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直线与圆的位置关系 单元综合精选提升卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在同一平面内，有一半径为6的 和直线 ，直线 上有一点 ，且 ；则直线 与 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．不能确定
2．如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PA＝AO，PD与⊙O相切于点D，BC⊥AB交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为1，则BC的长是（ ）
A．1.5 B．2 C． D．
3．如图，BC是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于点A，如果PA＝ ，PB＝1，那么∠APC等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
4．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠ACB的平分线CE交于点O，下列说法正确的是（ ）
A．点O是△ABC的内切圆的圆心 B．CE⊥AB
C．△ABC的内切圆经过D，E两点 D．AO＝CO
5．根据尺规作图的痕迹，可以判定点O为 内心的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F.P是⊙A上一点，且∠EPF＝40°，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．4－ B．4－ C．8－ D．8－
7．已知四边形ABCD是梯形，且AD∥BC，AD＜BC，又⊙O与AB、AD、CD分别相切于点E、F、G，圆心O在BC上，则AB+CD与BC的大小关系是（ ）
A．大于 B．等于 C．小于 D．不能确定
8．如图，△ABC是⊙O内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与⊙O相切于点A的条件是（ ）
A．∠EAB=∠C B．∠B=90° C．EF⊥AC D．AC是⊙O直径
9．下列说法正确的是（ ）
A．圆的对称轴是圆的直径
B．相等的圆周角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
D．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
10．以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（ ）
A．0≤b＜2 B．﹣2
C．﹣2 2 D．﹣2 ＜b＜2
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点C，∠PCB=35°，则∠B等于 度．
12．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC=CD，∠ACD=120°，CD是⊙O的切线：若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为 ．
13．在△ABC中，已知∠ACB=90°，BC=AC=10，以C为圆心，分别以5，5 ，8为半径作图，那么直线AB与圆的位置关系分别是 ， ， ．
14．若直线a与⊙O交于A，B两点，O到直线a的距离为6，AB=16，则⊙O的半径为 ．
15．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为 ．
16． 如图，已知A，B两点的坐标分别为（8，0），（0，－6），⊙C的圆心坐标为（0，7），半径为5，若P是⊙C上一个动点，线段PB与x轴交于点D，则△ABD面积的最大值是 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F.
（1）求证：BE=CE；
（2）求∠CBF的度数；
18．如图，点为正方形对角线上一点，以为圆心，的长为半径的与相切于点.
（1）求证：与相切；
（2）若的半径为，求正方形的边长.
19．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E.
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为5，BC=16，求DE的长.
20．如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B=90°，连接OD，AD.
（1）若∠ACB=20°，求的长（结果保留）.
（2）求证：AD平分∠BDO.
21．如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，点D在AC上，∠CBD＝∠A，过A、D两点的圆的圆心O在AB上.
（1）判断BD所在直线与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AE＝4，∠A＝30°，求图中由BD、BE、弧DE围成阴影部分面积.
22．如图，AB是⊙O的直径，AB=12，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D，∠C=50°．
（1）求∠B的度数；
（2）求的长．
23．如图，AB是的弦，点C是在过点B的切线上，且且交AB于点P.
（1）求证：
（2）若的半径为，求证：为等边三角形.
24．如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上.
（1）求证：OP∥BC；
（2）过C点作⊙O的切线，交AP的延长线于点D，∠P=90°，DP=1，求⊙O的直径.
25．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一个动点（不与点A，B重合），D是弦AC上一点，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点C作半圆O的切线，交ED的延长线于点F.
（1）求证：FC＝FD.
（2）①当∠CAB的度数为 时，四边形OEFC是矩形；②若D是弦AC的中点，⊙O的半径为5，AC＝8，则FC的长为 .
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直线与圆的位置关系 单元综合精选提升卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在同一平面内，有一半径为6的 和直线 ，直线 上有一点 ，且 ；则直线 与 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．不能确定
【答案】A
【解析】【解答】解：∵圆O的半径为6.直线m上有一点P，OP=4，4＜6，
∴直线与圆O相交.
