中小学教育资源及组卷应用平台
第2章 一元二次方程 单元综合强化训练卷
一、单选题
1．方程x（x＋2）＝x＋2的两根分别为（ ）
A．x1＝－1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝2
C．x1＝－1，x2＝－2 D．x1＝1，x2＝－2
2．已知m、n是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则下列选项错误的是（ ）
A．m+n＝2 B．mn＝﹣5
C．m2﹣2n﹣5＝0 D．m2﹣2m﹣5＝0
3．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
4．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x2）=196 B．50+50（1+x2）=196
C．50+50（1+x）+50（1+x2）=196 D．50+50（1+x）+50（1+2x）=196
5．为了提高富民社区居民对“垃圾分类”的知晓率，街道工作人员用了两个月的时间在该社区加强了宣传，若社区的知晓人效的平均月增长率为，两个月前社区对“垃圾分类”的知晓人数为a万人，现在的知晓人数为b万人，则（ ）
A． B． C． D．
6．如果关于x的一元二次方程 的两个根分别是 ， ，那么p，q的值分别是（ ）
A．3，4 B．-7，12 C．7，12 D．7，-12
7．我市某楼盘准备以每平方9000元的均价对外销售，由于考虑经济受疫情影响，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方7290元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（ ）
A．9% B．8% C．10% D．11%
8．关于x的方程x2+（2k-1）x+k2=0有两个不相等的实数根，则的最大整数值是（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
9．已知点A，B，C是直线l上互不重合的三个点，设，，，其中n，a是常数，（ ）
A．若，则点A在点B，C之间
B．若，则点A在点B，C之间
C．若，则点C在点A，B之间
D．若，则点C在点A，B之间
10．将抛物线的图象位于直线以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线与此图象只有四个交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．设是方程的一个根，则的值为 ．
12．等腰△ABC中，BC=8，若AB、AC的长是关于x的方程x2﹣10x+m=0的根，则m的值等于 ．
13．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2016=0有一根为x=﹣2，则2a+b= ．
14．已知a，b是方程x2＋x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b＋2017＝ ．
15．已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是 ．
16．等腰三角形的三边的长是a 、b、4，其中a、b是方程x2-6x+c=0两个根，则此三角形的三边长是 ．
三、综合题
17．陕西是面食之乡，其中以“臊子面”最为有名，它柔软光滑、易于消化，与北京炸酱面、河南烩面、武汉热干面、四川担担面被誉为我团五大面食．西安“面霸”餐馆一份臊子面成本价为7元，若每份卖12元，平均每天销售160份，若价格每提高1元，平均每天少销售10份，每份臊子面价格是多少元时，“面新”餐馆能实现每天1080元的利润？
18．已知关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根．
（1）求a的取值范围；．
（2）若此方程的一个实数根为1，求a的值及方程的另一个实数根．
19．成都“蒲江猕猴桃”是维含量特别高的红心猕猴桃，营养丰富，老少皆宜，某种植基地年开始种植“猕猴桃”亩，该基地这两年“猕猴桃”种植面积的平均年增长率为．
（1）求到年“猕猴桃”的种植面积达到多少亩？
（2）市场调查发现，当“猕猴桃”的售价为元/千克时，每天能售出千克，售价每降价元，每天可多售出千克．
①若降价元，每天能售出多少千克？（用的代数式表示）
②为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“猕猴桃”的平均成本价为元/千克，若要销售“猕猴桃”每天获利元，则售价应降低多少元？
20．已知关于 的一元二次方程 （ ）.
（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根.
（2）如果这个方程的两个实数根分别为 ， ，且 ，求m的值.
21．某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元
（1）该服装店经营该商品，原来一个月可获利润 元；
（2）装店希望一个月内销售该种能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元．
22．若 是关于x的一元二次方程 的两个根，则 ．现已知一元二次方程 的两根分别为m，n．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值．
23．已知是关于x的一元二次方程的两实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）已知等腰的一边长为，若恰好是另外两边的边长，求m的值和的周长.
24．如图，在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=7cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为5cm/s．若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．
（1）当t为何值时，P、Q两点的距离为5 cm？
（2）当t为何值时，△PCQ的面积为15cm2？
（3）请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？
25．
（1）根据要求，解答下列问题：
①方程 的解为 ；
②方程 的解为 ；
③方程 的解为 ；
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程 的解为 .
②关于x的方程 的解为x1＝1，x2＝n；
（3）请用配方法解方程 ，以验证猜想结论的正确性.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第2章 一元二次方程 单元综合强化训练卷
一、单选题
1．方程x（x＋2）＝x＋2的两根分别为（ ）
A．x1＝－1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝2
C．x1＝－1，x2＝－2 D．x1＝1，x2＝－2
【答案】D
【解析】【解答】原方程可化为（x＋2）（x－1）＝0，可化为：x－1＝0或x＋2＝0，解得：x1＝1，x2＝－2.
