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第1章 二次根式 单元专项培优卷
一、单选题
1．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法错误的是（ ）
A． 的平方根是±4 B． 与 是同类二次根式
C． -1与 +1互为倒数 D．
6．使代数式 + 有意义的a的取值范围为（ ）
A．a＞0 B．a＜0 C．a=0 D．不存在
7．等腰三角形的两条边长分别为2和5，那么这个三角形的周长为（ ）
A．4+5 B．2+10
C．4+5或2+10 D．4+10
8．小华和小明计算 时，得出两种不同的答案，小华符合题意审题，得到的答案是“ ”，小明忽略了算式后面括号中的条件，得到的结果是“2”，请你判断，括号中的条件是（ ）
A． B． C． D．
9．“黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌”．其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（为非负数），则；．则下列选项正确的有（ ）个
①若是的小数部分，则的值为；
②若（其中为有理数），则；
③，则
④
A．4 B．3 C．2 D．1
10．化简的结果是（ ）
A． B． C．2 D．
二、填空题
11．若，则a的取值范围是．
12．当x 时， 有意义．
13．若，，则 ．
14．二次根式有意义，则的取值范围是 ．
15．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简： = ．
16．如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是、上的动点，则的最小值为 ．
三、综合题
17．如图，从帐篷支撑竿的顶部向地面拉一根绳子固定帐篷，若绳子的长度是，地面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是，则帐篷支撑竿的高是多少？
18．先化简，再求值： ，其中 ．
如图是小亮和小芳的解答过程．
（1） 的解法是错误的；
（2）化简： ；
（3）先化简，再求值： ，其中 ．
19．已知：a＝ ，b＝ ．
（1）求a+b和ab的值；
（2）求a2+b2和a4+b4的值；
（3）求a8的整数部分．
20．已知，，求下列代数式的值：
（1）；
（2）．
21．
（1）若 ，则x的取值范围是 ；
（2）若 ＝ · ，则x的取值范围是 ．
22．观察下列等式：
①；
②；
③；…
回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，化简： ；
（2）计算：；
（3）计算：．
23．解答下列各题
（1）计算：
（2）已知一次函数 的图象经过点 与 ，求一次函数的解析式.
24．观察下列式子的变形过程，然后回答问题：
例1：
例2： ， ，
（1） ； ；
（2）请你用含 （ 为正整数）的关系式表示上述各式子；
（3）利用上面的结论，求下面式子的值.
25．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，5）， B（a，b），且a，b满足b＝ ＋ －1.
（1）如图，求线段AB的长；
（2）如图，直线CD与x轴、y轴正半轴分别交于点C，D，∠OCD＝45°，第四象限的点P（m，n）在直线CD上，且mn＝－6，求OP2－OC2的值；
（3）如图，若点D（1，0），求∠DAO
＋∠BAO的度数.
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第1章 二次根式 单元专项培优卷
一、单选题
1．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
2．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A. ∵ ，故正确；
B. ∵ ，故不正确；
C. ，故不正确；
D. ，故不正确。
故答案为：A。
【分析】A. 二次根式的乘法，根指数不变，被开方数相乘，所以 ，故正确，符合题意；
B. 将被开方数20分解为4乘以5，然后根据二次根式的性质将能开得尽方的因数4开到括号外所以 ≠ ，故不符合题意；
C. 4的算术平方根等于2，所以 ≠，故不符合题意；
D. 一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值，所以 ≠-3，故不符合题意。
4．下列根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解： A：，不是最简二次根式，不合题意；
B：，不是最简二次根式，不合题意；
C：，不是最简二次根式，不合题意；
D：，是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
【分析】根据最简二次根式的定义即可求解，①被开方数的因数是整数，因数是整式，②被开方数不含有能开得尽方的因数或因式
5．下列说法错误的是（ ）
A． 的平方根是±4 B． 与 是同类二次根式
C． -1与 +1互为倒数 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、 的平方根是±2，符合题意，
B、 与 是同类二次根式，不符合题意，
C、∵（ -1）×（ +1）=1，∴ -1与 +1互为倒数，不符合题意，
D、∵ ，∴ ，不符合题意，
故答案为：A.