故答案为：A.
【分析】根据直线与圆的位置关系判断，即：d＞r，相离；d=r，相切；d＜r，相交.
2．如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PA＝AO，PD与⊙O相切于点D，BC⊥AB交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为1，则BC的长是（ ）
A．1.5 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：连接OD，如图所示
∵PC切⊙O于D
∴∠ODP＝90°
∵⊙O的半径为1，PA＝AO，AB是⊙O的直径
∴PO＝1+1＝2，PB＝1+1+1＝3，OD＝1
∴由勾股定理得：PD＝
∵BC⊥AB，AB过O
∴BC切⊙O于B
∵PC切⊙O于D
∴CD＝BC
设CD＝CB＝x
在Rt△PBC中，由勾股定理得：PC2＝PB2+BC2
即
解得：x＝
即BC＝
故答案为：D
【分析】连接OD，根据切线的性质求出∠ODP＝90°，根据勾股定理求出PD，证明BC是⊙O的切线，根据切线长定理得出CD＝BC，再根据勾股定理求出BC即可.
3．如图，BC是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于点A，如果PA＝ ，PB＝1，那么∠APC等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【解析】【解答】连接OA，设圆的半径为r，
由切割线定理可得PA2=PB×PC，
∴（）2=1×（1+2r），解得r=1，
∴tan∠APC=，
∴∠APC=30°.
故答案为：B.
【分析】连接OA，由切割线定理求出半径，由∠APC的正切值，即可求出∠APC的度数.
4．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠ACB的平分线CE交于点O，下列说法正确的是（ ）
A．点O是△ABC的内切圆的圆心 B．CE⊥AB
C．△ABC的内切圆经过D，E两点 D．AO＝CO
【答案】A
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠ACB的平分线CE交于点O，
∴点O是△ABC的内切圆的圆心；
故答案为：A．
【分析】根据角平分线的性质及三角形内心的定义求解即可。
5．根据尺规作图的痕迹，可以判定点O为 内心的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ 内心的是各个角的平分线的交点，
∴C选项符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据三角形内心的定义逐项判定即可。
6．如图，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F.P是⊙A上一点，且∠EPF＝40°，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．4－ B．4－ C．8－ D．8－
【答案】B
【解析】【解答】连接AD，
∵BC是切线，点D是切点，
∴AD⊥BC，
∴∠EAF=2∠EPF=80°，
∴S扇形AEF= ，
S△ABC= AD BC= ×2×4=4，
∴S阴影部分=S△ABC-S扇形AEF=4- π.
【分析】连接AD，根据切线的性质可得AD⊥BC，利用圆周角定理可得∠EAF=2∠EPF=80°，由S阴影部分=S△ABC-S扇形AEF，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式计算即可得出结论.
