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解直角三角形 单元综合优选卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，则tanA＝（ ）
A． B． C． D．
2．已知是锐角，，则的值为（ ）
A．30° B．60° C．45° D．无法确定
3．如图，一根电线杆PO⊥地面MN，垂足为O，并用两根斜拉线PA，PB固定，使点P，O，A，B在同一平面内，现测得∠PAO=66°，∠PBO=54°，则（ ）
A． B．
C． D．
4．正比例函数y=kx的图象经过点（3，2），则它与x轴所夹锐角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则 tan∠ACB的值为 （ ）
A．1 B． C． D．
6．已知＜cosA＜sin80°，则锐角A的取值范围是（ ）
A．60°＜A＜80° B．30°＜A＜80°
C．10°＜A＜60° D．10°＜A＜30°
7．如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（ ）（结果精确到0.1m，≈1.73）．
A．3.5m B．3.6m C．4.3m D．5.1m
8．如果α是锐角，且sinα＝ ，那么cos（90°-α）的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在 的网格中，以顶点O为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点 ，则 的值为（ ）
A． B．2 C． D．3
10．如图，我国某段海防线上有A、B两个观测站，观测站B在观测站A的正东方向上．上午9点，发现海面上C处有一可疑船只，立刻测得该船只在观测站A的北偏东45°方向，在观测站B的北偏东30°的方向上，已知A、C两点之间的距离是50 海里，则此时可疑船只所在C处与观测点B之间的距离是（ ）
A．25 海里 B． 海里 C．25海里 D．50海里
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，已知BD是的外接圆直径，且，，则 ．
12．在中，，点P在直线上，点P到直线的距离为，则的长为 ．
13．某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度.他们在C处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为64°，则建筑物的高度 米.（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）（参考数据：sin48°≈ ，tan48°≈ ，sin64°≈ ，tan64°≈2）
14．关于x的一元二次方程
+tanα=0有两个相等的实数根，则锐角α = ．
15．在 中， ， 是高，且 ，则 ．
16．已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i＝1∶2.4，如果它把物体送到离地面5米高的地方，那么物体所经过的路程为 米．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度i＝1：1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行．
（1）求点F到直线CE的距离（结果保留根号）；
（2）若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB（结果精确到0.1米，≈1.41，≈1.73）．
18．如图，在矩形中，点E为边上的一动点（点E不与点A，B重合），连接，过点C作，垂足为F．
（1）求证：∽；
（2）若，，求的长．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数 （m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点B的坐标为（6，n）.线段OA=5，E为x轴上一点，且sin∠AOE= .
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOC的面积.
20．今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力.如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，在A处测得C港在北偏东45°方向上，在B处测得C港在北偏西60°方向上，且 千米，以台风中心为圆心，周围600千米以内为受影响区域.
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？（结果保留整数，参考数据 ， ， ）
21．某市需要新建一批公交车候车厅，设计师设计了一种产品（如图①），产品示意图的侧面如图②所示，其中支柱DC长为2.1m，且支柱DC垂直于地面DG，顶棚横梁AE长为1.5m，BC为镶接柱，镶接柱与支柱的夹角∠BCD＝150°，与顶棚横梁的夹角∠ABC＝135°，要求使得横梁一端点E在支柱DC的延长线上，此时经测量得镶接点B与点E的距离为0.35m（参考数据： ≈1.41，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，结果精确到0.1m）．
（1）求EC的长；
（2）求点A到地面DG的距离．
22．（1）计算： ；
（2）已知 ，试求代数式 的值.
23．如图，AC为矩形ABCD的对角线，AC的垂直平分线交AD、BC于点F、E．
（1）如图1，求证：四边形AECF为菱形．
（2）如图2，若，，请直接写出图中所有正切值等于的角．
24．在△ABC中，AB=AC=2，高BE= ，求∠BAC.已知两边解直角三角形的两种类型：
图1 图2
（1）在Rt△ABC中，已知两直角边a，b，如图1，则c= ，由tanA= 可求∠A，则∠B=90°-∠A.
（2）在Rt△ABC中，已知斜边和一直角边，如c，a，如图2，则b= ，由sinA= 可求∠A，则∠B=90°-∠A.
25．
如图1，在 中， ，点D为 边上的动点， 交 于点E.
（1）问题发现：如图2，当 时， ； 与 所在直线相交所成的锐角等于 .
