5.1矩形培优练习 浙教版2024—2025学年八年级下册（含答案）

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5.1矩形培优练习浙教版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1．用一条长为40cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，a的值不可能为（　　）
A．20 B．100 C．40 D．160
2．如图，D，E是△ABC中AB，BC边上的点，且DE∥AC，∠ACB角平分线和它的外角的平分线分别交DE于点G和H．则下列结论错误的是（　　）
A．若BG∥CH，则四边形BHCG为矩形
B．若BE＝CE时，四边形BHCG为矩形
C．若HE＝CE，则四边形BHCG为平行四边形
D．若CH＝3，CG＝4，则CE＝2.5
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（　　）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．2.4
4．如图，标号为①，②，③，④的长方形不重叠地围成长方形PQMN，已知①和②能够重合，③和④能够重合，且这四个长方形的面积相等．若AE＝4DE，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，点F是矩形ABCD内部一个动点，E为AF上一点且，当AD＝4，AB＝AF＝8时，则BE+CF的最小值为（　　）
A．10 B． C． D．
二、填空题
6．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从矩形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两矩形面积相等（如图①，S矩形AEOM＝S矩形CFON）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，如图②，M是矩形ABCD的对角线AC上的点，且AM：CM＝1：2，过点M作EF∥AB分别交AD、BC于点E、F，连接BM，DM，若AE＝4，EM＝3，则图中阴影部分的面积和为 　 　．
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝8，点P是对角线AC上一个动点（点P与点A，C不重合），过点P分别作PE⊥AD于点E，PF∥BC交CD于点F，连接EF，则EF的最小值为 　 　．
8．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝8，点E、F分别为AD、CD边上的动点，且EF＝2，M为EF的中点，直线GH∥AB分别交边AD、BC于点G、H．连接BG、HM，则BG+HM的最小值为 　 　．
9．如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF等于 　 　．
三、解答题
10．如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，BE∥AD，AE⊥AD．
（1）求证：四边形ADBE是矩形；
（2）作EF⊥AB于F，若BC＝4，AD＝3，求EF的长．
11．如图，已知矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝10cm，点P在边BC上移动，点E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点．
（1）求证：EF+GH＝5cm；
（2）求当∠APD＝90°时，的值．
12．如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）连接BF，若∠ABC＝60°，CE＝3，求BF的长．
13．如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．
（1）求证：四边形ABDF是矩形；
（2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S．
14．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形ADFE为矩形；
（2）连接OF，若AD＝3，EC＝2，∠ABF＝60°，求OF的长．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5
答案 D C A B C
1．【解答】解：设围成面积为a cm2的长方形的长为x cm，
x（40÷2﹣x）＝a，
x2﹣20x+a＝0，
∵Δ＝400﹣4a≥0，
∴a≤100，
故选：D．
2．【解答】解：∵∠ACB角平分线和它的外角的平分线分别交DE于点G和H，
∴∠HCG＝90°，∠ECG＝∠ACG；
∵DE∥AC．
∴∠ACG＝∠HGC＝∠ECG．
∴EC＝EG；
同理：HE＝EC，
∴HE＝EC＝EGHG；
若CH∥BG，
∴∠HCG＝∠BGC＝90°，
∴∠EGB＝∠EBG，
∴BE＝EG，
∴BE＝EG＝HE＝EC，
∴CHBG是平行四边形，且∠HCG＝90°，
∴CHBG是矩形；
故A正确；
若BE＝CE，
∴BE＝CE＝HE＝EG，
∴CHBG是平行四边形，且∠HCG＝90°，
∴CHBG是矩形，
故B正确；
若HE＝EC，则不可以证明则四边形BHCG为平行四边形，
故C错误；
若CH＝3，CG＝4，根据勾股定理可得HG＝5，
∴CE＝2.5，
故D正确．
故选：C．
3．【解答】解：连接AP，如图所示：
∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC5，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP．
∵M是EF的中点，
∴PMAP，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，
∴当AP⊥BC时，AP2.4，
∴AP最短时，AP＝2.4，
∴当PM最短时，PMAP＝1.2．
故选：A．
4．【解答】解：由题意，可以假设DE＝y，则AE＝4y．设四个长方形的面积均为S，
∴EP，EN，
∴PQ＝4y﹣y＝3y，PN＝EN﹣EP，
∴
．
故选：B．
5．【解答】解：如图，在AB上截取AG＝AE，连接GF，CG，
在△ABE和△AFG中，
，
∴△ABE≌△AFG（SAS），
∴BE＝GF，
∴BE+CF＝GF+CF≥CG，当且仅当C、F、G三点共线时取等，
∵AB＝AF＝8，且，
∴AE＝AG＝2，
∴BG＝AB﹣AG＝6，
∵四边形ABCD是矩形，AD＝4，
∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，
