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【50道常考综合题专练】浙教八年级下册第2章 一元二次方程
1．利客来超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件．
（1）若降价8元，则平均每天销售数量为__________件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
2．乡村振兴战略是中国经济社会发展方式一次大的转变，目标是按照产业兴旺、生态宜居、乡风文明、治理有效、生活富裕的总要求，建立健全城乡融合发展体制机制和政策体系，加快推进农业农村现代化．小明家在2019年脱贫的时候家庭年总收入为6.25万元，通过两年积极开展种植产业振兴，2021年家庭年总收入为9万元． 试计算小明家年的年家庭总收入平均增收率为多少？
3．2014年2月27日，第十二届全国人大常委会第七次会议通过决定，将每年的12月13日设立为南京大屠杀死难者国家公祭日，今年的2023年12月13日是自2014年开始的第10个公祭日，在今年12月的日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最大数（请用方程知识解答）．
4．如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，求图中道路的宽度．
5．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若直角△ABC的两直角边AB、AC的长是该方程的两个实数根，斜边BC的长为3，求m的值．
6．去年，迎春村种植水稻200亩、玉米100亩，收获后售价分别为3元/千克、2.5元/千克，且水稻的平均亩产量比玉米高100千克，该村的水稻和玉米全部售出后总收入40万元．
（1）求该村去年水稻、玉米的平均亩产量分别是多少千克？
（2）粮食安全事关国家安全，今年，通过改良品种和优化种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计水稻、玉米的平均亩产量将在去年的基础上分别增加和，由于粮食品质的提升，水稻的售价每千克上涨了0.2元，玉米的售价在去年的基础上上涨了，这样今年的水稻和玉米全部售出后总收入将比去年增加，求的值．
7．已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x -(2k+3)x+k +3k+2=0的两个实数根。
（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当k为何值时，△ABC为直角三角形， 并求出△ABC的周长。
8． 2013年，某市某楼盘以每平方米4000元的均价对外销售.因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年的均价为每平方米3240元.
（1）求平均每年下调的百分率；
（2）假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，李明准备购买一套100平方米的住房，他持有现金10万元，可以在银行贷款20万元，李明的愿望能否实现（房价每平方米按照均价计算）？
9．为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低.2022年这种药剂价格为200元，2024年该药剂价格为98元．
（1）求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率；
（2）该制药厂计划2025年对此药剂继续降价，并要求此种药剂的价格不低于73.5元，则此次价格的下降率最多是多少？
10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）若m是正整数，求关于x的方程x2﹣2x+m﹣1＝0的根.
11． 2021年某市轨道交通1号线经过10月份的试运营，于11月正式开通运营.10月份客运量为120万人次，12月份客运量为172.8万人次
（1）求1号线客运量的月平均增长率；
（2）按照客运量这样的月增长率，预计1号线在2022年1月份的客运量能否突破200万人次．
12．端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（）元．
（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出 只粽子．
（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？
13．某商场销售一种品牌羽绒服和防寒服，其中羽绒服的售价是防寒服售价的5倍还多100元，2014年1月份（春节前期）共销售500件，羽绒服与防寒服销量之比是4：1，销售总收入为58.6万元．
（1）求羽绒服和防寒服的售价；
（2）春节后销售进入淡季，2014年2月份羽绒服销量下滑了6m%，售价下滑了4m%，防寒服销量和售价都维持不变，结果销售总收入下降为16.04万元，求m的值．
14．为积极响应新旧动能转换．提高公司经济效益．某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位∶台)和销售单价(单位∶万元)成一次函数关系．
(1)求年销售量与销售单价的函数关系式；
(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润．则该设备的销售单价应是多少万元？
15．春节期间，佛山连锁超市派调查小组调查某种商品的销售情况，下面是调查后小李与其他两位成员交流的情况．
小李：“该商品的进价为50元/件．”
成员甲：“当定价为60元/件时，平均每天可售出800件．”
成员乙：“若售价每提高5元，则平均每天少售出100件．”
根据他们的对话，完成下列问题：
（1）若售价定为65元/件时，平均每天可售出 件；
（2）若超市希望该商品平均每天能盈利12000元，且尽可能扩大销售量，则该商品应该怎样定价？
16．已知关于x的一元二次方程x2－2mx＋2m－1＝0（m为常数）.
（1）若方程的一个根为0，求m的值和方程的另一个根；
（2）求证：不论m为何值，该方程总有实数根.
17．某企业集团为迎接2025年新年，计划给全体员工定制一批新的工装，该企业集团委托甲、乙两个厂家共同生产这批工装，根据调查统计，甲厂每小时能生产40套这种工装，乙厂每小时能生产50套这种工装
（1）若甲、乙两个工厂生产的时间共12小时，且生产工装的总套数不少于530套，则乙厂至少生产这种工装多少小时？
（2）原计划甲、乙两个工厂每天均生产8小时，但现在为了该企业集团的需求，两个工厂每天均需要增加生产时间，且甲厂增加的时间比乙厂增加的时间多2小时，因为甲厂机器损耗及人员不足的原因，甲厂每增加1小时，该厂每小时的产量将减少2套，乙厂每小时的产量保持不变，这样两个工厂每天生产的工装套数将比原计划多164套，求甲厂实际每天生产工装增加的时间
18．某汽车销售公司2017年10月份销售一种新型低能耗汽车20辆，由于该型号汽车经济适用性强，销量快速上升，12月份该公司销售该型号汽车达45辆．
（1）求11月份和12月份的平均增长率；
（2）该型号汽车每辆的进价为10万元，且销售a辆汽车，汽车厂队销售公司每辆返利0.03a万元，该公司这种型号汽车的售价为11万元/辆，若使2018年1月份每辆汽车盈利不低于2.6万元，那么该公司1月份至少需要销售该型号汽车多少辆？此时总盈利至少是多少万元？（盈利＝销售利润+返利）
19．岳西县被誉为“中国茭白之乡”，该县某村今年种植12万千克的茭白，计划在A市和B市全部销售，若在A市销售，每千克茭白的利润为2元，若在B市销售，平均每千克茭白的利润y（元）与B市的销售量x（万千克）之间的关系满足：．
（1）若在A市销售茭白2万千克，则销售完这批茭白共获利多少万元；
（2）若该村销售完所有茭白共获利28.8万元，求B市销售茭白多少万千克；
（3）若在B市销售茭白m万千克与n万千克所获总利润相同，且，请直接写出m与n所满足的关系式：______．
20．关于x的一元二次方程 有实根
（1）求m的取值范围；
（2）已知 等腰的底边长为4，另两边的长恰好是方程的两个根，求 的周长.
21．某单位组织职工到“万绿湖”观光旅游，下面是领队与旅行社就收费标准的一段对话：
领队：组团去万绿湖旅行每人收费是多少？
旅行社：如果人数不超过人，人均费用为元．
领队：超过人呢？
旅行社：如果超过人，每增加1人，人均费用降低2元，但人均旅行费用不得低于元．
该单位组团旅游结束后，共支付元，则该单位参加旅游的共有多少人？
22．如图所示，在平面直角坐标系中，点，连结，将线段绕点 顺时针旋转到，将点向左平移5个单位长度至点，连接．
（1）求点、点的坐标；
（2）将直线绕点顺时针旋转，交轴于点，求直线的函数表达式；
（3）现有一动点从出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动，运动时间为秒．请探究：当等于多少时，为等腰三角形．
23．阅读与思考：
【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．
例如：求代数式的最小值．
，可知当时，有最小值，最小值是．
再例如：求代数式的最大值．
．可知当时，有最大值．最大值是．
（1）【直接应用】代数式的最小值为______；代数式的最大值为______；
（2）【类比应用】若多项式，试求的最小值；
（3）【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积．
24．一个运输公司有甲、乙两种货车，两次满载的运输情况如下表：
甲种货车辆数 乙种货车辆数 合计运货吨数
第一次 2 4 18
第二次 5 6 35
（1）求甲、乙两种货车每次满载分别能运输多少吨货物；
（2）现有一批重34吨的货物需要运输，而甲、乙两种货车运输的保养费用分别为80元/辆和40元/辆.公司打算由甲、乙两种货车共10辆来完成这次运输，为了使保养费用不超过700元，公司该如何安排甲、乙两种货车来完成这次运输任务.
