第五章特殊平行四边形（A卷）单元测试浙教版2024—2025学年八年级下册（含答案）

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第五章特殊平行四边形（A卷）单元测试浙教版2024—2025学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　）
A．OA⊥OB B．∠BAC＝∠ACB C．OA＝OB D．AD＝AB
2．如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AD＝8，OA＝5，则AB的长为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．11
3．下列条件中，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．∠A＝∠B B．AB⊥BC C．AC＝BD D．AB＝AD
4．如图，根据平行四边形中所标注的角的度数、边的长度，能判定其为菱形的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是AC上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，若AC＝8，BD＝6，则PE+PF的值为（　　）
A． B．5 C． D．10
6．如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE＝AC，则∠E＝（　　）
A．90° B．45° C．30° D．22.5°
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F，则PE+PF的值为（　　）
A． B． C．5 D．
8．如图，P是矩形ABCD的对角线BD上一点，AB＝3，BC＝5，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF，则AP+EF的最小值为（　　）
A． B．4 C． D．8
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．如图，矩形ABCD中，点G是AD边上任意一点，连接GB，GC．点E，F分别是GB，GC的中点，连接EF．若AB：AD＝2：3，S△GBC＝12，则EF的值为　 　．
10．在菱形ABCD中，对角线AC＝6，AB＝5，则菱形ABCD的面积为　 　．
11．如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，点F在BC边上，且BF＝DE，连接EF交对角线BD于点O，BD＝5，CD＝3，连接CE，若CE＝CF，则EF长为 　 ．
12．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的两个点，连接AE、AF分别与对角线BD交于点G、H，连接GF，若AG⊥GF，DHBG，下列说法正确的序号是 　 　．
①AG＝FG；
②BG2+DH2＝GH2；
③∠BGE＝60°；
④若CE＝3，BE+DF值为3．
三．解答题（共8小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，BE∥AD，AE⊥AD．
（1）求证：四边形ADBE是矩形；
（2）作EF⊥AB于F，若BC＝4，AD＝3，求EF的长．
14．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，且．
（1）求证：四边形ADFE是矩形；
（2）若∠B＝60°，AF＝4，求出矩形ADFE的周长．
15．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是AD和BC的中点，且AF＝BF．在BC的延长线上取一点G，连接OG，使得．
（1）求证：四边形AFCE为菱形；
（2）若AC＝8，EF＝6，求OG的长．
16．如图，在△ABC中，BA＝BC，O是边AC上的中点，延长BO至点D，使得OB＝OD，DE⊥BC于点E．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若CD＝5，DE＝4，求AC的长．
17．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O．
（1）求证：四边形ABEF是正方形．
（2）若AD＝AE，AB＝2，
（ⅰ）求AG的长；
（ⅱ）求OF的长．
18．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝3，CE＝2，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，求∠EFC的度数．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 C A D B C D B C D
1．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，∠ADC＝90°，AD＝BC，AD∥BC，OA，OB，
∴OA⊥OB，∠BAC＝∠ACB不一定成立，OA＝OB，一定成立，AB＝AD一定不成立，
故选：C．
2．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝2OA＝10＝BD，∠BAD＝90°，
∵AD＝8，
