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第2章 一元二次方程 名师优题卷
一、选择题
1．关于x的一元二次方程3x2-2x+m=0有两根，其中一根为x= 1，则这两根之积为（ ）
A． B． C．1 D．
2．用因式分解法解一元二次方程，其依据是（ ）
A．若ab=0，则a=0或b=0 B．若a=0或b=0，则ab=0
C．若ab=0，则a=0且b=0 D．若a=0且b=0，则ab=0
3．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令 ，则（ ）
A． B． C． D．
4．若关于 的方程 有两个实数根 ， 则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．某社区积极响应市政府号召， 准备在一块正方形的空地上划出部分区域栽种鲜花， 如图中形如“”的鲜花带， 鲜花带一边宽 ， 另一边宽 ， 剩余空地的面积为 ，设原正方形空地的边长为 ，可列方程（ ）
A． B．
C． D．
6．把方程 的二次项系数化为 1 ，可得方程( )
A． B．
C． D．
7．已知方程 可以配方成 的形式，那么 可以配方成下列的（ ）
A． B．
C． D．
8． 已知一元二次方程（a≠0，x1≠x2）与一元一次方程有一个公共解x=x1，若一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A． B． C． D．
9．下列一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A．2x2﹣x﹣1=0 B．x2﹣4x+4=0
C．4x2﹣2x﹣3=0 D．x2+6x=0
10．对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c=0，则b2-4ac≥0；②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2-4ac=（2ax0+b）2.
其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
二、填空题
11．已知关于x的一元二次方程 的一个根是-4，则该方程的另一个根是 .
12．三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是方程 的根，则该三角形的周长为
13．已知等腰三角形三边长分别为a，b，4，且a，b分别是关于x的一元二次方程的两个根，则m的值是 .
14．若实数a，b分别满足+3=0，且a≠b，则的值为 .
15．在解一元二次方程 时， 小明看错了一次项系数 ， 得到的解为 ； 小刚看错了常数项 ， 得到的解为 ， . 请你写出正确的一元二次方程： .
16．已知x＝1是方程的一个根，则2a－2b＋2024＝ .
三、综合题
17． 已知方程是关于的一元二次方程.
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个根之和等于两根之积，求的值.
18．用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米．（围栏宽忽略不计）
（1）若生态园的面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长；
（2）生态园的面积能否达到150平方米？请说明理由．
19．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件.为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润.据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件.设每件童装降价x元.
（1）每天可销售多少件，每件盈利多少元？（用含的代数式表示）
（2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元.
（3）平均每天盈利能否达到2000元，请说明理由.
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0．
（1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求m的值．
21．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取正整数时，求此时方程的根．
22．用长为6米的铅合金条制成如图所示的矩形窗框，其中////，设窗框的高度为米．
（1）设窗框宽度为米，则 米（用含的代数式表示）；
（2）当窗户的透光面积为1.5平方米时，请你计算出窗框的高和宽分别是多少米（铝合金条的宽度忽略不计）
23．解方程：
（1）；
（2）（用配方法）
24．已知、、是的三边长，关于的一元二次方程有两个相等的实数根．
（1）请判断的形状；
（2）当，时，求一元二次方程的解．
25．已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）.
（1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根；
（2）当方程①有一根为x＝r时，求证x＝
是方程②的根；
（3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求
的值.
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第2章 一元二次方程 名师优题卷
一、选择题
1．关于x的一元二次方程3x2-2x+m=0有两根，其中一根为x= 1，则这两根之积为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】【解答】解： 把x= 1代入3x2-2x+m=0中得m=3-2=-1，
∴3x2-2x-1=0，
∴ 这两根之积为.
故答案为：D.
【分析】先把x= 1代入方程中求出m值，再利用根与系数的关系求解即可.
2．用因式分解法解一元二次方程，其依据是（ ）
A．若ab=0，则a=0或b=0 B．若a=0或b=0，则ab=0
C．若ab=0，则a=0且b=0 D．若a=0且b=0，则ab=0
【答案】A
【解析】【解答】解： 因式分解法解一元二次方程的依据是“ 若ab=0，则a=0或b=0 ”
故答案为：A
【分析】根据乘法运算可知：如果ab=0，那么a=0或b=0。
3．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴△=1-m＞0，
∴m＜1，
∵b是方程的一个实数根，
∴ ，
∴4b2-4b+m=0，
∴y=4b2-4b-3m+3=3-4m，
∴m= ，
∴ ＜1，
∴y＞-1，
故答案为：A.
