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第1章 解直角三角形 单元综合能力突破卷
一、单选题
1.如图,点A为∠α边上任意一点,作AC⊥BC于点C,CD⊥AB于点D,下列用线段比表示cosα的值,错误的是( )
A. B. C. D.
2.计算的值( )
A.3 B.1 C. D.
3.如图,在网格正方形中,每个小正方形的边长为1,顶点为格点,若的顶点均是格点,则的值是( )
A. B. C. D.
4.用计算器求 的值,按键顺序是( )
A. B. C. D.
5.如图,小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发,他们的速度分别是3m/s和4m/s,则20s后他们之间的距离为( )
A.80m B.100m C.120m D.140m
6.如图,斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1:2,AC=3 米,坡顶有旗杆BC,旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连.若AB=10米,则旗杆BC的高度为( )
A.5米 B.6米
C.8米 D.(3+ )米
7.已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=50°,AB=2,则AC=( )
A.2sin50° B.2sin40° C.2tan50° D.2tan40°
8.如图,河岸AD、BC互相平行,桥AB垂直于两岸,从C处看桥的两端A、B,夹角∠BCA=50度,测得BC=45m,则桥长AB=( )m.
A. B.45 cos50° C. D.45 tan50°
9.如图是一张高脚木凳,AC∥EF∥GH,AB=CD,点E,G是AB的三等分点,已知EF与GH之间的距离为25cm,∠EGH=80°,则椅脚AB的长度为 cm( )
A. B.75sin80° C. D.
10.如图,矩形 中, ,将矩形 绕点 旋转得到矩形 ,使点 的对应点 落在 上, 交 于点 ,在 上取点 ,使 .若 ,则 的长为( )
A. B. C. D.
二、填空题
11.sin60°的相反数是
12.为解决停车难得问题,在如图一段长56米的路段开辟停车位,每个车位是长5米、宽2.2米的矩形,矩形的边与路的边缘成45°角,那么这个路段最多可以划出 个这样的停车位( )
13.如图,为了测量河的宽度AB,测量人员在高26m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°,测得河对岸A处的俯角为30°(A、B、C在同一条直线上),则河的宽度AB是 米(结果保留根号)
14.如图,一艘渔船向东航行,8点到达O处,灯塔A在其北偏东60°方向,距离16海里,10点到达B处,灯塔A在其正北方向,此时渔船与灯塔A相距 海里.
15.如图,已知中,,以为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为 .
16.如图1装有水的水槽放置在水平台面上,其横截面是以为直径的半圆,,为水面截线,为台面截线,.
(1)在图1中,过点作于点,若,则 ;
(2)如图2,将图1中的水槽沿向右作无滑动的滚动,但不能使水溢出,则的最大长度为 .(参考数据:,结果保留)
三、综合题
17.如图,某大厦“五一”期间,在滨海大道一侧的室外悬挂了一幅巨型竖直广告.小明进行实地测量时,从大厦底部的C处沿水平方向步行米到达自动扶梯底端点D,在D处测得条幅下端B的仰角为;接着他沿自动扶梯到达扶梯顶端点E,测得电梯的长是米,且与地面的夹角为,然后他从点E处沿水平方向行走了米到达点F处,在点F处测得条幅上端A的仰角为.(参考数据:,,,)
(1)填空:______°,______(用含根号的式子表示);
(2)求点E离地面的高度;
(3)求AB的长度(精确到个位).
18.如图1所示,某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段至山谷点处,再从点处沿线段至山坡②的山顶点处.如图2所示,将直线视为水平面,山坡①的坡角,其高度为0.6千米,山坡②的坡度,于,且千米.
(1)求的度数;
(2)求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程.
19.如图①,一台灯放置在水平桌面上,底座AB与桌面垂直,底座高AB=5cm,连杆BC=CD=20cm,BC,CD与AB始终在同一平面内.
(参考数据:sin37°=0.6,cos37°=0.8,tan37°=0.75)
(1)如图②,转动连杆BC,CD,使∠BCD成平角,∠ABC=143°,求连杆端点D离桌面l的高度DE.
(2)将图②中的连杆CD再绕点C逆时针旋转16°,如图③,此时连杆端点D离桌面l的高度减小了 cm.