∴AB6，
故选：A．
3．【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∵∠DAB＝∠ABC，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
4．【解答】解：A．由图可知，平行四边形的一个角为70°，一边与对角线夹角50°，根据三角形内角和定理得另一边与对角线夹角为180°﹣70°﹣50°＝60°，所以三角形为一般三角形，则平行四边形的邻边不相等，所以该平行四边形不是菱形，故A不符合题意；
B．平行四边形的一条边为10，对角线的一半分别分为8，6，其满足勾股定理的逆定理：102＝82+62，所以对角线相互垂直是菱形，故B符合题意；
C．平行四边形的一条边为6，对角线为12，其一半为6，缺少对角线互相垂直的条件，不是菱形，故C不符合题意；
D．由图可知180°﹣30°﹣50°＝100°，故对角线不垂直，所以不是菱形，故D不符合题意；
故选：B．
5．【解答】解：过P作PM⊥CD于M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥AB，AC⊥BD，OAAC，OBBD，AC平分∠BCD，
∵PF⊥BC于F，
∴PF＝PM，
∵PE⊥AB于，PM⊥CD，CD∥AB，
∴P、E、M共线，
∴PE+PF＝PE+PM＝ME，
∵AC＝8，BD＝6，
∴OA8＝4，OB6＝3，
∴AB5，
∵菱形ABCD的面积＝AB EMAC BD，
∴5EM6×8，
∴EM．
∴PE+PF的值为．
故选：C．
6．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA＝∠ACD＝45°，
∵CE＝CA，
∴∠CAE＝∠E，
∵∠BCA＝∠E+∠CAE，
∴∠E＝∠CAE＝22.5°，
故选：D．
7．【解答】解：连接OP，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，AD＝8，
∴∠BAD＝90°，OA＝OCAC，OD＝OBBD，且AC＝BD，
∴BD10，
∴OA＝OD＝5，
∵S△ABDAB AD6×8＝24，
∴S△AOD＝S△AOBS△ABD＝12，
∵PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，
∴S△AOP+S△DOPOA PEOD PF＝S△AOD，
∴5PE5PF＝12，
∴PE+PF，
故选：B．
8．【解答】解：连接CP，
∵四边形ABCD是矩形，
∴EF＝CP，
∴AP+EF的最小值即为AP+CP的最小值，
当A，P，C三点共线时，AP+CP的值最小，且为AC的长度，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC，
∴AP+EF的最小值为，
故选：C．
二、填空题
9．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB：AD＝2：3，
∴设AB＝CD＝2a，AD＝BC＝3a，
∵S△GBC＝12，
∴，
解得a＝2，
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，
∵点E，F分别是GB，GC的中点，
∴，
故答案为：3．
10．【解答】解：如图，
由题意可得：AC⊥BD，，BO＝OD，
∴，
∴BD＝2BO＝8，
∴，
故答案为：24．
11．【解答】解：作EH⊥BC于点H，
∵四边形ABCD为矩形，BD＝5，CD＝3，
∴AD＝BC＝5，∠CDE＝∠BCD＝90°，
∴四边形CDEH为矩形，，
∴EH＝CD＝3，ED＝HC，
∵BF＝DE，CE＝CF，
设CE＝CF＝x，则BF＝DE＝4﹣x，
∵CD2+DE2＝CE2，
∴32+（4﹣x）2＝x2，
解得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．【解答】解：①过点G作GP⊥AD于P，GQ⊥CD于Q，如图，
∵正方形ABCD，
∴∠ADC＝90°，DB平分∠ADC，
∵GP⊥AD，GQ⊥CD，
∴GP＝GQ，∠GPD＝∠GQD＝90°，
∴∠PGQ＝90°，即∠FGQ+∠FGP＝90°，
∵AG⊥GF，
∴∠FGP+∠PGA＝∠FGA＝90°，
∴∠FGP＝∠PGA，
∴△FGQ≌△AGP（ASA），
∴AG＝FG，故①正确；
②∵AG＝FG，∠FGA＝90°，
∴∠GAF＝∠GFA＝45°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAG+∠DAF＝45°，
将△ABG绕点A逆时针旋转90度，得到△ADM，
则AM＝AG，DM＝BG，∠DAM＝∠BAG，∠ADM＝∠ABG＝45°，
∴∠HDM＝∠HDA+∠ADM＝45°+45°＝90°，
∴DM2+DH2＝HM2，
∴∠HAM＝∠HAD+∠DAM＝∠HAD+∠BAG＝45°＝∠GAH，
∵AH＝AH，
∴△AMH≌△AGH（SAS），
∴GH＝HM，
∴BG2+DH2＝GH2，故②正确；
③∵，
∴，
∴，
∴，
∴∠DHM＝30°，
∴∠GHM＝180°﹣∠DHM＝150°；
∵△AMH≌△AGH，
∴，
∴∠BGE＝∠AGH＝180°﹣∠GAH﹣∠GHA＝180°﹣45°﹣75°＝60°，故③正确；
④将△ABE绕点A逆时针旋转90度，得到△ADN，连接EF，
则DN＝BE，AN＝AE，
同理可得△AEF≌△ANF，
∴EF＝FN＝FD+DN＝FD+BE，∠AFE＝∠AFN，
