5.3正方形培优练习 浙教版2024—2025学年八年级下册（含答案）

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5.3正方形培优练习浙教版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1．如图，E是正方形ABCD的一点，且DE⊥CE，已知下列哪条线段的长就可以求△BEC的面积（　　）
A．AB B．BE C．CE D．DE
2．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E是边AB上一点，且∠DCE＝45°，则DE的长度是（　　）
A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．4
3．如图，已知四边形ABCD为正方形AB＝2，点E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形DEFG是正方形；②2CE+CGAD；③CG平分∠DCF；④CE＝CF．其中正确的结论有（　　）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
4．如图，正方形ABCD的边长为4，点F与点E是线段AB与线段BC上的两个动点，在运动过程中线段DF与AE始终保持垂直，则线段BG的最小值是（　　）
A． B．2 C．2 D．22
5．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若，PB＝10，下列结论：
①△APD≌△AEB；②∠AEB＝135°；③；④S△APD+S△APB＝33；⑤CD＝11．其中正确结论的序号是（　　）
A．①②③④ B．①④⑤ C．①②④ D．③④⑤
二、填空题
6．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点G，H分别为DE，AF的中点，连接GH，则GH的长为 　 　．
7．如图，点B、C分别在两条直线y＝2x和y＝kx上，点A、D是x轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，则k值为　 　．
8．如图，平面直角坐标系中正方形ABCD的顶点A（0，12），B（5，0），过D作DF⊥x轴交AC于点E，连接BE，则△BEF的周长是 　 　．
9．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，过点O作OE⊥OF分别交AB，BC于E，F两点，AE＝6，CF＝2，则EF的长为 　 　．
三、解答题
10．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．
11．如图，已知正方形ABCD中，E为CB延长线上一点，且BE＝AB，M、N分别为AE、BC的中点，连DE交AB于O，MN交，ED于H点．
（1）求证：AO＝BO；
（2）求证：∠HEB＝∠HNB；
（3）过A作AP⊥ED于P点，连BP，则的值．
12．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD边上的中点，AF和BE相交于点P．
（1）求证：AF⊥BE；
（2）求证：∠DPF＝45°；
（3）求证：PD2＝PA PB．
13．如图，已知正方形ABCD，AB＝4，点M在边CD上，射线AM交BD于点E，交射线BC于点F，过点C作CP⊥CE，交AF于点P．
（1）求证：△ADE≌△CDE．
（2）判断△CPF的形状，并说明理由．
（3）作DM的中点N，连结PN，若PN＝3，求CF的长．
14．如图，正方形ABCD中，E是CD边的中点，F是BC边上一点，∠FAE＝∠DAE．
（1）求证：AF＝AD+CF；
（2）已知正方形ABCD的边长为4．
①求AF之长；
②若P是AE上一点，且△DEP是等腰三角形，则线段EP的长为 　 　．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5
答案 C B A D C
1．【解答】解：作EF⊥BC于F，EG⊥CD于G．
∴CD＝BC，∠BCD＝90°，
∴四边形EFCG为矩形，
∴CG＝EF，
△BEC的面积等于．
当已知AB的长，AB＝BC，E是动点，EF的长是个变量，不能求出△BEC的面积，选项A错误．
当已知BE的长，E在以B为圆心，BE为半径的圆上，随E的位置变化，EF的长是变的，BC的长不知道，不能求出△BEC的面积，选项B错误，不符合题意．
∠CED＝90°，EG是斜边上的高，
∴∠CED＝∠CGE＝90°，∠CEG＝∠CDE，
∴△ECG∽△DCE，
∴CE2＝CG CD．
∴△BEC的面积．选项C正确，符合题意．
由选项C可知，同理可得：．当知道ED的长，可以确定△ADE的面积，但不能得出△BEC的面积，选项D错误，不符合题意．
故选：C．
2．【解答】解：如图，过C作CG⊥AD于G，并延长DG至F，使GF＝BE，
∵∠A＝∠B＝∠CGA＝90°，AB＝BC，
∴四边形ABCG为正方形，
∴AG＝BC＝4，∠BCG＝90°，BC＝CG，
∵AD＝3，
∴DG＝4﹣3＝1，
∵BC＝CG，∠B＝∠CGF，BE＝FG，
∴△EBC≌△FGC（SAS），
∴CE＝CF，∠ECB＝∠FCG，
