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第1章 解直角三角形 单元综合能力突破卷
一、单选题
1．如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．计算的值（ ）
A．3 B．1 C． D．
3．如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．用计算器求 的值，按键顺序是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为（ ）
A．80m B．100m C．120m D．140m
6．如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3 米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（ ）
A．5米 B．6米
C．8米 D．（3+ ）米
7．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝50°，AB＝2，则AC＝（ ）
A．2sin50° B．2sin40° C．2tan50° D．2tan40°
8．如图，河岸AD、BC互相平行，桥AB垂直于两岸，从C处看桥的两端A、B，夹角∠BCA=50度，测得BC=45m，则桥长AB=（ ）m．
A． B．45 cos50° C． D．45 tan50°
9．如图是一张高脚木凳，AC∥EF∥GH，AB=CD，点E，G是AB的三等分点，已知EF与GH之间的距离为25cm，∠EGH=80°，则椅脚AB的长度为 cm（ ）
A． B．75sin80° C． D．
10．如图，矩形 中， ，将矩形 绕点 旋转得到矩形 ，使点 的对应点 落在 上， 交 于点 ，在 上取点 ，使 .若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．sin60°的相反数是
12．为解决停车难得问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米、宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出 个这样的停车位（ ）
13．如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高26m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°（A、B、C在同一条直线上），则河的宽度AB是 米（结果保留根号）
14．如图，一艘渔船向东航行，8点到达O处，灯塔A在其北偏东60°方向，距离16海里，10点到达B处，灯塔A在其正北方向，此时渔船与灯塔A相距 海里．
15．如图，已知中，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 ．
16．如图1装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，为水面截线，为台面截线，．
（1）在图1中，过点作于点，若，则 ；
（2）如图2，将图1中的水槽沿向右作无滑动的滚动，但不能使水溢出，则的最大长度为 ．（参考数据：，结果保留）
三、综合题
17．如图，某大厦“五一”期间，在滨海大道一侧的室外悬挂了一幅巨型竖直广告．小明进行实地测量时，从大厦底部的C处沿水平方向步行米到达自动扶梯底端点D，在D处测得条幅下端B的仰角为；接着他沿自动扶梯到达扶梯顶端点E，测得电梯的长是米，且与地面的夹角为，然后他从点E处沿水平方向行走了米到达点F处，在点F处测得条幅上端A的仰角为．（参考数据：，，，）
（1）填空：______°，______（用含根号的式子表示）；
（2）求点E离地面的高度；
（3）求AB的长度（精确到个位）．
18．如图1所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段至山谷点处，再从点处沿线段至山坡②的山顶点处.如图2所示，将直线视为水平面，山坡①的坡角，其高度为0.6千米，山坡②的坡度，于，且千米.
（1）求的度数；
（2）求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程.
19．如图①，一台灯放置在水平桌面上，底座AB与桌面垂直，底座高AB＝5cm，连杆BC＝CD＝20cm，BC，CD与AB始终在同一平面内．
（参考数据：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，tan37°＝0.75）
（1）如图②，转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝143°，求连杆端点D离桌面l的高度DE．
（2）将图②中的连杆CD再绕点C逆时针旋转16°，如图③，此时连杆端点D离桌面l的高度减小了 cm．
20．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．
（1）求证：∠E=∠C；
（2）若DF=6cm，cosB= ，E是弧AB的中点，求DE的长.
21．我市的白沙岛是众多海钓人的梦想之地.小明的爸爸周末去白沙岛钓鱼，将鱼竿AB摆成如图1所示.已知AB＝4.8m，鱼竿尾端A离岸边0.4m，即AD＝0.4m.海面与地面AD平行且相距1.2m，即DH＝1.2m.
（参考数据：sin37°＝co553° ，cos37°＝sin53° ，tan37° ，sin22° ，cos22° ，tan22° ）
（1）如图1，在无鱼上钩时，鱼竿AB与地面AD的夹角∠BAD＝22°，海面上方的鱼线BC与海面HC成一定角度.求点B到海面HC的距离；
（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD＝53°，此时鱼线被拉直，鱼线BO＝5.46m，点O恰好位于海面.求点O到岸边DH的距离.
22．你还记得小时候的竹椅子么？一款老式竹编靠背椅的尺寸如图1（单位： ），如图2是它的侧面示意图，坐高 ，宽 ，背长 ，总高 .
