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【50道常考填空题专练】浙教八年级下册第2章 一元二次方程
1．已知关于 的方程 的一个解为 ，则它的另一个解是 .
2．设，是一元二次方程的两根，则 ．
3．已知 x ，x 是方程的两个实数根，则 .
4．已知是方程的一个根，则代数式 等于 ．
5．设x1，x2是方程x2＋2x＋1＝4的两个实数根，则（x1＋1）（x2＋1）的值是 .
6．一个一元二次方程，两根分别为2和﹣3，这个方程可以是 ．
7．已知m和n是方程2x2-5x-3=0的两根，则 = ．
8．某商品原售价300元，经过连续两次降价后售价为260元，设平均每次降价的百分率为x，则满足x的方程是 ．
9．已知方程的根为，，则方程的根是 ．
10．若关于的方程是一元二次方程，则 ．
11．设与为一元二次方程的两根，则的值为 ．
12．关于的方程有两个实数根，则的取值范围是 ．
13．关于的方程没有实数根，则的取值范围为 ．
14．已知是关于的方程的一个根，则
15．若关于的一元二次方程的两根互为相反数，则 ．
16．已知两个连续正偶数的积为224，则这两个连续的正偶数是 .
17．若长方形的长是宽的3倍，面积是6，则它的宽是 ．
18．关于 的一元二次方程 （ ）有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数b，c的值：b= ，c= ．
19．已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣x＋2＝0有两个实数解，则k的取值范围为
20．若一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，则m的取值范围是 .
21．若两个相邻自然数的积是 132，则这两个数中较大的数是 .
22．方程的根是 ．
23．已知x=1是一元二次方程 的一根，则该方程的另一个根为 ．
24．设x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值为 ．
25．已知方程的两根是，则的值是 ．
26．若关于x的一元二次方程 的一个根为 ，则另一个根为 ．
27．某试验田种植了杂交水稻，年平均亩产千克，年平均亩产千克，设此水稻亩产量的平均增长率为，则可列出的方程是 ．
28．若m是方程的根，则= ．
29．一个直角三角形的两条直角边长相差5cm，面积是7cm2，则斜边长是 .
30．方程2x2+5x-3=0的解是 。
31．已知 是方程 的根，则式子 的值为 ．
32．方程﹣5x＝x2的解是 ．
33．设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，则m2+3m+n= ．
34．设，是方程的两个根，则 ．
35．将关于 的一元二次方程 变形为 ，就可得 表示为关于 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法” 已知 ，可用“降次法”求得 的值是 .
36．已知是方程的一个根，则m的值为 ．
37．已知一元二次方程中，其中真命题有 （填序号）．
①若，则；②若方程两根为-1和2，则；③若方程有两个不相等的根，则方程必有两个不相等的实根．
38．如图，某试验小组要在长50米，宽39米的矩形试验田中间开辟一横一纵两条等宽的小道，使剩余的面积是1800平方米，求小道的宽.若设小道的宽为x米，则所列出的方程是 （只列方程，不求解）
39．若规定两数a、b通过运算※得4ab，即a※b=4ab．如2※6=4×2×6=48．若x※x+2※x﹣2※4=0，则x的值为
40．已知m为一元二次方程x2﹣3x+5＝0的一根，则代数式2m2﹣6m+2029的值为 .
41．将二次三项式进行配方，其结果是 ．
42．今年9月10日，退休老师老黄去与老同事们聚会，共庆第33个教师节.晚上，读初三的孙子小明问老黄：“爷爷，今天有几个同事参加聚会啦 ”爷爷：“我来考考你：我们每个人都与其他人握了一次手，一共握了120次，你知道我们一共有多少人参加聚会吗 ”若小明设参加聚会的人有x个，则可列方程为
43．如图所示，点阵的层数用表示，点数总和用表示，当时，则 ．
44．如果m、n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝ ．
45．设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，则m2+3m+n= ．
46．韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：．设一元三次方程三个非零实数根分别，现给出以下结论：
①，②；③；④，其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）．
47．若关于x的方程（x﹣4）（x2﹣6x+m）＝0的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m的值为 ．
48．如图，在等边三角形中，D是的中点，P是边上的一个动点，过点P作，交于点E，连接．若是等腰三角形，则的长是 ．
49．如果是两个不相等的实数，，，那么代数式 ．
50．若关于x的一元二次方程（m+3）x2+5x+m2+2m－3=0有一个根是0，则m= ，另一根为 。
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【50道常考填空题专练】浙教八年级下册第2章 一元二次方程
1．已知关于 的方程 的一个解为 ，则它的另一个解是 .
