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第3章 投影与三视图 单元精选真题测评卷
一、单选题
1．如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．若一圆锥的底面圆的周长是cm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是( )
A．40° B．80° C．120° D．150°
4．如图，在Rt中，.把分别绕直线AB和BC旋转一周，所得几何体的底面周长分别记作，侧面积分别记作，则（ ）
A． B．
C． D．
5．如图几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的圆心角等于120°，则围成的圆锥模型的高为（ ）
A．r B．2 r C． r D．3r
7．如图是某物体的三视图，则这个物体的形状是( )
A．四面体 B．直三棱柱 C．直四棱柱 D．直五棱柱
8．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
9．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值是（ ）
A． B． C． D．
10．将一个直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周，得到一个圆锥，若这个直角三角形斜边的长为，圆锥的侧面积为，则该圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图是一个三棱柱的三视图，中，，，则的长为 ．
12．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 cm．（结果保留π）
13．一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为 ．
14．小颖同学到学校领来n盒粉笔，整齐地摞在讲桌上，从三面看到的平面图形如图所示，则n的值是 .
15．在桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，设组成这个几何体的小正方体的个数为n，则n的最小值为 .
16．用正方体小木块搭建成的，下面三个图分别是它的从正面看、从左面看和从上面看，请你观察它是由 块小木块组成的．
三、综合题
17．用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图中的小正方形中字母表示在该位置上小立方块的个数，请解答下列问题：
（1） ， ， ；
（2）这个几何体最少由 个小立方块搭成，最多由 个小立方块搭成；
（3）当，时，在网格图中画出这个几何体从左面看到的形状图.
18．如图是由一些棱长都为1cm的小正方体组合成的简单几何体．
（1）从正面看该几何体，看到的形状图如图所示，请在下面方格纸中分别画出从左面看和从上面看该几何体看到的形状图；（画出的图需涂上阴影或斜线）
（2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从左面看和从上面看观察到的形状图不变，最多可以再添加 块小正方体．
19．把6个相同的小正方体摆成如图所示的几何体.
（1）画出该几何体的主视图、左视图、俯视图；
（2）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加 个小正方体.
20．小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：
（1）小明总共剪开了 条棱．（直接写出答案）
（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．
（3）据小明说：他所剪的所有棱中，最长的一条棱是最短的一条棱的5倍．现在已知这个长方体纸盒的底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是88cm，求这个长方体纸盒的体积．
21．如图，在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为10cm的小正方体堆成一个几何体(四面都不靠墙) ．
（1）这个几何体由 个小正方体组成．
（2）如果在这个几何体的表面喷上黄色的漆，则在所有的小正方体中，有 个正方体只有一个面是黄色，有 个正方体只有两个面是黄色，有 个正方体只有三个面是黄色．
（3）这个几何体喷漆的面积为 cm2．
22．一个圆锥的高为3 cm，侧面展开图是半圆，
求：
（1）圆锥母线与底面半径的比；
（2）锥角的大小；
（3）圆锥的全面积
23．几何体的三视图相互关联．已知直三棱柱的三视图如图，在 中， ， ， ．
（1）求 及 的长；
（2）若主视图与左视图两矩形相似，求 的长；
（3）在（2）的情况下，求直三棱柱的表面积．
24．如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球.
（1）球在地面上的影子是什么形状
（2）当把白炽灯向上平移时，影子的大小会怎样变化
（3）若白炽灯到球心的距离是1 m，到地面的距离是3 m，球的半径是0.2 m，则球在地面上影子的面积是多少
25．用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状如下图所示，从上面看到形状中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，请问：
（1）俯视图中b= ，a= ．
（2）这个几何体最少由 个小立方块搭成．
（3）能搭出满足条件的几何体共 种情况，请在所给网格图中画出小立方块最多时几何体的左视图．（为便于观察，请将视图中的小方格用斜线阴影标注，示例： ）．
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第3章 投影与三视图 单元精选真题测评卷
一、单选题
1．如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：从正面看，共有3列，每列的小正方形的个数从左到右依次为1、1、2．
故答案为：B．
【分析】从正面看，共有3列，每列的小正方形的个数从左到右依次为1、1、2，即可求出这个立体图形的主视图为选项B.
2．如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：从正面看到的平面图形是3列小正方形，从左至右第1列有1个，第2列有2个，第3列有2个，
故答案为：D．
【分析】根据三视图的定义求解即可。
3．若一圆锥的底面圆的周长是cm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是( )
A．40° B．80° C．120° D．150°
【答案】C
【解析】【分析】侧面半径=6cm
【解答】根据扇形弧长公式（n是圆心角的度数)可知l=4πcm
所以，n=120°。
【点评】本题难度中等，主要考查学生对圆锥侧面积及弧长公式等知识点的掌握，分析侧面半径为母线为解题关键。
4．如图，在Rt中，.把分别绕直线AB和BC旋转一周，所得几何体的底面周长分别记作，侧面积分别记作，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】 底面周长公式：.圆锥侧面积：.