25．某商场在“五一节”的假日里实行让利销售，全部商品一律按九销售，这样每天所获得的利润恰好是销售收入的25%．如果第一天的销售收入5万元，且每天的销售收入都有增长，第三天的利润是1.8万元，
（1）求第三天的销售收入是多少万元？
（2）求第二天和第三天销售收入平均每天的增长率是多少？
26．2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”.
（1）据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增长率相同，四月份该工厂生产了720个“冰墩墩”，求该工厂平均每月生产量增长率是多少？
（2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件.如果每天要盈利1440元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？
27．如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的橱栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设选栏BC长为x米.
（1）AB＝ 米（用含x的代数式表示）；
（2）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求橱栏BC的长；
（3）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值；若不可能，则说明理由.
28．经预算，某工厂从2022年1月份起，每月生产收入是22万元，但在生产过程中会引起环境污染，若再按现状生产，将会受到环境部门的处罚，每月罚款2万元；如果投资85万元治理污染，治污系统可在2022年1月份启用，这样，该厂不但不受处罚，还可降低生产成本，使1月至3月份的生产收入以相同的百分率逐月增长．经预算，投资治污后，1月份生产收入为25万元，3月份的生产收入可达36万元.3月份以后，每月的生产收入稳定在3月份的水平．
（1）求出投资治污后，2月和3月每月生产收入增长的百分率；
（2）如果利润看作是生产累计收入减去治理污染的投资和环境部门的罚款，试问：治理污染多少个月后，所投资金开始见成效？即治污多少个月后所获利润不小于不治污情况下所获利润）
29．如图，在矩形中，，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动．
（1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？
（2）若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？
30．为建设美丽家园，某企业逐年增加对环境保护的经费投入，2012年投入了400万元，预计到2014年将投入576万元.
（1）求2012年至2014年该单位环保经费投入的年平均增长率；
（2）该单位预计2015年投入环保经费不低于680万元，若继续保持前两年的年平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由.
31．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x12+x22＝8﹣3x1x2，求m的值.
32．如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的 ．
（1）求配色条纹的宽度；
（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．
33．惠农商场于今年五月份以每件30元的进价购进一批商品.当商品售价为40元时，五月份销售256件.六、七月该商品十分畅销.销售量持续走高.在售价不变的基础上，7月份的销售量达到400件.设六、七这两个月月平均增长率不变.
（1）求六、七这两个月的月平均增长率；
（2）从八月份起，商场采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价0.5元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利2640元？
34．关于x的方程mx2﹣x﹣m+1＝0，有以下三个结论：
①当m＝0时，方程只有一个实数解；
②当m≠0时，方程有两个不相等的实数解；
③无论m取何值，方程都有一个整数根.
（1）请你判断，这三个结论中正确的有 (填序号)
（2）证明(1)中你认为正确的结论.
35．解方程：
（1） 用配方法解
（2） 用适当的方法解
36．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价a元，则平均每天销售数量为 件．（用含a的代数式表示）
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元．
37．一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，且两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
38．已知关于x的一元二次方程
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值．
39．果农李明种植的草莓计划以每千克15元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．李明为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克9.6元的单价对外批发销售．
（1）求李明平均每次下调的百分率；
（2）小刘准备到李明处购买3吨该草莓，因数量多，李明决定再给予两种优惠方案以供其选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金400元．试问小刘选择哪种方案更优惠，请说明理由．
40．解下列方程：
（1）2（x﹣3）2=x2﹣9；
（2）2x2﹣3x+1=0．
41．每年6月，学校门口的文具店都会购进毕业季畅销商品进行销售．已知校门口“小光文具店“在5月份就售出每本8元的A种品牌同学录90本，每本10元的B种品牌同学录175本．
（1）某班班长帮班上同学代买A种品牌和B种品牌同学录共27本，共花费246元，请问班长代买A种品牌和B种品牌同学录各多少本？
（2）该文具店在6月份决定将A种品牌同学录每本降价3元后销售，B种品牌同学录每本降价a%（a＞0）后销售．于是，6月份该文具店A种品牌同学录的销量比5月份多了a%，B种品牌同学录的销量比5月份多了（a+20）%，且6月份A、B两种品牌的同学录的销售总额达到了2550元，求a的值．
42．方方同学在寒假社会调查实践活动中，对某罐头加工厂进行采访，获得了该厂去年的部分生产信息如下：
①该厂一月份罐头加工量为a吨；
②该厂三月份的加工量比一月份增长了44％；
③该厂第一季度共加工罐头182吨；
④该厂二月、三月加工量每月按相同的百分率增长；
⑤该厂从四月份开始设备整修更新，加工量每月按相同的百分率开始下降；
⑥六月份设备整修更新完毕，此月加工量为一月份的2.1倍，与五月份相比增长了46.68吨．
利用以上信息求：
（1）该厂第一季度加工量的月平均增长率；
（2）该厂一月份的加工量a的值；
（3）该厂第二季度的总加工量．
43．已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）k取最大整数时求方程的根．
44．水果店张阿姨以每千克2元的价格购进柑桔若干千克，以每千克4元的价格出售，每天可售出50千克，通过调查发现，这种柑桔每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出10千克，为保证每天至少售出130千克，张阿姨决定降价销售.
（1）若将柑桔每千克的售价降低x元，则每天的销售量是 千克（用含x的代数式表示）；
（2）要想销售柑桔每天盈利150元，张阿姨需将每千克的售价降低多少元？
45．已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣6x+8＝0.
（1）若方程的一个根为x＝﹣1，求a的值；
（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值；
（3）请为a选取一个合适的整数，使方程有两个整数根，并求这两个根.
46．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B在x轴的正半轴上．∠OAB=90°且OA=AB，OB，OC的长分别是一元二次方程 的两个根（OB＞OC）．
（1）求点A和点B的坐标．
（2）点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O，B重合），过点P的直线l与y轴平行，直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R．设点P的横坐标为t，线段QR的长度为m．已知t=4时，直线l恰好过点C．当0＜t＜3时，求m关于t的函数关系式．
（3）当m=3.5时，请直接写出点P的坐标．
47．某企业为响应国家教育扶贫的号召，决定对某乡镇全体贫困初、高中学生进行资助，初中学生每月资助200元，高中学生每月资助300元.已知该乡受资助的初中学生人数是受资助的高中学生人数的2倍，且该企业在2018年下半年7﹣12月这6个月资助学生共支出10.5万元.
（1）问该乡镇分别有多少名初中学生和高中学生获得了资助？
（2）2018年7﹣12月期间，受资助的初、高中学生中，分别有30%和40%的学生被评为优秀学生，从而获得了该乡镇政府的公开表扬.同时，提供资助的企业为了激发更多受资助学生的进取心和学习热情，决定对2019年上半年1﹣6月被评为优秀学生的初中学生每人每月增加a%的资助，对被评为优秀学生的高中学生每人每月增加2a%的资助.在此奖励政策的鼓励下，2019年1﹣6月被评为优秀学生的初、高中学生分別比2018年7﹣12月的人数增加了3a%、a%.这样，2019年上半年评为优秀学生的初、高中学生所获得的资助总金额一个月就达到了10800元，求a的值.