【答案】0
【解析】【解答】解：设方程的另一个解是 ，
根据题意得： ，
解得： .
故答案为：0.
【分析】根据根与系数的关系：代入即可得另一根.
2．设，是一元二次方程的两根，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由一元二次方程可知：，
∴由韦达定理可得：；
故答案为：．
【分析】根据根与系数的关系即可求解.
3．已知 x ，x 是方程的两个实数根，则 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵是方程的两根，
∴
∴.
故答案为：.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，根与系数关系为，据此即可得出的值，从而得出答案.
4．已知是方程的一个根，则代数式 等于 ．
【答案】
5．设x1，x2是方程x2＋2x＋1＝4的两个实数根，则（x1＋1）（x2＋1）的值是 .
【答案】-4
【解析】【解答】解：∵x1，x2是方程x2+2x+1=4的两个实数根，
方程整理得x2+2x-3=0，
∴x1+x2=-2，x1 x2=-3，
∴（x1+1）（x2+1）=（x1+x2）+x1 x2+1=-2-3+1=-4.
故答案为：-4.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=-2，x1·x2=-3，待求式可变形为(x1+x2)+x1·x2+1，据此计算.
6．一个一元二次方程，两根分别为2和﹣3，这个方程可以是 ．
【答案】x2+x﹣6=0
【解析】【解答】解：设该方程为ax2+bx+c=0（a≠0），
∵该方程的两根分别为2和﹣3，
∴2+（﹣3）=﹣1=﹣ ，2×（﹣3）=﹣6= ，
∴b=a，c=﹣6a．
当a=1时，该一元二次方程为x2+x﹣6=0．
故答案为：x2+x﹣6=0．
【分析】设该方程为ax2+bx+c=0（a≠0），由方程的两个根结合根与系数的关系即可得出b、c与a之间的关系，令a=1，即可得出一个符合题意的一元二次方程，此题得解．
7．已知m和n是方程2x2-5x-3=0的两根，则 = ．
【答案】-
【解析】【解答】解：∵ m和n是方程2x2-5x-3=0的两根，
∴m＋n=，mn=，
∴.
故答案为：.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出m＋n=，mn=，然后将代数式通分按异分母分式加法法则算出结果，再整体代入按有理数的除法法则即可算出答案。
8．某商品原售价300元，经过连续两次降价后售价为260元，设平均每次降价的百分率为x，则满足x的方程是 ．
【答案】
【解析】【解答】根据降价后的售价=降价前的售价×（1-平均每次降价的百分率），可得降价一次后的售价是 ，降价一次后的售价是 ，再根据经过连续两次降价后售价为260元即得方程.
由题意可列方程为 .
【分析】根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）增长次数可列方程.
9．已知方程的根为，，则方程的根是 ．
【答案】，
【解析】【解答】解：∵x2-10x+21=0的两根为x1=3，x2=7，
∴方程(2x-1)2-10(2x-1)+21=0的根为2x-1=3或2x-1=7，
解得x1=2，x2=4.
故答案为：x1=2，x2=4.
【分析】由题意可得方程的根为2x-1=3或2x-1=7，求解即可.
10．若关于的方程是一元二次方程，则 ．
【答案】-1
【解析】【解答】解：关于的方程是一元二次方程，
且，
解得：，
故答案为：-1．
【分析】根据一元二次方程的定义“含有一个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程”可得关于c的方程和不等式，解之可求解.
11．设与为一元二次方程的两根，则的值为 ．
【答案】20
【解析】【解答】解：∵
△=9-4=5＞0，
∴，，
∴=，
故答案为：20；
【分析】先求出一元二次方程的解，再将其代入计算即可。
12．关于的方程有两个实数根，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意可知：
解得：
【分析】一元二次方程有两个实数解，则。
13．关于的方程没有实数根，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2-x+m=0没有实数根，
∴Δ＝（-1）2-4m＜0，
解得：m＞.