（2）类比探究：当 时，把 绕点A逆时针旋转到如图3的位置时，请求出 的值以及 与 所在直线相交所成的锐角.
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解直角三角形 单元综合优选卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，则tanA＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】在Rt△ABC中，∠C＝90°， ，故答案为：B.
【分析】根据正切的定义 计算，得到答案.
2．已知是锐角，，则的值为（ ）
A．30° B．60° C．45° D．无法确定
【答案】B
【解析】【解答】解：是锐角，，
.
故答案为：B.
【分析】若α与β互余，则sinα=cosβ，据此解答.
3．如图，一根电线杆PO⊥地面MN，垂足为O，并用两根斜拉线PA，PB固定，使点P，O，A，B在同一平面内，现测得∠PAO=66°，∠PBO=54°，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：在Rt△PAO中，，
∴；
在Rt△PBO中，，
∴；
∴，
故答案为：D．
【分析】在Rt△PAO中根据正弦的定义可得：，变形后可表示出：；在Rt△PBO中根据正弦的定义可得：，变形后可表示出，据此进一步表示出，通过化简可得出答案.
4．正比例函数y=kx的图象经过点（3，2），则它与x轴所夹锐角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设正比例函数y=kx的图象与x轴所夹锐角为α，
由题意得，点（3，2）到原点的距离，
∴sinα==，
故选B．
【分析】根据勾股定理得出点（3，2）到原点的距离，再根据三角函数的定义即可得出答案．
5．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则 tan∠ACB的值为 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．
【解答】由图形知：tan∠ACB=
故答案为：B．
【点评】题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义
6．已知＜cosA＜sin80°，则锐角A的取值范围是（ ）
A．60°＜A＜80° B．30°＜A＜80°
C．10°＜A＜60° D．10°＜A＜30°
【答案】D
【解析】解：∵cos30°=，sin80°=cos10°，余弦函数随角增大而减小，
∴10°＜A＜30°．
故选D．
【分析】首先明确cos30°= ，sin80°=cos10°，再根据余弦函数随角增大而减小，进行分析．
7．如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（ ）（结果精确到0.1m，≈1.73）．
A．3.5m B．3.6m C．4.3m D．5.1m
【答案】D
【解析】【解答】解：设CD=x，
在Rt△ACD中，CD=x，∠CAD=30°，
则tan30°=CD：AD=x：AD
故AD=x，
在Rt△CED中，CD=x，∠CED=60°，
则tan60°=CD：ED=x：ED
故ED=x，
由题意得，AD﹣ED=x﹣x=4，
解得：x=2，
则这棵树的高度=2+1.6≈5.1m．
故选D．
【分析】设CD=x，在Rt△ACD中求出AD，在Rt△CED中求出ED，再由AE=4m，可求出x的值，再由树高=CD+FD即可得出答案．
8．如果α是锐角，且sinα＝ ，那么cos（90°-α）的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解答： ∵α为锐角，sinα＝ ∴cos（90°-α）=sinα= ．
故选C．
分析： 根据互为余角三角函数关系，解答即可．
9．如图，在 的网格中，以顶点O为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点 ，则 的值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【解析】【解答】如图，连接OA，过点A作AC⊥OB于点C，
则AC=1，OA=OB=2，
∵在Rt△AOC中，OC= ，
∴BC=OB-OC=2- ，
∴在Rt△ABC中，tan∠ABO= .