（1）求 的值.
（2）现需特制一款椅子，保持总高不变，现要求靠背的倾斜角从 调整为 ，已知 ，则将横档 长度保持不变直接向下调整多少厘米即可？
参考数据： ， ，
23．如图，某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行米至处，测得正前方河流右岸处的俯角为．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点在同一条直线上．其中，米．
（1）求无人机的飞行高度；（结果保留根号）
（2）求河流的宽度．（结果保留根号）
24．
（1）【问题提出】如图1，在四边形ABCD中，，，点E为AB延长线上一点，连接EC并延长，交AD的延长线于点F，则的度数为 °；
（2）【问题探究】如图2，在Rt△ABC中，，点D、E在直线BC上，连接AD、AE，若，，求△ADE面积的最小值；
（3）【问题解决】近日，教育部印发了《义务教育课程方案和课程标准(2022年版)》，此次修订中增加的跨学科主题学习活动，突破学科边界，鼓励教师开展跨学科教研，设计出主题鲜明、问题真实的跨学科学习活动.为此，某校欲将校园内一片三角形空地ABC（如图3所示）进行扩建后作为跨学科主题学习活动中心，在AB的延长线上取一点D，连接DC并延长到点E，连接AE，已知，米，，为节约修建成本，需使修建后△ADE的面积尽可能小，问△ADE的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小面积；若不存在，请说明理由.
25．如图1，△ABC中，∠B＝30°，点D在BA的延长线上，点E在BC边上，连接DE，交AC于点F.若∠EFC＝60°，DE＝2AC，求 的值.某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法：
小明：“通过观察和度量，发现∠C与∠D存在某种数量关系”；
小强：“通过构造三角形，证明三角形相似，进而可以求得 的值.
老师：如图2，将原题中“点D在BA的延长线上，点E在BC边上”改为“点D在AB边上，点E在BC的延长线上”，添加条件“BC＝5 ，EC＝4 ”，其它条件不变，可求出△BED的面积.
请回答：
（1）用等式表示∠C、∠D的数量关系并证明；
（2）求 的值；
（3）△BDE的面积为 （直接写出答案）.
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第1章 解直角三角形 单元综合能力突破卷
一、单选题
1．如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：cosα= = = ．
故答案为：D．
【分析】根据余弦三角函数的定义及等角的同名三角函数相等进行判断即可。
2．计算的值（ ）
A．3 B．1 C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：．
故答案为：A．
【分析】直接将30°角的余弦值代入计算即可.
3．如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，利用格点作交的延长线于点D，
则，，
因此，
故答案为：A．
【分析】利用格点作交的延长线于点D，先利用勾股定理求出AB的长，再利用正弦的定义可得的答案。
4．用计算器求 的值，按键顺序是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：先按键“ ”，再输入角的度数 ，按键“=”即可得到结果，
故答案为：B.
【分析】根据用计算器求解三角函数值的按键顺序可知先按三角函数的名称sin，再输入角度，最后按=即可.
5．如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为（ ）
A．80m B．100m C．120m D．140m
【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠APB=180°-60°-30°=90°，PA=3×20=60（m），PB=4×20=80（m），
∴（m），
答：20s后他们之间的距离为100m.
故答案为：B.
【分析】根据平角的概念可得∠APB=180°-60°-30°=90°，由题意可得PA=3×20=60m，PB=4×20=80m，然后利用勾股定理进行计算.
6．如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3 米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（ ）
A．5米 B．6米
C．8米 D．（3+ ）米
【答案】A
【解析】【解答】解： 设CD=x，则AD=2x，
由勾股定理可得，AC= = x，
∵AC=3 米，
∴ x=3 ，
∴x=3米，
∴CD=3米，
∴AD=2×3=6米，
在Rt△ABD中，BD= =8米，
∴BC=8﹣3=5米．
故答案为：A
【分析】设CD=x，则AD=2x，利用勾股定理表示出AC，再由已知AC的值，求出x的值，再由勾股定理求出BD的值，即可得BC的值.