20.如图,AB是⊙O的直径,D、E为⊙O上位于AB异侧的两点,连接BD并延长至点C,使得CD=BD,连接AC交⊙O于点F,连接AE、DE、DF.
(1)求证:∠E=∠C;
(2)若DF=6cm,cosB= ,E是弧AB的中点,求DE的长.
21.我市的白沙岛是众多海钓人的梦想之地.小明的爸爸周末去白沙岛钓鱼,将鱼竿AB摆成如图1所示.已知AB=4.8m,鱼竿尾端A离岸边0.4m,即AD=0.4m.海面与地面AD平行且相距1.2m,即DH=1.2m.
(参考数据:sin37°=co553° ,cos37°=sin53° ,tan37° ,sin22° ,cos22° ,tan22° )
(1)如图1,在无鱼上钩时,鱼竿AB与地面AD的夹角∠BAD=22°,海面上方的鱼线BC与海面HC成一定角度.求点B到海面HC的距离;
(2)如图2,在有鱼上钩时,鱼竿与地面的夹角∠BAD=53°,此时鱼线被拉直,鱼线BO=5.46m,点O恰好位于海面.求点O到岸边DH的距离.
22.你还记得小时候的竹椅子么?一款老式竹编靠背椅的尺寸如图1(单位: ),如图2是它的侧面示意图,坐高 ,宽 ,背长 ,总高 .
(1)求 的值.
(2)现需特制一款椅子,保持总高不变,现要求靠背的倾斜角从 调整为 ,已知 ,则将横档 长度保持不变直接向下调整多少厘米即可?
参考数据: , ,
23.如图,某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度.如图所示,一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为,无人机沿水平线方向继续飞行米至处,测得正前方河流右岸处的俯角为.线段的长为无人机距地面的铅直高度,点在同一条直线上.其中,米.
(1)求无人机的飞行高度;(结果保留根号)
(2)求河流的宽度.(结果保留根号)
24.
(1)【问题提出】如图1,在四边形ABCD中,,,点E为AB延长线上一点,连接EC并延长,交AD的延长线于点F,则的度数为 °;
(2)【问题探究】如图2,在Rt△ABC中,,点D、E在直线BC上,连接AD、AE,若,,求△ADE面积的最小值;
(3)【问题解决】近日,教育部印发了《义务教育课程方案和课程标准(2022年版)》,此次修订中增加的跨学科主题学习活动,突破学科边界,鼓励教师开展跨学科教研,设计出主题鲜明、问题真实的跨学科学习活动.为此,某校欲将校园内一片三角形空地ABC(如图3所示)进行扩建后作为跨学科主题学习活动中心,在AB的延长线上取一点D,连接DC并延长到点E,连接AE,已知,米,,为节约修建成本,需使修建后△ADE的面积尽可能小,问△ADE的面积是否存在最小值?若存在,求出其最小面积;若不存在,请说明理由.
25.如图1,△ABC中,∠B=30°,点D在BA的延长线上,点E在BC边上,连接DE,交AC于点F.若∠EFC=60°,DE=2AC,求 的值.某学习小组的同学经过思考,交流了自己的想法:
小明:“通过观察和度量,发现∠C与∠D存在某种数量关系”;
小强:“通过构造三角形,证明三角形相似,进而可以求得 的值.
老师:如图2,将原题中“点D在BA的延长线上,点E在BC边上”改为“点D在AB边上,点E在BC的延长线上”,添加条件“BC=5 ,EC=4 ”,其它条件不变,可求出△BED的面积.
请回答:
(1)用等式表示∠C、∠D的数量关系并证明;
(2)求 的值;
(3)△BDE的面积为 (直接写出答案).
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第1章 解直角三角形 单元综合能力突破卷
一、单选题
1.如图,点A为∠α边上任意一点,作AC⊥BC于点C,CD⊥AB于点D,下列用线段比表示cosα的值,错误的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【解答】解:cosα= = = .
故答案为:D.
【分析】根据余弦三角函数的定义及等角的同名三角函数相等进行判断即可。
2.计算的值( )
A.3 B.1 C. D.