故答案为：m＞.
【分析】根据判别式的意义，得到Δ＝（-1）2-4m＜0，解之即可求得m的范围.
14．已知是关于的方程的一个根，则
【答案】10
15．若关于的一元二次方程的两根互为相反数，则 ．
【答案】-2
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵两根互为相反数
，解得：
∴m=-2
故答案为：-2
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，再根据相反数的性质即可求出答案.
16．已知两个连续正偶数的积为224，则这两个连续的正偶数是 .
【答案】14，16
【解析】【解答】解：设较小的正偶数为x，则较大的正偶数为x+2，根据题意得
x（x+2）=224
解之：x1=14，x2=-16
∵x＞0
∴x=14，
∴x+2=16.
故答案为：14，16.
【分析】设较小的正偶数为x，可表示出较大的正偶数，再根据两个连续正偶数的积为224，由此可得到关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出这两个连续的正偶数.
17．若长方形的长是宽的3倍，面积是6，则它的宽是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：设宽是x，那么长是3x，可得方程：
（舍去负值）
则宽是 .
故答案为 .
【分析】设宽是x，则长是3x，根据矩形的面积公式结合已知条件可得x·3x=6，求出x的值即可.
18．关于 的一元二次方程 （ ）有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数b，c的值：b= ，c= ．
【答案】2答案不唯一；1答案不唯一
【解析】【解答】解：答案不唯一，
∵方程有两个相等的实数根，
∴△=b2-4c=0，
则b=2，c=1，
故答案为：2，1答案不唯一．
【分析】利用方程有两个相等的实数根得到△=b2-4c=0，于是得到结论．
19．已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣x＋2＝0有两个实数解，则k的取值范围为
【答案】且
【解析】【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程（k﹣1）x2+
x+2＝0 有两个实数解，
∴
解得：
且
．
故填
且
．
【分析】根据一元二次方程根的判别式列出不等式组
，再求解即可。
20．若一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，则m的取值范围是 .
【答案】m＜
【解析】【解答】解：∵一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，
∴△=16﹣4（m﹣1）×（﹣5）＜0，且m﹣1≠0，
∴m＜．
故答案为：m＜ ．
【分析】据关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，得出△=16﹣4（m﹣1）×（﹣5）＜0，从而求出m的取值范围．
21．若两个相邻自然数的积是 132，则这两个数中较大的数是 .
【答案】12
【解析】【解答】解：设两个相邻自然数中较大的一个自然数为x，则较小一个为(x-1)，
由题意得x(x-1)=132，
解得x1=-11（舍），x2=12，
∴两个相邻自然数中较大的一个自然数为12.
故答案为：12.
【分析】设两个相邻自然数中较大的一个自然数为x，则较小一个为(x-1)，根据两个相邻自然数的积是132列出方程，求解并检验可得答案.
22．方程的根是 ．
【答案】，
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得，，
故答案为：，
【分析】先整理成一般式，再利用十字相乘法解方程即可.
23．已知x=1是一元二次方程 的一根，则该方程的另一个根为 ．
【答案】-2
【解析】【解答】设方程的另一根为x1，
由根与系数的关系可得：1× x1=－2，
∴x1=－2.
故答案为：－2.
【分析】由于该方程的一次项系数是未知数，所以求方程的另一解根据根与系数的关系进行计算即可．
24．设x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值为 ．
【答案】27
【解析】【解答】∵x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1=0的两实数根，∴x1+x2=5，x1x2=﹣1，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=25+2=27，
故答案为：27．
【分析】首先根据根与系数的关系求出x1+x2=5，x1x2=﹣1，然后把x12+x22转化为x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，最后整体代值计算．
25．已知方程的两根是，则的值是 ．
【答案】51
26．若关于x的一元二次方程 的一个根为 ，则另一个根为 ．
【答案】-3
【解析】【解答】设另一个根为 ，根据根与系数的关系有：
即
解得：
故答案为-3
【分析】先求出，再计算求解即可。
27．某试验田种植了杂交水稻，年平均亩产千克，年平均亩产千克，设此水稻亩产量的平均增长率为，则可列出的方程是 ．
【答案】
28．若m是方程的根，则= ．
【答案】14
【解析】【解答】
解：由题意得，
∴，
∴
∴，
∴，
∴
∴
故答案为：14
【分析】把分解因式，根据已知条件推导出的值，再代入即可计算出结果。
29．一个直角三角形的两条直角边长相差5cm，面积是7cm2，则斜边长是 .