7．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝50°，AB＝2，则AC＝（ ）
A．2sin50° B．2sin40° C．2tan50° D．2tan40°
【答案】B
【解析】【解答】解：∠B=90°﹣∠A=90°﹣50°=40°，
又∵sinB=，
∴AC=AB sinB=2sin40°．
故答案为：B．
【分析】利用锐角三角函数计算求解即可。
8．如图，河岸AD、BC互相平行，桥AB垂直于两岸，从C处看桥的两端A、B，夹角∠BCA=50度，测得BC=45m，则桥长AB=（ ）m．
A． B．45 cos50° C． D．45 tan50°
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可得，
∠ABC=90°，BC=45m，∠BCA=50°，
∴AB=BC tan50°=45 tan45°，
故选D．
【分析】根据锐角三角函数可以求得AB的长，本题得以解决．
9．如图是一张高脚木凳，AC∥EF∥GH，AB=CD，点E，G是AB的三等分点，已知EF与GH之间的距离为25cm，∠EGH=80°，则椅脚AB的长度为 cm（ ）
A． B．75sin80° C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵E、G是AB的三等分点，
∴AE=EG=GB=，
∴AE：EG：GB=1：1：1，
∵ AC∥EF∥GH，
∴，
∴CF=FH，
过E点作ME⊥GH于M，
∵EF∥GH，
∴EM即为EF与GH之间的距离，
在Rt△EMG中，
sin∠EGM=，
∵∠EGM=∠EGH=80°，
且EF与GH之间的距离为25cm，
∴EM=25cm，
∴sin∠EGM=sin80°=，
∴EG==（cm），
∵EG=AB，
∴AB=3EG=3×=（cm），
故答案为：C.
【分析】 利用E、G是AB的三等分点，可得到AE：EG：GB=1：1：1，利用平行线分线等成比列定理可证得CF=FH，过E点作ME⊥GH于M，可推出EM即为EF与GH之间的距离；在Rt△EMG中，利用锐角三角函数的定义可证得sin∠EGM=，根据EF与GH之间的距离可得到EM的长，利用解直角三角形可求出EG的长；然后根据AB=3EG，可求出AB的长.
10．如图，矩形 中， ，将矩形 绕点 旋转得到矩形 ，使点 的对应点 落在 上， 交 于点 ，在 上取点 ，使 .若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，连接AF，过A作AM⊥BF，
∵在Rt△ABC中，AC=2AB，
∴∠ACB=∠AC′B′=30°，∠BAC=60°，
∵AB=AB′，
∴△AB′B为等边三角形，
∴BB'=AB'=AB，
∵AB=B′F，
∴AB'=BB'=B'F，
∵∠AB′F=∠ABC=90°，
∴∠AFB′=45°，∠BB'F=90°+60°=150°，
∴∠BFB'=∠FBB'=15°，
∴∠AFM=30°，∠ABF=45°，
∴在Rt△AMF中，AM=BM=AB cos∠ABM= ，
MF= ，
∴BF= ，
故答案为：A.
【分析】连接AF，过A作AM⊥BF，易得∠ACB=∠AC′B′=30°，∠BAC=60°，推出△AB′B为等边三角形，由等边三角形的性质以及已知条件可得AB'=BB'=B'F，然后求出∠AFB′、∠BB'F、∠BFB'、∠AFM、∠ABF的度数，由三角函数的概念求得AM、MF的值，进而求得BF的值.
二、填空题
11．sin60°的相反数是
【答案】
【解析】【解答】∵sin60°= ， 的相反数是- ，
∴sin60的相反数是- ．
故答案为：- ．
【分析】先求得sin60°，再在其前加一个负号即为它的相反数.