【答案】A
【解析】【解答】解:.
故答案为:A.
【分析】直接将30°角的余弦值代入计算即可.
3.如图,在网格正方形中,每个小正方形的边长为1,顶点为格点,若的顶点均是格点,则的值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【解答】解:如图,利用格点作交的延长线于点D,
则,,
因此,
故答案为:A.
【分析】利用格点作交的延长线于点D,先利用勾股定理求出AB的长,再利用正弦的定义可得的答案。
4.用计算器求 的值,按键顺序是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【解答】解:先按键“ ”,再输入角的度数 ,按键“=”即可得到结果,
故答案为:B.
【分析】根据用计算器求解三角函数值的按键顺序可知先按三角函数的名称sin,再输入角度,最后按=即可.
5.如图,小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发,他们的速度分别是3m/s和4m/s,则20s后他们之间的距离为( )
A.80m B.100m C.120m D.140m
【答案】B
【解析】【解答】解:∵∠APB=180°-60°-30°=90°,PA=3×20=60(m),PB=4×20=80(m),
∴(m),
答:20s后他们之间的距离为100m.
故答案为:B.
【分析】根据平角的概念可得∠APB=180°-60°-30°=90°,由题意可得PA=3×20=60m,PB=4×20=80m,然后利用勾股定理进行计算.
6.如图,斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1:2,AC=3 米,坡顶有旗杆BC,旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连.若AB=10米,则旗杆BC的高度为( )
A.5米 B.6米
C.8米 D.(3+ )米
【答案】A
【解析】【解答】解: 设CD=x,则AD=2x,
由勾股定理可得,AC= = x,
∵AC=3 米,
∴ x=3 ,
∴x=3米,
∴CD=3米,
∴AD=2×3=6米,
在Rt△ABD中,BD= =8米,
∴BC=8﹣3=5米.
故答案为:A
【分析】设CD=x,则AD=2x,利用勾股定理表示出AC,再由已知AC的值,求出x的值,再由勾股定理求出BD的值,即可得BC的值.
7.已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=50°,AB=2,则AC=( )
A.2sin50° B.2sin40° C.2tan50° D.2tan40°
【答案】B
【解析】【解答】解:∠B=90°﹣∠A=90°﹣50°=40°,
又∵sinB=,
∴AC=AB sinB=2sin40°.
故答案为:B.
【分析】利用锐角三角函数计算求解即可。
8.如图,河岸AD、BC互相平行,桥AB垂直于两岸,从C处看桥的两端A、B,夹角∠BCA=50度,测得BC=45m,则桥长AB=( )m.
A. B.45 cos50° C. D.45 tan50°
【答案】D
【解析】【解答】解:由题意可得,
∠ABC=90°,BC=45m,∠BCA=50°,
∴AB=BC tan50°=45 tan45°,
故选D.
【分析】根据锐角三角函数可以求得AB的长,本题得以解决.
9.如图是一张高脚木凳,AC∥EF∥GH,AB=CD,点E,G是AB的三等分点,已知EF与GH之间的距离为25cm,∠EGH=80°,则椅脚AB的长度为 cm( )
A. B.75sin80° C. D.
【答案】C
【解析】【解答】解:∵E、G是AB的三等分点,
∴AE=EG=GB=,
∴AE:EG:GB=1:1:1,
∵ AC∥EF∥GH,
∴,
∴CF=FH,
过E点作ME⊥GH于M,
∵EF∥GH,
∴EM即为EF与GH之间的距离,
在Rt△EMG中,
sin∠EGM=,
∵∠EGM=∠EGH=80°,
且EF与GH之间的距离为25cm,
∴EM=25cm,
∴sin∠EGM=sin80°=,
∴EG==(cm),
∵EG=AB,
∴AB=3EG=3×=(cm),
故答案为:C.
【分析】 利用E、G是AB的三等分点,可得到AE:EG:GB=1:1:1,利用平行线分线等成比列定理可证得CF=FH,过E点作ME⊥GH于M,可推出EM即为EF与GH之间的距离;在Rt△EMG中,利用锐角三角函数的定义可证得sin∠EGM=,根据EF与GH之间的距离可得到EM的长,利用解直角三角形可求出EG的长;然后根据AB=3EG,可求出AB的长.