7．已知四边形ABCD是梯形，且AD∥BC，AD＜BC，又⊙O与AB、AD、CD分别相切于点E、F、G，圆心O在BC上，则AB+CD与BC的大小关系是（ ）
A．大于 B．等于 C．小于 D．不能确定
【答案】A
【解析】【解答】解：连接OF，
∵AD是切线，
∴OF⊥AD，
又∵AD∥BC，
∴AB≥OF，CD≥OF，
又∵AD＜BC，
∴AB≥OF，CD≥OF最多有一个成立．
∴AB+CD＞2OF，
∵BC=2OF，
∴AB+CD＞BC．
故选A，
【分析】连接OF，则OF是梯形的高，则AB≥OF，CD≥OF，而两个式子不能同时成立，据此即可证得．
8．如图，△ABC是⊙O内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与⊙O相切于点A的条件是（ ）
A．∠EAB=∠C B．∠B=90° C．EF⊥AC D．AC是⊙O直径
【答案】A
【解析】【解答】解：假设直线EF与⊙O相切于点A，由弦切角定理可得∠EAB=∠C，故A正确；因为AC不一定过圆心，所以AC不一定是⊙O直径，∠B=90°、EF⊥AC不一定成立，故B，C，D错误．
故选A．
【分析】要求直线EF与⊙O相切于点A的条件，可先假设直线EF与⊙O相切于点A，再对选项进行判断．
9．下列说法正确的是（ ）
A．圆的对称轴是圆的直径
B．相等的圆周角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
D．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【答案】D
【解析】【解答】解：A、对称轴应是直线，故错误；
B、必须在同圆或等圆中，故错误；
C、此弦不能是直径，故错误；
D、这是切线的判定定理，故正确．
故选D．
【分析】根据圆的对称性、等弧的定义以及垂径定理和切线的判定定理即可求解．
10．以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（ ）
A．0≤b＜2 B．﹣2
C．﹣2 2 D．﹣2 ＜b＜2
【答案】D
【解析】【解答】解： 当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．
在y=﹣x+b中，令x=0时，y=b，则与y轴的交点是（0，b），
当y=0时，x=b，则A的交点是（b，0），
则OA=OB，即△OAB是等腰直角三角形．
连接圆心O和切点C．则OC=2．
则OB= OC=2 ．即b=2 ；
同理，当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b=﹣2 ．
则若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是﹣2 ＜b＜2 ．
故答案为：D．
【分析】求出直线y=-x+b与圆相切，且函数经过的象限分别求出此时b的值，则相交时b的值在相切时的两个b的值之间.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点C，∠PCB=35°，则∠B等于 度．
【答案】55
【解析】【解答】．解：∵PC切⊙O于点C，∠PCB=35°，
∴∠A=∠PCB=35°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴35°+∠B=90°，
解得∠B=55°．
故答案为：55．
【分析】根据弦切角定理得出∠A=∠PCB=35°，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACB=90°，根据直角三角形的两锐角互余算出答案。
12．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC=CD，∠ACD=120°，CD是⊙O的切线：若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】2 ﹣ π
【解析】【解答】解：连接OC，
∵AC=CD，∠ACD=120°，
∴∠CAD=∠D=30°，
∵DC切⊙O于C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∴∠COD=60°，
在Rt△OCD中，∠OCD=90°，∠D=30°，OC=2，
∴CD=2 ，
∴阴影部分的面积是S△OCD﹣S扇形COB= ×2×2 ﹣ =2 ﹣ π，
故答案为：2 ﹣ π．
【分析】连接OC，根据度鞥要三角形的性质及三角形的内角和得出∠CAD=∠D=30°，根据切线的性质得出∠OCD=90°，根据三角形的内角和得出∠COD=60°，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出CD，根据阴影部分的面积是S△OCD﹣S扇形COB，由三角形的面积计算方法及扇形的面积计算方法即可算出答案。
13．在△ABC中，已知∠ACB=90°，BC=AC=10，以C为圆心，分别以5，5 ，8为半径作图，那么直线AB与圆的位置关系分别是 ， ， ．
【答案】相离；相切；相交
【解析】【解答】解： 如图，过点C作CD⊥AB于D.
∵BC=AC，CD⊥AB，
∴D为AB的中点.
∵∠ACB=90°，BC=AC=10，
∴AB=10
∴CD=×AB=
∴直线AB与以C为圆心以为半径的圆相切.
∵5＜
∴直线AB与以C为圆心以5为半径的圆相离.