【分析】根据题意可用提公因式求解。即原方程可化为（x＋2）（x－1）＝0，所以x－1＝0或x＋2＝0，解得：x1＝1，x2＝－2.
2．已知m、n是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则下列选项错误的是（ ）
A．m+n＝2 B．mn＝﹣5
C．m2﹣2n﹣5＝0 D．m2﹣2m﹣5＝0
【答案】C
【解析】【解答】解：∵m、n是方程x2-2x-5=0的两个实数根，
∴mn=-5，m+n=2，m2-2m-5=0，n2-2n-5=0，
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程的根与根与系数的关系可得mn=-5，m+n=2，m2-2m-5=0，n2-2n-5=0，逐一判断即可.
3．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】A、是二元二次方程，故A不符合题意；
B、是高次方程，故B不符合题意；
C、是分式方程，故C不符合题意；
D、是一元二次方程，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】判断一元二次方程的要点：1. 只含有1个未知数；2. 未知数的最高次为2；3. 整式方程。
4．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x2）=196 B．50+50（1+x2）=196
C．50+50（1+x）+50（1+x2）=196 D．50+50（1+x）+50（1+2x）=196
【答案】C
【解析】【解答】一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示八、九月份的产量：八、九月份的产量分别为50（1+x）、50（1+x）2，从而根据题意得出方程：
50+50（1+x）+50（1+x2）=196．
故答案为：C．
【分析】根据七月零件总数+八月零件总数+九月零件总数=196，列出方程即可.
5．为了提高富民社区居民对“垃圾分类”的知晓率，街道工作人员用了两个月的时间在该社区加强了宣传，若社区的知晓人效的平均月增长率为，两个月前社区对“垃圾分类”的知晓人数为a万人，现在的知晓人数为b万人，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设社区的知晓人数的平均月增长率为，根据题意可得：，
故答案为：B．
【分析】设社区的知晓人数的平均月增长率为，根据“两个月前社区对“垃圾分类”的知晓人数为a万人，现在的知晓人数为b万人”列出方程即可.
6．如果关于x的一元二次方程 的两个根分别是 ， ，那么p，q的值分别是（ ）
A．3，4 B．-7，12 C．7，12 D．7，-12
【答案】B
【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为 ， ，
∴3+4=-p，3×4=q，
∴p=-7，q=12，
故答案为：B．
【分析】根据根与系数的关系，直接代入计算即可．
7．我市某楼盘准备以每平方9000元的均价对外销售，由于考虑经济受疫情影响，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方7290元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（ ）
A．9% B．8% C．10% D．11%
【答案】C
【解析】【解答】解：设平均每次下调的百分率为x，由题意得：
，
解得： （不符合题意，舍去），
∴平均每次下调的百分率为10％；
故答案为：C.
【分析】设平均每次下调的百分率为x，然后根据题意可列方程进行求解.
8．关于x的方程x2+（2k-1）x+k2=0有两个不相等的实数根，则的最大整数值是（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ 方程x2+（2k-1）x+k2=0有两个不相等的实数根，
∴ =（2k-1）2-4k2＞0，
∴k＜，
∴K的最大整数值是0.
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程根的判别式求出k的取值范围，即可求出K的最大整数值.
9．已知点A，B，C是直线l上互不重合的三个点，设，，，其中n，a是常数，（ ）
A．若，则点A在点B，C之间
B．若，则点A在点B，C之间
C．若，则点C在点A，B之间
D．若，则点C在点A，B之间
【答案】D
【解析】【解答】解：当点A在点B，C之间时，恒成立，即方程至少有一解
化简得
若，则，不符合条件，故A选项错误；
若，则，不符合条件，故B选项错误；
当点C在点A，B之间时，恒成立，即方程至少有一解
化简得
若，则，不符合条件，故C选项错误；
若，则，符合条件，故D选项正确；
故答案为：D．
【分析】当点A在点B，C之间时，得到；当点C在点A，B之间时，恒成立；然后根据n的取值范围逐项判断即可．
10．将抛物线的图象位于直线以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线与此图象只有四个交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
二、填空题
11．设是方程的一个根，则的值为 ．
【答案】
12．等腰△ABC中，BC=8，若AB、AC的长是关于x的方程x2﹣10x+m=0的根，则m的值等于 ．
【答案】25或16
【解析】【解答】解：当AB=BC=8，把x=8代入方程得64﹣80+m=0，解得m=16，
此时方程为x2﹣10x+16=0，解得x1=8，x2=2；
当AB=AC，则AB+AC=10，所以AB=AC=5，则m=5×5=25．
故答案为25或16．
【分析】讨论：根据等腰三角形性质当AB=BC=8，把x=8代入方程可得到m=16，此时方程另一根为2，满足三角形三边关系；当AB=AC，根据根与系数得关系得AB+AC=10，所以AB=AC=5，所以m=5×5=25．
13．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2016=0有一根为x=﹣2，则2a+b= ．
【答案】1008
【解析】【解答】解：∵ax2﹣bx﹣2016=0有一根为x=﹣2，
∴将x=﹣2代入方程得：a×（﹣2）2+2b﹣2016=0，即4a+2b=2016，
则2a+b=1008．
故答案为：1008．
【分析】由方程有一根为﹣2，将x=﹣2代入方程，整理后得到关于a，b的关系式，将求出的关系式代入所求的式子中即可求出值．
14．已知a，b是方程x2＋x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b＋2017＝ ．
【答案】2021
【解析】【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴a2+a＝3，a+b＝﹣1，
则a2﹣b+2017＝a2+a﹣（a+b）+2017＝3+1+2017＝2021．
故答案为：2021．
【分析】先求出a2+a＝3，a+b＝﹣1，再代入计算求解即可。
15．已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：设方程的另一个解是a，则1×a=3，
解得：a=3．
故答案是：3．
【分析】根据根与系数的关系，x1·x2=，求出a的值.