10.如图,矩形 中, ,将矩形 绕点 旋转得到矩形 ,使点 的对应点 落在 上, 交 于点 ,在 上取点 ,使 .若 ,则 的长为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【解答】解:如图,连接AF,过A作AM⊥BF,
∵在Rt△ABC中,AC=2AB,
∴∠ACB=∠AC′B′=30°,∠BAC=60°,
∵AB=AB′,
∴△AB′B为等边三角形,
∴BB'=AB'=AB,
∵AB=B′F,
∴AB'=BB'=B'F,
∵∠AB′F=∠ABC=90°,
∴∠AFB′=45°,∠BB'F=90°+60°=150°,
∴∠BFB'=∠FBB'=15°,
∴∠AFM=30°,∠ABF=45°,
∴在Rt△AMF中,AM=BM=AB cos∠ABM= ,
MF= ,
∴BF= ,
故答案为:A.
【分析】连接AF,过A作AM⊥BF,易得∠ACB=∠AC′B′=30°,∠BAC=60°,推出△AB′B为等边三角形,由等边三角形的性质以及已知条件可得AB'=BB'=B'F,然后求出∠AFB′、∠BB'F、∠BFB'、∠AFM、∠ABF的度数,由三角函数的概念求得AM、MF的值,进而求得BF的值.
二、填空题
11.sin60°的相反数是
【答案】
【解析】【解答】∵sin60°= , 的相反数是- ,
∴sin60的相反数是- .
故答案为:- .
【分析】先求得sin60°,再在其前加一个负号即为它的相反数.
12.为解决停车难得问题,在如图一段长56米的路段开辟停车位,每个车位是长5米、宽2.2米的矩形,矩形的边与路的边缘成45°角,那么这个路段最多可以划出 个这样的停车位( )
【答案】17
【解析】【解答】解:如图,
CE=2.2÷sin45°=2.2÷ ≈3.1米,
BC=(5-CE× )× ≈1.98米,
BE=BC+CE≈5.04,
EF=2.2÷sin45°=2.2÷ ≈3.1米,
(56-3.1-1.98)÷3.1+1
=50.92÷3.1+1
≈17(个).
故这个路段最多可以划出17个这样的停车位.
故答案为:17.
【分析】如图,根据三角函数可求BC,CE,由BE=BC+CE可求BE,再根据三角函数可求EF,再根据停车位的个数=(56-BE)÷EF+1,列式计算即可求解.
13.如图,为了测量河的宽度AB,测量人员在高26m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°,测得河对岸A处的俯角为30°(A、B、C在同一条直线上),则河的宽度AB是 米(结果保留根号)
【答案】26-26
14.如图,一艘渔船向东航行,8点到达O处,灯塔A在其北偏东60°方向,距离16海里,10点到达B处,灯塔A在其正北方向,此时渔船与灯塔A相距 海里.
【答案】8
【解析】【解答】解:由题意知,,海里,
则海里;
故答案为:8
【分析】根据含角直角三角形的性质,可知角对应边等于斜边的一半,据此即可求解。
15.如图,已知中,,以为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为 .
【答案】
16.如图1装有水的水槽放置在水平台面上,其横截面是以为直径的半圆,,为水面截线,为台面截线,.
(1)在图1中,过点作于点,若,则 ;
(2)如图2,将图1中的水槽沿向右作无滑动的滚动,但不能使水溢出,则的最大长度为 .(参考数据:,结果保留)
【答案】8;
【解析】【解答】解:(1)连接,如图:
∵水槽横截面是以为直径的半圆,且,
∴,
又∵,
∴,,
∵,
∴,
则.
故答案为:8;
(2)水槽向右滚动时,的长度会发生变化,当点D和点B重合时,水不溢出,且的长度最大,连接和,如图,
则,
∵,水槽横截面是以为直径,
∴,
则,
∵,
∴,
∴,
则.
故答案为:.
【分析】(1)连接,,由题意得,根据垂径定理可得,再根据勾股定理可得DE=4,即可求出答案.