【分析】根据平方根、同类二次根式、倒数以及绝对值进行选择即可．
6．使代数式 + 有意义的a的取值范围为（ ）
A．a＞0 B．a＜0 C．a=0 D．不存在
【答案】C
【解析】【解答】解：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可知：a≥0，且﹣a≥0．
所以a=0．故选C．
【分析】本题主要考查被开方数中字母的取值范围，根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，就可以求解．
7．等腰三角形的两条边长分别为2和5，那么这个三角形的周长为（ ）
A．4+5 B．2+10
C．4+5或2+10 D．4+10
【答案】B
【解析】【解答】解：①若腰长为2，则有2×2＜5，故此情况不合题意，舍去；
②若腰长为5，则三角形的周长=2×5+2=10+2．
故选：B．
【分析】等腰三角形的边可能是腰，也可能是底边，因而本题应分两种情况讨论：①腰长为2；②腰长为5．进行讨论，看是否满足三角形的三边关系，不满足的舍去，满足的算出三角形的周长即可．
8．小华和小明计算 时，得出两种不同的答案，小华符合题意审题，得到的答案是“ ”，小明忽略了算式后面括号中的条件，得到的结果是“2”，请你判断，括号中的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】 ，
当 即 时，原式 ，是小明错误的答案；
当 即 时，原式 ，恰好是小华正确的答案；
所以小华正确审题可得括号中的条件为 ，
故答案为：B．
【分析】利用 ，先将根式的值用绝对值表示出来，然后根据题意可得出答案．
9．“黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌”．其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（为非负数），则；．则下列选项正确的有（ ）个
①若是的小数部分，则的值为；
②若（其中为有理数），则；
③，则
④
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
10．化简的结果是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
二、填空题
11．若，则a的取值范围是．
【答案】
12．当x 时， 有意义．
【答案】≥﹣1
【解析】【解答】解：由 有意义，得
x+1≥0．解得x≥﹣1，
故答案为：≥﹣1．
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，可得答案．
13．若，，则 ．
【答案】2
14．二次根式有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵ 二次根式有意义，
∴1-2x≥0，
解之：.
故答案为：
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可得到关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
15．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简： = ．
【答案】a
【解析】【解答】解：由数轴知，a<0，b>0， ，
∴a+b>0，a-b<0，
∴
=-a+a+b+a-b
=a.
故答案为a.
【分析】由数轴知，a<0，b>0， ，从而可得a+b>0，a-b<0，根据绝对值及二次根式的性质分别进行化简，再合并即可.
16．如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是、上的动点，则的最小值为 ．
【答案】5
三、综合题
17．如图，从帐篷支撑竿的顶部向地面拉一根绳子固定帐篷，若绳子的长度是，地面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是，则帐篷支撑竿的高是多少？
【答案】
18．先化简，再求值： ，其中 ．
如图是小亮和小芳的解答过程．
（1） 的解法是错误的；
（2）化简： ；
（3）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】（1）小亮
（2）
（3）∵ ，
∴ ，
则原式
．
【解析】【解答】（1）∵ ，
∴1-a=-1006＜0，
∴ =
=2×1007-1
=2013.
∴小亮的解法是错误的；（2）
【分析】（1）由a=1007知1-a=-1006＜0，从而由 =|1-a|=a-1可得答案；（2）根据二次根式的性质 =|a|可得答案；（3）先根据二次根式的性质化简原式，再代入计算可得．
19．已知：a＝ ，b＝ ．
（1）求a+b和ab的值；
（2）求a2+b2和a4+b4的值；
（3）求a8的整数部分．
【答案】（1）解：a+b＝ ；
；
（2）解：∵a+b＝ ，ab＝1，
∴ ；
a4+b4＝（a2+b2）2-2a2b2＝32-2＝7；
（3）解：a8+b8＝（a4+b4）2-2a4b4＝72-2＝47，
∵ ，
∴ ，
即0＜b＜1，
∴0＜b8＜1，
∴a8的整数部分是46．
【解析】【分析】（1）根据二次根式的加法法则和乘法法则计算a+b和ab的值即可；
（2）将 a+b＝ ，ab＝1代入求解即可；
（3）根据 ，可得 0＜b＜1，再计算求解即可。
20．已知，，求下列代数式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
，
∴．
（2）解：∵，，
∴
．
【解析】【分析】（1）根据二次根式的加减法法则可得x+y、x-y的值，然后根据x2-y2=(x+y)(x-y)进行计算；
（2）利用平方差公式求出xy的值，对待求式通分可得== ，然后代入进行计算.