5．如图几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：该几何体的俯视图为
，
故选D
【分析】从上面看几何体得到俯视图即可．
6．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的圆心角等于120°，则围成的圆锥模型的高为（ ）
A．r B．2 r C． r D．3r
【答案】B
【解析】【解答】：∵圆的半径为r，扇形的弧长等于底面圆的周长得出2πr．
设圆锥的母线长为R，则 =2πr，
解得：R=3r．
根据勾股定理得圆锥的高为2 r．
故答案为：B．
【分析】首先求围成的圆锥的母线长，再利用勾股定理求出圆锥模型高．
7．如图是某物体的三视图，则这个物体的形状是( )
A．四面体 B．直三棱柱 C．直四棱柱 D．直五棱柱
【答案】B
【解析】【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】只有直三棱柱的视图为1个三角形，2个矩形．
故选B．
【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力及动手操作能力．
8．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【解析】【解答】解：仔细观察物体的主视图和左视图可知：该几何体的下面最少要有2个小正方体，上面最少要有1个小正方体，
故该几何体最少有3个小正方体组成．
故答案为：D．
【分析】根据所给出的图形可知这个几何体共有2层，2列，先看第一层正方体可能的最少个数，再看第二层正方体的可能的最少个数，相加即可．
9．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
设正方体的每条边长为1；
截去部分体积是，
剩余部分体积是；
∴ 截去部分体积与剩余部分体积的比值是。
故答案为：D.
【分析】根据三视图，如图所示，即为截去部分的体积。截去部分的体积是一个棱锥，根据棱锥计算公式计算出来体积之后，再和剩余部分的体积进行对比做除法计算，即可得出答案。
10．将一个直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周，得到一个圆锥，若这个直角三角形斜边的长为，圆锥的侧面积为，则该圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】扇形的面积=，，解得c=10π，即圆锥的底面周长为10π，由可得圆锥的半径即直角三角形的一直角边为5，由勾股定理可知，可知直角三角形的另一直角边为12，即圆锥的高为12.
故答案为：B.
【分析】由扇形的面积可求出地面圆的周长，进而求出底面圆的半径即直角三角形的一条直角边，再由勾股定理即可求出另一直角边即圆锥的高。
二、填空题
11．如图是一个三棱柱的三视图，中，，，则的长为 ．
【答案】
12．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 cm．（结果保留π）
【答案】
【解析】【解答】展开图如图所示，
由图可知丝带的缠绕路径为A—E—F'（F）—C，
∴展开后AA'=2πcm，DC=πcm，AD=A'D'=3cm，
若丝带长度最短，则F、F'分别为AD、A'D'的的三等分点，
∴A'F'=A'D'=2cm，DF=AD=1cm
由勾股定理得：AF'= = cm．
同理FC=cm
∴丝带的长度为：AF'+FC=+=cm
故答案为： ．
【分析】根据图形的展开得到直角三角形，由勾股定理求出AC的值.
13．一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：设底面半径为R，
则扇形的弧长= ×2π×6=2πR，
∴R=3．
故答案为：3．
【分析】利用弧长公式和圆的周长公式求解．
14．小颖同学到学校领来n盒粉笔，整齐地摞在讲桌上，从三面看到的平面图形如图所示，则n的值是 .
【答案】7
【解析】【解答】由俯视图可得最底层有4盒，由主视图和左视图可得第二层有2盒，第三层有1盒，共有7盒.
故答案为7．
【分析】利用所给的图形计算求解即可。
15．在桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，设组成这个几何体的小正方体的个数为n，则n的最小值为 .
【答案】5
【解析】【解答】解：该几何体的底层小正方体最少是3个，第二层小正方体最少是2个，因此这个几何体最少由5个小正方体组成.
故答案为：5.
【分析】观察此几何体的主视图可知第一、二层小正方形的最少的个数，由此可得到n的最小值。
16．用正方体小木块搭建成的，下面三个图分别是它的从正面看、从左面看和从上面看，请你观察它是由 块小木块组成的．
【答案】10
【解析】【解答】解：从上面看有6个正方形，则最底层有6块小木块.
从正面看和从左面看可知，第二层有3块小木块，第三层有1块小木块.3
所以它是由6+3+1=10 块小木块组成的．
故答案为10：.
【分析】先从上面看判断最底层的小木块的个数，再从正面看和从左面看判断第二层和第三层的小木块的个数，相加即可判断.