∵8＞，
∴直线AB与以C为圆心以8为半径的圆相交
故答案为：相切、相离、相交
【分析】要求直线AB与圆C的位置关系，因此过点C作CD⊥AB于D，根据已知条件，利用解直角三角形求出圆心C到直线AB的距离CD的长，再根据相交：d＜r；相切：d=r；相离：d＞r；即可解答。
14．若直线a与⊙O交于A，B两点，O到直线a的距离为6，AB=16，则⊙O的半径为 ．
【答案】10
【解析】【解答】解：∵如图：连接OA ，过点O作OC⊥AB于点C，
∴∠ACO=90°，AC=AB=×16=8
∴△ACO为直角三角形，
∴AO2 =AC 2 +OC 2
∵O到直线a的距离为6
∴OC=6
∴AO2=8 2 +6 2
∴AO=10
∴⊙0的半径为10，
故答案为：10
【分析】连接OA ，过点O作OC⊥AB于点C，利用垂径定理求出AC的长，再利用勾股定理求出AO的长。
15．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC=AP，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP=BD，
∴BD=PB=AB﹣AP=5﹣3=2．
故答案为：2．
【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC=AP，BP=BD，求出BP的长即可求出BD的长．
16． 如图，已知A，B两点的坐标分别为（8，0），（0，－6），⊙C的圆心坐标为（0，7），半径为5，若P是⊙C上一个动点，线段PB与x轴交于点D，则△ABD面积的最大值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：当直线BP与圆相切时，切点在轴的右边，此时最长，则△ABD的面积最大．
A，B两点的坐标分别为（8，0），（0，－6），⊙C的圆心坐标为（0，7），半径为5，
连接PC，则∠CPB=90°，
在直角△BCP中，．
∵为的切线，则∠CPB=90°．
∴∠DOB=∠CPB=90°
又∵∠DBO=∠CBP，
∴△OBD∽△PBC，
∴，
∴．
∴，
∴S△ABD=AD OB=．
故答案为：
【分析】先根据题意得到当直线BP与圆相切时，切点在轴的右边，此时最长，则△ABD的面积最大，进而根据点的坐标得到，连接PC，则∠CPB=90°，根据勾股定理即可求出BP，再结合切线的性质得到∠DOB=∠CPB=90° ，进而根据相似三角形的判定与性质结合题意即可得到．从而得到AD，再根据三角形的面积即可求解。
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F.
（1）求证：BE=CE；
（2）求∠CBF的度数；
【答案】（1）证明：如图，连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，即AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴BE=CE
（2）解：∵BF为⊙O的切线，
∴∠ABF=90°，
∵AB=AC，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】（1） 连接AE，由圆周角定理可得∠AEB=90°，再根据等腰三角形的三线合一可得BE=CE；
（2）由圆的切线的性质可得∠ABF=90°，根据三角形内角和定理得∠ABC=∠ACB=（180°-∠BAC），然后由角的构成∠CBF=∠ABF-∠ABC可求解.
18．如图，点为正方形对角线上一点，以为圆心，的长为半径的与相切于点.
（1）求证：与相切；
（2）若的半径为，求正方形的边长.
【答案】（1）证明：如下图，过O作于H，
正方形，
，
是⊙O的切线，
，
，
为的半径，
为的半径，
与相切
（2）解：的半径为，
，
由（1）可知， ，
，
，
四边形是正方形，
，
则在中，
，即，
，
解得：，
故正方形的边长为.
【解析】【分析】 （1）过O作于H， 由正方形，可得， 证明，再证明从而可得结论；
（2）先根据勾股定理求出，从而可得，再根据正方形的性质、勾股定理即可得答案．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E.
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为5，BC=16，求DE的长.
【答案】（1）解：DE是⊙O的切线，理由如下：
连接OD，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线
（2）解：连接AD，
∵∠ADB=90°，AB=AC，
∴BD=CD，
∵⊙O的半径为5，BC=16，
∴AC=AB=10，CD=8，
∴AD= ，
∵S△ADC= AC DE= AD CD，
∴DE= .
【解析】【分析】（1） DE是⊙O的切线，理由如下： 连接OD，由等边对等角得∠B=∠ODB=∠C，由同位角相等，两直线平行，得OD∥AC，进而根据平行线的性质可得OD⊥DE，结合切线的判定定理即可得出结论；
（2） 连接AD， 由直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，根据等腰三角形的三线合一得CD=8，在Rt△ACD中，利用勾股定理算出AD，进而根据等面积法可求出DE.