(2)当点D和点B重合时,水不溢出,且的长度最大,连接和,根据和求得,结合圆周角定理得,利用弧长公式即可求得答案.
三、综合题
17.如图,某大厦“五一”期间,在滨海大道一侧的室外悬挂了一幅巨型竖直广告.小明进行实地测量时,从大厦底部的C处沿水平方向步行米到达自动扶梯底端点D,在D处测得条幅下端B的仰角为;接着他沿自动扶梯到达扶梯顶端点E,测得电梯的长是米,且与地面的夹角为,然后他从点E处沿水平方向行走了米到达点F处,在点F处测得条幅上端A的仰角为.(参考数据:,,,)
(1)填空:______°,______(用含根号的式子表示);
(2)求点E离地面的高度;
(3)求AB的长度(精确到个位).
【答案】(1),
(2)米
(3)米
18.如图1所示,某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段至山谷点处,再从点处沿线段至山坡②的山顶点处.如图2所示,将直线视为水平面,山坡①的坡角,其高度为0.6千米,山坡②的坡度,于,且千米.
(1)求的度数;
(2)求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程.
【答案】(1)解:∵山坡②的坡度,
∴,
∴,
∵,
∴,
(2)解:∵,,
∴,
∴千米,
∵,,
∴,
∴,
∴该登山运动爱好者走过的路程..
【解析】【分析】(1)根据山坡②的坡度结合特殊角的三角函数值可得∠BCN=45°,然后根据平角的概念进行计算;
(2)根据∠BCN的余弦三角函数的概念及∠ACM的正弦三角函数概念可得BC、AC的值,然后求出AC+BC即可.
19.如图①,一台灯放置在水平桌面上,底座AB与桌面垂直,底座高AB=5cm,连杆BC=CD=20cm,BC,CD与AB始终在同一平面内.
(参考数据:sin37°=0.6,cos37°=0.8,tan37°=0.75)
(1)如图②,转动连杆BC,CD,使∠BCD成平角,∠ABC=143°,求连杆端点D离桌面l的高度DE.
(2)将图②中的连杆CD再绕点C逆时针旋转16°,如图③,此时连杆端点D离桌面l的高度减小了 cm.
【答案】(1)解:作BF⊥DE于点F,则∠BFE=∠BFD=90°,
∵DE⊥l,AB⊥l,
∴∠BEA=∠BAE=90°=∠BFE.
∴四边形ABFE为矩形.
∴EF=AB=5cm,EF∥AB,
∵EF∥AB,
∴∠D+∠ABD=180°,
∵∠ABD=143°,
∴∠D=37°,
在Rt△BDF中,∵∠BFD=90°,
∴ =cosD=cos37°=0.8,
∵DB=DC+BC=20+20=40,
∴DF=40×0.8=32,
∴DE=DF+EF=32+5=37cm,
答:连杆端点D离桌面l的高度DE为37cm;
(2)4
【解析】【解答】解:(2)如图3,作DF⊥l于F,CP⊥DF于P,BG⊥DF于G,CH⊥BG于H.则四边形PCHG是矩形,
∵∠CBH=53°,∠CHB=90°,
∴∠BCH=37°,
∵∠BCD=180°﹣16°=164°,∠DCP=37°,
∴CH=BCsin53°=20×0.8=16(cm),DP=CDsin37°=20×0.6=12(cm),
∴DF=DP+PG+GF=DP+CH+AB=12+16+5=33(cm),
∴下降高度:DE﹣DF=37﹣33=4(cm).
故答案为:4.
【分析】(1)如图2中,作BO⊥DE于O.解直角三角形求出OD即可解决问题.(2)作DF⊥l于F,CP⊥DF于P,BG⊥DF于G,CH⊥BG于H.则四边形PCHG是矩形,求出DF,再求出DF﹣DE即可解决问题.
20.如图,AB是⊙O的直径,D、E为⊙O上位于AB异侧的两点,连接BD并延长至点C,使得CD=BD,连接AC交⊙O于点F,连接AE、DE、DF.
(1)求证:∠E=∠C;
(2)若DF=6cm,cosB= ,E是弧AB的中点,求DE的长.
