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投影与三视图 全能提优卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日在北京开幕，如图是冬奥会颁奖台，如果从正面的方向去观察它，得到的平面图形是（ ）.
A． B．
C． D．
2．一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的侧面积为（ ）
A．2πcm2 B．4πcm2 C．8πcm2 D．16πcm2
3．某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．三棱锥
4．如图是某几何体的三视图及相关数据，则下面判断正确的是（ ）
A．a＞c B．b＞c C．a2+4b2＝c2 D．a2＋b2＝c2
5．圆锥的底面半径是5cm，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是（ ）
A． cm B．10cm C．6cm D．5cm
6．下图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中所示数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为90°的扇形，则该圆锥的底面周长为（ ）
A．π B．2π C．8π D．16
8．如图，晚上小亮在路灯下散步，他从A处向着路灯灯柱方向径直走到B处，这一过程中他在该路灯灯光下的影子( )
A．逐渐变短 B．逐渐变长
C．先变短后变长 D．先变长后变短
9．在学校组织的实践活动中，小新同学用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为2 ，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．4π B．3π C．2 π D．2π
10．在Rt△ABC中，已知AB=6，AC=8，∠A=90°.如果把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S1；把Rt△AB C绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S2.那么S1∶S2等于（ ）
A．2∶3 B．3∶4 C．4∶9 D．5∶12
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知一个圆柱的底面半径为5cm，母线长为6cm，则这个圆柱的侧面积为 .
12．如图是一圆锥的左视图，根据图中所标注的尺寸，可求得圆锥的侧面积是 .
13．圆锥的底面半径为5cm，母线长为12cm，其侧面积为 cm2．
14．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，若把Rt△ABC绕边AB所在的直线旋转一周，所得几何体的全面积为
15．如图是一幢建筑物和一根旗杆在一天中四个不同时刻的影子．将四幅图按先后顺序排列应为 ．
16．将图所示的Rt△ABC绕AB旋转一周所得的几何体的主视图是图中的 （只填序号）．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，有一直径是 米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC，则：
（1）AB的长为 米；
（2）用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为 米.
18．小亮在广场上乘凉，如图所示的线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯.
（1）请在图中画出小亮在照明灯P照射下的影子；
（2）如果灯杆长PO=12 m，小亮身高AB=1.6 m，小亮与灯杆的距离BO=13 m，请求出小亮影子的长度.
19．母亲节时，小明送妈妈一个玻璃茶杯．（如图，单位：厘米）
（1）茶杯中间部分的一圈装饰带很漂亮，那是小明怕烫伤妈妈的手特意贴上的，这条装饰带宽5厘米，装饰带展开后至少长多少厘米？（接头处忽略不计）
（2）这只茶杯的体积是多少？
20．已知扇形的圆心角为120°，面积为300πcm2．
（1）求扇形的弧长；
（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？
21．如图1，圆锥底面圆半径为1，母线长为4，图2为其侧面展开图．
（1）求阴影部分面积；
（2）母线SC是一条蜜糖线，一只蚂蚁从A沿着圆锥表面最少需要爬多远才能吃到蜜糖？
22．一个圆锥的高为3cm，侧面展开图是半圆，求：
（1）圆锥的母线与底面半径之比；
（2）圆锥的表面积．
23．如图，已知扇形的圆心角为120°，面积为300π．
（1）求扇形的弧长；
（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的高为多少？
24．有一个几何体的形状为直三棱柱，右图是它的主视图和左视图．
（1）请补画出它的俯视图，并标出相关数据；
（2）根据图中所标的尺寸（单位：厘米），计算这个几何体的全面积．
25．如图，小明与同学合作利用太阳光线测量旗杆的高度，身高1.6m的小明落在地面上的影长为BC=2.4m．
（1）请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下落在地面上的影子EG；
（2）若小明测得此刻旗杆落在地面的影长EG=16m，请求出旗杆DE的高度．
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投影与三视图 全能提优卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日在北京开幕，如图是冬奥会颁奖台，如果从正面的方向去观察它，得到的平面图形是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题可知：从正面的方向去观察它，得到的平面图形是，
故答案为：B.
【分析】从正面观察所得的平面图形为，据此判断.