在Rt△BCG中，CG2，
即BE+CF＝GF+CF≥CG＝2，
∴BE+CF的最小值为2，
故选：C．
二、填空题
6．【解答】解：如图，过点M作GH∥AD，交AB于G，交CD于H，
∵矩形ABCD中EF∥AB，
∴四边形GBFM、四边形EMHD都是矩形，
∴S矩形GBFM＝S矩形EMHD，
∵，
∴S△BMG＝S△DME，
∵，AE＝4，
∴DE＝2AE＝2×4＝8，
∵EM＝3，
∴，
∴S△BMG+S△DME＝12+12＝24，
所以图中阴影部分的面积和为24．
故答案为：24．
7．【解答】解：如图，过点D作DP′⊥AC于P′，连接EF，DP，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝15，BC＝8，
∴CD＝AB＝15，AD＝BC＝8，∠ADC＝90°，
∴，
∵PF∥BC，
∴∠PFD+∠ADC＝180°，
∴∠PFD＝90°，
∵PE⊥AD，
∴∠PED＝∠EDF＝∠PFD＝90°，
∴四边形DEPF是矩形，
∴EF＝DP，
要使EF最小，只需DP最小，当DP⊥AC时，DP最小，最小值为DP′的长，
∵，
∴，
故EF的最小值为，
故答案为：．
8．【解答】解：连接AH，
∵矩形ABCD，直线GH∥AB，
∴∠DAB＝∠ABC＝∠GHB＝90°，
∴四边形ABHG是矩形，
∴AH＝BG，
∵EF＝2，M为EF的中点，
∴DM＝2EF＝1，
∴点M是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，
作A关于BC的对称点A'，连接A'D，HA'，
∵HA'+HM+DM≥A'D，
∴当D，M，H，A'共线时，BG+HM＝AH+HM＝HA'+HM的值最小，
∵AB＝3，AD＝8，
∴AA'＝6，
∴，
∴BG+HM≥A'D﹣DM＝10﹣1＝9，
∴BG+HM的最小值为9，
故答案为：9．
9．【解答】解：连接PO，
∵矩形ABCD的边AB＝5，BC＝12，
∴S矩形ABCD＝AB BC＝5×12＝60，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC13，
∴S△AODS矩形ABCD＝15，OA＝ODAC，
∴S△AOD＝S△AOP+S△DOPOA PEOD PFOA（PE+PF）（PE+PF）＝15，
∴PE+PF，
故答案案为：．
三、解答题
10．【解答】（1）证明：∵△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，∠ADB＝90°，
∵BE∥AD，AE⊥AD，
∴∠DBE＝90°，∠DAE＝90°，
∴四边形ADBE是矩形；
（2）解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝4，AD＝3，
∴．
在直角三角形ABD中，由勾股定理得：．
∵四边形ADBE是矩形，
∴BE＝AD＝3，AE＝BD＝2．
∵，
∴．
11．【解答】（1）证明：∵矩形ABCD，AD＝10cm，
∴BC＝AD＝10cm．
∵E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点，
∴EF+GHBPPCBC．
∴EF+GH＝5cm．
（2）解：∵矩形ABCD，
∴∠B＝∠C＝90°，
又∵∠APD＝90°，
在直角△APD中，AD2＝AP2+DP2，
同理，AP2＝AB2+BP2，PD2＝PC2+CD2＝PC2+AB2，
∴AD2＝AP2+DP2＝AB2+BP2+PC2+DC2＝BP2+（BC﹣BP）2+2AB2＝BP2+（10﹣BP）2+32，
即100＝2BP2﹣20BP+100+32，
解得BP＝2或8（cm），
当BP＝2时，PC＝8，EF＝1，GH＝4，这时，
当BP＝8时，PC＝2，EF＝4，GH＝1，这时，
∴的值为或4．
12．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵DE⊥BC，
∴AC∥DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，
∴AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵∠ACE＝90°，
∴四边形ACED是矩形．
（2）解：∵四边形ACED是矩形，四边形ABCD是平行四边形，
∴AE＝CD＝AB，AF＝EF，AD＝CE＝CB＝3，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BF⊥AE，AB＝AE＝BE＝2CE＝2×3＝6，
∴∠AFB＝90°，AFAE6＝3，
∴BF3，
∴BF的长是3．
13．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，
∴∠BAE＝∠FDE，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△BEA和△FED中，
，
∴△BEA≌△FED（ASA），
∴EF＝EB，
又∵AE＝DE，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∵∠BDF＝90°．
∴四边形ABDF是矩形；
（2）解：由（1）得四边形ABDF是矩形，
∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，
∴AF4，
∴S矩形ABDF＝DF AF＝3×4＝12，BD＝AF＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，
∴S△BCDBD CD4×3＝6，
∴四边形ABCF的面积S＝S矩形ABDF+S△BCD＝12+6＝18，
答：四边形ABCF的面积S为18．
14．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC且AB＝DC，
∴∠ABE＝∠DCF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC＝90°，
∴AE∥DF，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∵∠DFC＝90°，
∴平行四边形ADFE是矩形；
（2）解：由（1）知：四边形ADFE是矩形，
∴EF＝AD＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝3，CD＝AB，OB＝OD，
∴BE＝CF＝BC﹣EC＝1，
∴BF＝BC+CF＝4，
在Rt△ABE中，∠ABE＝60°，
∴∠BAE＝90°﹣∠ABE＝30°，
∴AB＝2BE＝2，
∴DF＝AE，
∴BD，
∵∠DFB＝90°，OB＝OD，
∴OFBD．
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