【答案】(1)证明:连接AD,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,
∵CD=BD,
∴AD垂直平分BC,
∴AB=AC,
∴∠B=∠C,
又∵∠B=∠E,
∴∠E=∠C。
(2)解:连接AD,OE,过A作AG⊥DE,垂足为G,
∵∠CFD=∠E=∠C,
∴FD=CD=BD=6,
∵cosB= ,
∴AB=10,
∴AD=。∵E是 的中点,AB是⊙O的直径,
∴∠AOE=90°,
∵AO=OE=5,
∴AE=5 ,
∵E是 的中点,
∴∠ADE=∠BDE=45°,
∴DG=AG=ADsin45°=8× =4 ,EG= =3 ,
∴DE=DG+GE=7 .
【解析】【分析】(1)连接AD,由“直径所对的圆周角是直角”可得AD⊥BC,而CD=BD,则AD垂直平分BC,所以AB=AC。由等边等对角,可知∠B=∠C;由同弧所对的圆周角相等,则可得证。
(2)由圆内接四边形的性质可得∠CFD=∠E=∠C,则FD=CD=BD=6;由E是弧AB的中点,可联系圆周角定理,则连接AD,OE,则∠ADE=∠BDE=45°,在Rt△ABD中,由cosB=求得AB,则可求得AD;在Rt△AOE中,可求得AE。在△ADE中,AD,AE已求得,且∠ADE=45°,根据解直角三角形的知识,可过点A作AG⊥DE,分别求出DG和EG,则DE=DG+EG。
21.我市的白沙岛是众多海钓人的梦想之地.小明的爸爸周末去白沙岛钓鱼,将鱼竿AB摆成如图1所示.已知AB=4.8m,鱼竿尾端A离岸边0.4m,即AD=0.4m.海面与地面AD平行且相距1.2m,即DH=1.2m.
(参考数据:sin37°=co553° ,cos37°=sin53° ,tan37° ,sin22° ,cos22° ,tan22° )
(1)如图1,在无鱼上钩时,鱼竿AB与地面AD的夹角∠BAD=22°,海面上方的鱼线BC与海面HC成一定角度.求点B到海面HC的距离;
(2)如图2,在有鱼上钩时,鱼竿与地面的夹角∠BAD=53°,此时鱼线被拉直,鱼线BO=5.46m,点O恰好位于海面.求点O到岸边DH的距离.
【答案】(1)解:过点B作BF⊥CH,垂足为F,延长AD交BF于E,垂足为E,
则AE⊥BF,
∵sin∠BAE ,
∴sin22° ,
∴ ,即BE≈1.8m,
∴BF=BE+EF=1.8+1.2=3(m),
答:点B到海面HC的距离为3米
(2)解:过点B作BN⊥OH,垂足为N,延长AD交BN于点M,垂足为M,
由cos∠BAM ,
∴cos53° ,
∴ ,
即AM≈2.88m,
∴DM=AM﹣AD=2.88﹣0.4=2.48(m),
∵sin∠BAM ,
∴sin53° ,
∴ ,即BM≈3.84m,
∴BN=BM+MN=3.84+1.2=5.04(m),
∴ON 2.1(m),
∴OH=ON+HN=ON+DM=4.58(m),
即点O到岸边的距离为4.58m.
【解析】【分析】(1)过点B作BF⊥CH,垂足为F,延长AD交BF于E,则AE⊥BF,由sin∠BAE ,可求出BE,根据BF=BE+EF即可求解;
(2)过点B作BN⊥OH,垂足为N,延长AD交BN于点M,垂足为M,由cos∠BAM 求出AM,即得DM, 由sin∠BAM 求出MB,从而求出BN=BM+MN的长,利用勾股定理求出ON,利用OH=ON+HN=ON+DM 即可求解.
22.你还记得小时候的竹椅子么?一款老式竹编靠背椅的尺寸如图1(单位: ),如图2是它的侧面示意图,坐高 ,宽 ,背长 ,总高 .
(1)求 的值.
(2)现需特制一款椅子,保持总高不变,现要求靠背的倾斜角从 调整为 ,已知 ,则将横档 长度保持不变直接向下调整多少厘米即可?