20．如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B=90°，连接OD，AD.
（1）若∠ACB=20°，求的长（结果保留）.
（2）求证：AD平分∠BDO.
【答案】（1）解：连接OA，
∵∠ACB＝20°，
∴∠AOD＝40°，
∴，
.
（2）证明：，
，
切于点，
，
，
，
，
，
平分.
【解析】【分析】（1）连接OA，由圆周角定理可得∠AOD=2∠ACB=40°，然后根据弧长公式进行计算；
（2）根据等腰三角形的性质可得∠OAD=∠ODA，根据切线的性质可得OA⊥AB，推出OA∥BC，根据平行线的性质可得∠OAD=∠ADB，则∠ADB=∠ODA，据此证明.
21．如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，点D在AC上，∠CBD＝∠A，过A、D两点的圆的圆心O在AB上.
（1）判断BD所在直线与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AE＝4，∠A＝30°，求图中由BD、BE、弧DE围成阴影部分面积.
【答案】（1）解：直线BD与⊙O的位置关系是相切
证明：连接OD、DE
∵∠C＝90°
∴∠CBD+∠CDB＝90°
∵∠A＝∠CBD
∴∠A+∠CDB＝90°
∵OD＝OA
∴∠A＝∠ADO
∴∠ADO+∠CDB＝90°
∴∠ODB＝180°-90°＝90°
∴OD⊥BD
∵OD为半径
∴BD是⊙O切线
（2）解：∵AE是⊙O直径
∴∠ADE＝90°
∵AE＝4，∠A＝30°
∴DE＝AE＝2，∠AED＝60°
∵OD＝OE
∴△DOE是等边三角形
∴∠ODE＝60°，OD＝OE＝DE＝2
∵∠ODB＝90°
∴∠EDB＝30°
∴∠B＝∠DEO-∠EDB＝60°-30°＝30°
∴OB＝2OD＝4
由勾股定理得：DB＝，
∴阴影部分的面积S＝S△ODB-S扇形DOE
＝
＝.
【解析】【分析】（1）连接OD、DE，由已知条件可知∠A=∠CBD，根据等腰三角形的性质可得∠A＝∠ADO，结合∠A+∠CDB=90°可得∠ODB＝90°，据此证明；
（2）由圆周角定理可得∠ADE＝90°，根据含30°角的直角三角形的性质可得DE＝AE＝2，推出△DOE是等边三角形，得到∠ODE＝60°，OD＝OE＝DE＝2，则∠EDB＝30°，∠B＝∠DEO-∠EDB＝30°，OB＝2OD＝4，由勾股定理可得DB，然后根据S阴影=S△ODB-S扇形DOE进行计算.
22．如图，AB是⊙O的直径，AB=12，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D，∠C=50°．
（1）求∠B的度数；
（2）求的长．
【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，
∴AC⊥AB，
∴∠BAC=90°，
∵∠C=50°，
∴∠B=90°-∠C=40°．
（2）解：如图，连结0D，
∵∠AOD=2∠B=2×40°=80°，⊙O的半径为6，
∴的长为
【解析】【分析】（1）根据切线的性质得出AC⊥AB，利用∠B=90°-∠C，即可求出∠B的度数；
（2） 连结OD，根据圆周角定理得出∠AOD=2∠B=80°，再利用弧长公式列式进行计算，即可得出答案.
23．如图，AB是的弦，点C是在过点B的切线上，且且交AB于点P.
（1）求证：
（2）若的半径为，求证：为等边三角形.
【答案】（1）证明：.∵，
∴，
∴
∵BC切于点B，OB为半径
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
（2）证明：如图，作于
∴
∴
∴
∴
∵，
∴ 是等边三角形.