2．一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的侧面积为（ ）
A．2πcm2 B．4πcm2 C．8πcm2 D．16πcm2
【答案】B
【解析】【解答】解：此几何体为圆锥；
∵半径为1，圆锥母线长为4，
∴侧面积=2πrR÷2=2π×1×4÷2=4π；
故选：B．
【分析】俯视图为圆的只有圆锥，圆柱，球，根据主视图和左视图都是三角形可得到此几何体为圆锥，那么侧面积=底面周长×母线长÷2．
3．某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．三棱锥
【答案】A
【解析】【解答】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，
由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥．
故选：A．
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
4．如图是某几何体的三视图及相关数据，则下面判断正确的是（ ）
A．a＞c B．b＞c C．a2+4b2＝c2 D．a2＋b2＝c2
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可知该几何体是圆锥，根据勾股定理得，a2＋b2＝c2
故答案为：D.
【分析】判断出该几何体是圆锥，根据勾股定理即得结论.
5．圆锥的底面半径是5cm，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是（ ）
A． cm B．10cm C．6cm D．5cm
【答案】A
【解析】【解答】解：设圆锥的母线长为R，
根据题意得：2π·5=，
解得R=10，
圆锥的高==5；
故答案为：A.
【分析】 设圆锥的母线长为R，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π 5=，然后解方程即可母线长，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可．
6．下图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中所示数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：从俯视图可以看出直观图的各部分的个数，
可得出左视图前面有2个，中间有3个，后面有1个，
即可得出左视图的形状．
故选：B．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
7．如图，圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为90°的扇形，则该圆锥的底面周长为（ ）
A．π B．2π C．8π D．16
【答案】B
【解析】【解答】解：设底面圆的半径为r，则：
2πr= =2π．
解得r=1，
故圆锥的底面周长为2π×1=2π．
故选：B．
【分析】根据圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，可以求出底面圆的半径，从而求得圆锥的底面周长．
8．如图，晚上小亮在路灯下散步，他从A处向着路灯灯柱方向径直走到B处，这一过程中他在该路灯灯光下的影子( )
A．逐渐变短 B．逐渐变长
C．先变短后变长 D．先变长后变短
【答案】A
【解析】【解答】根据光源是由远到近的过程和中心投影的特点可得：小亮在路灯下由远及近向路灯靠近时，其影子应该逐渐变短，
故答案为：A．
【分析】该投影是中心投影， 小亮从A处向着路灯灯柱方向径直走到B处 的过程中，光源是由远到近的过程，根据中心投影的特点，小亮在路灯下由远及近向路灯靠近时，其影子应该逐渐变短。
9．在学校组织的实践活动中，小新同学用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为2 ，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．4π B．3π C．2 π D．2π
【答案】B
【解析】【解答】解：设底面圆的半径为r，高为h，母线长为l，
∵r=1，h=2，
∴l==3，
又∵S侧=.2r.l=rl=3.
故答案为：B.
【分析】根据题意由勾股定理求出圆锥母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可得出答案.
10．在Rt△ABC中，已知AB=6，AC=8，∠A=90°.如果把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S1；把Rt△AB C绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S2.那么S1∶S2等于（ ）
A．2∶3 B．3∶4 C．4∶9 D．5∶12
【答案】A
【解析】【解答】解：如图
∵Rt△ABC中，已知AB=6，AC=8
∴
∵把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S1
∴S1=
∵把Rt△AB C绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S2
∴S2=
∴S1∶S2=96：144=2：3
故答案为：A
【分析】利用勾股定理求出BC的长，再分别求出以直线AC为轴和直线AB为轴旋转一周得到的圆锥的表面积，再求出它们的表面积之比即可。圆锥的表面积=圆锥的侧面积+底面圆的面积，即圆锥的表面积=（R是圆锥的母线长，r是底面圆的半径）。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知一个圆柱的底面半径为5cm，母线长为6cm，则这个圆柱的侧面积为 .
【答案】60π
【解析】【解答】解：圆柱的底面周长为：π×2×5=10π（cm），
侧面积为10π×6=60π（cm2）．
故答案为：60π．
【分析】根据圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长可求出圆柱的底面周长，根据圆柱的侧面积=底面圆的周长×高即可求解.
12．如图是一圆锥的左视图，根据图中所标注的尺寸，可求得圆锥的侧面积是 .
【答案】3π
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面直径为2，
∴圆锥的底面半径为1，
∵圆锥的高为，
∴圆锥的母线为.
∴圆锥的侧面积是
故答案为：3π.
【分析】先利用勾股定理求出圆锥的母线，再求出圆锥的侧面积.
