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【50道常考综合题专练】浙教九年级下册第2章 直线与圆的位置关系
1．如图，点C是等边△ABD的边AD上的一点，且∠ACB＝75°，⊙O是△ABC的外接圆，连结AO并延长交BD于E、交⊙O于F．
（1）求证：∠BAF＝∠CBD；
（2）过点C作CG∥AE交BD于点G，求证：CG是⊙O的切线；
（3）在（2）的条件下，当AF＝2 时，求 的值．
2．如图，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，过点A作切线DE的垂线，垂足为D，且与⊙O交于点F，设∠DAC，∠CEA的度数分别是α，β．
（1）用含α的代数式表示β，并直接写出α的取值范围；
（2）连接OF与AC交于点O′，当点O′是AC的中点时，求α，β的值．
3．如图，是的直径，是半径，连接，．延长至点，使，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求半径的长．
4．小亮对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．求：
（1）大树到城堡南门的距离；
（2）城堡外圆的半径．
5．如图，已知∠ABC=90°，AB=BC.直线l与以BC为直径的圆O相切于点C.点F是圆O上异于B、C的动点，直线BF与l相交于点E，过点F作AF的垂线交直线BC于点D.
（1）如果BE=15，CE=9，求EF的长；
（2）证明：①△CDF∽△BAF；②CD=CE；
（3）探求动点F在什么位置时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使BC= CD，请说明你的理由.
6．如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求的长．
7．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的直径为d，AF＝h.
（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，AC＝3，求dh的值.
8．如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED=EA．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）当OE=10时，求BC的长．
9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°， AE平分∠BAC，交BC于点E，点D在AC上，以AD为直径的⊙O经过点E，点F在⊙O上，且EF平分∠AED，交AC于点G，连接DF．
（1）求证：△DEF∽△GDF：
（2）求证： BC是⊙O的切线：
（3）若cos∠CAE ＝，DF ＝10，求线段GF的长．
10．如图，是的直径，点C是外一点，点D在上，且，连接交于点E．过点E作于点H，交于点G，交于点F，且．
（1）猜想与的位置关系，并证明；
（2）连接，若，，求的长和的半径．
11．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B的平分线交AC于E，DE⊥BE.
（1）试说明AC是△BED外接圆的切线；
（2）若CE=1，BC=2，求△ABC内切圆的面积.
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC是经过⊙H的圆心，交⊙H于点D、E，AB、AC是圆的切线，F、G是切点.
（1）求证：BH＝CH；
（2）填空：①当∠FHG＝ 时，四边形FHCG是平行四边形；
②当∠FED＝ 时，四边形AFHG是正方形.
13．如图1，等腰直角三角形ABC的腰长是2，∠ABC=90度．以AB为直径作半圆O，M是BC上一动点（不运动至B、C两点），过点M引半圆为O的切线，切点是P，过点A作AB的垂线AN，交切线MP于点N，AC与ON、MN分别交于点E、F．
（1）证明：△MON是直角三角形；
（2）当BM= 时，求 的值（结果不取近似值）；
（3）当BM= 时（图2），判断△AEO与△CMF是否相似？如果相似，请证明；如果不相似，请说明理由．
14．如图1，在△APE中，∠PAE=90°，PO是△APE的角平分线，以O为圆心，OA为半径作圆交AE于点G．
（1）求证：直线PE是⊙O的切线；
（2）在图2中，设PE与⊙O相切于点H，连结AH，点D是⊙O的劣弧 上一点，过点D作⊙O的切线，交PA于点B，交PE于点C，已知△PBC的周长为4，tan∠EAH= ，求EH的长．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O交AC于点E，且交BC于点F，BE平分∠ABC．
（1）求证：AC是⊙O的切线：
（2）若BF=6，⊙O的半径为5，求CE的长。
16．如图，AG是∠HAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的⊙O交AG于点D，过点D作AH的垂线，垂足为点C，交AF于点B．
（1）求证：直线BC是⊙O的切线；
（2）若AC=2CD，设⊙O的半径为r，求BD的长度．
17．如图，内接于，是的直径，，于点，交于点，交于点，，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）判断的形状，并说明理由；
（3）当时，求的长．
18．如图，⊙O的直径AB＝6，C为圆周上的一点，BC＝3．过C点作⊙O的切线GE，作AD⊥GE于点D，交⊙O于点F．
（1）求证：∠ACG＝∠B．
（2）计算线段AF的长．
19．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上一点，连接BD，使∠A=2∠1，点E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若∠A=60°，⊙O的半径为2，求AB的长．
20．如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点C，点D是AB延长线上一点，∠A＝30°，∠D＝30°．
（1）求证：FD是⊙O的切线；
（2）取BE的中点M，连接MF，若⊙O的半径为2，求MF的长．
21．如图，在 中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若BC＝4，∠A＝30°，求 的长．（结果保留π）
22．如图，在平面直角坐标系中，⊙ 与 轴的正半轴交于 两点，与 轴的正半轴相切于点 ，连接 ，已知⊙ 半径为2， ，双曲线 经过圆心 ．
（1）求双曲线 的解析式；
（2）求直线 的解析式．
23．如图，已知是的角平分线，点是斜边上的动点，以点为圆心，长为半径的经过点，与相交于点.