三、综合题
17．用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图中的小正方形中字母表示在该位置上小立方块的个数，请解答下列问题：
（1） ， ， ；
（2）这个几何体最少由 个小立方块搭成，最多由 个小立方块搭成；
（3）当，时，在网格图中画出这个几何体从左面看到的形状图.
【答案】（1）3；1；1
（2）9；11
（3）解：如图所示：
【解析】【解答】（1）解：由从正面看到的图形可知，3，1，1；
（2）解：这个几何体最少由4＋2＋3＝9个小立方块搭成，最多由6＋2＋3＝11个小立方块搭成；
【分析】（1）根据主视图和俯视图的定义并结合题意可求解；
（2）根据主视图和俯视图的定义可知b、e、c是定值，a、b、d的最大值是2且至少有一个是2，结合图形可求解；
（3）根据左视图定义并结合题意可求解.
18．如图是由一些棱长都为1cm的小正方体组合成的简单几何体．
（1）从正面看该几何体，看到的形状图如图所示，请在下面方格纸中分别画出从左面看和从上面看该几何体看到的形状图；（画出的图需涂上阴影或斜线）
（2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从左面看和从上面看观察到的形状图不变，最多可以再添加 块小正方体．
【答案】（1）解：如图即为所求图形：
（2）6
【解析】【解答】（2）解：∵保持从左面看和从上面看观察到的形状图不变，可以在第二层及以上进行添加，第一层都不能添加，在几何体后面的一排正方体上从左往右，第1个正方体上添加2块，第3个正方体上添加2块，第4个正方体上添加2块，
∴（块），
∴最多可以再添加6块小正方体，
故答案为：6
【分析】（1）根据左视图和俯视图的定义画出即可；
（2）根据左视图，几何体的特征判断即可。
19．把6个相同的小正方体摆成如图所示的几何体.
（1）画出该几何体的主视图、左视图、俯视图；
（2）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加 个小正方体.
【答案】（1）解：如图所示：
（2）2
【解析】【解答】解：（2）最多可以再添加2个小正方体.
故答案为：2.
【分析】（1）从正面看得到从左往右3列正方形的个数依次为1，1，2；从左面看得到从左往右2列正方形的个数依次为2，1；从上面看得到从左往右3列正方形的个数依次为2，1，2，依此画出图形即可；
（2）保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再在后面一行第1和2列各添加1个小正方体．
20．小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：
（1）小明总共剪开了 条棱．（直接写出答案）
（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．
（3）据小明说：他所剪的所有棱中，最长的一条棱是最短的一条棱的5倍．现在已知这个长方体纸盒的底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是88cm，求这个长方体纸盒的体积．
【答案】（1）8
（2）解：如图，共四种情况：
（3）解：∵长方体纸盒的底面是一个正方形，
∴设最短的棱长高为acm，则长与宽相等为5acm，
∵长方体纸盒所有棱长的和是88cm，
∴4（a+5a+5a）=88，
解得：a=2cm，
∴这个长方体纸盒的体积为2×10×10=200（立方厘米）；
答：长方体纸盒的体积为200立方厘米．
【解析】【解答】解：（1）由题意可知小明共剪开了8条棱；
故答案为8；
【分析】（1）根据所给的图形，结合题意求解即可；
（2）根据题意作图即可；
（3）先求出 4（a+5a+5a）=88， 再计算求解即可。
21．如图，在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为10cm的小正方体堆成一个几何体(四面都不靠墙) ．
（1）这个几何体由 个小正方体组成．
（2）如果在这个几何体的表面喷上黄色的漆，则在所有的小正方体中，有 个正方体只有一个面是黄色，有 个正方体只有两个面是黄色，有 个正方体只有三个面是黄色．
（3）这个几何体喷漆的面积为 cm2．
【答案】（1）10
（2）1；2；3
（3）3200
【解析】【解答】（1）这个几何体由 10个小正方体组成．
（2）如果在这个几何体的表面喷上黄色的漆，则在所有的小正方体中，有 1个正方体只有一个面是黄色，有 2个正方体只有两个面是黄色，有 3个正方体只有三个面是黄色．
（3）露出表面的面一共有32个，则这个几何体喷漆的面积为3200cm2，
【分析】（1）根据几何体的形状，可得左列三排，第一排一层，第二排两层，后排三层，中间列两排，每排一层，右列一排，共一层，可得答案；
（2）根据几何体的形状，可得小正方体露出表面的个数；
（3）根据露出的小正方体的面数，可得几何体的表面积．
22．一个圆锥的高为3 cm，侧面展开图是半圆，
求：
（1）圆锥母线与底面半径的比；
（2）锥角的大小；
（3）圆锥的全面积
【答案】（1）解：设圆锥的母线长为R，底面圆的半径为r
∵圆锥的侧面展开图是半圆
∴2r=
∴R=2r
∴R：r=2：1
（2）解：如图
有、由（1）可知：R=2r
在Rt△AOB中，sin∠BSO=
∴∠BSO=30°
∴∠ASB=2∠BSO=60°
故锥角的度数为60°
（3）解：如图
∵在Rt△SOB中，SO=，R=2r
∴
∴
解之：r=3（取正值）
∴R=6
∴S圆锥的全面积=S侧面积+S底面圆=
∴圆锥的全面积为
【解析】【分析】（1）根据已知条件圆锥的侧面展开图是半圆，利用底面圆的周长=展开扇形的弧长，可求出结果。
（2）根据（1）的结论，利用解直角三角形可求出锥角的度数。
（3）根据圆锥的高和圆锥的母线长和底面圆半径的关系，利用勾股定理，求出圆锥的母线长和底面圆的半径，再根据S圆锥的全面积=S侧面积+S底面圆，计算即可求解。
23．几何体的三视图相互关联．已知直三棱柱的三视图如图，在 中， ， ， ．
（1）求 及 的长；
（2）若主视图与左视图两矩形相似，求 的长；
（3）在（2）的情况下，求直三棱柱的表面积．
【答案】（1）解：设Rt△PMN的斜边上的高为h，
∵ 已知直三棱柱的三视图如图，
∴BC=MN，FG=h，AB=EF
解之：MN=BC=5，
∴PM=3
∴
∴
解之：h=FG=.