故答案为：C．
【分析】连接OA，过点A作AC⊥OB于点C，在Rt△AOC中，用勾股定理可求OC的长，在Rt△ABC中可求∠ABO的正切值。
10．如图，我国某段海防线上有A、B两个观测站，观测站B在观测站A的正东方向上．上午9点，发现海面上C处有一可疑船只，立刻测得该船只在观测站A的北偏东45°方向，在观测站B的北偏东30°的方向上，已知A、C两点之间的距离是50 海里，则此时可疑船只所在C处与观测点B之间的距离是（ ）
A．25 海里 B． 海里 C．25海里 D．50海里
【答案】B
【解析】【解答】解：作CD⊥AB于点D．
由题意可得：AC=50 海里，∠CAD=45°，∠CBD=60°，
则DC=50 sin45°=50（海里），
故BC=DC÷sin60°=50÷ = （海里），
故选：B．
【分析】作CD⊥AB于点D，首先得出，∠CAD=45°，∠CBD=60°，求出DC的长，进而求出BC的长．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，已知BD是的外接圆直径，且，，则 ．
【答案】5
【解析】【解答】解：如图所示，连接
，
由图可知
（同弧所对的圆周角相等），
且
（直径所对的圆周角等于90°），
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5．
【分析】连接CD，根据圆周角的性质可得
，再利用
可得
，再利用解直角三角形的方法可得
。
12．在中，，点P在直线上，点P到直线的距离为，则的长为 ．
【答案】或
【解析】【解答】如图，过点C作CD⊥AB交BA于点D，
∵BC=14， ，
∴CD= ，
∴BD= ，
∵，
∴AD= AB-BD-= ，
在Rt△ACD中，AC= ，
过P作PE⊥AB，与BA的延长线于点E，
∵点P在直线AC上，点P到直线AB的距离为 ，
∴△APE∽△ACD，
∴，
即 ，
解得 ，
∴①点P在线段AC上时，CP=AC-AP= ，
②点P在射线CA上时，CP=AC+AP= ，
综上所述，CP的长为 或 ．
故答案为： 或 ．
【分析】过点C作CD⊥AB交BA于点D，分两种情况：①点P在线段AC上时，②点P在射线CA上时，分类讨论即可。
13．某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度.他们在C处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为64°，则建筑物的高度 米.（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）（参考数据：sin48°≈ ，tan48°≈ ，sin64°≈ ，tan64°≈2）
【答案】14.7
【解析】【解答】解：根据题意，得 ， 米，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，即
解得： 米，
∴建筑物的高度约为14.7米.
故答案为：14.7.
【分析】根据题意得 ：∠ADB=64°，∠ACB=48°，CD=6米，根据∠ADB、∠ACB的正切函数可求出BD、BC，然后根据CD=BC-BD进行计算.
14．关于x的一元二次方程
+tanα=0有两个相等的实数根，则锐角α = ．
【答案】45°
【解析】【解答】解：∵方程x2-2x+
=0有两个相等的实数根，
∴△=（-2）2-4
=0，
∴=1，
∴=45°.
故答案为：45°.
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）中，当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根，据此结合题意得出△=（-2）2-4
=0，进而根据特殊锐角三角函数值即可得出答案.
15．在 中， ， 是高，且 ，则 ．
【答案】1或9
【解析】【解答】解：分两种情况：
①△ABC是锐角三角形时，如图一．
∵在△ABD中，BD是AC边上的高，AB＝5，cos∠ABD＝ ，
∴BD＝3，
∴AD＝ ，
∴CD＝AC AD＝5 4＝1；
②△ABC是钝角三角形时，如图二．
∵在△ABD中，BD是AC边上的高，AB＝5，cos∠ABD＝ ，
∴BD＝3，
∴AD＝ ，
∴CD＝AC＋AD＝5＋4＝9．
故答案为：1或9．
【分析】分两种情况进行讨论：①△ABC是锐角三角形，②△ABC是钝角三角形，分别画出图形计算即可．
16．已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i＝1∶2.4，如果它把物体送到离地面5米高的地方，那么物体所经过的路程为 米．
【答案】13
【解析】【解答】解：如图，由题意得：斜坡AB的坡度：i＝1：2.4，AE＝5米，AE⊥BD，
∵i＝ ，
∴BE＝12米，
∴在Rt△ABE中，AB＝ （米）
故答案为：13．
【分析】首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度i＝1：1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行．
（1）求点F到直线CE的距离（结果保留根号）；
（2）若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB（结果精确到0.1米，≈1.41，≈1.73）．
【答案】（1）解：过点F作FG⊥EC于G，
依题意知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°，
∴四边形DEGF是矩形，
∴FG＝DE，
在Rt△CDE中，
DE＝CE tan∠DCE＝6×tan30 o ＝2 （米），
∴点F到地面的距离为2 米；
（2）解：∵斜坡CF的坡度为 i＝1：1.5．
∴Rt△CFG中，CG＝1.5FG＝2×1.5＝3（米），
∴FD＝EG＝（3+6）（米）．
在Rt△BCE中，
BE＝CE tan∠BCE＝6×tan60 o ＝6（米），
∴AB＝AD+DE-BE＝3+6+2-6＝6-≈4.3 （米）．
答：宣传牌的高度约为4.3米．
【解析】【分析】（1）过点F作FG⊥EC于G，易得四边形DEGF是矩形，根据矩形的性质得FG＝DE，在Rt△CDE中，根据正切函数的定义，由DE＝CE tan∠DCE即可算出答案；
（2）根据坡比的定义，Rt△CFG中，可得CG＝1.5FG，进而可得FD＝EG＝（3+6）（米），在Rt△BCE中，根据正切函数的定义，由BE＝CE tan∠BCE求出BE，最后根据AB＝AD+DE-BE算出答案.