（1）判定与的位置关系，为什么？
（2）若，，
①求、的值；
②试用和表示，猜测与，的关系，并用给予验证.
24．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.
（1）求证：∠BDC=∠A；
（2）若CE=4，DE=2，求AD的长.
25．如图， 是 的直径，点C在 的延长线上， 与 相切于点D， ，交 的延长线于点E．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求AB的长．
26．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC，过点C作CE⊥DB交DB的延长线于点E，直线AB与CE相交于点F．
（1）求证：CF为⊙O的切线；
（2）填空：当∠CAB的度数为 时，四边形ACFD是菱形．
27．如图，AB是 的直径，MN与 相切于点M，与AB的延长线交于点 于点H.
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的半径；
（3）在（2）的条件下，求线段BN.MN及劣弧BM围成的阴影部分面积.
28．如图，已知 中， ．
（1）请按如下要求完成尺规作图．（不写作法，保留作图痕迹）
① 的角平分线 ，交 于点D；
②作线段 的垂直平分线 与 相交于点O；
③以点O为圆心，以 长为半径画圆，交边 于点M．
（2）在（1）的条件下求证： 是 的切线；
（3）若 ， ，求 的半径．
29．在平面内， 为线段 的中点，所有到点 的距离等于 的点组成图形 ，取 的中点 ，过点 作 交图形 于的点 ， 在直线 的上方，连接 ， ．
（1）求∠ABD 的度数；
（2）若点 在线段 的延长线上，且 ，求直线 与图形 的公共点个数．
30．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE.
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径.
31．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E.过点D作DF⊥AC，垂足为F.
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若AB＝4，∠C＝30°，求劣弧的长.
32．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点 D作DE⊥AC，垂足为E.
（1）求证：DE是⊙O的切线.
（2）若⊙O的半径为2，∠A＝60°，求DE的长.
33．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，过点C作CE⊥AB于点E，CH⊥AD交AD的延长线于点H，连接BD交CE于点G.
（1）求证：CH是⊙O的切线；
（2）若点D为AH的中点，求证：AD＝BE；
（3）若cos∠DBA＝，CG＝5，求BD的长.
34．如图1，在△APE中，∠PAE＝90°，PO是△APE的角平分线，以O为圆心，OA为半径作圆交AE于点G．
（1）求证：直线PE是⊙O的切线；
（2）在图2中，设PE与⊙O相切于点H，连结AH交PO于点D，已知PA＝6，tan∠EAH＝ ．
①求⊙O的半径；
②求EH的长．
35．如图，AB为⊙O的直径，D为AB延长线上的点，AC为弦，且∠A＝∠D＝30°.
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为1cm，求图中阴影部分的面积.
36．如图，AB是⊙O的直径，AM、BN分别切⊙O于点A、B，CD交AM，BN于点D、C，DO平分∠ADC.
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD=4，BC=9，求⊙O的半径R.
37．如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点且∠BOD=60°，过点D作⊙O的切线CD交AB的延长线于点C，E为的中点，连接DE，EB．
（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；
（2）已知图中阴影部分面积为6π，求⊙O的半径r．
38．如图，点 在 的 边上， 经过点 、 ，且与 相交于点 .点 是下半圆弧的中点，连接 交 于点 ，已知 .
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的值.
39．如图，四边形内接于，连接、交于点，是的直径，且，过点作的切线，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
40．如图，的半径是，AB是的直径，半径于点O，点E是半径上一点，交于点D，且.
（1）求证：是的切线；
（2）若，求：和的长.
41．如图，点D是以AB为直径的半圆O上一点，连接BD，点C是AD的中点，过点C作直线BD的垂线，垂足为点E.
求证：
（1）CE是半圆O的切线；
（2）BC2=AB·BE.
