5.2菱形培优练习 浙教版2024—2025学年八年级下册（含答案）

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5.2菱形培优练习浙教版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1．已知如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AB于E，交AC于点F，若∠BAD＝α，则∠DFO一定等于（　　）
A．2α B．45°+α C． D．
2．如图，AC为菱形ABCD的对角线，∠ACD＝30°，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，则（　　）
A． B． C． D．
3．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　）
A． B．6 C． D．12
4．如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于O点，AC＝24，BD＝10，点P为线段AC上的一个动点．过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N，则PM+PN的值为（　　）
A． B． C． D．
5．如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点时，PO的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．
二、填空题
6．如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB为半径作弧，交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点G，射线AG交BC于点E．若BF＝8.8，AB＝5.5，则AE的长为　 　．
7．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE，若AB＝5，S菱形ABCD＝20，则OE＝　 　．
8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点M、N分别是边AD、CD的中点，连接MN、OM．若MN＝3，S菱形ABCD＝24，则OM的长为 　 　．
9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝10，AC＝16，点E、F分别在AB、OD上，且BE＝3，OF＝1，点P是AC上任意一点，则PE﹣PF的最大值为　 　．
三、解答题
10．如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，BD⊥AC于点O，点E是DB延长线上一点，OE＝OD，BF⊥AE于点F．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若AB平分∠EAC，OB＝3，BE＝5，求EF和AD的长．
11．如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作 ECFG．
（1）证明 ECFG是菱形；
（2）若∠ABC＝120°，连接BD、CG，求∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中点，求DM的长．
12．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM，DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝8，求菱形BMDN的面积．
13．如图，在 ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，∠AND＝90°，连接CM交DN于点O．
（1）求证：△ABN≌△CDM；
（2）求证：四边形CDMN为菱形；
（3）过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE＝1，∠1＝∠2，求NC的长．
14．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：∠DAC＝∠DCA；
（2）求证：四边形ABCD是菱形；
（3）若AB，BD＝2，求OE的长．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5
答案 C B A D C
1．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠BAO∠BAD，
∴∠DFO+∠FDO＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠FDO+∠ABO＝90°，
∴∠DFO＝∠ABO，
∵∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠DFO＝90°﹣∠BAO＝90°，
故选：C．
2．【解答】解：由题意可知，四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AD＝CB，且AC平分∠BCD，
∵∠ACD＝30°，
∴∠BCD＝2∠ACD＝2×30°＝60°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
在Rt△CDE中，∠CDE＝30°，
∴，
即，
故选：B．
3．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，
∴AC⊥BD，OC＝OAAC＝3，OB＝ODBD＝4，
∴∠BOC＝90°，
∴BC5，
∵AE⊥BC于点E，
∴S菱形ABCD＝5AE6×8，
∴AE，
故选：A．
4．【解答】解：如图，连接PD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC与BD互相垂直平分，
∴AO＝OC＝12，BO＝DO＝5，
∴AD＝CD13，
∵S△ACD＝S△APD+S△CPD，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴，
∴24×5＝13（PM+PN），
∴PM+PN，
故选：D．
5．【解答】解：结合图象，得到当x＝0时，PO＝AO＝4，
∴当点P运动到点B时，PO＝BO＝2，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠BOC＝90°，
∴，
当点P运动到BC中点时，PO的长为，
故选：C．
二、填空题