【分析】由根的判别式可得△=1-m＞0，求解可得m的范围，由方程根的概念可得：4b2-4b+m=0，则y=4b2-4b-3m+3=3-4m，然后表示出m，根据m的范围就可求得y的范围.
4．若关于 的方程 有两个实数根 ， 则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵x1+x2=-2m，x1x2=m2+3m-2，
∴
∴当m=时，有最小值为.
故答案为：D.
【分析】本题选由韦达定理确定两根和与两根积，再将 进行变式代入，得到，
5．某社区积极响应市政府号召， 准备在一块正方形的空地上划出部分区域栽种鲜花， 如图中形如“”的鲜花带， 鲜花带一边宽 ， 另一边宽 ， 剩余空地的面积为 ，设原正方形空地的边长为 ，可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设原正方形空地的边长为 ，由题意得，
故答案为：B
【分析】设原正方形空地的边长为 ，根据“鲜花带一边宽 ， 另一边宽 ， 剩余空地的面积为 ”即可列出一元二次方程，进而即可求解。
6．把方程 的二次项系数化为 1 ，可得方程( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解： ，
方程两边同除以0.2，得 .
故答案为：D.
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤中，方程两边同除以二次项的系数0.2，即可求得.
7．已知方程 可以配方成 的形式，那么 可以配方成下列的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵x2-6x+q=0可以配方成（x-p）2=7的形式
∴
∴x2-6x+q=x2-6x+2=2
∴x2-6x+9=9
∴（x-3）2=9，即（x-p）2=9
故答案为：B.
【分析】根据完全平方公式的性质，由两个方程相等，即可得到p和q的值，再根据新的配方求出相等的式子即可。
8． 已知一元二次方程（a≠0，x1≠x2）与一元一次方程有一个公共解x=x1，若一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵（a≠0，x1≠x2）与有一个公共解x=x1，
∴x=x1是方程的一个解，
，
∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴x1+x1=，
∴a(x2-x1)=d．
故答案为：B．
【分析】由x=x1是方程（a≠0，x1≠x2）与的一个公共解可得x=x1是方程的一个解，然后由根与系数的关系可得x1+x1=，进而可得答案．
9．下列一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A．2x2﹣x﹣1=0 B．x2﹣4x+4=0
C．4x2﹣2x﹣3=0 D．x2+6x=0
【答案】B
【解析】【解答】解：A、∵在方程2x2﹣x﹣1=0中，△=（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）=9＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根；
B、∵在方程x2﹣4x+4=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，
∴该方程有两个相等的实数根；
C、∵在方程4x2﹣2x﹣3=0中，△=（﹣2）2﹣4×4×（﹣3）=52＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根；
D、∵在方程x2+6x=0中，△=62﹣4×1×0=36＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选B．
【分析】逐一分析四个选项中一元二次方程根的判别式的符号，由此即可得出结论．
10．对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c=0，则b2-4ac≥0；②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2-4ac=（2ax0+b）2.
其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【解析】【解答】解：①∵当x＝1时，a+b+c＝0，
∴x=1是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，
∴b2﹣4ac≥0成立，
∴①正确，符合题意；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴﹣4ac＞0，
∴b2﹣4ac＞0，
∴ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根，
∴②正确，符合题意；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
∴ac2+bc+c＝0，
∴当c≠0时，ac+b+1＝0，
当c＝0时，ac+b+1不一定等于0，
∴③不一定正确，不符合题意；
④∵（2ax0+b）2＝4a2x02+4abx0+b2，
∴b2﹣4ac＝4a2x02+4abx0+b2，
∵a≠0，
∴ax02+bx0+c＝0，
∵x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
∴ax02+bx0+c＝0成立，
∴④正确，符合题意，
综上所述，说法正确的有①②④．
故答案为：A.
【分析】①当x＝1时，a×12+b×1+c＝a+b+c＝0，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2﹣4ac≥0成立，那么①一定正确；②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则﹣4ac＞0，那么b2﹣4ac＞0，故方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根，可推断出②正确；③由c是方程ax2+bx+c＝0得一个根，得ac2+bc+c＝0，因此当c≠0，则ac+b+1＝0，当c＝0，则ac+b+1不一定等于0，③不一定正确；④由2ax0+b）2＝4a2x02+4abx0+ b2，得b2﹣4ac＝4a2x02+4abx0+b2，从而得ax02+bx0+c＝0，结合x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，可判断④正确，据此得出正确选项即可.
二、填空题
11．已知关于x的一元二次方程 的一个根是-4，则该方程的另一个根是 .