42．数学活动﹣旋转变换
（1）如图①，在△ABC中，∠ABC=130°，将△ABC绕点C逆时针旋转50°，得到△A′B′C，连接BB′，求∠A′B′B的大小；
（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=150°，AB=3，BC=5，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，连接BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆．
（Ⅰ）猜想：直线BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论；
（Ⅱ）连接A′B，求线段A′B的长度．
43．如图，已知以 的边 为直径作 的外接圆的 平分线 交 于D，交 于 ，过E作 交 的延长线于F.
（1）求证： 是 切线；
（2）若 求 的长.
44．已知：AB为⊙O的直径，点D、N在⊙O上，连接AD、BN交于点F，过点D作⊙O的切线交BA的延长线于点C，且CD⊥BE于点E
（1）如图1，求证：AB＝BF；
（2）如图2，连接OD，点G在OD上，连接BG，若BG＝CD，求证：∠ACD＝∠EBG；
（3）如图3，在（2）的条件下，作AH//BE交⊙O于点H，过点G作MG⊥BG交AH于点M，连接MB，若DG＝8，MB＝25，求线段MG的长.
45．已知AD为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为M，分别过A，D两点作BC的垂线，垂足分别为B，C，AD的延长线与BC相交于点E．
（1）求证：△ABM∽△MCD；
（2）若AD=8，AB=5，求ME的长．
46．如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连结EC．∠ABE=2∠E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若tanE=，BD=1，则AB的长为
47．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，AP BC，BP交AC于Q.
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）连接OC交BQ于点D，若BP⊥AC于Q，CD＝2OD＝2，求AP的长.
48．如图，已知是的直径，，切于点，过点作交于点，若．
（1）如图1，连接，求证：；
（2）如图2，是上一点，在上取一点，使，连接．请问：三条线段有怎样的数量关系？并证明你的结论．
49．如图，抛物线 与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ，已知 .
（1）
求抛物线的函数表达式；
（2）
若点 在 轴上，在该抛物线的对称轴上，是否存在唯一的点 ，满足 ？如果存在，请求出点 的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）
若点 在 轴上，满足 的点 是否存在？如果存在，请求出点 的坐标；如果不存在，请说明理由.
50．如图，A为⊙O外一点，AO⊥BC，直径BC＝12，AO＝10，的长为π，点P是BC上一动点，∠DPM＝90°，点M在⊙O上，且∠DPM在DP的下方．
（1）当sinA＝时，求证：AM是⊙O的切线；
（2）求AM的最大长度．
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【50道常考综合题专练】浙教九年级下册第2章 直线与圆的位置关系
1．如图，点C是等边△ABD的边AD上的一点，且∠ACB＝75°，⊙O是△ABC的外接圆，连结AO并延长交BD于E、交⊙O于F．
（1）求证：∠BAF＝∠CBD；
（2）过点C作CG∥AE交BD于点G，求证：CG是⊙O的切线；
（3）在（2）的条件下，当AF＝2 时，求 的值．
【答案】（1）解：如图，连接CF．
∵AF为直径，
∴∠ACF＝90°，
∵∠ACB＝75°，
∴∠BCF＝90°﹣75°＝15°，
∴∠BAF＝15°，
∵△ABD为等边三角形，
∴∠D＝∠DAB＝∠DBA＝60°，
∴∠CBD＝∠ACB﹣∠D＝75°﹣60°＝15°，
∴∠BAF＝∠CBD
（2）解：过点C作CG∥AE交BD于点G，连接CO，
∵∠CAF＝∠CAB﹣∠BAF＝60°﹣15°＝45°，
∠ACF＝90°，
∴∠CFA＝45°，
∴CA＝CF，
∴CO⊥AF，
∵CG∥AE，
∴CO⊥CG，
∴CG是⊙O的切线
（3）解：作CH⊥AB于H，
∵AF＝ ，
∴AC＝CF＝ AF＝2，
在△ACB中，
∠CAB＝60°，∠ACB＝75°，∠ABC＝45°，
∴∠ACH＝30°，∠HCB＝∠HBC＝45°，
∴AH＝ AC＝1，CH＝ ，AH＝ ，BH＝CH＝ ，
∴AB＝AH+BH＝1+ ，
∴AD＝AB＝ ，CD＝AD﹣AC＝
∵CG∥AE，
∴∠DCG＝∠CAF＝45°，
在△DCG与△ABC中，
∠DCG＝∠ABC＝45°，∠D＝∠CAB＝60°，
∴△DCG∽△ABC，
∴ ，
∴ 的值为 ．