48．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为250元，每桶水的进价是5元，规定销售单价不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶，调查发现日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数图象如图所示．
（1）求日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数关系；
（2）若该经营部希望日均获利1350元，请你根据以上信息，就该桶装水的销售单价或销售数量，提出一个用一元二次方程解决的问题，并写出解答过程．
49．已知点 、 在反比例函数 的图象上，直线 经过点 、 ，且与 轴、 轴的交点分别为 、 两点．
（1）求直线 的解析式；
（2） 为坐标原点，点 在直线上（点 与点 不重合）， ，求点 的坐标；
（3）在（2）的条件下，点 在坐标平面上，顺次联结点 、 、 、 的四边形 满足： ， ，求满足条件的点 坐标．
50．小明在解决问题：已知a＝ ，求2a2－8a＋1的值，他是这样分析与解答的：
因为a＝ ＝ ＝2－ ，
所以a－2＝－ .
所以(a－2)2＝3，即a2－4a＋4＝3.
所以a2－4a＝－1.
所以2a2－8a＋1＝2(a2－4a)＋1＝2×(－1)＋1＝－1.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算： = － .
（2）计算： ＋…＋ ；
（3）若a＝ ，求4a2－8a＋1的值.
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【50道常考综合题专练】浙教八年级下册第2章 一元二次方程
1．利客来超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件．
（1）若降价8元，则平均每天销售数量为__________件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
【答案】（1）36
（2）每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
2．乡村振兴战略是中国经济社会发展方式一次大的转变，目标是按照产业兴旺、生态宜居、乡风文明、治理有效、生活富裕的总要求，建立健全城乡融合发展体制机制和政策体系，加快推进农业农村现代化．小明家在2019年脱贫的时候家庭年总收入为6.25万元，通过两年积极开展种植产业振兴，2021年家庭年总收入为9万元． 试计算小明家年的年家庭总收入平均增收率为多少？
【答案】小明家家庭总收入平均增收率为20%
3．2014年2月27日，第十二届全国人大常委会第七次会议通过决定，将每年的12月13日设立为南京大屠杀死难者国家公祭日，今年的2023年12月13日是自2014年开始的第10个公祭日，在今年12月的日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最大数（请用方程知识解答）．
【答案】这个最小数为5
4．如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，求图中道路的宽度．
【答案】道路的宽度为2米
5．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若直角△ABC的两直角边AB、AC的长是该方程的两个实数根，斜边BC的长为3，求m的值．
【答案】（1）证明：∵△＝[﹣（m+2）]2﹣4×2m＝（m﹣2）2≥0，
∴不论m为何值，该方程总有两个实数根
（2）解：∵AB、AC的长是该方程的两个实数根，
∴AB+AC＝m+2，AB AC＝2m，
∵△ABC是直角三角形，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴（AB+AC）2﹣2AB AC＝BC2，
即（m+2）2﹣2×2m＝32，
解得：m＝± ，
∴m的值是± ．
又∵AB AC＝2m，m为正数，
∴m的值是
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式和非负数的性质即可得到结论；（2）根据勾股定理和一元二次方程根的判别式解方程即可得到结论．
6．去年，迎春村种植水稻200亩、玉米100亩，收获后售价分别为3元/千克、2.5元/千克，且水稻的平均亩产量比玉米高100千克，该村的水稻和玉米全部售出后总收入40万元．
（1）求该村去年水稻、玉米的平均亩产量分别是多少千克？
（2）粮食安全事关国家安全，今年，通过改良品种和优化种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计水稻、玉米的平均亩产量将在去年的基础上分别增加和，由于粮食品质的提升，水稻的售价每千克上涨了0.2元，玉米的售价在去年的基础上上涨了，这样今年的水稻和玉米全部售出后总收入将比去年增加，求的值．
【答案】（1）该村去年水稻平均亩产量为500千克，玉米的平均亩产量为400千克
（2）
7．已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x -(2k+3)x+k +3k+2=0的两个实数根。
（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当k为何值时，△ABC为直角三角形， 并求出△ABC的周长。
【答案】（1）证明：∵b2-4ac=[-(2k+3)]2-4(k2+3k+2)
=4k2+12k+9-4k2-12k-8
=1>0
∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根.
（2）解：∵x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0，
∴[x-(k+1)][x-(k+2)]=0，
∴x1=k+1，x2=k+2
由于k+2>k+1，故分两种情况讨论：
①当BC=5为斜边时，(k+1) +(k+2) =25，
解得k=2或k=-5(舍去)，
则k+1=3，k+2=4，
此时，△ABC的周长为3+4+5=12；
②当(k+2)是斜边时，(k+2) =(k+1) +25
解得k=11，
则k+1=12，k+2=13，
此时，△ABC的周长为13+12+5=30
【解析】【分析】（1）先求出b2-4ac，再判断b2-4ac＞0即可证得结论。
（2）利用因式分解法解方程求出方程的两个根，再分情况讨论：①当BC=5为斜边时，②当(k+2)是斜边时，分别建立关于k的方程，解方程求出k的值，然后分别求出△ABC的周长即可。
8． 2013年，某市某楼盘以每平方米4000元的均价对外销售.因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年的均价为每平方米3240元.
（1）求平均每年下调的百分率；
（2）假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，李明准备购买一套100平方米的住房，他持有现金10万元，可以在银行贷款20万元，李明的愿望能否实现（房价每平方米按照均价计算）？
【答案】（1）设平均每年下调的百分率为x，
根据题意得 ，
解得 （舍），
所以平均每年下调的百分率为10%；
（2）
元
万元
∴能.
【解析】【分析】（1）此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程，利用直接开平方法求解并检验即可;
（2）首先根据a(1-x)n计算2016年的房价，再乘以房屋的面积得出购房需要付的总钱数，然后与李明准备的钱比较大小即可.
9．为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低.2022年这种药剂价格为200元，2024年该药剂价格为98元．
（1）求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率；
（2）该制药厂计划2025年对此药剂继续降价，并要求此种药剂的价格不低于73.5元，则此次价格的下降率最多是多少？
【答案】（1）2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为
（2）此次价格的下降率最多是
10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）若m是正整数，求关于x的方程x2﹣2x+m﹣1＝0的根.
【答案】（1）解：根据题意得：（﹣2）2﹣4（m﹣1）＞0，
解不等式得：m＜2
（2）解：由（1）得：m＜2
∵m为正整数，
∴m＝1，
把m＝1代入原方程得：x2﹣2x＝0，
解得：x1＝0，x2＝2
【解析】【分析】（1） 根据关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，可得判别式△＞0，据此解答即可；
（2）利用（1）结论及m为正整数，可得m＝1，从而可得方程x2﹣2x＝0， 利用因式分解法求解即可.
11． 2021年某市轨道交通1号线经过10月份的试运营，于11月正式开通运营.10月份客运量为120万人次，12月份客运量为172.8万人次
（1）求1号线客运量的月平均增长率；
（2）按照客运量这样的月增长率，预计1号线在2022年1月份的客运量能否突破200万人次．
【答案】（1）解：设1号线客运量的月平均增长率为x，则
解得（舍去）
答：1号线客运量的月平均增长率为20%．
（2）解：按照客运量这样的月增长率，1号线在2022年1月份的客运量为，
（万人次）（万人次）
答：预计1号线在2022年1月份的客运量能突破200万人次．
【解析】【分析】（1）设1号线客运量的月平均增长率为x，根据10月份的客运量×（1+平均增长率）2=12月份的客运量，列出方程并解之即可；
（2） 求出1号线在2022年1月份的客运量，然后与200比较即可.