【解析】【分析】（1）根据垂直的概念可得∠AOC=90°，根据切线的性质可得∠OBC=90°，根据等腰三角形的性质可得∠A=∠OBA，结合等角的余角相等可得∠APO=∠ABC，推出∠CPB=∠CBP，据此证明；
（2）作OD⊥AB于D，根据垂径定理可得AD=BD=3，利用三角函数的概念求出cos∠OBD的值，根据特殊锐角三角函数值得到∠OBD的度数，进而求出∠CBP的度数，然后结合CP=CB以及等边三角形的判定定理进行证明.
24．如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上.
（1）求证：OP∥BC；
（2）过C点作⊙O的切线，交AP的延长线于点D，∠P=90°，DP=1，求⊙O的直径.
【答案】（1）证明：如图，连接AC交OP于点E，连接PC，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∵OP为OC的垂直平分线，
∴OP⊥AC，
∴OP∥BC；
（2）解：∵CD为圆O的切线，
∴OC⊥CD，又AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠APO=∠COP，
∵∠AOP=∠COP，
∴∠APO=∠AOP，
∴OA=AP，
∵OA=OP，
∴△APO为等边三角形，
∴∠AOP=60°，
∴∠POC=180°-（∠AOP+∠COB）=60°，
又OP=OC，
∴△POC为等边三角形，
∴∠PCO=60°，PC=OP=OC，
又∵∠COD=90°，
∴∠PCD=30°，
在Rt△PCD中，PD=PC，
又∵PC=OP=AB，
∴PD=AB，
∴AB=4PD=4.
【解析】【分析】（1）连接AC交OP于点E，由直径所对的圆周角为直角得出BC⊥AC，再由点A和点C关于OP的对称得出OP⊥AC，则由同垂直一条直线的两条直线互相平行得出OP∥BC；
（2） 利用切线的性质得到OC垂直于CD，从而得到OC∥AD，即可得到∠APO=∠COP，进一步得出∠APO=∠AOP，确定出△AOP为等边三角形，根据平行线的性质得出∠OBC=∠AOP=60°，从而得到△OBC为等边三角形，继而得出△POC为等边三角形，可求出∠PCD为30°，在直角三角形PCD中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得出PD为PC的一半，可得出PD为AB的四分之一，即AB=4PD=4．
25．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一个动点（不与点A，B重合），D是弦AC上一点，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点C作半圆O的切线，交ED的延长线于点F.
（1）求证：FC＝FD.
（2）①当∠CAB的度数为 时，四边形OEFC是矩形；②若D是弦AC的中点，⊙O的半径为5，AC＝8，则FC的长为 .
【答案】（1）解：∵FC是圆的切线，
∴∠FCD+∠ACO＝90°，
∵FE⊥BA，
∴∠ADE+∠CAO＝90°，
而∠CAO＝∠ACO，∠ADE＝∠FDC，
∴∠FDC＝∠FCD，
∴FC＝FD；
（2）45；
【解析】【解答】解：(2)①当∠CAB＝45°时，∠COB＝90°，
则四边形OEFC是矩形，
故答案为：45；
②连接OD，过点F作FM⊥CD，垂足为M，
设∠FDC＝α，
∵ FD=FC，∴DM= CD，
∵D是弦AC的中点，
∴OD⊥AC，AD＝DC，
∴∠ADE+∠EDO=90°，
∵∠DEO=90°，
∴∠EDO+∠EOD=90°，
∴∠ADE＝∠AOD＝∠FDC＝α，
∵AD＝CD＝ AC＝4，OA＝5，
∴DO＝ =3，
∴cosα＝ ，
∴在△FDC中，FD＝ ＝ ，
∴FC= .
故答案为：.
【分析】(1)证明∠FDC＝∠FCD，即可求解；
(2)①当∠CAB＝45°时，∠COB＝90°，即可求解；②连接OD，过点F作FM⊥CD，垂足为M，设∠FDC＝α，由D是弦AC的中点，则OD⊥AC，求出cosα＝ ，继而根据FD＝ 即可求解.
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