参考数据: , ,
【答案】(1)解:如图,延长DA交EF于点M,
由题意得:AB⊥BF,EF⊥BF,AB⊥AM,
∴四边形ABFM为矩形,
∴FM=AB=35cm,
∴EM=EF-FM=71-35=36cm,
∴ ,
∴ ;
(2)解:如图,延长DA交EF于点M,延长GH交EF于点K,延长 交EF于点N,
由题意得:AB⊥BF,EF⊥BF,AB⊥AM,
∴四边形ABFM为矩形,
同理可得:四边形AHKM、四边形 是矩形,
∴KM=AH=12cm,
∴EK=EM+KM=48cm,
∵AD//GH,
∴∠EDA=∠EGK,
∴tan∠EDA=tan∠EGK= ,
∴ ,
即: ,
解得: ,
∵横档 长度保持不变,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
解得: ,
∴ .
∴将横档 长度保持不变直接向下调整7厘米即可.
【解析】【分析】(1)延长DA交EF于点M,可证四边形ABFM为矩形,可得FM=AB=35cm,从而求出EM=EF-FM=36cm,利用勾股定理求出DM=15cm,根据即可求解 ;
(2)如图,延长DA交EF于点M,延长GH交EF于点K,延长 交EF于点N,可证四边形ABFM、四边形AHKM、四边形 都是矩形,可求出KM、AH、EK的长,利用平行线的性质可得∠EDA=∠EGK,即得tan∠EDA=tan∠EGK=,据此可求出GK,即得G'N,根据,可求出EN,利用KN=EN-EK即可求解.
23.如图,某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度.如图所示,一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为,无人机沿水平线方向继续飞行米至处,测得正前方河流右岸处的俯角为.线段的长为无人机距地面的铅直高度,点在同一条直线上.其中,米.
(1)求无人机的飞行高度;(结果保留根号)
(2)求河流的宽度.(结果保留根号)
【答案】(1)米
(2)米
24.
(1)【问题提出】如图1,在四边形ABCD中,,,点E为AB延长线上一点,连接EC并延长,交AD的延长线于点F,则的度数为 °;
(2)【问题探究】如图2,在Rt△ABC中,,点D、E在直线BC上,连接AD、AE,若,,求△ADE面积的最小值;
(3)【问题解决】近日,教育部印发了《义务教育课程方案和课程标准(2022年版)》,此次修订中增加的跨学科主题学习活动,突破学科边界,鼓励教师开展跨学科教研,设计出主题鲜明、问题真实的跨学科学习活动.为此,某校欲将校园内一片三角形空地ABC(如图3所示)进行扩建后作为跨学科主题学习活动中心,在AB的延长线上取一点D,连接DC并延长到点E,连接AE,已知,米,,为节约修建成本,需使修建后△ADE的面积尽可能小,问△ADE的面积是否存在最小值?若存在,求出其最小面积;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)60
(2)解:S△ADE=DE·AB=3DE,
∴当DE取最小值时,△ADE面积取最小值.
作△ADE的外接圆,圆心为O,连接OD、OE、OA,过O作OH⊥DE于H,
则∠DOE=2∠DAE=120°,
由OD=OE知,∠ODH=30°,
∴OD=2OH,
∵OA+OH≥AB,
∴OA+OA≥6,
即OA≥4,OH≥2,
由垂径定理得:DE=2DH=2OH≥,
此时,A、O、H共线,AD=AE,
∴△ADE面积的最小值为:3×=.
(3)解:过C作CH⊥AE于H,如图所示,
设BD=x,EF=y,
∵∠ABC=90°,AE∥BC,
∴四边形ABCF为矩形,
∵AB=BC=40
∴四边形ABCF为正方形,
由tan∠E=tan∠BCD知,,
即,
∴y=,
即xy=1600,
∵,
∴=80,
当x=y时取等号,即x+y的最小值为80,
又△ADE的面积=正方形ABCF面积+三角形BCD面积+三角形CEF面积,
即△ADE的面积=1600+20(x+y)≥1600+20×80=3200,
综上所述,△ADE的面积的最小值为3200 m2.