12．端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（）元．
（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出 只粽子．
（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？
【答案】（1）
（2）当m为时，才能使商店每天销售该粽子获取的利润是420元并且卖出的粽子更多
13．某商场销售一种品牌羽绒服和防寒服，其中羽绒服的售价是防寒服售价的5倍还多100元，2014年1月份（春节前期）共销售500件，羽绒服与防寒服销量之比是4：1，销售总收入为58.6万元．
（1）求羽绒服和防寒服的售价；
（2）春节后销售进入淡季，2014年2月份羽绒服销量下滑了6m%，售价下滑了4m%，防寒服销量和售价都维持不变，结果销售总收入下降为16.04万元，求m的值．
【答案】（1）解：设防寒服的售价为x元，则羽绒服的售价为5x+100元，
∵2014年1月份（春节前期）共销售500件，羽绒服与防寒服销量之比是4：1，
∴羽绒服与防寒服销量分别为：400件和100件，
根据题意得出：400（5x+100）+100x＝58.6万，
解得：x＝260，
∴5x+100＝1400（元），
答：羽绒服和防寒服的售价为：1400元，260元；
（2）解：∵2014年2月份羽绒服销量下滑了6m%，售价下滑了4m%，防寒服销量和售价都维
持不变，
结果销售总收入下降为16.04万元，
∴400（1﹣6m%）×1400×（1﹣4m%）+100×260＝160400
解得：m1＝10，m2＝ （不合题意舍去），
答：m的值为10．
【解析】【分析】（1）根据题意求出羽绒服与防寒服销量，进而表示出两种服装的价格，再找出等量关系求出即可；
（2）根据题意表示出羽绒服的销量与价格，进而结合销售总收入下降为16.04万元得出等式求出即可．
14．为积极响应新旧动能转换．提高公司经济效益．某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位∶台)和销售单价(单位∶万元)成一次函数关系．
(1)求年销售量与销售单价的函数关系式；
(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润．则该设备的销售单价应是多少万元？
【答案】（1）；（2）该公可若想获得10000万元的年利润，此设备的销售单价应是50万元．
15．春节期间，佛山连锁超市派调查小组调查某种商品的销售情况，下面是调查后小李与其他两位成员交流的情况．
小李：“该商品的进价为50元/件．”
成员甲：“当定价为60元/件时，平均每天可售出800件．”
成员乙：“若售价每提高5元，则平均每天少售出100件．”
根据他们的对话，完成下列问题：
（1）若售价定为65元/件时，平均每天可售出 件；
（2）若超市希望该商品平均每天能盈利12000元，且尽可能扩大销售量，则该商品应该怎样定价？
【答案】（1）700
（2）解：设该商品应该定价为x元/件，
由题意得： ，解得： ， ，
∵尽可能扩大销售量，
∴ ，
答：该商品应该定价为70元/件．
【解析】【解答】解：（1）由题意得：800-（65-60）÷5×100=700（件）；
【分析】（1）根据题意，直接列出算式，即可求解；
（2）设该商品应该定价为x元/件，列出关于x的方程，进而即可求解．
16．已知关于x的一元二次方程x2－2mx＋2m－1＝0（m为常数）.
（1）若方程的一个根为0，求m的值和方程的另一个根；
（2）求证：不论m为何值，该方程总有实数根.
【答案】（1）解：把x＝0代入原方程，得2m－1＝0 ，
解得：m＝ .
∴x2-x＝0，
x1＝1，x2＝0.
∴另一个根是1.
（2）证明：b2－4ac＝4m2－4(2m－1)＝4m2－8m＋4，
∵4m2－8m＋4＝4 (m－1)2≥0.
∴对于任意的实数m，方程总有实数根.
【解析】【分析】（1）将已知方程的根代入原方程，求得m的值，然后将m的值代入原方程，再解方程即可；
（2）对于一元二次方程a x2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，方程没有实数根，故此题只要证出b2－4ac恒不小于0即可.
17．某企业集团为迎接2025年新年，计划给全体员工定制一批新的工装，该企业集团委托甲、乙两个厂家共同生产这批工装，根据调查统计，甲厂每小时能生产40套这种工装，乙厂每小时能生产50套这种工装
（1）若甲、乙两个工厂生产的时间共12小时，且生产工装的总套数不少于530套，则乙厂至少生产这种工装多少小时？
（2）原计划甲、乙两个工厂每天均生产8小时，但现在为了该企业集团的需求，两个工厂每天均需要增加生产时间，且甲厂增加的时间比乙厂增加的时间多2小时，因为甲厂机器损耗及人员不足的原因，甲厂每增加1小时，该厂每小时的产量将减少2套，乙厂每小时的产量保持不变，这样两个工厂每天生产的工装套数将比原计划多164套，求甲厂实际每天生产工装增加的时间
【答案】（1）乙厂至少生产工装小时
（2）甲厂实际每天生产工装增加的时间为小时
18．某汽车销售公司2017年10月份销售一种新型低能耗汽车20辆，由于该型号汽车经济适用性强，销量快速上升，12月份该公司销售该型号汽车达45辆．
（1）求11月份和12月份的平均增长率；
（2）该型号汽车每辆的进价为10万元，且销售a辆汽车，汽车厂队销售公司每辆返利0.03a万元，该公司这种型号汽车的售价为11万元/辆，若使2018年1月份每辆汽车盈利不低于2.6万元，那么该公司1月份至少需要销售该型号汽车多少辆？此时总盈利至少是多少万元？（盈利＝销售利润+返利）
【答案】（1）解：设11月份和12月份的平均增长率为x，
根据题意得：20（1+x）2＝45，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（舍去）．
答：11月份和12月份的平均增长率为50%．
（2）解：根据题意得：11﹣10+0.03a≥2.6，
解得：a≥53 ．
∵a为整数，
∴a≥54．
∴此时总盈利为54×（11﹣10+0.03×54）＝141.48（万元）．
答：该公司1月份至少需要销售该型号汽车54辆，此时总盈利至少是141.48万元．
【解析】【分析】（1）设11月份和12月份的平均增长率为x，根据该销售公司10月份及12月份的销售数量，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据盈利=销售利润+返利结合盈利不低于2.6万元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，结合a为整数即可得出a的最小值，再代入盈利=销售利润+返利可求出总盈利的最少值．
19．岳西县被誉为“中国茭白之乡”，该县某村今年种植12万千克的茭白，计划在A市和B市全部销售，若在A市销售，每千克茭白的利润为2元，若在B市销售，平均每千克茭白的利润y（元）与B市的销售量x（万千克）之间的关系满足：．
（1）若在A市销售茭白2万千克，则销售完这批茭白共获利多少万元；
（2）若该村销售完所有茭白共获利28.8万元，求B市销售茭白多少万千克；
（3）若在B市销售茭白m万千克与n万千克所获总利润相同，且，请直接写出m与n所满足的关系式：______．
【答案】（1）26万元
（2）B市销售茭白3万千克或8万千克
（3）
20．关于x的一元二次方程 有实根
（1）求m的取值范围；
（2）已知 等腰的底边长为4，另两边的长恰好是方程的两个根，求 的周长.
【答案】（1）解：依题意得： ，
，
，
所以m的取值范围是 ；
（2）解：由题意得： ，
，
此时方程 ，
解得： ，
，
所以3,3,4能构成等腰三角形.
所以周长为10.