12．为解决停车难得问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米、宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出 个这样的停车位（ ）
【答案】17
【解析】【解答】解：如图，
CE=2.2÷sin45°=2.2÷ ≈3.1米，
BC=（5-CE× ）× ≈1.98米，
BE=BC+CE≈5.04，
EF=2.2÷sin45°=2.2÷ ≈3.1米，
（56-3.1-1.98）÷3.1+1
=50.92÷3.1+1
≈17（个）．
故这个路段最多可以划出17个这样的停车位．
故答案为：17．
【分析】如图，根据三角函数可求BC，CE，由BE=BC+CE可求BE，再根据三角函数可求EF，再根据停车位的个数=（56-BE）÷EF+1，列式计算即可求解．
13．如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高26m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°（A、B、C在同一条直线上），则河的宽度AB是 米（结果保留根号）
【答案】26-26
14．如图，一艘渔船向东航行，8点到达O处，灯塔A在其北偏东60°方向，距离16海里，10点到达B处，灯塔A在其正北方向，此时渔船与灯塔A相距 海里．
【答案】8
【解析】【解答】解：由题意知，，海里，
则海里；
故答案为：8
【分析】根据含角直角三角形的性质，可知角对应边等于斜边的一半，据此即可求解。
15．如图，已知中，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
16．如图1装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，为水面截线，为台面截线，．
（1）在图1中，过点作于点，若，则 ；
（2）如图2，将图1中的水槽沿向右作无滑动的滚动，但不能使水溢出，则的最大长度为 ．（参考数据：，结果保留）
【答案】8；
【解析】【解答】解：（1）连接，如图：
∵水槽横截面是以为直径的半圆，且，
∴，
又∵，
∴，，
∵，
∴，
则．
故答案为：8；
（2）水槽向右滚动时，的长度会发生变化，当点D和点B重合时，水不溢出，且的长度最大，连接和，如图，
则，
∵，水槽横截面是以为直径，
∴，
则，
∵，
∴，
∴，
则．
故答案为：．
【分析】（1）连接，，由题意得，根据垂径定理可得，再根据勾股定理可得DE=4，即可求出答案.
（2）当点D和点B重合时，水不溢出，且的长度最大，连接和，根据和求得，结合圆周角定理得，利用弧长公式即可求得答案．
三、综合题
17．如图，某大厦“五一”期间，在滨海大道一侧的室外悬挂了一幅巨型竖直广告．小明进行实地测量时，从大厦底部的C处沿水平方向步行米到达自动扶梯底端点D，在D处测得条幅下端B的仰角为；接着他沿自动扶梯到达扶梯顶端点E，测得电梯的长是米，且与地面的夹角为，然后他从点E处沿水平方向行走了米到达点F处，在点F处测得条幅上端A的仰角为．（参考数据：，，，）
（1）填空：______°，______（用含根号的式子表示）；
（2）求点E离地面的高度；
（3）求AB的长度（精确到个位）．
【答案】（1），
（2）米
（3）米
18．如图1所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段至山谷点处，再从点处沿线段至山坡②的山顶点处.如图2所示，将直线视为水平面，山坡①的坡角，其高度为0.6千米，山坡②的坡度，于，且千米.
（1）求的度数；
（2）求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程.
【答案】（1）解：∵山坡②的坡度，
∴，
∴，
∵，
∴，
（2）解：∵，，
∴，
∴千米，
∵，，
∴，
∴，
∴该登山运动爱好者走过的路程..
【解析】【分析】（1）根据山坡②的坡度结合特殊角的三角函数值可得∠BCN=45°，然后根据平角的概念进行计算；
（2）根据∠BCN的余弦三角函数的概念及∠ACM的正弦三角函数概念可得BC、AC的值，然后求出AC+BC即可.
19．如图①，一台灯放置在水平桌面上，底座AB与桌面垂直，底座高AB＝5cm，连杆BC＝CD＝20cm，BC，CD与AB始终在同一平面内．
（参考数据：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，tan37°＝0.75）
（1）如图②，转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝143°，求连杆端点D离桌面l的高度DE．
（2）将图②中的连杆CD再绕点C逆时针旋转16°，如图③，此时连杆端点D离桌面l的高度减小了 cm．
【答案】（1）解：作BF⊥DE于点F，则∠BFE＝∠BFD＝90°，
∵DE⊥l，AB⊥l，
∴∠BEA＝∠BAE＝90°＝∠BFE．
∴四边形ABFE为矩形．
∴EF＝AB＝5cm，EF∥AB，
∵EF∥AB，
∴∠D+∠ABD＝180°，
∵∠ABD＝143°，
∴∠D＝37°，
在Rt△BDF中，∵∠BFD＝90°，
∴ ＝cosD＝cos37°＝0.8，
∵DB＝DC+BC＝20+20＝40，
∴DF＝40×0.8＝32，
∴DE＝DF+EF＝32+5＝37cm，
答：连杆端点D离桌面l的高度DE为37cm；
（2）4
【解析】【解答】解：（2）如图3，作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．则四边形PCHG是矩形，
∵∠CBH＝53°，∠CHB＝90°，
∴∠BCH＝37°，
∵∠BCD＝180°﹣16°＝164°，∠DCP＝37°，
∴CH＝BCsin53°＝20×0.8＝16（cm），DP＝CDsin37°＝20×0.6＝12（cm），
∴DF＝DP+PG+GF＝DP+CH+AB＝12+16+5＝33（cm），
∴下降高度：DE﹣DF＝37﹣33＝4（cm）．
故答案为：4．
【分析】（1）如图2中，作BO⊥DE于O．解直角三角形求出OD即可解决问题．（2）作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．则四边形PCHG是矩形，求出DF，再求出DF﹣DE即可解决问题．
20．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．
（1）求证：∠E=∠C；
（2）若DF=6cm，cosB= ，E是弧AB的中点，求DE的长.