16．等腰三角形的三边的长是a 、b、4，其中a、b是方程x2-6x+c=0两个根，则此三角形的三边长是 ．
【答案】2，4，4或3，3，4
【解析】【解答】解： 是方程 的两个根，
，
由等腰三角形的定义，分以下三种情况：（1）若 ，这个三角形是等腰三角形，
则 ，
此时三角形的三边长是 ，满足三角形的三边关系定理；（2）若 ，这个三角形是等腰三角形，
则 ，
此时三角形的三边长是 ，满足三角形的三边关系定理；（3）若 ，这个三角形是等腰三角形，
则 ，
此时三角形的三边长是 ，满足三角形的三边关系定理；
综上，此三角形的三边长是 或 ，
故答案为： 或 ．
【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得a+b=6，再根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系求解即可。
三、综合题
17．陕西是面食之乡，其中以“臊子面”最为有名，它柔软光滑、易于消化，与北京炸酱面、河南烩面、武汉热干面、四川担担面被誉为我团五大面食．西安“面霸”餐馆一份臊子面成本价为7元，若每份卖12元，平均每天销售160份，若价格每提高1元，平均每天少销售10份，每份臊子面价格是多少元时，“面新”餐馆能实现每天1080元的利润？
【答案】销售价格为元或元时，餐馆能实现每天1080元的利润
18．已知关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根．
（1）求a的取值范围；．
（2）若此方程的一个实数根为1，求a的值及方程的另一个实数根．
【答案】（1）解：由题意得：a≠0，△=4+12a>0，
解得a>- 且a≠0.
（2）解：由题意得：a+2-3=0，
解得：a=1，
∴x2+2x-3=0，
(x-1)(x+3)=0，
解得x=1或-3，
∴另一个实数根为：-3.
【解析】【分析】（1）一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根的条件是a≠0，△=b2-4ac＞0，依此列式求解即可；
（2）把x=1代入原方程求出a值，再解一元二次方程，即可解答.
19．成都“蒲江猕猴桃”是维含量特别高的红心猕猴桃，营养丰富，老少皆宜，某种植基地年开始种植“猕猴桃”亩，该基地这两年“猕猴桃”种植面积的平均年增长率为．
（1）求到年“猕猴桃”的种植面积达到多少亩？
（2）市场调查发现，当“猕猴桃”的售价为元/千克时，每天能售出千克，售价每降价元，每天可多售出千克．
①若降价元，每天能售出多少千克？（用的代数式表示）
②为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“猕猴桃”的平均成本价为元/千克，若要销售“猕猴桃”每天获利元，则售价应降低多少元？
【答案】（1）到年“猕猴桃”的种植面积达到亩；
（2）售价应降低元．
20．已知关于 的一元二次方程 （ ）.
（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根.
（2）如果这个方程的两个实数根分别为 ， ，且 ，求m的值.