【解析】【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝4（m＋1）2 4（m2＋5）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据等腰三角形的性质和判别式的意义得到△＝4（m＋1）2 4（m2＋5）＝0，解得m＝2，此时方程为x2 6x＋9＝0，然后解方程后计算三角形的周长.
21．某单位组织职工到“万绿湖”观光旅游，下面是领队与旅行社就收费标准的一段对话：
领队：组团去万绿湖旅行每人收费是多少？
旅行社：如果人数不超过人，人均费用为元．
领队：超过人呢？
旅行社：如果超过人，每增加1人，人均费用降低2元，但人均旅行费用不得低于元．
该单位组团旅游结束后，共支付元，则该单位参加旅游的共有多少人？
【答案】30人
22．如图所示，在平面直角坐标系中，点，连结，将线段绕点 顺时针旋转到，将点向左平移5个单位长度至点，连接．
（1）求点、点的坐标；
（2）将直线绕点顺时针旋转，交轴于点，求直线的函数表达式；
（3）现有一动点从出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动，运动时间为秒．请探究：当等于多少时，为等腰三角形．
【答案】（1）解：过、分别作、垂直于轴，垂足分别为，
将线段绕点 顺时针旋转到，
，
，
，
，，
，
由题意得，，
；
（2）解：直线绕点顺时针旋转，∴，
如图所示，设，分别交轴于点，则是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将点，，代入得：
，
解得： ，
即直线的解析式为；
（3）解：如图所示，
∵以每秒个单位长度的速度沿射线运动，运动时间为秒，则，
①当时，秒；
②当时，
设，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
，
秒；
③当时，则的横坐标为，
代入，得，
∴，
，
秒，
综上所述：或或秒．
【解析】【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的定义，勾股定理的应用，旋转的性质，因式分解法解一元二次方程，全等三角形的性质与判定，坐标与图形.（1）过、分别作、垂直于轴，垂足分别为，利用旋转的性质可得：，利用角的运算可得，利用全等三角形的判定定理AAS可证明，利用全等三角形的性质可得，，据此可求出的坐标，根据平移的性质得出的坐标；
（2）设，分别交轴于点，则是等腰直角三角形，根据点C的坐标可求出，进而可得，进而可求出，设直线的解析式为，再根据点，可列出方程组，解方程组可求出k和b的值，进而可求出直线的解析式；
（3）根据题意得出，分三种情况：，据此可列出对应的方程可求出对应的t的值，进而可求出答案.
（1）解：过、分别作、垂直于轴，垂足分别为，
将线段绕点 顺时针旋转到，
，
，
，
，，
，
由题意得，，
；
（2）解：直线绕点顺时针旋转，
∴，
如图所示，设，分别交轴于点，则是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将点，，代入得：
，
解得： ，
即直线的解析式为；
（3）解：如图所示，
∵以每秒个单位长度的速度沿射线运动，运动时间为秒，则，
①当时，秒；
②当时，
设，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
，
秒；
③当时，则的横坐标为，
代入，得，
∴，
，
秒，
综上所述：或或秒．
23．阅读与思考：
【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．
例如：求代数式的最小值．
，可知当时，有最小值，最小值是．
再例如：求代数式的最大值．
．可知当时，有最大值．最大值是．
（1）【直接应用】代数式的最小值为______；代数式的最大值为______；
（2）【类比应用】若多项式，试求的最小值；
（3）【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积．
【答案】（1）；13
（2）最小值为2018；
（3）围成的菜地的最大面积是．
24．一个运输公司有甲、乙两种货车，两次满载的运输情况如下表：
甲种货车辆数 乙种货车辆数 合计运货吨数
第一次 2 4 18
第二次 5 6 35
（1）求甲、乙两种货车每次满载分别能运输多少吨货物；
（2）现有一批重34吨的货物需要运输，而甲、乙两种货车运输的保养费用分别为80元/辆和40元/辆.公司打算由甲、乙两种货车共10辆来完成这次运输，为了使保养费用不超过700元，公司该如何安排甲、乙两种货车来完成这次运输任务.
【答案】（1）解：设甲车每辆运输x吨，乙车每辆运输y吨
解得
答：甲车每辆运输4吨，乙车每辆运输2.5吨。
（2）解：设安排甲车a辆，则乙车（10 a）辆
解得
∵a是整数
∴a可以取的整数是6，7
答：公司可以安排甲车6辆，乙车4辆或甲车7辆，乙车3辆
【解析】【分析】（1）设甲、乙每辆车分别运输x吨和y吨，根据运货总吨数=单车运量×车辆数，在第一次和第二次的两种情况下分别列二元一次方程，组成方程组，解方程组即可。
（2）设安排甲车为a辆，则乙车为（10-a）辆，根据单车运量×车辆数不少于34吨，单车保养费用×车辆数不超过700元，分别列一元一次不等式，组成不等式组，解不等式组，在解集中取整数，即可制定出安排方案。
25．某商场在“五一节”的假日里实行让利销售，全部商品一律按九销售，这样每天所获得的利润恰好是销售收入的25%．如果第一天的销售收入5万元，且每天的销售收入都有增长，第三天的利润是1.8万元，
（1）求第三天的销售收入是多少万元？
（2）求第二天和第三天销售收入平均每天的增长率是多少？
【答案】（1）解：1.8÷25%＝7.2(万元)．
答：第三天的销售收入是7.2万元．
（2）解：设第二天和第三天销售收入平均每天的增长率是x，
依题意，得：5(1+x)2＝7.2，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2(不合题意，舍去)．
答：第二天和第三天销售收入平均每天的增长率是20%．
【解析】【分析】（1）利用第三天的销售收入＝第三天的利润÷销售利润占销售收入的比例，即可求出结论；（2）设第二天和第三天销售收入平均每天的增长率是x，根据第一天及第三天的销售收入，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
26．2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”.
（1）据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增长率相同，四月份该工厂生产了720个“冰墩墩”，求该工厂平均每月生产量增长率是多少？
（2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件.如果每天要盈利1440元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？
【答案】（1）解：设该工厂平均每月生产量的增长率为，
依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）.
答：该工厂平均每月生产量的增长率为.
（2）解：设每个“冰墩墩”降价y元，则每个盈利元，平均每天可售出个，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）.
答：每个“冰墩墩”应降价4元.
【解析】【分析】（1）设该工厂平均每月生产量的增长率为x，由题意可得三月份共生产500(1+x)个“冰墩墩”， 四月份共生产500(1+x)2个“冰墩墩”，然后根据四月份该工厂生产了720个“冰墩墩”建立方程，求解即可；
（2）设每个“冰墩墩”降价y元，则每个盈利(40-y)元，平均每天可售出(20+5y)个，根据每天的销售量×每个的利润=总利润结合题意可得关于y的方程，求解即可.
27．如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的橱栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设选栏BC长为x米.
（1）AB＝ 米（用含x的代数式表示）；
（2）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求橱栏BC的长；
（3）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值；若不可能，则说明理由.
【答案】（1）（51-3x）
（2）解：依题意，得：（51-3x）x=210，
整理，得：x2-17x+70=0，
解得：x1=7，x2=10.
当x=7时，AB=51-3x=30＞25，不合题意，舍去，
当x=10时，AB=51-3x=21，符合题意，
答：篱笆BC的长为10米；
（3）解：不可能，理由如下：
依题意，得：（51-3x）x=240，
整理得：x2-17x+80=0，
∵△=（-17）2-4×1×80=-31＜0，
∴方程没有实数根，
∴矩形鸡舍ABCD面积不可能达到240平方米.