∵∠DCE＝45°，
∴∠BCE+∠DCG＝∠DCG+∠FCG＝45°，
∴∠DCE＝∠DCF，
∵CE＝CF，∠DCF＝∠DCE，DC＝DC，
∴△ECD≌△FCD（SAS），
∴ED＝DF，
设ED＝x，则EB＝FG＝x﹣1，
∴AE＝4﹣（x﹣1）＝5﹣x，
Rt△AED中，AE2+AD2＝DE2，
∴（5﹣x）2+32＝x2，
解得：x＝3.4，
∴DE＝3.4．
故选：B．
3．【解答】解：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，
∴NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG为正方形；故①正确；
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∵∠DCF＝90°，
∴CG平分∠DCF，故③正确；
∴AC＝AE+CE＝CE+CGAD，故②错误；
当DE⊥AC时，点C与点F重合，
∴CE不一定等于CF，故④错误，
故选：A．
4．【解答】解：∵AE⊥DF于G，
∴点G在以AD为直径的圆上，
设AD的中点为O，
当点B，G，O共线时线段BG的值最小，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AB＝AD＝4，∠BAD＝90°，
∴OG＝AO2，
∴BO2，
∴线段BG的最小值是BO﹣OG＝22，
故选：D．
5．【解答】解：①在正方形ABCD，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵EA⊥PA，
∴∠EAP＝∠BAD＝90°
∴∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°，
∴∠EAB＝∠PAD，
∵AE＝AP，
在△APD和△AEB中，
，
∴△APD≌△AEB（SAS）；故①成立；
②∵AE＝AP＝3，∠EAP＝90°，
∴∠AEP＝∠APE＝45°，PEAE＝6，
∵△APD≌△AEB，
∴∠AEB＝∠APD＝180°﹣45°＝135°，故②成立；
③∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，
∴EB⊥ED，
在Rt△BPE中，PE＝6，PB＝10，
∴BE8，故③不成立；
④如图，连接BD，
由②得：PE＝6，BE＝8，
∵△APD≌△AEB，
∴S△APD+S△APB
＝S△AEB+S△APB
＝S四边形AEBP
＝S△AEP+S△EPB
AE AP PE BE
336×8
＝33．故④成立；
∵△APD≌△AEB，
∴PD＝BE＝8，
∴S△BDPPD BE＝32，
∴S△ABD＝S△APD+S△APB+S△BPD＝33+32＝65，
∴S正方形ABCD＝2S△ABD＝130，
∴CD2＝130，
∴CD，故⑤不成立．
综上所述，正确结论的序号是①②④，
故选：C．
二、填空题
6．【解答】解：连接AG并延长AG交CD于点P，连接PF，如图所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝BC＝AB＝4，∠C＝90°，AB∥CD，
∴∠AEG＝∠GDP，
∵E、F分别为边AB、BC的中点，
∴AEAB＝2，CFBC＝2．
∵G为DE的中点，
∴EG＝DG，
在△EAG和△DPG中，
，
∴△EAG≌△DPG（ASA）．
∴AG＝PG，DP＝AE＝2．
∴G为AP的中点，
∵H为AF的中点，
∴GH是△APF的中位线．
∴GHPF．
在Rt△FCP中，
CP＝DC﹣DP＝4﹣2＝2，
∴PF2．
∴GHPF．
故答案为：．
7．【解答】解：设正方形的边长为a，则B的纵坐标是a，把点B代入直线y＝2x的解析式，则设点B的坐标为（，a），
则点C的坐标为（a，a），
把点C的坐标代入y＝kx中得，a＝k（a），解得，k．
故答案为：．
8．【解答】解：过点D作DM⊥y轴于点M，
∵A（0，12），B（5，0），
∴AO＝12，OB＝5，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAM+∠OAB＝90°，
又∵∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠DAM＝∠OBA，
又∵∠DMA＝∠AOB，
∴△DMA≌△AOB（AAS），
∴DM＝OA＝12，AM＝OB＝5，
∴OM＝17，
∴D（12，17），
∵DF⊥x轴，
∴四边形DMOF为矩形，
∴DM＝OF＝12，
∴BF＝OF﹣OB＝12﹣5＝7，
∵DA＝AB，∠DAE＝∠BAE＝45°，AE＝AE，
∴△DAE≌△BAE（SAS），
∴DE＝BE，
∴△BEF的周长为BE+BF+EF＝DE+BF+EF＝DF+BF＝17+7＝24．
故答案为：24．
9．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EBO＝∠FCO＝45°，BO＝CO，∠BOC＝90°，AB＝BC，
∴∠BOF+∠COF＝90°．
∵OE⊥OF，
∴∠BOF+∠BOE＝90°，
∴∠COF＝∠BOE，
∴在△COF和△BOE中，
，
∴△COF≌△BOE（ASA），
∴BE＝CF＝2，
∴AB﹣BE＝BC﹣CF，即AE＝BF＝6，