【解析】【解答】解:(1)在四边形ABCD中,∠A=60°,∠ABC=∠ADC=90°,
∴∠BCD=360°-∠A-∠ABC-∠ADC=120°,
∴=180°-∠BCD=60°,
故答案为:60;
【分析】(1)利用四边形内角和定理即可求解;
(2) 由S△ADE=DE·AB=3DE,可知当DE取最小值时,△ADE面积取最小值;作△ADE的外接圆,圆心为O,连接OD、OE、OA,过O作OH⊥DE于H, 由于 OA+OH≥AB, 可得OA+OA≥6, 从而得解;
(3)过C作CH⊥AE于H, 可得四边形ABCF为正方形,由tan∠E=tan∠BCD知 ,可得 xy=1600,根据 =80,当x=y时取等号,即x+y的最小值为80, 由△ADE的面积=正方形ABCF面积+三角形BCD面积+三角形CEF面积,即可求解.
25.如图1,△ABC中,∠B=30°,点D在BA的延长线上,点E在BC边上,连接DE,交AC于点F.若∠EFC=60°,DE=2AC,求 的值.某学习小组的同学经过思考,交流了自己的想法:
小明:“通过观察和度量,发现∠C与∠D存在某种数量关系”;
小强:“通过构造三角形,证明三角形相似,进而可以求得 的值.
老师:如图2,将原题中“点D在BA的延长线上,点E在BC边上”改为“点D在AB边上,点E在BC的延长线上”,添加条件“BC=5 ,EC=4 ”,其它条件不变,可求出△BED的面积.
请回答:
(1)用等式表示∠C、∠D的数量关系并证明;
(2)求 的值;
(3)△BDE的面积为 (直接写出答案).
【答案】(1)解:结论:∠C+∠D=90°.
理由:如图1中,
∵∠AFD=∠EFC=60°,
∵∠BAC=180°﹣∠C﹣30°=150°﹣∠C,∠BAC=∠AFD+∠D=60°+∠D,
∴150°﹣∠C=60°+∠D,
∴∠C+∠D=90°
(2)解:过点A作AG⊥BC垂足为G,交DE点Q,过点E作EH⊥BD垂足为H,则∠DHE=∠BHE=90°.
∵∠AGC=90°,
∴∠DHE═∠AGC.
∵∠C+∠D=90°, ∠C+∠CAG=90°.
∴∠D=∠CAG,
∴△DEH∽△ACG.
∴ .
∴DH=2AG.
∵∠B=30°,∠AGB=90°,
∴AB=2AG.
∴AB=DH.
∴AB﹣AH=DH﹣AH.
即BH=AD.
在Rt△BHE中, =cos30°= .
∴ = =
(3)
【解析】【解答】(3)如图2中,在BA上取一点G,使得GB=GC,作GJ⊥BC于J,AH⊥CG于H,EK⊥BA交BA的延长线于K.
∵∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=180°﹣∠ADE﹣∠AFD,
∴150°﹣∠ACB=120°﹣∠ADF,
∴∠ACB﹣30°=∠ADE,
∵GB=GC,GJ⊥BC,
∴∠GCB=∠B=30°,BJ=JC= = ,
∴∠ACH=∠ACB﹣30°=∠EDK,BG=CG= =5,
∵∠ACH=∠EDK,∠AHC=∠K=90°,
∴△DEK∽△CAH,
∴ ,
在Rt△BKE中,∵∠K=90°,∠B=30°,BE=9 ,
∴EK= ,BK= ,
∴AH= ,
∴GH= AH= ,
∴CH=CG﹣GH= ,
∴DK=2CH= ,
∴BD=BK﹣DK= ﹣ =8,
∴S△BDE= BD·EK= ×8× =18 .
故答案为18 .
【分析】(1)结论:∠C+∠D=90°.利用三角形的内角和定理解决问题即可.(2)过点A作AG⊥BC垂足为G,交DE点Q,过点E作EH⊥BD垂足为H,则∠DHE=∠BHE=90°.利用相似三角形的性质解决问题即可.(3)如图2中,在BA上取一点G,使得GB=GC,作GJ⊥BC于J,AH⊥CG于H,EK⊥BA交BA的延长线于K.利用相似三角形的性质解决问题即可.
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