6．【解答】如图，连接EF，设AE交BF于点O，
由作图可知：AE⊥BF，OB＝OF＝4.4，∠BAE＝∠EAF，
由条件可知AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE＝AF＝5.5，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴OA＝OE，
在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，AB＝5.5，
∴，
∴AE＝2OA＝6.6．
故答案为：6.6．
7．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，菱形ABCD的面积为20，
∴S菱形ABCD＝AB CE＝5CE＝20，
∴CE＝4，
在Rt△BCE中，BE3，
∴AE＝AB+BE＝8，
在Rt△ACE中，AC4，
∵OA＝OC，
∴OEAC＝2，
故答案为：2．
8．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，，，
∴∠AOD＝90°，
∵MN＝3，点M、N分别是边AD、CD的中点，
∴AC＝2MN＝6，
∴AO＝CO＝3，
∵，
∴BD＝8，
∴DO＝BO＝4，
∴，
∴，
故答案为：2.5．
9．【解答】答案为：4．
三、解答题
10．【解答】（1）证明：∵AD＝CD，BD⊥AC，
∴OA＝OC，
∵OE＝OD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形AECD是菱形；
（2）解：∵四边形AECD是菱形，
∴OE⊥OA，
∵CF⊥AE，AB平分∠EAC，
∴BF＝OB，
∴Rt△AFB≌Rt△AOB（HL），
∴AF＝OA＝OC，
∵BF＝OB＝3，BE＝5，
∴EF，
∴OE＝OB+BE＝3+5＝8，
∵∠EFB＝∠AOE＝90°，∠FEB＝∠AEO，
即，
∴AE＝10，
∵AB平分∠EAC时，F应为AE的中点，且∠AEO＝30°，AO与AE的比值应为1：2，
∴AD＝AE＝10．
11．【解答】解：（1）证明：
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE＝GE，∠BCG∠BCF＝60°，
∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG＝120°＝∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD，
∴△BEG≌△DCG（SAS），
∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，
∴∠BGD＝∠CGE，
∵CG＝GE＝CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE＝60°，
∴∠BGD＝60°，
∵BG＝DG，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠BDG＝60°；
（3）如图2中，连接BM，MC，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，
∴BE＝AB＝DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM＝∠ECM＝45°，
∴∠BEM＝∠DCM＝135°，
在△BME和△DMC中，
∵，
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB＝MD，
∠DMC＝∠BME．
∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，
∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB＝6，AD＝8，
∴BD＝10，
∴DMBD＝5．
方法二：∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，
∴BE＝AB＝DC＝6，
过M作MH⊥CF于H，
则△MHF是等腰直角三角形，
∵△ADF是等腰直角三角形，
∴DF＝AD＝8，
∵CF＝CE＝2，
∴MH＝FH＝1，
∴DM5．
12．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，
∵在△DMO和△BNO中
∴△DMO≌△BNO（ASA），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形．
（2）解：∵四边形BMDN是菱形，
∴MB＝MD，
设MD长为x，则MB＝DM＝x，
在Rt△AMB中，BM2＝AM2+AB2
即x2＝（8﹣x）2+42，
解得：x＝5，
∴S菱形BMDN＝DM AB＝5×4＝20．
13．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠CDM，
∵M、N分别是AD，BC的中点，
∴BN＝DM，
∵在△ABN和△CDM中，，
∴△ABN≌△CDM（SAS）；
（2）证明：∵M是AD的中点，∠AND＝90°，
∴NM＝AM＝MD，
∵BN＝NC＝AM＝DM，
∴NC＝MN＝DM，
∵NC∥DM，NC＝DM，
∴四边形CDMN是平行四边形，
又∵MN＝DM，
∴四边形CDMN是菱形．
（3）解：∵M是AD的中点，∠AND＝90°，
∴MN＝MDAD，
∴∠1＝∠MND，
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠CND，
∵∠1＝∠2，
∴∠MND＝∠CND＝∠2，
∴PN＝PC，
∵CE⊥MN，
∴∠CEN＝90°，
∠END+∠CNP+∠2＝180°﹣∠CEN＝90°，
又∵∠END＝∠CNP＝∠2，
∴∠2＝∠PNE＝30°，
∵PE＝1，
∴PN＝2PE＝2，
∴CE＝PC+PE＝3，
∴NC2．
14．【解答】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠DCA；
（2）证明：∵∠DAC＝∠DCA，AB＝AD，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴ ABCD是菱形；
（3）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴OBBD＝1，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA2，
∴OE＝OA＝2．
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