【答案】（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵CD=BD，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠B=∠E，
∴∠E=∠C。
（2）解：连接AD，OE，过A作AG⊥DE，垂足为G，
∵∠CFD=∠E=∠C，
∴FD=CD=BD=6，
∵cosB= ，
∴AB=10，
∴AD=。∵E是 的中点，AB是⊙O的直径，
∴∠AOE=90°，
∵AO=OE=5，
∴AE=5 ，
∵E是 的中点，
∴∠ADE=∠BDE=45°，
∴DG=AG=ADsin45°=8× =4 ，EG= =3 ，
∴DE=DG+GE=7 ．
【解析】【分析】（1）连接AD，由“直径所对的圆周角是直角”可得AD⊥BC，而CD=BD，则AD垂直平分BC，所以AB=AC。由等边等对角，可知∠B=∠C；由同弧所对的圆周角相等，则可得证。
（2）由圆内接四边形的性质可得∠CFD=∠E=∠C，则FD=CD=BD=6；由E是弧AB的中点，可联系圆周角定理，则连接AD，OE，则∠ADE=∠BDE=45°，在Rt△ABD中，由cosB=求得AB，则可求得AD；在Rt△AOE中，可求得AE。在△ADE中，AD，AE已求得，且∠ADE=45°，根据解直角三角形的知识，可过点A作AG⊥DE，分别求出DG和EG，则DE=DG+EG。
21．我市的白沙岛是众多海钓人的梦想之地.小明的爸爸周末去白沙岛钓鱼，将鱼竿AB摆成如图1所示.已知AB＝4.8m，鱼竿尾端A离岸边0.4m，即AD＝0.4m.海面与地面AD平行且相距1.2m，即DH＝1.2m.
（参考数据：sin37°＝co553° ，cos37°＝sin53° ，tan37° ，sin22° ，cos22° ，tan22° ）
（1）如图1，在无鱼上钩时，鱼竿AB与地面AD的夹角∠BAD＝22°，海面上方的鱼线BC与海面HC成一定角度.求点B到海面HC的距离；
（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD＝53°，此时鱼线被拉直，鱼线BO＝5.46m，点O恰好位于海面.求点O到岸边DH的距离.
【答案】（1）解：过点B作BF⊥CH，垂足为F，延长AD交BF于E，垂足为E，
则AE⊥BF，
∵sin∠BAE ，
∴sin22° ，
∴ ，即BE≈1.8m，
∴BF＝BE+EF＝1.8+1.2＝3（m），
答：点B到海面HC的距离为3米
（2）解：过点B作BN⊥OH，垂足为N，延长AD交BN于点M，垂足为M，
由cos∠BAM ，
∴cos53° ，
∴ ，
即AM≈2.88m，
∴DM＝AM﹣AD＝2.88﹣0.4＝2.48（m），
∵sin∠BAM ，
∴sin53° ，
∴ ，即BM≈3.84m，
∴BN＝BM+MN＝3.84+1.2＝5.04（m），
∴ON 2.1（m），
∴OH＝ON+HN＝ON+DM＝4.58（m），
即点O到岸边的距离为4.58m.
【解析】【分析】（1）过点B作BF⊥CH，垂足为F，延长AD交BF于E，则AE⊥BF，由sin∠BAE ，可求出BE，根据BF＝BE+EF即可求解；
（2）过点B作BN⊥OH，垂足为N，延长AD交BN于点M，垂足为M，由cos∠BAM 求出AM，即得DM， 由sin∠BAM 求出MB，从而求出BN＝BM+MN的长，利用勾股定理求出ON，利用OH＝ON+HN＝ON+DM 即可求解.