【答案】 cm
【解析】【解答】解：设直角三角形的两条直角边为x，x-5，
∴x（x-5）=7，
∴x2-5x-14=0，
∴（x-7）（x+2）=0，
∴x=7或x=-2（不符合题意，舍去）
∴x-5=2，
∴直角三角形的两条直角边为7cm，2cm，
∴斜边长=cm.
【分析】设直角三角形的两条直角边为x，x-5，根据三角形的面积公式列出方程，解方程求出x的值，从而得出直角三角形的两条直角边，再根据勾股定理即可得出斜边的长.
30．方程2x2+5x-3=0的解是 。
【答案】x1=﹣3，x2= ．
【解析】【解答】原方程可化为：（x+3）（x﹣ ）=0，
故x1=﹣3，x2= ．
故答案为：x1=﹣3，x2= ．
【分析】先把方程化为（x+3）（x﹣ ）=0的形式，再求出x的值即可．
31．已知 是方程 的根，则式子 的值为 ．
【答案】4
【解析】【解答】解：∵ 是方程 的根，
∴ ，即 ，
，
∴ ，
∴原式＝1＋3＝4．
故答案为：4．
【分析】先求出，再求出 ，最后求解即可。
32．方程﹣5x＝x2的解是 ．
【答案】x1＝0，x2＝﹣5
【解析】【解答】x2+5x＝0，
x（x+5）＝0，
x＝0或x+5＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣5
故答案为x1＝0，x2＝﹣5．
【分析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
33．设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，则m2+3m+n= ．
【答案】5
【解析】【解答】解：∵设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，
∴m+n=﹣2，
∵m是原方程的根，
∴m2+2m﹣7=0，即m2+2m=7，
∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=7﹣2=5，
故答案为：5．
【分析】根据根与系数的关系可知m+n=﹣2，又知m是方程的根，所以可得m2+2m﹣7=0，最后可将m2+3m+n变成m2+2m+m+n，最终可得答案．本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是把m2+3m+n转化为m2+2m+m+n的形式，结合根与系数的关系以及一元二次方程的解即可解答．
34．设，是方程的两个根，则 ．
【答案】26
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：26
【分析】根据韦达定理可得两根之间的关系，变形式子即可求出答案。
35．将关于 的一元二次方程 变形为 ，就可得 表示为关于 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法” 已知 ，可用“降次法”求得 的值是 .
【答案】2018
【解析】【解答】解： ，
，
故答案为：2018.
【分析】根据x2-x-1=0可得x2=x+1，则x4-3x+2016=(x+1)2-3x+2016=x2-x+2017，据此计算.
36．已知是方程的一个根，则m的值为 ．
【答案】1
【解析】【解答】解：把代入，
得-1+m=0
所以m=1
故答案为：1.
【分析】根据一元二次方程的根定义，代入方程解方程即可。
37．已知一元二次方程中，其中真命题有 （填序号）．
①若，则；②若方程两根为-1和2，则；③若方程有两个不相等的根，则方程必有两个不相等的实根．
【答案】①②③
38．如图，某试验小组要在长50米，宽39米的矩形试验田中间开辟一横一纵两条等宽的小道，使剩余的面积是1800平方米，求小道的宽.若设小道的宽为x米，则所列出的方程是 （只列方程，不求解）
【答案】
【解析】【解答】解：设道路的宽为xm，依题意有
（50-x）（39-x）=1800．
故答案为： ．
【分析】可设道路的宽为xm，将4块剩余矩形平移为一个长方形，长为（50-x）m，宽为（39-x）m．根据长方形面积公式即可列出方程．
39．若规定两数a、b通过运算※得4ab，即a※b=4ab．如2※6=4×2×6=48．若x※x+2※x﹣2※4=0，则x的值为
【答案】﹣4或2
【解析】【解答】解：依题意可以列方程：
4x2+8x﹣32=0，
x2+2x﹣8=0，
（x+4）（x﹣2）=0，
x+4=0或x﹣2=0，
解得x1=﹣4，x2=2．
故答案为：﹣4或2．
【分析】根据新定义写出一元二次方程，并用因式分解法求出方程的根．
40．已知m为一元二次方程x2﹣3x+5＝0的一根，则代数式2m2﹣6m+2029的值为 .