13．圆锥的底面半径为5cm，母线长为12cm，其侧面积为 cm2．
【答案】60π
【解析】【解答】圆锥的侧面积=2π×5×12÷2=60π．
故答案是60π．
【分析】运用圆锥侧面积公式求解。
14．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，若把Rt△ABC绕边AB所在的直线旋转一周，所得几何体的全面积为
【答案】π
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC
∴，
∴CD=2
以CD为半径的圆周长为4π
∴ Rt△ABC绕边AB所在的直线旋转一周，所得几何体的全面积为
故答案为：π
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ABC中，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得CD=2，求出以CD为半径的圆周长，再根据几何体为上下相同的圆锥，利用圆锥侧面积即可求出答案.
15．如图是一幢建筑物和一根旗杆在一天中四个不同时刻的影子．将四幅图按先后顺序排列应为 ．
【答案】④①③②
【解析】【解答】解：从早晨到傍晚物体的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长．
则四幅图按先后顺序排列应是④①③②．
故答案为：④①③②．
【分析】根据影子变化规律可知道时间的先后顺序．
16．将图所示的Rt△ABC绕AB旋转一周所得的几何体的主视图是图中的 （只填序号）．
【答案】②
【解析】【解答】解：Rt△ABC绕斜边AB旋转一周所得的几何体是两个底面相等相连的圆锥，圆锥的主视图是等腰三角形，所以该几何体的左视图是两个底边相等的等腰三角形相连，并且上面的等腰三角形较大，故为图②．
故答案为：②．
【分析】易得此几何体为两个底面相同且相连的圆锥的组合体，主视图是从几何体正面看到的图形．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，有一直径是 米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC，则：
（1）AB的长为 米；
（2）用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为 米.
【答案】（1）1
（2）
【解析】【解答】解：（1）∵圆周角∠BAC=90°，
∴BC为圆的直径，即BC=，
由圆的对称性可知△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=BC=1.
（2）设圆锥底面圆的半径为r，
∴弧BC===2r，
∴r=.
故答案为：（1）1.（2）.
【分析】（1）根据圆周角定理可得BC是圆的直径，再根据圆的对称性可知△ABC为等腰直角三角形，由等腰三角形的性质可求出AB长.
（2）根据圆锥侧面展开图特征：扇形的弧长即为底面圆的周长，根据公式由此即可得出答案.
18．小亮在广场上乘凉，如图所示的线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯.
（1）请在图中画出小亮在照明灯P照射下的影子；
（2）如果灯杆长PO=12 m，小亮身高AB=1.6 m，小亮与灯杆的距离BO=13 m，请求出小亮影子的长度.
【答案】（1）解：如图：连结PA并延长，交直线OB于点C，则线段BC就是小亮在照明灯P照射下的影子.
（2）解：在△CAB和△CPO中，∵∠ACB=∠PCO，∠ABC=∠POC=90°，
∴△CAB∽△CPO，
∴ ，即 = ，解得：BC=2 m.
答：小亮影子的长度为2 m.
【解析】【分析】（1）连接物体和它影子的顶端的直线必定经过点光源；由此即可作出图形.
（2）根据相似三角形的判定得△CAB∽△CPO，再由相似三角形性质对应边成比例可得出方程，解之即可得出答案.
19．母亲节时，小明送妈妈一个玻璃茶杯．（如图，单位：厘米）
（1）茶杯中间部分的一圈装饰带很漂亮，那是小明怕烫伤妈妈的手特意贴上的，这条装饰带宽5厘米，装饰带展开后至少长多少厘米？（接头处忽略不计）
（2）这只茶杯的体积是多少？
【答案】（1）解：∵圆柱的底面直径为6，
∴圆柱的底面周长为6π，
∴装饰带展开后的长度为6π
（2）解：∵圆柱的体积等于底面积乘以高，∴V圆柱=15×π 32=135π
【解析】【分析】（1）装饰带展开后是一个矩形，宽为5cm，长等于杯子的底面周长；（2）根据圆柱的体积V圆柱=Sh直接计算即可．
20．已知扇形的圆心角为120°，面积为300πcm2．
（1）求扇形的弧长；
（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？