【答案】（1）证明: △=（2m-1）2-4m（m-2）
=4m2-4m+1-4m2+8m
=4m+1
∵m＞0
∴4m+1＞0
所以方程有两个不相等的实数根．
（2）解: 由根与系数的关系得
， ，
∵（x1-3）（x2-3）= x1x2-3（x1+x2）+9，
∴x1x2-3（x1+x2）+9=5m，
∴
两边同时乘以m并化简得，m-2-6m+3+9m=5m2
∴5m2-4m-1=0，
∴（5m+1）（m-1）=0，
解得m=1或 （舍去），
经检验m=1是方程的根．
所以m= 1．
【解析】【分析】（1）只需证明根的判别式大于0即可．（2）把等号左边整理（x1-3）（x2-3）=x1x2-3（x1+x2）+9，再把一元二次方程根与系数的关系代入列出方程解则可．
21．某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元
（1）该服装店经营该商品，原来一个月可获利润 元；
（2）装店希望一个月内销售该种能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元．
【答案】（1）3000
（2）T恤的销售单价应提高2元
22．若 是关于x的一元二次方程 的两个根，则 ．现已知一元二次方程 的两根分别为m，n．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）解：∵已知一元二次方程 的两根分别为m，n，
∴ ．
当 时，
，
解得 ，
经检验， 是方程的根，
∴
（2）解：当 时，
．
∴
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可得，据此即可求解；
（2）由结合已知，代入计算即可.
23．已知是关于x的一元二次方程的两实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）已知等腰的一边长为，若恰好是另外两边的边长，求m的值和的周长.
【答案】（1）解：根据题意得，解得；
（2）解：当腰长为7时，则是一元二次方程的一个解，
把代入方程得，
整理得，解得，
当时，，解得，则三角形周长为；
当时，，解得，则三角形周长为；
当7为等腰三角形的底边时，则，所以，方程化为，解得，三边长为其周长为，
综上所述，m的值是，这个三角形的周长为或或.
【解析】【分析】（1）根据方程有两实数根可得△=b2-4ac≥0，代入求解可得m的范围；
（2）当腰长为7时，则x=7是一元二次方程的一个解，代入求解可得m的值，然后代入方程中求出方程的两个根，进而可得周长；当7为等腰三角形的底边时，则x1=x2，求出m的值，同理可得周长.
24．如图，在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=7cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为5cm/s．若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．
（1）当t为何值时，P、Q两点的距离为5 cm？
（2）当t为何值时，△PCQ的面积为15cm2？
（3）请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？
【答案】（1）解：∵在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=7cm，∴AB=25cm，设经过ts后，P、Q两点的距离为5 cm，ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
根据勾股定理可知PC2+CQ2=PQ2，
代入数据（7-2t）2+（5t）2=（5 ）2；解得t=1或t=- （不合题意舍去）
（2）解：设经过ts后，S△PCQ的面积为15cm2ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
S△PCQ= = ×（7-2t）×5t=15
解得t1=2，t2=1.5，经过2或1.5s后，S△PCQ的面积为15cm2
（3）解：设经过ts后，△PCQ的面积最大，则此时四边形BPQA的面积最小，
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
S△PCQ= ×PC×CQ= ×（7-2t）×5t= ×（-2t2+7t）
当t=- 时，即t= =1.75s时，△PCQ的面积最大，
即S△PCQ= ×PC×CQ= ×（7-2×1.75）×5×1.752= （cm2），
∴四边形BPQA的面积最小值为：S△ABC-S△PCQ最大= ×7×24- = （cm2），
当点P运动1.75秒时，四边形BPQA的面积最小为： cm2
【解析】【分析】（1）由题意可得PC=7-2t cm，CQ=5t cm，在直角三角形PCQ中，根据勾股定理可得，PC2+CQ2=PQ2，将PC、CQ、PQ代入等式，可得关于t的方程，解方程即可求解；
（2）由（1）可得PC=7-2t cm，CQ=5t cm，则△PCQ的面积=PC×CQ=15，列方程即可求解；
（3）由（2）知，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，△PCQ的面积=PC×CQ，要使四边形BPQA的面积最小，则△PCQ的面积最大，求得使△PCQ的面积最大的t值即可。
25．
（1）根据要求，解答下列问题：
①方程 的解为 ；
②方程 的解为 ；
③方程 的解为 ；
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程 的解为 .
②关于x的方程 的解为x1＝1，x2＝n；
（3）请用配方法解方程 ，以验证猜想结论的正确性.
【答案】（1）；；
（2）；
（3）解:
，
故猜想正确.
【解析】【解答】解：（1）①
（x-1）（x-1）=0
②
（x-1）（x-2）=0
③
（x-1）（x-3）=0
；
（ 2 ）①
（x-1）（x-9）=0
②根据方程的规律，一次项系数绝对值比常数项多1，而且常数项为方程除1的另外一个解，故常数项就是n，所以一次项系数绝对值为（n+1），按照规律一次项系数为负的，故方程为 ；
【分析】（1）利用因式分解法分别解方程即可；
（2）①利用（1）中特征解方程即得；②根据根与系数的关系确定一次项系数和常数项即得；
（3）根据配方法将方程变形为（x-5）2=16，然后利用直接开平方求出方程的解即可.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