【解析】【解答】解：（1）设篱笆BC长为x米，
∵篱笆的全长为49米，且中间共留两个1米的小门，
∴AB=49+2-3x=51-3x（米），
故答案为：（51-3x）；
【分析】（1）设篱笆BC长为x米，结合矩形的性质和图形可得AB=49+2-3x=51-3x；
（2）根据矩形面积计算方法结合其面积建立方程，求解并检验即可得出答案；
（3）根据矩形面积计算方法结合其面积建立方程，进而根据方程根的判别式进行判定即可得出答案.
28．经预算，某工厂从2022年1月份起，每月生产收入是22万元，但在生产过程中会引起环境污染，若再按现状生产，将会受到环境部门的处罚，每月罚款2万元；如果投资85万元治理污染，治污系统可在2022年1月份启用，这样，该厂不但不受处罚，还可降低生产成本，使1月至3月份的生产收入以相同的百分率逐月增长．经预算，投资治污后，1月份生产收入为25万元，3月份的生产收入可达36万元.3月份以后，每月的生产收入稳定在3月份的水平．
（1）求出投资治污后，2月和3月每月生产收入增长的百分率；
（2）如果利润看作是生产累计收入减去治理污染的投资和环境部门的罚款，试问：治理污染多少个月后，所投资金开始见成效？即治污多少个月后所获利润不小于不治污情况下所获利润）
【答案】（1）解：设投资治污后，2月和3月每月生产收入增长的百分率为x，
由题意得： ，
解得 ，
∴投资治污后，2月和3月每月生产收入增长的百分率为20%；
（2）解：设治理污染y个月后，所投资金开始见成效，
根据（1）所求可得治理污染后2月份的生产收入是 万元，
∴治理污染后3月份的生产收入是 万元，
∴治理污染后，前三个月的总收入为 万元，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∵y是整数，
∴治理污染7个月后，所投资金开始见成效，
答：治理污染7个月后，所投资金开始见成效．
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再解方程即可；
（2）根据题意先求出 ， 再计算求解即可。
29．如图，在矩形中，，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动．
（1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？
（2）若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？
【答案】（1）解：过点P作 于E，
设x秒后，点P和点Q的距离是 ．
，
∴ ， ；
∴经过 或 ，P、Q两点之间的距离是 ；
（2）解：连接 ．设经过 后△PBQ的面积为 ．
①当 时， ，
∴ ，即 ，
解得 ；
②当 时， ，
则 ，
解得 （舍去）；
③ 时， ，
则 ，
解得 （舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒， 的面积为 ．
【解析】【分析】（1）过点P作PE⊥CD于E，构造直角三角形，利用勾股定理即可求得；
（2）根据点P的三个位置进行分类讨论，表示出△PBQ的底和高，代入面积公式即可求得
30．为建设美丽家园，某企业逐年增加对环境保护的经费投入，2012年投入了400万元，预计到2014年将投入576万元.
（1）求2012年至2014年该单位环保经费投入的年平均增长率；
（2）该单位预计2015年投入环保经费不低于680万元，若继续保持前两年的年平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由.
【答案】（1）解：设2012年至2014年该单位投入环保经费的年平均增长率为
根据题意，得
解得 （不合题意，舍去）
答：2012年至2014年该单位投入环保经费的年平均增长率为20%
（2）解：∵
∴该目标能实现
【解析】【分析】（1）设2012年至2014年该单位投入环保经费的年平均增长率为x，根据2012年投入经费×（1+x）2=2014年投入经费列出方程，解出方程并检验即可；
（2）利用（1）结论求出2015年的经费，然后与680万元进行比较即可.
31．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x12+x22＝8﹣3x1x2，求m的值.
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根.
∴Δ＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4m2＝4﹣8m≥0，
解得： .
（2）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0的两个根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝2m﹣2，x1 x2＝m2，
∵x12+x22＝8﹣3x1x2，
∴（x1+x2）2﹣2x1 x2＝8﹣3x1x2，即5m2﹣8m﹣4＝0，
解得：m1＝ ，m2＝2（舍去），
∴实数m的值为 .
【解析】【分析】（1）一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）中，当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时；方程没有实数根，据此可得Δ≥0，代入求解可得m的范围；
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2＝2m-2，x1 x2＝m2，然后根据x12+x22＝8-3x1x2结合完全平方公式就可求出m的值.
32．如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的 ．
（1）求配色条纹的宽度；
（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．
【答案】（1）解：设条纹的宽度为x米．依题意得
2x×5+2x×4﹣4x2= ×5×4，
解得：x1= （不符合，舍去），x2= ．
答：配色条纹宽度为 米
（2）解：条纹造价： ×5×4×200=850（元）
其余部分造价：（1﹣ ）×4×5×100=1575（元）
∴总造价为：850+1575=2425（元）
答：地毯的总造价是2425元
【解析】【分析】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．（1）设条纹的宽度为x米，根据等量关系：配色条纹所占面积=整个地毯面积的 ，列出方程求解即可；（2）根据总价=单价×数量，可分别求出地毯配色条纹和其余部分的钱数，再相加即可求解．
33．惠农商场于今年五月份以每件30元的进价购进一批商品.当商品售价为40元时，五月份销售256件.六、七月该商品十分畅销.销售量持续走高.在售价不变的基础上，7月份的销售量达到400件.设六、七这两个月月平均增长率不变.
（1）求六、七这两个月的月平均增长率；
（2）从八月份起，商场采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价0.5元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利2640元？
【答案】（1）解：设六、七这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：
256(1+x)2＝400，
解得：x1＝0.25，x2＝﹣2.25(不合题意舍去).
答：六、七这两个月的月平均增长率为25%；
（2）解：设当商品降价m元时，商品获利2640元，根据题意可得：
(40﹣30﹣m)(400+10m)＝2640，
解得：m1＝4，m2＝﹣34(不合题意舍去).
答：当商品降价4元时，商品获利2640元.
【解析】【分析】(1)由题意可得，五月份的销售量为：256件；设六、七这两个月的月平均增长率为x，则六月份的销售量为：256(1+x)；七月份的销售量为：256(1+x)2，又知七月份的销售量为：400件，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；(2)设当商品降价m元时，商品获利2640元，利用销量×每件商品的利润＝2640列出方程求出即可.
34．关于x的方程mx2﹣x﹣m+1＝0，有以下三个结论：
①当m＝0时，方程只有一个实数解；
②当m≠0时，方程有两个不相等的实数解；
③无论m取何值，方程都有一个整数根.
（1）请你判断，这三个结论中正确的有 (填序号)
（2）证明(1)中你认为正确的结论.