22．你还记得小时候的竹椅子么？一款老式竹编靠背椅的尺寸如图1（单位： ），如图2是它的侧面示意图，坐高 ，宽 ，背长 ，总高 .
（1）求 的值.
（2）现需特制一款椅子，保持总高不变，现要求靠背的倾斜角从 调整为 ，已知 ，则将横档 长度保持不变直接向下调整多少厘米即可？
参考数据： ， ，
【答案】（1）解：如图，延长DA交EF于点M，
由题意得：AB⊥BF，EF⊥BF，AB⊥AM，
∴四边形ABFM为矩形，
∴FM=AB=35cm，
∴EM=EF－FM=71－35=36cm，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图，延长DA交EF于点M，延长GH交EF于点K，延长 交EF于点N，
由题意得：AB⊥BF，EF⊥BF，AB⊥AM，
∴四边形ABFM为矩形，
同理可得：四边形AHKM、四边形 是矩形，
∴KM＝AH＝12cm，
∴EK＝EM＋KM＝48cm，
∵AD//GH，
∴∠EDA＝∠EGK，
∴tan∠EDA＝tan∠EGK＝ ，
∴ ，
即： ，
解得： ，
∵横档 长度保持不变，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ .
∴将横档 长度保持不变直接向下调整7厘米即可.
【解析】【分析】（1）延长DA交EF于点M，可证四边形ABFM为矩形，可得FM=AB=35cm，从而求出EM=EF－FM=36cm，利用勾股定理求出DM=15cm，根据即可求解 ；
（2）如图，延长DA交EF于点M，延长GH交EF于点K，延长 交EF于点N，可证四边形ABFM、四边形AHKM、四边形 都是矩形，可求出KM、AH、EK的长，利用平行线的性质可得∠EDA＝∠EGK，即得tan∠EDA＝tan∠EGK＝，据此可求出GK，即得G'N，根据，可求出EN，利用KN=EN-EK即可求解.
23．如图，某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行米至处，测得正前方河流右岸处的俯角为．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点在同一条直线上．其中，米．
（1）求无人机的飞行高度；（结果保留根号）
（2）求河流的宽度．（结果保留根号）
【答案】（1）米
（2）米
24．
（1）【问题提出】如图1，在四边形ABCD中，，，点E为AB延长线上一点，连接EC并延长，交AD的延长线于点F，则的度数为 °；
（2）【问题探究】如图2，在Rt△ABC中，，点D、E在直线BC上，连接AD、AE，若，，求△ADE面积的最小值；
（3）【问题解决】近日，教育部印发了《义务教育课程方案和课程标准(2022年版)》，此次修订中增加的跨学科主题学习活动，突破学科边界，鼓励教师开展跨学科教研，设计出主题鲜明、问题真实的跨学科学习活动.为此，某校欲将校园内一片三角形空地ABC（如图3所示）进行扩建后作为跨学科主题学习活动中心，在AB的延长线上取一点D，连接DC并延长到点E，连接AE，已知，米，，为节约修建成本，需使修建后△ADE的面积尽可能小，问△ADE的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小面积；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）60
（2）解：S△ADE=DE·AB=3DE，
∴当DE取最小值时，△ADE面积取最小值.
作△ADE的外接圆，圆心为O，连接OD、OE、OA，过O作OH⊥DE于H，
则∠DOE=2∠DAE=120°，
由OD=OE知，∠ODH=30°，
∴OD=2OH，
∵OA+OH≥AB，
∴OA+OA≥6，
即OA≥4，OH≥2，
由垂径定理得：DE=2DH=2OH≥，
此时，A、O、H共线，AD=AE，
∴△ADE面积的最小值为：3×=.
（3）解：过C作CH⊥AE于H，如图所示，
设BD=x，EF=y，
∵∠ABC=90°，AE∥BC，
∴四边形ABCF为矩形，
∵AB=BC=40
∴四边形ABCF为正方形，
由tan∠E=tan∠BCD知，，
即，
∴y=，
即xy=1600，
∵，
∴=80，
当x=y时取等号，即x+y的最小值为80，
又△ADE的面积=正方形ABCF面积+三角形BCD面积+三角形CEF面积，
即△ADE的面积=1600+20（x+y）≥1600+20×80=3200，
综上所述，△ADE的面积的最小值为3200 m2.