【答案】（1）解：设扇形的半径为R，
则300π= ，
解得，R=30，
扇形的弧长= =20π（cm）
（2）解：设圆锥的底面半径为r，
则20π=2πr，
解得，r=10，又R=30，
圆锥的高为： =20 ，
∴S轴截面= ×2×10×20 =200 （cm2），
因此，扇形的弧长是20πcm，卷成圆锥的轴截面是200 cm2
【解析】【分析】（1）根据扇形面积公式求出扇形的半径，根据弧长公式计算即可；（2）根据圆锥的底面半径，根据三角形的面积公计算．
21．如图1，圆锥底面圆半径为1，母线长为4，图2为其侧面展开图．
（1）求阴影部分面积；
（2）母线SC是一条蜜糖线，一只蚂蚁从A沿着圆锥表面最少需要爬多远才能吃到蜜糖？
【答案】（1）解：如图2中，作SE⊥AF交弧AF于C．
设图2中的扇形的圆心角为n°，
由题意 =2π 1，
∴n=90°，
∵SA=SF，
∴△SFA是等腰直角三角形，
∴SE= AF= × =2 ，
∴S阴=S扇形S﹣AF﹣S△SAF= ﹣ × × =4π﹣8．
（2）解：在图2中，∵SC是一条蜜糖线，AE⊥SC，AE=2 ，
∴根据垂线段最短，一只蚂蚁从A沿着圆锥表面最少需要爬2 个单位长度才能吃到蜜糖．
【解析】【分析】（1）如图2中，作SE⊥AF交弧AF于C．设图2中的扇形的圆心角为n°，由题意 =2π 1，求出n即可解决问题．（2）在图2中，根据垂线段最短求出AE，即为最短的长度．
22．一个圆锥的高为3cm，侧面展开图是半圆，求：
（1）圆锥的母线与底面半径之比；
（2）圆锥的表面积．
【答案】（1）解：如图，设圆锥的轴截面为△ABC，过A作AO⊥BC于O，设母线长AB=l，底面⊙O的半径为r，高AO=h．
∵圆锥的侧面展开图是半圆，
∴2πr= ×2πl=πl， =2
（2）解：在Rt△ABO中，
∵l 2=r 2+h 2，l=2r，h=3 cm，∴（2r） 2=3 2+r 2．
∵r为正数，解得r= ，l=2r=2 ．
S 表=S 侧+S 底= πl 2+πr 2= π×（2 ） 2+π×（ ） 2=9π．
【解析】【分析】（1）根据圆锥的侧面展开扇形的周长等于圆锥的底面周长，分别设出圆锥的母线长和圆锥的底面半径，利用上述关系得到关系式求出两者的比值即可；（2）根据圆锥的母线和底面半径的比设出圆锥的底面半径后表示出母线，然后利用勾股定理求得底面半径和母线长，从而利用圆锥的侧面积计算方法求得圆锥的表面积．
23．如图，已知扇形的圆心角为120°，面积为300π．
（1）求扇形的弧长；
（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的高为多少？
【答案】（1）解：设扇形的半径为R，根据题意，得
∴R2=900，
∵R＞0，
∴R=30．
∴扇形的弧长= ．
（2）解：设圆锥的底面半径为r，根据题意，得2πr=20π，
∴r=10．
h= =20 ．
答：这个圆锥的高是20 ．
【解析】【分析】（1）利用扇形的面积公式可得圆锥的母线长，进而利用扇形的弧长公式可得扇形的弧长；（2）利用圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长可得圆锥的底面半径，再根据勾股定理即可求出这个圆锥的高．
24．有一个几何体的形状为直三棱柱，右图是它的主视图和左视图．
（1）请补画出它的俯视图，并标出相关数据；
（2）根据图中所标的尺寸（单位：厘米），计算这个几何体的全面积．
【答案】（1）解：如图：
（2）解：由勾股定理得：斜边长为10厘米，
S底= ×8×6=24（平方厘米），
S侧=（8+6+10）×3=72（平方厘米），
S全=72+24×2=120（平方厘米）．
答：这个几何体的全面积是120平方厘米
【解析】【分析】（1）观察图形可知，俯视图是一个长8宽3的长方形，据此画出图形即可；（2）先根据勾股定理得到斜边长为10厘米，再根据表面积=3个长方形的面积+2个三角形的面积，列出算式计算即可求解．
25．如图，小明与同学合作利用太阳光线测量旗杆的高度，身高1.6m的小明落在地面上的影长为BC=2.4m．
（1）请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下落在地面上的影子EG；
（2）若小明测得此刻旗杆落在地面的影长EG=16m，请求出旗杆DE的高度．
【答案】（1）影子EG如图所示；
（2）∵DG∥AC，
∴∠G=∠C，
∴Rt△ABC∽Rt△DGE，
∴=，即=，解得DE=，
∴旗杆的高度为m．
【解析】【分析】（1）连结AC，过D点作DG∥AC交BC于G点，则GE为所求；
（2）先证明Rt△ABC∽Rt△DGE，然后利用相似比计算DE的长．
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