【答案】（1）①③
（2）证明①：∵当m＝0时，方程为﹣x+1＝0，得x＝1，
∴方程只有一个实数解；
证明②：∵当m≠0时，方程为一元二次方程
∴△＝1﹣4m(﹣m+1)＝1+4m2﹣4m＝(2m﹣1)2≥0，
∴x1=1，x2= ，
又∵当m＝0时，方程解为x＝1
∴无论m取何值，方程都有一个整数根x＝1，
即②错误，③正确
【解析】【解答】（1）解：这三个结论中正确的有①③，
故答案为：①③
【分析】（1）当m＝0时该方程为一元一次方程，故只有一个实数根为x=1；当 m≠0时 ，该方程是关于x的一元二次方程，其根的判别式为：1+4m2-4m=(1-2m)2≥0，故方程有两个实数解为x1=1,x2= ；综上所述即可判断出答案；
（2）把m=0代入方程，求解方程的解；当m≠0的时候，算出该方程根的判别式的值，根据偶数次幂的非负性判断出方程有两个实数解，进而利用求根公式算出方程的两个实数根，通过综合比较即可得出结论。
35．解方程：
（1） 用配方法解
（2） 用适当的方法解
【答案】（1）解： ，
，
，
，
，
， ，
故 或
（2）解： ，
，
，
，
， ，
故 ，
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式，利用配方法解出方程即可。
（2）根据解一元二次方程的步骤进行因式分解，计算得到答案即可。
36．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价a元，则平均每天销售数量为 件．（用含a的代数式表示）
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元．
【答案】（1）
（2）解：设每件商品降价 元，
根据题意得： ，
解得： ，
（符合题意）
（舍去）
答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
【解析】【解答】解：（1）∵销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，
∴销售单价降低a元，平均每天可多售出2a件，
∴平均每天销售数量为 件，
故答案为：
【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，列出代数式即可；（2）设每件商品降价x元，根据总利润=单件利润×销售量列出方程即可解答．
37．一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，且两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
【答案】每次降价的百分率为
38．已知关于x的一元二次方程
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值．
【答案】（1）证明：关于的一元二次方程，
∴，，，
∴，
∵，即，
∴不论为何值，方程总有实数根；
（2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴，整理，得，解得，，
∴m的值为或．
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的情况与判别式的关系即可求解；
（2）先根据一元二次方程根与系数的关系即可得到，，再结合题意即可得到，进而即可得到一个关于m的一元二次方程，进而即可求解。
39．果农李明种植的草莓计划以每千克15元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．李明为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克9.6元的单价对外批发销售．
（1）求李明平均每次下调的百分率；
（2）小刘准备到李明处购买3吨该草莓，因数量多，李明决定再给予两种优惠方案以供其选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金400元．试问小刘选择哪种方案更优惠，请说明理由．
【答案】（1）解：设平均每次下调的百分率为x．
由题意，得15（1﹣x）2=9.6．
解这个方程，得x1=0.2，x2=1.8．
因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.8不符合题意，
符合题目要求的是x1=0.2=20%．
答：平均每次下调的百分率是20%
（2）解：小刘选择方案一购买更优惠．
理由：方案一所需费用为：9.6×0.9×3000=25920（元），
方案二所需费用为：9.6×3000﹣400×3=27600（元）．
∵25920＜27600，
∴小刘选择方案一购买更优惠
【解析】【分析】（1）设出平均每次下调的百分率，根据从15元下调到9.6列出一元二次方程求解即可；（2）根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得到结果．
40．解下列方程：
（1）2（x﹣3）2=x2﹣9；
（2）2x2﹣3x+1=0．
【答案】（1）解：将方程变形为：2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）=0，
（x﹣3）（2x﹣6﹣x﹣3）=0，
即（x﹣3）（x﹣9）=0，
解得x1=9，x2=3
（2）解：由原方程得：（x﹣1）（2x﹣1）=0，
∴
【解析】【分析】（1）先移项，然后利用提取公因式法对等式的左边进行因式分解；（2）利用“十字相乘法”对等式的左边进行因式分解．
41．每年6月，学校门口的文具店都会购进毕业季畅销商品进行销售．已知校门口“小光文具店“在5月份就售出每本8元的A种品牌同学录90本，每本10元的B种品牌同学录175本．
（1）某班班长帮班上同学代买A种品牌和B种品牌同学录共27本，共花费246元，请问班长代买A种品牌和B种品牌同学录各多少本？
（2）该文具店在6月份决定将A种品牌同学录每本降价3元后销售，B种品牌同学录每本降价a%（a＞0）后销售．于是，6月份该文具店A种品牌同学录的销量比5月份多了a%，B种品牌同学录的销量比5月份多了（a+20）%，且6月份A、B两种品牌的同学录的销售总额达到了2550元，求a的值．
【答案】（1）班长代买A种品牌同学录12本，B种品牌同学录15本；（2）a的值为20．
42．方方同学在寒假社会调查实践活动中，对某罐头加工厂进行采访，获得了该厂去年的部分生产信息如下：
①该厂一月份罐头加工量为a吨；
②该厂三月份的加工量比一月份增长了44％；
③该厂第一季度共加工罐头182吨；
④该厂二月、三月加工量每月按相同的百分率增长；
⑤该厂从四月份开始设备整修更新，加工量每月按相同的百分率开始下降；
⑥六月份设备整修更新完毕，此月加工量为一月份的2.1倍，与五月份相比增长了46.68吨．
利用以上信息求：
（1）该厂第一季度加工量的月平均增长率；
（2）该厂一月份的加工量a的值；
（3）该厂第二季度的总加工量．
【答案】（1）解：设第一季度加工量的月平均增长率为x，
由题意得 ，
解得 ， (不合题意舍去)，
∴第一季度加工量的月平均增长率为20%
（2）解：由题意得 ，
解得a＝50
（3）解：六月份产量为50×2.1＝105吨．
五月份产量为105－46.68＝58.32吨．
设从三月到五月逐月下降的百分率为y，
由题意得 ，
解得 ， (不合题意舍去)，
∴从三月到五月逐月下降的百分率为10%．
∴四月产量为72×0.9＝64.8吨，
∴第二季度总产量为64.8＋58.32＋105＝228.12吨．
【解析】【分析】（1） 设第一季度加工量的月平均增长率为x，由该厂三月份的加工量比一月份增长了44％；列出方程，解之即可求得答案.
（2）该厂第一季度共加工罐头182吨； 由此列出方程，解之即可求得a值.
（3） 根据六月份产量为一月份的2.1倍求得六月份产量，六月份与五月份相比增长了46.68，由此列出等式求得五月份产量，设从三月到五月逐月下降的百分率为y，根据题意列出方程，解之求得从三月到五月逐月下降的百分率，从而求得四月产量，从而求得第二季度总产量.
43．已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）k取最大整数时求方程的根．
【答案】（1）解：∵关于x的方程有两个实数根，
∴，
解得：，且
（2）解：当时，方程为：，即，
解得：
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再求解即可；
（2）先求出 ， 再求出 ， 最后解方程即可。
44．水果店张阿姨以每千克2元的价格购进柑桔若干千克，以每千克4元的价格出售，每天可售出50千克，通过调查发现，这种柑桔每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出10千克，为保证每天至少售出130千克，张阿姨决定降价销售.
（1）若将柑桔每千克的售价降低x元，则每天的销售量是 千克（用含x的代数式表示）；
（2）要想销售柑桔每天盈利150元，张阿姨需将每千克的售价降低多少元？
【答案】（1）50+100x
（2）解：
解得：
∵
∴
∴张阿姨需将每千克的售价降低0.8元.
【解析】【解答】（1）解： 若将柑桔每千克的售价降低x元 ，则每天售出的数量为：50+=50+100x(千克）；
故答案为：50+100x；
【分析】（1）由销售量＝原来销售量＋下降销售量列式即可；
（2）根据销售量×每千克利润＝总利润列出方程求解即可，再根据 保证每天至少售出130千克 进行检验即可得出答案.
45．已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣6x+8＝0.
（1）若方程的一个根为x＝﹣1，求a的值；
（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值；
（3）请为a选取一个合适的整数，使方程有两个整数根，并求这两个根.
【答案】（1）解：∵方程（a﹣3）x2﹣6x+8＝0的一个根为x＝﹣1，
∴a﹣3+6+8＝0，
∴a＝﹣11；
（2）解：∵关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣6x+8＝0有实数根，
∴△≥0，且a≠3，
∴36﹣32（a﹣3）≥0，
解得a，
∵a是正整数，
∴a＝1或2或4；
（3）解：当a＝4时，方程x2﹣6x+8＝0，
∴（x﹣2）（x﹣4）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣4＝0，
解得x＝2或x＝4.