∴在Rt△BEF中，．
故答案为：．
三、解答题
10．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
得矩形EMCN，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°，
∴CE⊥CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝9．
∵CG＝3，
∴CE＝6，
连接EG，
∴EG3，
∴DEEG＝3．
∴正方形DEFG的边长为3．
11．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，AD∥BC，
∴∠DAB＝∠ABE，∠ADO＝∠BEO，
∵AB＝BE，
∴AD＝BE，
∴△ADO≌△BEO（ASA），
∴AO＝BO；
（2）证明：延长BC至F，且使CF＝BC，连接AF，如图1所示：
则BF＝CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，AD∥BC，∠BAD＝∠ABC＝∠DCB＝90°，
在△ABF和△DCE中，，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠DEC＝∠AFB，
∵EB＝CF，BN＝CN，
∴N为EF的中点，
∴MN为△AEF的中位线，
∴MN∥AF，
∴∠HNB＝∠AFB＝∠HEB；
（3）解：过点B作BQ⊥BP交DE于Q，如图2所示：
则∠PBQ＝90°，
∵∠ABE＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴∠EBQ＝∠ABP，
∵AD∥BC，
∴∠ADP＝∠BEQ，
∵AP⊥DE，∠BAD＝90°，
由角的互余关系得：∠BAP＝∠ADP，
∴∠BEQ＝∠BAP，
在△BEQ和△BAP中，，
∴△BEQ≌△BAP（ASA），
∴PA＝QE，QB＝PB，
∴△PBQ是等腰直角三角形，
∴PQPB，
∴．
12．【解答】（1）证明：∵正方形ABCD，E，F分别为AD，CD边上的中点，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝CD，，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∴∠BAP+∠ABE＝∠BAP+∠DAF＝∠DAB＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴AF⊥BE；
（2）过点D作DH⊥AF于点H，
∵AF⊥BE，
∴DH∥PE，
∴，
∴DH＝2PE，AH＝2AP，
∴PH＝AP，
∵，
∴AP＝2PE，
∴PH＝2PE＝DH，
∴∠DPH＝∠PDH＝45°；
（3）由（2）知，PH＝DH＝AP，DH⊥AF，
∴PD2＝PH2+DH2＝2PH2＝2AP2，
，
∴BP＝2AP，
∴PA PB＝2PA2，
∴PD2＝PA PB．
13．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE＝45°，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS）；
（2）解：△CPF是等腰三角形，理由如下：
∵△ADE≌△CDE，
∴∠DAE＝∠DCE，
又∵CP⊥CE，DC⊥CF，
∴∠DCE＝∠PCF，
又∵AD∥BF，
∴∠DAE＝∠CFP，
∴∠PCF＝∠PFC，
∴CP＝PF，
∴△CPF是等腰三角形；
（3）解：如图，连接DF，
∵∠PCF＝∠PFC，
∴∠PCM＝∠PMC，
∴PC＝MP，
∴MP＝PF，
又∵点N是DM的中点，
∴DF＝2NP＝6，
∴CF2．
14．【解答】（1）证明：如图1，过E点作EG⊥AF，垂足为G，连接EF，
（也可延长AE、BC交于P，用全等和等腰三角形知识解决），
∵EG⊥AF，
∴∠EGF＝∠AGE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝∠D＝90°，
在△AGE和△ADE中，
∴△AGE≌△ADE（AAS），
∴AD＝AG，GE＝DE，
∵E是CD边的中点，
∴CE＝DE，
∴GE＝CE，
在Rt△EGF和Rt△ECF中，
∴Rt△EGF≌Rt△ECF（HL），
∴GF＝CF，
∵AF＝AG+GF，
∴AF＝AD+CF；
（2）解：①设CF＝x，则BF＝4﹣x，AF＝4+x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，
∴42+（4﹣x）2＝（4+x）2，
解得：x＝1，
∴AF＝4+x＝4+1＝5；
②分三种情况：
i）如图2，PD＝DE，过D作DG⊥AE于G，
∴EP＝2EG，
Rt△ADE中，AD＝4，DE＝2，
∴AE2，
∴S△ADE，
即，
∴DG，
由勾股定理得：EG，
∴EP＝2EG；
ii）如图3，EP＝DE＝2；
iii）如图4，PD＝PE，过P作PM⊥DE于M，则DM＝EM，
∵AD⊥CD，PM⊥DE，
∴AD∥PM，
∴AP＝PE，
∵AE＝2，
∴EP，
综上，EP的长是2或或．
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