【答案】6
【解析】【解答】解：将-4代入方程，可得×16-（-4）+m=0，
解得m=-12；
∴原方程为，
等式两边同时乘以2，可得，
因式分解得(x-6)(x+4)=0，
解得x1=-4，x2=6；
∴方程另一个根为6。
故答案为：6.
【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入，得关于字母m的一元一次方程，求出m的值；根据因式分解法解一元二次方程，即可求出方程的另外一根.
12．三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是方程 的根，则该三角形的周长为
【答案】12
【解析】【解答】解：
（x-5）（x-7）=0，
解得x1=5，x2=7，
∵ 三角形两边的长分别是3和4
∴1＜三角形的第三边＜7，
∴第三边长为5，
∴ 该三角形的周长为3+4+5=12.
故答案为：12.
【分析】先求出方程的根，再利用三角形三边关系得出第三边的范围，从而确定第三边长，继而求出周长.
13．已知等腰三角形三边长分别为a，b，4，且a，b分别是关于x的一元二次方程的两个根，则m的值是 .
【答案】34
【解析】【解答】解：当a=4或b=4时，
∵ a，b分别是关于x的一元二次方程.的根，
∴42-12×4+m+2=0，解得m=30，
∴方程，
解得x1=4，x2=8，
∴三角形三边为4，4，8，
∵4+4=8，
∴此三角形不成立；
当a=b时，方程有两个相等实根，
∴△=122-4（m+2）=0，
解得m=34，
∴方程，
解得x1=x2=6，
∴三角形三边为4，6，6，此三角形成立，
∴m=34.
故答案为：34.
【分析】分两种情况：①当a=4或b=4时，②当a=b时，据此分别求解即可.
14．若实数a，b分别满足+3=0，且a≠b，则的值为 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵实数a、b分别满足a2-4a+3=0，b2-4b+3=0，且a≠b，
∴a，b为关于x的一元二次方程x2-4x+3=0的两个不相等的实数根．
∴a+b=4，ab=3，
∴；
故答案为：.
【分析】利用根与系数的关系可得出a+b=4，ab=3，将其代入中即可求解.
15．在解一元二次方程 时， 小明看错了一次项系数 ， 得到的解为 ； 小刚看错了常数项 ， 得到的解为 ， . 请你写出正确的一元二次方程： .
【答案】x2-5x+6=0
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两个实数根是，
∴
∵小明看错了一次项系数b，小刚看错了常数项c，
∴
∴
∴正确的一元二次方程为.
故答案为：x2-5x+6=0.
【分析】根据一元二次方程，其中a=1是已知的，小明看错了一次项系数，则是正确的，小刚看错了常数项c，则是正确的，即可得到b和c的值，进而写出正确的一元二次方程.
16．已知x＝1是方程的一个根，则2a－2b＋2024＝ .
【答案】2022
【解析】【解答】解：∵x＝1是方程的一个根，
∴，
即，
∴2a－2b＋2024.
故答案为：.
【分析】将x=1代入方程中可得a-b=-1，待求式可变形为2(a-b)+2024，据此求解.
三、综合题
17． 已知方程是关于的一元二次方程.
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个根之和等于两根之积，求的值.
【答案】（1）证明：由已知，，
方程总有两个实根.
（2）解：设方程的两根为，，
则，
根据题意得.
经检验是分式方程的解，
.
【解析】【分析】（1）首先求出判别式的值，然后根据其结果的正负即可确定方程根的情况；
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=，x1x2=，然后根据方程的两个根之和等于两根之积就可求出m的值.
18．用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米．（围栏宽忽略不计）
（1）若生态园的面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长；
（2）生态园的面积能否达到150平方米？请说明理由．
【答案】（1）解：设生态园垂直于墙的边长为x米，则x≤7，生态园平行于墙的边长为(42－3x)米
由题意得：x(42－3x)=144
即
解得：（舍去）
即生态园垂直于墙的边长为6米.
（2）解：不能，理由如下：
设生态园垂直于墙的边长为y米，则生态园平行于墙的边长为(42－3y)米
由题意得：y(42－3y)=150
即
由于
所以此一元二次方程在实数范围内无解
即生态园的面积不能达到150平方米.
【解析】【分析】（1）先求出 x(42－3x)=144 ，再解方程即可；
（2）根据题意先求出 y(42－3y)=150 ，再利用一元二次方程的根的判别式求解即可。
19．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件.为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润.据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件.设每件童装降价x元.
（1）每天可销售多少件，每件盈利多少元？（用含的代数式表示）
（2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元.