【解析】【分析】（1）连接CF，圆O是△ACF的外接圆，AF为直径则可得∠ACF=90°，根据同弧所对的圆周角相等这一定理推出∠BAF=∠FCB=15°，而∠ACB是△BCD的外角故∠CBD=∠ACB-∠D=15°，所以∠BAF=∠CBD；
（2）若要证明CG是切线，只需证明OC⊥CG即可。由（1）可知△ACF为直角三角形，且∠CAF=45°，所以其为等腰直角三角形，而O点为斜边的中点，AE//CG，故CO⊥CG。
（3）作CH⊥AB，结合（1）（2）可推出△ACH是一个含30°角的直角三角形，△CHB为等腰直角三角形，由AF=可知AC=2，则CH=BH=，根据“两个角对应相等的两个三角形相似”得到△DCG∽△ABC，运用相似比可求出其比值。
2．如图，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，过点A作切线DE的垂线，垂足为D，且与⊙O交于点F，设∠DAC，∠CEA的度数分别是α，β．
（1）用含α的代数式表示β，并直接写出α的取值范围；
（2）连接OF与AC交于点O′，当点O′是AC的中点时，求α，β的值．
【答案】（1）解：）连接OC．
∵DE是⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
∵AD⊥DE，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠DAE=2α，
∵∠D=90°，
∴∠DAE+∠E=90°，
∴2α+β=90°（0°＜α＜45°）
（2）解：连接OF交AC于O′，连接CF．
∵AO′=CO′，
∴AC⊥OF，
∴FA=FC，
∴∠FAC=∠FCA=∠CAO，
∴CF∥OA，∵AF∥OC，
∴四边形AFCO是平行四边形，
∵OA=OC，
∴四边形AFCO是菱形，
∴AF=AO=OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠FAO=2α=60°，
∴α=30°，
∵2α+β=90°，
∴β=30°，
∴α=β=30°．
【解析】【分析】（1）首先证明∠DAE=2α，在Rt△ADE中，根据两锐角互余，可知2α+β=90°，（0°＜α＜45°）；（2）连接OF交AC于O′，连接CF．只要证明四边形AFCO是菱形，推出△AFO是等边三角形即可解决问题；
3．如图，是的直径，是半径，连接，．延长至点，使，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求半径的长．
【答案】（1）证明：∵是的直径
∴
∴
∵
∴
∴，
∴
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴
∵
∴
∵，
∴
∴，
∵
∴
∴，
在中，，即
∴
∴半径长为．
【解析】【分析】（1）利用圆的切线判定定理即可证明；
（2）先求出DM，然后证明DC=DM，在直角三角形OAD中，利用勾股定理可列关于半径的方程，解之即可。
4．小亮对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．求：
（1）大树到城堡南门的距离；
（2）城堡外圆的半径．
【答案】（1）12里
（2）里
5．如图，已知∠ABC=90°，AB=BC.直线l与以BC为直径的圆O相切于点C.点F是圆O上异于B、C的动点，直线BF与l相交于点E，过点F作AF的垂线交直线BC于点D.
（1）如果BE=15，CE=9，求EF的长；
（2）证明：①△CDF∽△BAF；②CD=CE；
（3）探求动点F在什么位置时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使BC= CD，请说明你的理由.
【答案】（1）解：如图，
∵直线l与以BC为直径的圆O相切于点C.
∴∠BCE=90°，
又∵BC为直径，
∴∠BFC=∠CFE=90°，
∵∠FEC=∠CEB，
∴△CEF∽△BEC，
∴ ，
∵BE=15，CE=9，
即： ，
解得：EF= ；
（2）证明：①∵∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，
∴∠ABF=∠FCD，
同理：∠AFB=∠CFD，
∴△CDF∽△BAF；
②∵△CDF∽△BAF，
∴ ，
又∵∠FCE=∠CBF，∠BFC=∠CFE=90°，
∴△CEF∽△BCF，
∴ ，
∴ ，
又∵AB=BC，
∴CE=CD；
（3）解：
∵CE=CD，
∴BC= CD= CE，
在Rt△BCE中，tan∠CBE= ，
∴∠CBE=30°，
故 为60°，
∴F在直径BC下方的圆弧上，且 .
【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得∠BCE=90°，由圆周角定理可得∠BFC=90°，证明△CEF∽△BEC，然后根据相似三角形的性质进行计算；
（2）①根据同角的余角相等可得∠ABF=∠FCD，∠AFB=∠CFD，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
②证明△CEF∽△BCF，根据相似三角形的性质可得，然后结合AB=BC进行证明；
（3）由（2）知CE=CD，则BC=CD=CE，根据三角函数的概念结合特殊角的三角函数值可得∠CBE=30°，则为60°，据此解答.