18．如图，在矩形中，点E为边上的一动点（点E不与点A，B重合），连接，过点C作，垂足为F．
（1）求证：∽；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形为矩形，
．
，垂足为F，
．
，，
．
∽．
（2）解：∽，
，
．
在中，，，
，
即的长为2．
【解析】【分析】（1）根据四边形为矩形，得出，再推出，则，即可得出结论；
（2）由三角形相似得出∽，得出，在中，，，求出AE的值，即可得解。
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数 （m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点B的坐标为（6，n）.线段OA=5，E为x轴上一点，且sin∠AOE= .
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOC的面积.
【答案】（1）解：过点A作AD⊥x轴于D点，如图
∵sin∠AOE= ，OA=5，
∴sin∠AO E= = = ，
∴AD=4，
∴DO= =3，
而点A在第二象限，
∴点A的坐标为（﹣3，4），
将A（﹣3，4）代入y= ，得m=﹣12，
∴反比例函数的解析式为y=﹣ ；
将B（6，n）代入y=﹣ ，得n=﹣2；
将A（﹣3，4）和B（6，﹣2）分别代入y=kx+b（k≠0），得
，
解得 ，
∴所求的一次函数的解析式为y=﹣ x+2；
（2）解：在y=﹣ x+2中，令y=0，
即﹣ x+2=0，
解得x=3，
∴C点坐标为（0，3），即OC=3，
∴S△AOC= AD OC= 4 3=6.
【解析】【分析】（1）过点A作AD⊥x轴于D点，根据正弦求出AD=4，根据勾股定理求出DO=3，再求出点A的坐标为（﹣3，4），再求反比例函数的解析式，从而求出B的坐标，再用待定系数法求一次函数的解析式；（2）令y=0，即- x+2=0，解得x=3，得C点坐标为（0，3），即OC=3，S△AOC= AD OC.
20．今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力.如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，在A处测得C港在北偏东45°方向上，在B处测得C港在北偏西60°方向上，且 千米，以台风中心为圆心，周围600千米以内为受影响区域.
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？（结果保留整数，参考数据 ， ， ）
【答案】（1）解：如下图，过点C作 交AB于点H，
设
在 中， ，
在 中， ，
∴
∴ ，∴
∵ ，海港C受台风影响
（2）解：如下图，以CP=600千米为半径画弧交AB于P、Q两点，此时台风在PQ之间时，海港受到影响，
在 中， ，
∴
∴
则时间： （小时）
答：台风影响该海港持续的时间有45小时.
【解析】【分析】（1）过点C作CH⊥AB交AB于点H，设CH=x，则AH=CH=x，BH=x，然后根据AB=BH+AH求出x的值，然后与600进行比较即可判断；
（2）设台风在P点，海港开始受到影响，Q点时停止受影响，利用勾股定理求出PH，得到PQ，然后除以速度可求出时间.
21．某市需要新建一批公交车候车厅，设计师设计了一种产品（如图①），产品示意图的侧面如图②所示，其中支柱DC长为2.1m，且支柱DC垂直于地面DG，顶棚横梁AE长为1.5m，BC为镶接柱，镶接柱与支柱的夹角∠BCD＝150°，与顶棚横梁的夹角∠ABC＝135°，要求使得横梁一端点E在支柱DC的延长线上，此时经测量得镶接点B与点E的距离为0.35m（参考数据： ≈1.41，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，结果精确到0.1m）．
（1）求EC的长；
（2）求点A到地面DG的距离．
【答案】（1）解：连接EC．可得∠EBC＝45°，∠ECB＝30°．过点E作EP⊥BC．如图，
EP＝BE×sin45°≈0.25m．
CE＝2EP＝0.5m
（2）解：过点A作AF⊥DG，过点E作EM⊥AF，AM＝AE×sin15°．
AF＝AM+CE+DC＝AE×sin15°+2BE×sin45°+2.1＝0.48+0.50+2.1＝3.0m，
∴点A到地面的距离是3.0m
【解析】【分析】（1） 连接EC，过点E作EP⊥BC，根据题意得出∠EBC＝45°，∠ECB＝30°，根据锐角三角函数的定义得出EP=0.25m，即可得出CE＝2EP＝0.5m；
（2） 过点A作AF⊥DG，过点E作EM⊥AF，根据锐角三角函数的定义得出AM＝AE×sin15°，利用AF＝AM+CE+DC求出AF的长，即可得出答案.