【解析】【分析】（1）根据方程解的概念，将x=-1代入方程中求解就可得到a的值；
（2）根据方程有实数根可得△≥0且a≠3， 代入求解可得a的范围，结合a为正整数可得a的值；
（3）令a=4，代入方程中，利用因式分解法就可得到方程的两个根.
46．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B在x轴的正半轴上．∠OAB=90°且OA=AB，OB，OC的长分别是一元二次方程 的两个根（OB＞OC）．
（1）求点A和点B的坐标．
（2）点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O，B重合），过点P的直线l与y轴平行，直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R．设点P的横坐标为t，线段QR的长度为m．已知t=4时，直线l恰好过点C．当0＜t＜3时，求m关于t的函数关系式．
（3）当m=3.5时，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）解：∵方程 的解为 =5， =6，
∴OB=6，OC=5，
∴B点坐标为（6，0），
作AM⊥x轴于M，如图，
∵∠OAB=90°且OA=AB，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴OM=BM=AM= OB=3，
∴A点坐标为（3，3）；
（2）解：作CN⊥x轴于N，如图，
∵t=4时，直线l恰好过点C，
∴ON=4，在Rt△OCN中，CN= = =3，
∴C点坐标为（4，﹣3），
设直线OC的解析式为y=kx，把C（4，﹣3）代入得4k=﹣3，解得k= ，
∴直线OC的解析式为 ，设直线OA的解析式为y=ax，
把A（3，3）代入得3a=3，解得a=1，
∴直线OA的解析式为y=x，
∵P（t，0）（0＜t＜3），
∴Q（t，t），R（t， t），
∴QR=t﹣（ t）= t，即m= t（0＜t＜3）；
（3）解：设直线AB的解析式为y=px+q，把A（3，3），B（6，0）代入得： ，解得： ，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+6，
同理可得直线BC的解析式为 ；
当0＜t＜3时，m= t，
若m=3.5，则 t=3.5，
解得t=2，此时P点坐标为（2，0）；
当3≤t＜4时，Q（t，﹣t+6），R（t， t），
∴m=﹣t+6﹣（ t）= t+6，
若m=3.5，则 t+6=3.5，
解得t=10（不合题意舍去）；
当4≤t＜6时，Q（t，﹣t+6），R（t， ），
∴m=﹣t+6﹣（ ）= t+15，
若m=3.5，则 t+15=3.5，解得t= ，
此时P点坐标为（ ，0），
综上所述，满足条件的P点坐标为（2，0）或（ ，0）．
【解析】【分析】（1）先利用因式分解法解方程 可得到OB=6，OC=5，则B点坐标为（6，0），作AM⊥x轴于M，如图，利用等腰直角三角形的性质得OM=BM=AM= OB=3，于是可写出B点坐标；（2）作CN⊥x轴于N，如图，先利用勾股定理计算出CN得到C点坐标为（4，﹣3），再利用待定系数法分别求出直线OC的解析式为 ，直线OA的解析式为y=x，则根据一次函数图象上点的坐标特征得到Q（t，t），R（t， t），所以QR=t﹣（ t），从而得到m关于t的函数关系式．（3）利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=﹣x+6，直线BC的解析式为 ，然后分类讨论：当0＜t＜3时，利用 t=3.5可求出t得到P点坐标；
当3≤t＜4时，则Q（t，﹣t+6），R（t， t），于是得到﹣t+6﹣（ t）=3.5，解得t=10，不满足t的范围舍去；当4≤t＜6时，则Q（t，﹣t+6），R（t， ），所以﹣t+6﹣（ ）=3.5，然后解方程求出t得到P点坐标．
47．某企业为响应国家教育扶贫的号召，决定对某乡镇全体贫困初、高中学生进行资助，初中学生每月资助200元，高中学生每月资助300元.已知该乡受资助的初中学生人数是受资助的高中学生人数的2倍，且该企业在2018年下半年7﹣12月这6个月资助学生共支出10.5万元.
（1）问该乡镇分别有多少名初中学生和高中学生获得了资助？
（2）2018年7﹣12月期间，受资助的初、高中学生中，分别有30%和40%的学生被评为优秀学生，从而获得了该乡镇政府的公开表扬.同时，提供资助的企业为了激发更多受资助学生的进取心和学习热情，决定对2019年上半年1﹣6月被评为优秀学生的初中学生每人每月增加a%的资助，对被评为优秀学生的高中学生每人每月增加2a%的资助.在此奖励政策的鼓励下，2019年1﹣6月被评为优秀学生的初、高中学生分別比2018年7﹣12月的人数增加了3a%、a%.这样，2019年上半年评为优秀学生的初、高中学生所获得的资助总金额一个月就达到了10800元，求a的值.
【答案】（1）10.5万元＝105000元
设该乡镇有 名高中学生获得了资助，则该乡镇有 名初中学生受到资助，由题意得：
解得：
∴
∴该乡镇分别有50名初中学生和25名高中学生获得了资助.
（2）由题意得：
∴
设 ，则方程化为：
∴
解得 （舍）或
∴ .
【解析】【分析】（1）先将10.5万元化为105000元，设该乡镇有 名高中学生获得了资助，则该乡镇有2x名初中学生受到资助，由资助高中生的费用+资助初中生的费用=105000列出一元一次方程，求解即可；
（2）以“2019年上半年评为优秀学生的初、高中学生所获得的资助总金额一个月就达到了10800元”为等量关系，列出方程，然后设a%＝t，化为关于t的一元二次方程，求解出t，再根据a%＝t，求得a即可.
48．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为250元，每桶水的进价是5元，规定销售单价不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶，调查发现日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数图象如图所示．
（1）求日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数关系；
（2）若该经营部希望日均获利1350元，请你根据以上信息，就该桶装水的销售单价或销售数量，提出一个用一元二次方程解决的问题，并写出解答过程．
【答案】（1）（2）若该经营部希望日均获利1350元，那么日均销售400桶水．
49．已知点 、 在反比例函数 的图象上，直线 经过点 、 ，且与 轴、 轴的交点分别为 、 两点．
（1）求直线 的解析式；
（2） 为坐标原点，点 在直线上（点 与点 不重合）， ，求点 的坐标；
（3）在（2）的条件下，点 在坐标平面上，顺次联结点 、 、 、 的四边形 满足： ， ，求满足条件的点 坐标．
【答案】（1）解：由题意可得： ， ，
把P、Q坐标代入y=kx+b可得：
，
解之可得：k=-1，b=6，
∴直线 的解析式为 ： ；
所以 ，
（2）解：设 ， ．
， （舍）， ．
（3）解： ，
∴OD的解析式为： ．
设 ，
∴ ，
即 ，
∴ ， ，
∴ ，
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出 k=-1，b=6， 再求直线解析式和点的坐标即可；
（2）根据AB=AC列方程计算求解即可；
（3）先求出 ， 再求出 ， ， 最后求点的坐标即可。
50．小明在解决问题：已知a＝ ，求2a2－8a＋1的值，他是这样分析与解答的：
因为a＝ ＝ ＝2－ ，
所以a－2＝－ .
所以(a－2)2＝3，即a2－4a＋4＝3.
所以a2－4a＝－1.
所以2a2－8a＋1＝2(a2－4a)＋1＝2×(－1)＋1＝－1.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算： = － .
（2）计算： ＋…＋ ；
（3）若a＝ ，求4a2－8a＋1的值.
【答案】（1）；1
（2）解：原式
=9
（3）解： ，
则原式 ，
当 时，原式 .
【解析】【解答】解：(1)计算： ；
故答案为：,1；
【分析】（1） 进行分母有理化即可得出答案；
（2）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类项二次根式即可求解；
（3）首先利用分母有理化化简 ，然后把所求的式子化成 代入求解即可.
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