（2）解：∵矩形ABCD∽矩形EFGH，AB=EF，
∴即
解之：.
（3）解：直三棱柱的表面积=.
【解析】【分析】（1）（2）设Rt△PMN的斜边上的高为h，观察直三棱柱的三视图，可知BC=MN，FG=h，利用锐角三角函数的定义可求出MN的长；再利用直角三角形的面积公式可求出GF的长，再利用相似矩形的对应边成比例，建立关于AB的方程，解方程求出AB的长.
（3）根据已知直三棱柱的表面积等于两个三角形的面积+三个矩形的面积，列式计算可求解.
24．如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球.
（1）球在地面上的影子是什么形状
（2）当把白炽灯向上平移时，影子的大小会怎样变化
（3）若白炽灯到球心的距离是1 m，到地面的距离是3 m，球的半径是0.2 m，则球在地面上影子的面积是多少
【答案】（1）解：球在地面上的影子的形状是圆.
（2）解：当把白炽灯向上平移时，影子会变小.
（3）解：由已知可作轴截面，如图所示：依题可得：OE=1 m，AE=0.2 m，OF=3 m，AB⊥OF于H，在Rt△OAE中，∴OA= = = (m)，∵∠AOH=∠EOA，∠AHO=∠EAO=90°，
∴△OAH∽△OEA，∴，
∴OH= == (m)，又∵∠OAE=∠AHE=90°，∠AEO=∠HEA，
∴△OAE∽△AHE，∴ = ，
∴AH= == (m).依题可得：△AHO∽△CFO，∴，∴CF= = (m)，∴S影子=π·CF2=π· = π=0.375π(m2).答：球在地面上影子的面积是0.375π m2.
【解析】【分析】（1）球在灯光的正下方，根据中心投影的特点可得影子是圆.
（2）根据中心投影的特点：在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；所以白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小.
（3）作轴截面（如图）由相似三角形的判定得三组三角形相似，再根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得阴影的半径，再根据面积公式即可求出面积.
25．用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状如下图所示，从上面看到形状中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，请问：
（1）俯视图中b= ，a= ．
（2）这个几何体最少由 个小立方块搭成．
（3）能搭出满足条件的几何体共 种情况，请在所给网格图中画出小立方块最多时几何体的左视图．（为便于观察，请将视图中的小方格用斜线阴影标注，示例： ）．
【答案】（1）1；3
（2）9
（3）7
【解析】【解答】（1）b=1，a=3；（2）1+1+2+1+1+3 =9个；（3）共7种情况，当d=2，e=2，f=2时小立方块最多.此时，左视图为：
【分析】（1）根据主视图可知：该几何体共有三行，从左至右第一行有2层，第二行有1层，第三行有4层；从俯视图可知最底层有6个正方体，共三行，从左至右第一行有3个，第二行有2个，第三行有1个，几何主视图即可得出a，b的值；
（2）根据题意，该几何体组合的最底层6个小正方体，第二层最少2个小正方体，第三层最少1个小正方体，从而即可算出搭出这个几何体组合最少需要的小正方体的数量；
（3）根据题意，该几何体组合的最底层6个小正方体，第二层最多4个小正方体，第三层最少1个小正方体，从而即可算出搭出这个几何体组合最多需要的小正方体的数量；进而即可得出能搭出满足条件的几何体的所有情况，再画出小立方块最多时几何体的左视图 。
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