22．（1）计算： ；
（2）已知 ，试求代数式 的值.
【答案】（1）解：原式
（2）解：∵
∴
∴ 或
解得 或
将 代入代数式得
将 代入代数式得
∴代数式的值为2或 .
【解析】【分析】（1）先进行乘方的运算，去绝对值和代入特殊角的三角函数值，然后进行二次根式的乘法运算，再合并同类二次根式，进行有理数的加减运算，即可求出结果；
（2）根据条件，利用分解因式求出 或 ，然后分别代入原式，进行化简，即可求出结果.
23．如图，AC为矩形ABCD的对角线，AC的垂直平分线交AD、BC于点F、E．
（1）如图1，求证：四边形AECF为菱形．
（2）如图2，若，，请直接写出图中所有正切值等于的角．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AF∥CE，
∴∠FAG＝∠ECG，
∵EF垂直平分AC，
∴AG＝CG，FE⊥AC，
在△AGF和△CGE中，
，
∴△AGE≌△CGF（ASA），
∴EG＝FG，
∴四边形AECF为平行四边形，
又∵FE⊥AC，
∴平行四边形AECF为菱形．
（2）解：正切值为的角为：∠AEB，∠EAF，∠CFD，∠FCE．
【解析】【解答】解：(2)正切值为
的角为：∠AEB，∠EAF，∠CFD，∠FCE．
理由：设AE＝x，则CE＝x，BE＝5﹣x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
AB2+BE2＝AE2，
∴（5﹣x）2＝x2，
解得：x＝3，
∴BE＝2，
∴tan∠AEB
，
∵AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AEB，∠FCE＝∠CFD，
∵∠AEB＝∠CFD，
∴∠AEB，∠EAF，∠CFD，∠FCE的正切值都等于
．
【分析】（1）先利用矩形的性质和“ASA”证明△AGE≌△CGF可得EG=FG，因此四边形AECF为平行四边形，再根据FE⊥AC，即可证明平行四边形AECF为菱形；
（2）先求出AE、CE和BE的长，再根据正切值的定义求解即可。
24．在△ABC中，AB=AC=2，高BE= ，求∠BAC.已知两边解直角三角形的两种类型：
图1 图2
（1）在Rt△ABC中，已知两直角边a，b，如图1，则c= ，由tanA= 可求∠A，则∠B=90°-∠A.
（2）在Rt△ABC中，已知斜边和一直角边，如c，a，如图2，则b= ，由sinA= 可求∠A，则∠B=90°-∠A.
【答案】（1）解：当∠BAC为锐角时，如图①所示.
∵sinA= ，∴∠BAC=60°.
（2）解：当∠BAC为钝角时，如图②.
在Rt△ABE中，∵sin∠BAE= ，∴∠BAE=60°，∴∠BAC=180°-60°=120°.∴∠BAC的度数为60°或120°
【解析】【分析】(1)当∠BAC为锐角时，作高画出图形可得sinA=，根据它的值得到∠BAC的值；
（2）当∠BAC为钝角时，作高画出图形，可得sin∠BAE=，从而求出∠BAE的值，而∠BAC=180°-∠BAE。
25．
如图1，在 中， ，点D为 边上的动点， 交 于点E.
（1）问题发现：如图2，当 时， ； 与 所在直线相交所成的锐角等于 .
（2）类比探究：当 时，把 绕点A逆时针旋转到如图3的位置时，请求出 的值以及 与 所在直线相交所成的锐角.
【答案】（1）；45°
（2）解：由图1可知， ，
∴ ，
， ，
∽ ，
，
延长 交 于点F，交 的延长线于点G，
，
即 与 所在的直线相交所成的锐角为 ，
故答案为： ，30°；
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴
又∵cos∠= =cos∠45=
∴
又∵ 与 所在直线相交所成的锐角等于
∴ 与 所在直线相交所成的锐角为45°；
故答案为 ，45°；
【分析】（1）先证，可得，从而得出，由cos∠A= =cos∠45°= ，据此即得结论；
（2）可证 ∽ ，可得 ， . 延长 交 于点F，交 的延长线于点G，由得出.
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