已知x＝，y＝.
（1）计算x+y＝_ ；xy＝_ .
（2）求x2-4xy+y2的值.
【答案】（1）；5
（2）解：x2-4xy+y2＝x2+2xy+y2-6xy＝（x+y）2-6xy
将，代入原式可得：
原式＝，
所以.
【解析】【解答】解：（1）∵，
，
∴，
故答案为：；5.
【分析】（1）先分别根据分母有理化化简x、y，再根据二次根式的加减法法则、乘除法法则及平方差公式求出x+y及xy的值；
（2）利用配方法将待求式子变形为（x+y）2-6xy，进而整体代入计算即可.
18．已知关于x的一元二次方程x2－(a＋2)x＋a＋1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根．
（2）若方程的两个根都是正整数，求a的最小值．
【答案】（1）证明：由题意得△＝[ (a+2)]2 4(a+1)
＝a2+4a+4 4a 4
＝a2．
∵a2≥0，∴△≥0．
∴方程总有两个实数根．
（2）解：解方程x2 (a+2)x+a+1＝0，
得x1＝1，x2＝a+1，
∵方程的两个实数根都是正整数，
∴a+1≥1．
∴a≥0．
∴a的最小值为0．
【解析】【分析】（1）此题就是证明根的判别式b2-4ac一定不为负数即可；
（2）将作为常数，利用因式分解法求出方程的两根为x1＝1，x2＝a+1，进而结合方程的两个实数根都是正整数，可列出关于字母a的不等式a+1≥1，求解得出a的最小值即可.
19．解方程：
（1）3x2-5x+1=0（配方法）；
（2）(x+3)(x-1)=5（公式法）．
【答案】（1）解：方程整理得x2-x=-，
配方得x2-x+=-+，即（x-）2=，
开方得x-=，
∴x1=，x2=；
（2）解：方程整理得x2+2x-8=0，
∴a=1，b=2，c=-8，
则△=22-4×1×(-8)=36＞0，
∴x=，
∴x1=2，x2=-4.
【解析】【分析】（1）利用配方法求解一元二次方程即可；
（2）利用公式法求解一元二次方程即可。
20．解方程：
（1）；
（2）x2－4x＋3＝0．
【答案】（1）解：
检验：当时，≠0，
∴是原方程的根．
（2）解：x2－4x＋3＝0
或
∴．
【解析】【分析】（1）先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可；
（2）利用十字相乘法求解一元二次方程即可。
21．如果方程x2+px+q＝0满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定：满足G＝ ，例如x2﹣7x+12＝0有整数解3和4，所以x2﹣7x+12＝0属于同族方程，所以G＝ ＝ ．
（1）如果同族方程x2+px+q＝0中有两个相等的解、我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有G＝4；
（2）关于x的一元二次方程kx2﹣（k﹣3）x﹣3＝0属于同族方程，求整数k的值．
【答案】（1）证明：∵方程有两个相等的解，
∴△=p2-4q=0，
∴p2=4q，
∴G===4.
（2）解： ∵kx2﹣（k﹣3）x﹣3＝0 ，
∴(kx+3)(x-1)=0，
∴x=-或=1，
∵k为整数，
∴k=1或-1或3或-3.
【解析】【分析】(1)方程有两个相等的根的条件是△=0，依此列式求出p2=4q，再代入G＝ 化简 ，即可得出结果；
(2)先利用因式分解法解方程，根据一个根为x=-，结合方程的解和k都为整数，依此分析讨论，即可解答。
22．计算：
（1） ；
（2） ．
（3）用两种不同的方法解方程：x2+4x﹣5＝0．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式＝
；
（3）解：方法一：原方程变形为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴x1＝﹣5，x2＝1．
方法二：因式分解，得 ，
∴x+5＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣5，x2＝1．
【解析】【分析】（1）先利用完全平方公式、二次根式的性质化简，再计算即可；
（2）先利用二次根式的性质、平方差公式和分母有理化化简，再计算即可；
（3）利用公式法和配方法求解即可。
23．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+ =0
（1）若x=1是方程的一个解，写出a、b满足的关系式；
（2）当b=a+1时，利用根的判别式判断方程根的情况．
【答案】（1）解：若x=1是方程的一个解，则a×12+b×1+ =0，
解得：a+b+ =0；
（2）解：△=b2-4a× =b2-2a，
∵b=a+1，
∴△=（a+1）2-2a
=a2+2a+1-2a
=a2+1＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
【解析】【分析】（1）将x=1代入一元二次方程求解即可；
（2）根据一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
24．已知关于x的一元二次方程：
（1）判断这个一元二次方程的根的情况
（2）若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是方程的两个根，求这个等腰三角形的周长
【答案】（1）解：
所以，方程有两个实数根
（2）解：若腰=3，则x=3是方程的一个根 ， 若底为3，则 代入后得：k=2， 原方程为 原方程为 x1=2，x2=3 x1=x2=2 即，等腰三角形的三边为3，3，2， 即，等腰三角形的三边为2，2，3．
周长为8 周长为7
【解析】【分析】（1）求出判别式，变形为完全平方形式，可得出有两个实数根；（2）可分类讨论，若底为3，则方程有两相等实数根，Δ = 0 ，k=2；若为腰为3，则方程有一根为3，代入可求出k,进而求出周长.
25．基本事实：“若ab=0，则a=0或b=0”．一元二次方程x2-x-2＝0可通过因式分解化为（x-2）（x＋1）=0，由基本事实得x-2=0或x＋1=0，即方程的解为x=2或x=-1．
（1）试利用上述基本事实，解方程：2x2－x=0：
（2）若（x2＋y2）（x2＋y2－1）－2＝0，求x2＋y2的值．
【答案】（1）解：方程 ，可化为： ，∴
（2）解：方程：（x2＋y2）（x2＋y2－1）－2＝0，可化为： ，
∴ ，∵ ，∴
【解析】【分析】（1）观察方程的特点：缺常数项，利用提公因式法，可将方程转化为“ab=0”的形式，就可求出方程的解。
（2）将原方程先转化为 ，将x2+y2（x2+y2≥0）看着整体，利用因式分解法可得出 ，即可求出x2+y2的值。
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