（3）平均每天盈利能否达到2000元，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意，每天可销售（20+2x）件，每件盈利（40-x）元；
（2）解：由题意，（40-x）（20+2x）=1200，
整理，得：x2-30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20，
∵适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，
∴x=20，
答：每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元.
（3）解：平均每天盈利不能达到2000元，理由为：
由（40-x）（20+2x）=2000，整理，得：x2-30x+600=0，
∵△=（-30）2-4×1×600=-1500＜0，
∴所列方程无实数根，
故平均每天盈利不能达到2000元.
【解析】【分析】（1）由题意可得每天可多售出2x件，加上20可得每天售出的件数，利用售价-进价可得盈利；
（2）根据每件的利润×销售量=总利润可得关于x的方程，求解即可；
（3）根据每件的利润×销售量=总利润可得关于x的方程，然后根据根的判别式判断方程根的情况即可得出结论.
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0．
（1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求m的值．
【答案】（1）证明：Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×3m＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2．∵（m﹣3）2≥0，即Δ≥0，∴无论m取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：当腰为4时，把x＝4代入x2﹣（m+3）x+3m＝0，得，16﹣4m﹣12+3m＝0，解得m＝4；当底为4时，则程x2﹣（m+3）x+3m＝0有两相等的实数根，∴Δ＝0，∴（m﹣3）2＝0，∴m＝3，综上所述，m的值为4或3．
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）分类讨论，列方程求解即可。
21．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取正整数时，求此时方程的根．
【答案】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，解得：，的取值范围为；
（2）解：为正整数，，原方程为，即，解得：，，当取正整数时，此时方程的根为和．
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；
（2）将m的值代入，再求解即可。
22．用长为6米的铅合金条制成如图所示的矩形窗框，其中////，设窗框的高度为米．
（1）设窗框宽度为米，则 米（用含的代数式表示）；
（2）当窗户的透光面积为1.5平方米时，请你计算出窗框的高和宽分别是多少米（铝合金条的宽度忽略不计）
【答案】（1）
（2）解：∵窗户的透光面积为1.5平方米，
∴，
整理得：，
解得，
∴窗框的高是1米，宽是1.5米．
【解析】【解答】(1)解：∵是矩形窗框，////，
∴AD=EF=DC=x米，AB=DC=y米，
∴，
解得，
故答案为：．
【分析】（1）根据题意列出方程，再化简可得；
（2）根据题意列出方程，再求出x的值即可。
23．解方程：
（1）；
（2）（用配方法）
【答案】（1）解：，
，
，
∴x=0或x-5=0，
∴x1=0， x2=5；
（2）解：，
，
，
，
，
∴．
【解析】【分析】（1）利用因式分解法求解一元二次方程即可；
（2）利用配方法求解一元二次方程即可。
24．已知、、是的三边长，关于的一元二次方程有两个相等的实数根．
（1）请判断的形状；
（2）当，时，求一元二次方程的解．
【答案】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴△ABC为直角三角形；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∴原方程为，
解得：．
【解析】【分析】（1）根据关于的一元二次方程有两个相等的实数根，可得△=0，可得，根据勾股定理的逆定理即得结论；
（2）由可求出c=4，即得方程为， 解之即可.
25．已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）.
（1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根；
（2）当方程①有一根为x＝r时，求证x＝
是方程②的根；
（3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求
的值.
【答案】（1）解：∵方程x2+bx+a＝0的根为x1＝2，x2＝3，
∴﹣b＝2+3＝5，a＝2×3＝6，
∴方程②为6x2﹣5x+1＝0，
（3x﹣1）（2x﹣1）＝0，
∴方程②的根为x1＝ ，x2＝
（2）解：∵方程①有一根为x＝r，
∴r2+br+a＝0，
两边同除r2得 + +1＝0，
∴ 是方程ax2+bx+1＝0的根，
∴x＝ 是方程②的根
（3）解：∵a2b+b＝0，
∴b＝0，
∵方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，
∴m+n＝0，mn＝a，s+t＝0，st＝ ，
∴a＝ ＝mn，m＝﹣n，s＝﹣t，
∴ms＝nt，
∴ ＝1
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2=-
、x1x2=
，于是﹣b＝2+3＝5，a＝2×3＝6，则可得方程②，解方程②可求解；
（2）由题意把x=r代入方程①并变形可得 + +1＝0，根据一元二次方程的根的意义可求解；
（3）由等式a2b+b＝0可得b=0，由一元二次方程的根与系数的关系可得m+n＝0，mn＝a，s+t＝0，st＝ ，则可求解.
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