【答案】2019
【解析】【解答】 实数 是一元二次方程 的一个根，
故答案为：2019
【分析】把 代入已知方程可求得 ，然后将其整体代入所求的代数式中即可求得答案.
41．将二次三项式进行配方，其结果是 ．
【答案】
42．今年9月10日，退休老师老黄去与老同事们聚会，共庆第33个教师节.晚上，读初三的孙子小明问老黄：“爷爷，今天有几个同事参加聚会啦 ”爷爷：“我来考考你：我们每个人都与其他人握了一次手，一共握了120次，你知道我们一共有多少人参加聚会吗 ”若小明设参加聚会的人有x个，则可列方程为
【答案】
【解析】【解答】参加聚会的人数为x名，每个人都要握手(x 1)次，
∴可列方程为 x(x 1)=120.
故答案为：
【分析】参加聚会的人数为x名，每个人都要握手(x 1)次，但是两个人之间要握一次手，所以共握手次，从而得方程.
43．如图所示，点阵的层数用表示，点数总和用表示，当时，则 ．
【答案】11
44．如果m、n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝ ．
【答案】3
45．设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，则m2+3m+n= ．
【答案】2016
【解析】【解答】解：∵m为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的实数根，
∴m2+2m﹣2018=0，即m2=﹣2m+2018，
∴m2+3m+n=﹣2m+2018+3m+n=2018+m+n，
∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，
∴m+n=﹣2，
∴m2+3m+n=2018﹣2=2016．
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到m2=﹣2m+2018，则m2+3m+n可化简为2018+m+n，再根据根与系数的关系得到m+n=﹣2，然后利用整体代入的方法计算．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣ ，x1x2= ．也考查了一元二次方程根的定义．
46．韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：．设一元三次方程三个非零实数根分别，现给出以下结论：
①，②；③；④，其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）．
【答案】①③
47．若关于x的方程（x﹣4）（x2﹣6x+m）＝0的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：设某直角三角形的三边长分别为a、b、c，
依题意可得
x﹣4＝0或x2﹣6x+m＝0，
∴x＝4，x2﹣6x+m＝0，
设x2﹣6x+m＝0的两根为a、b，
∴（﹣6）2﹣4m＞0，m＜9，
根据根与系数关系，得a+b＝6，ab＝m，则c＝4，
①c为斜边时，a2+b2＝c2，（a+b）2﹣2ab＝c2
∴62﹣2m＝42，m＝10（不符合题意，舍去）；
②a为斜边时，c2+b2＝a2，
42+（6﹣a）2＝a2，
a＝ ，b＝6﹣a＝ ，
∴m＝ab＝ =
故答案为 ．
【分析】运用根与系数关系、根的判别式，根据勾股定理列方程解答即可．
48．如图，在等边三角形中，D是的中点，P是边上的一个动点，过点P作，交于点E，连接．若是等腰三角形，则的长是 ．
【答案】或或．
49．如果是两个不相等的实数，，，那么代数式 ．
【答案】2032
50．若关于x的一元二次方程（m+3）x2+5x+m2+2m－3=0有一个根是0，则m= ，另一根为 。
【答案】m=1；
【解析】【解答】∵方程（m+3）x2+5x+m2+2m-3=0有一个根为0，∴将x=0代入方程得：m2+2m-3=0，即（m-1）（m+3）=0，解得：m1=1，m2=-3，又原方程为关于x的一元二次方程，m+3≠0，即m≠-3，则m=1．
那么方程为4x2+5x=0解得x=0或 ∴另一个根是
【分析】方程有一根为0，那么将x=0代入即可得到m的一元二次方程，解方程并结合一元二次方程的定义即可求得m的值，从而求得一元二次方程，解该方程即可求得另一个根.
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