21．
（1）若 ，则x的取值范围是 ；
（2）若 ＝ · ，则x的取值范围是 ．
【答案】（1）x≥1
（2）－ ≤x≤2
【解析】【分析】根据二次根式的性质可知，二次根式的被开方数大于等于0，即可得出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可。
22．观察下列等式：
①；
②；
③；…
回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，化简： ；
（2）计算：；
（3）计算：．
【答案】（1）
（2）解：
（3）解：
【解析】【解答】（1）解：；
故答案为：；
【分析】（1）利用分母有理化化简即可；
（2）先利用分母有理化化简，再计算即可；
（3）先利用分母有理化化简，再计算即可。
23．解答下列各题
（1）计算：
（2）已知一次函数 的图象经过点 与 ，求一次函数的解析式.
【答案】（1）解：原式
（2）解：把点 与 代入 中，
得 ，
解得： ，
一次函数的析式为
【解析】【分析】（1）先将二次根式化为最简二次根式，再合并即可；
（2） 直接将点 与 代入中，可得关于k、b的方程组，解之即可.
24．观察下列式子的变形过程，然后回答问题：
例1：
例2： ， ，
（1） ； ；
（2）请你用含 （ 为正整数）的关系式表示上述各式子；
（3）利用上面的结论，求下面式子的值.
【答案】（1）；
（2）解：
（3）解：
，
.
【解析】【分析】（1）将 ； 分母有理化，有理化因式分别为 ， ；（2）被开方数是两个相邻的数，即 ，它的有理化因式为 ；（3）由（1）（2）得，原式 ，合并可得结果.
25．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，5）， B（a，b），且a，b满足b＝ ＋ －1.
（1）如图，求线段AB的长；
（2）如图，直线CD与x轴、y轴正半轴分别交于点C，D，∠OCD＝45°，第四象限的点P（m，n）在直线CD上，且mn＝－6，求OP2－OC2的值；
（3）如图，若点D（1，0），求∠DAO
＋∠BAO的度数.
【答案】（1）解：∵b＝ ＋ －1
∴a=4 ，b= -1
∴B点坐标为：（4，-1）
∵A（0，5）
∴AB= )
（2）解：∵直线CD与x轴、y轴正半轴分别交于点C，D，∠OCD＝45°
∴直线CD平行于y=
-x
设直线CD解析式为y=
-x +b
则B点坐标为（b，0）
把点P（m，n）代入得：n= -m +b
∴b= m+n
∴OP2－OC2=
∵mn＝－6
∴OP2－OC2
（3）解：取点D关于y轴的对称点 ，则∠DAO=∠ ，
∴∠DAO ＋∠BAO=∠ ＋∠BAO=∠BA
∵点D（1，0）
∴ （-1，0）
由（1）得：A（0，5），B（4，-1）
∴A = ， ，
∴A ，
∴△A 是等腰直角三角形
∴∠DAO ＋∠BAO=∠BA =45°
【解析】【分析】（1）由二次根式的双重非负性可求得a=4，b=-1；所以点B的坐标为（4，-1），用勾股定理可求得线段AB的长；
（2）由题意易得 直线CD平行于y= -x ，根据两直线平行，则两直线的k值相等，于是可设 直线CD解析式为y= -x +b ， 而点P（m，n）在直线CD上 ，把点P的坐标代入解析式可得 n= -m +b ，则 b= m+n ，由题意可得点B的坐标为（m+n，0），由图和勾股定理可将 OP2－OC2 用含m、n的代数式表示，把mn的值代入即可求解；
（3） 取点D关于y轴的对称点 ，则∠DAO=∠ ， 由轴对称的性质可求得点D′的坐标，由（1）可知点A、B的坐标，用勾股定理可求得AD2、BD2、AB2的值，由勾股定理的逆定理和所求的值可知，△ABD′是等腰直角三角形，于是可得 ∠DAO ＋∠BAO =∠BAD′= 45° 。
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