【解析】【解答】解：（1）在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠BCD=360°－∠A－∠ABC－∠ADC=120°，
∴=180°－∠BCD=60°，
故答案为：60；
【分析】（1）利用四边形内角和定理即可求解；
（2） 由S△ADE=DE·AB=3DE，可知当DE取最小值时，△ADE面积取最小值；作△ADE的外接圆，圆心为O，连接OD、OE、OA，过O作OH⊥DE于H， 由于 OA+OH≥AB， 可得OA+OA≥6， 从而得解；
（3）过C作CH⊥AE于H， 可得四边形ABCF为正方形，由tan∠E=tan∠BCD知 ，可得 xy=1600，根据 =80，当x=y时取等号，即x+y的最小值为80， 由△ADE的面积=正方形ABCF面积+三角形BCD面积+三角形CEF面积，即可求解.
25．如图1，△ABC中，∠B＝30°，点D在BA的延长线上，点E在BC边上，连接DE，交AC于点F.若∠EFC＝60°，DE＝2AC，求 的值.某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法：
小明：“通过观察和度量，发现∠C与∠D存在某种数量关系”；
小强：“通过构造三角形，证明三角形相似，进而可以求得 的值.
老师：如图2，将原题中“点D在BA的延长线上，点E在BC边上”改为“点D在AB边上，点E在BC的延长线上”，添加条件“BC＝5 ，EC＝4 ”，其它条件不变，可求出△BED的面积.
请回答：
（1）用等式表示∠C、∠D的数量关系并证明；
（2）求 的值；
（3）△BDE的面积为 （直接写出答案）.
【答案】（1）解：结论：∠C+∠D＝90°.
理由：如图1中，
∵∠AFD=∠EFC=60°，
∵∠BAC＝180°﹣∠C﹣30°＝150°﹣∠C，∠BAC＝∠AFD+∠D＝60°+∠D，
∴150°﹣∠C＝60°+∠D，
∴∠C+∠D＝90°
（2）解：过点A作AG⊥BC垂足为G，交DE点Q，过点E作EH⊥BD垂足为H，则∠DHE＝∠BHE＝90°.
∵∠AGC＝90°，
∴∠DHE═∠AGC.
∵∠C+∠D＝90°， ∠C+∠CAG＝90°.
∴∠D＝∠CAG，
∴△DEH∽△ACG.
∴ .
∴DH＝2AG.
∵∠B＝30°，∠AGB＝90°，
∴AB＝2AG.
∴AB＝DH.
∴AB﹣AH＝DH﹣AH.
即BH＝AD.
在Rt△BHE中， ＝cos30°＝ .
∴ ＝ ＝
（3）
【解析】【解答】（3）如图2中，在BA上取一点G，使得GB＝GC，作GJ⊥BC于J，AH⊥CG于H，EK⊥BA交BA的延长线于K.
∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣∠ADE﹣∠AFD，
∴150°﹣∠ACB＝120°﹣∠ADF，
∴∠ACB﹣30°＝∠ADE，
∵GB＝GC，GJ⊥BC，
∴∠GCB＝∠B＝30°，BJ＝JC= ＝ ，
∴∠ACH＝∠ACB﹣30°＝∠EDK，BG＝CG＝ ＝5，
∵∠ACH＝∠EDK，∠AHC＝∠K＝90°，
∴△DEK∽△CAH，
∴ ，
在Rt△BKE中，∵∠K＝90°，∠B＝30°，BE＝9 ，
∴EK＝ ，BK＝ ，
∴AH＝ ，
∴GH＝ AH＝ ，
∴CH＝CG﹣GH＝ ，
∴DK＝2CH＝ ，
∴BD＝BK﹣DK＝ ﹣ ＝8，
∴S△BDE＝ BD·EK＝ ×8× ＝18 .
故答案为18 .
【分析】（1）结论：∠C+∠D＝90°.利用三角形的内角和定理解决问题即可.（2）过点A作AG⊥BC垂足为G，交DE点Q，过点E作EH⊥BD垂足为H，则∠DHE＝∠BHE＝90°.利用相似三角形的性质解决问题即可.（3）如图2中，在BA上取一点G，使得GB＝GC，作GJ⊥BC于J，AH⊥CG于H，EK⊥BA交BA的延长线于K.利用相似三角形的性质解决问题即可.
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