由∠AHG＝75°，
∴∠FHD＝75°，
∵∠FDH＝45°，
∴∠AFD＝180°﹣∠FHD﹣∠FDH＝60°，
∴∠AFE＝∠AFN＝60°，
∴∠EFC＝180°﹣∠AFD﹣∠AFE＝60°，
∴∠CEF＝30°，
∴，
由勾股定理，得EF2＝CE2+CF2，
即，
∴，
∴，故④错误；
∴正确有①②③．
故答案为：①②③．
三、解答题
13.【解答】（1）证明：∵△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，∠ADB＝90°，
∵BE∥AD，AE⊥AD，
∴∠DBE＝90°，∠DAE＝90°，
∴四边形ADBE是矩形；
（2）解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝4，AD＝3，
∴．
在直角三角形ABD中，由勾股定理得：．
∵四边形ADBE是矩形，
∴BE＝AD＝3，AE＝BD＝2．
∵，
∴．
14．【解答】（1）证明：连接DE．
∵E，F分别是边AC，BC的中点，
∴EF∥AB，EFAB，
∵点D是边AB的中点，
∴ADAB．
∴AD＝EF．
∴四边形ADFE为平行四边形；
由点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DEBC．
∵AFBC，
∴DE＝AF，
∴四边形ADFE为矩形；
（2）解：∵四边形ADFE为矩形，
∴∠BAC＝∠FEC＝90°，
∵AF＝4，
∴BC＝8，CF＝4，
∵∠C＝30°，
∴AC＝4，∠B＝60°，CE＝2，EF＝2，
∴AE＝2，
∴矩形ADFE的周长＝44．
15．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵E，F是AD和BC的中点，
∴AE＝DEAD，CF＝BFBC，
∴AE＝CF＝BF，
∵AE∥CF，AE＝CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AF＝BF，
∴AE＝AF，
∴四边形AFCE是菱形．
（2）解：∵四边形AFCE是菱形，
∴CE＝CF，CA⊥EF，
∴∠ACE＝∠ACF，
∴∠G∠ACE∠ACF，
∴∠ACF＝2∠G＝∠G+∠COG，
∴∠G＝∠COG，
∵∠COF＝90°，AC＝8，EF＝6，
∴GC＝OC＝OAAC＝4，OF＝OEEF＝3，
∴CF5，
作OH⊥BC于点H，则∠OHG＝90°，
∵S△COF5OH3×4，
∴OH，
∴CH，
∴GH＝GC+CH＝4，
∴OG，
∴OG的长是．
16．【解答】（1）证明：∵O是边AC上的中点，
∴AO＝OC，
∵OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵BA＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
由勾股定理可知，，
由（1），可得BC＝CD＝5，
∴BE＝BC+CE＝8，
在 Rt△DBE 中，，
∵，
∴．
17．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴∠AFE＝∠BAF＝∠ABE＝90°，
∴四边形ABEF是矩形．
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，
∴四边形ABEF是正方形；
（2）（ⅰ）∵AE平分∠BAD，
∴∠DAG＝∠BAE．
在△AGD和△ABE中，
∴△AGD≌△ABE（AAS），
∴AB＝AG，
∴AG＝AB＝2；
（ⅱ）由（1）知，四边形ABEF是正方形，
∴AF＝AB＝2，
由（2）（ⅰ）可知，△AGD≌△ABE，
∴DG＝EB＝AB＝AF＝AG＝2，
∴，∠DAG＝∠ADG＝45°，
∴．
∵EF⊥AD，
∴∠FDO＝∠FOD＝45°，
∴．
18．【解答】（1）证明：如图1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA＝45°，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠PEF＝90°，∠PED+∠PEF＝90°，
∴∠QEF＝∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，
，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝3，
∴AD＝CD＝3，∠ADC＝90°，ACAD＝3，
∵CE＝2，
∴AE，
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE＝DG，∠EDG＝90°＝∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴CG＝AE；
（3）解：①当DE与AD的夹角为30°时，
如图2，
∵∠ADE＝30°，∠ADC＝90°，
∴∠EDC＝60°，
∵∠EDC+∠DEF+∠EFC+∠FCD＝360°，
∴∠EFC＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°；
②当DE与DC的夹角为30°时，
如图3
∵∠DEF＝∠DCF＝90°，
∴点D，点E，点C，点F四点共圆，
∴∠EDC＝∠EFC＝30°，
综上所述：∠EFC＝30°或120°．
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