6．如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接OD，则OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴ODAC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴直线DE是⊙O的切线．
（2）证明：线段是的直径，
，
∴∠ADM＝180°－∠ADB＝，
∴∠M＋∠DAM＝，∠ABM＋∠DAB＝，
∵∠DAM＝∠DAB，
∴∠M＝∠ABM，
∴AB＝AM．
（3）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，
∴∠BAM＝60°，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠M＝60°，
∵∠DEM＝90°，ME＝1，
∴∠EDM＝30°，
∴MD＝2ME＝2，
∴BD＝MD＝2，
∵∠BDF＝∠EDM＝30°，
∴∠BDF＝∠F，
∴BF＝BD＝2．
【解析】【分析】（1）连接OD，利用等边对等角可证得∠ODA＝∠OAD，利用角平分线的定义可推出∠ODA＝∠DAC，利用平行线的判定定理可证得OD∥AC，由DE⊥AC，可得到DE⊥OD，然后利用切线的判定定理可证得结论；
（2）利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠ADB=90°，可得到∠ADM=90°，利用等角的余角相等可证得∠M=∠ABM，利用等角对等边，可证得结论；
（3）利用已知易证△ABM是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出∠M=60°，∠EDM＝30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出MD的长，利用等边三角形的性质可得到BD的长；再证明∠BDF=∠F，利用等角对等边可证得BF=BD，即可求出BF的长.
7．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的直径为d，AF＝h.
（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，AC＝3，求dh的值.
【答案】（1）证明：如图1，连接OD，OB，OC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴ ，
∴∠BOD＝∠COD，
又∵OB＝OC，
∴OD⊥BC，
∵MN∥BC，
∴OD⊥MN，
∴MN是⊙O的切线
（2）解：如图2，连接AO并延长交⊙O于H，连接BH，
∵AH是直径，
∴∠ABH＝90°＝∠AFC，
又∵∠AHB＝∠ACF，
∴△ACF∽△AHB，
∴ ，
∴AB AC＝AH AF＝d h，
∵AB＝4，AC＝3，
∴dh＝12.
【解析】【分析】（1） 连接OD，OB，OC， 由圆周角与弧的关系可得 ，即可得等弧所对圆心角相等 ∠BOD＝∠COD， 由等腰三角形的性质可得 OD⊥BC， 且 MN∥BC可得OD⊥MN， 即 MN是⊙O的切线 ；（2） 连接AO并延长交⊙O于H，连接BH， 易证 △ACF∽△AHB，由相似三角形的性质可得结果.
8．如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED=EA．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）当OE=10时，求BC的长．
【答案】（1）证明：如图，连接OD．
∵AC⊥AB，
∴∠BAC=90°，即∠OAE=90°．
在△AOE与△DOE中，
，
∴△AOE≌△DOE（SSS），
∴∠OAE=∠ODE=90°，即OD⊥ED．
又∵OD是⊙O的半径，
∴ED是⊙O的切线；
（2）解：如上图，∵OE=10．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．
又∵由（1）知，△AOE≌△DOE，
∴∠AEO=∠DEO，
又∵AE=DE，
∴OE⊥AD，
∴OE∥BC，
∴ = ，
∴BC=2OE=20，即BC的长是20．
【解析】【分析】（1）如图，连接OD．通过证明△AOE≌△DOE得到∠OAE=∠ODE=90°，易证得结论；（2）利用圆周角定理和垂径定理推知OE∥BC，所以根据平行线分线段成比例求得BC的长度即可．本题考查了切线的判定与性质．解答（2）题时，也可以根据三角形中位线定理来求线段BC的长度．
9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°， AE平分∠BAC，交BC于点E，点D在AC上，以AD为直径的⊙O经过点E，点F在⊙O上，且EF平分∠AED，交AC于点G，连接DF．
（1）求证：△DEF∽△GDF：
（2）求证： BC是⊙O的切线：
（3）若cos∠CAE ＝，DF ＝10，求线段GF的长．
【答案】（1）证明：∵EF平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴
（2）证明：连接OE，
∵AE平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∵OE为半径，
∴BC是⊙O的切线
（3）解：连接OF、AF，
∵AD是⊙O的直径，
∴，
∵EF平分，
∴ ，
∴ ，
∴为等腰直角三角形，
∵ ， ，
∴ ，
， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中， ，
∴ ，
解得 或（不合题意，舍去），
∴线段GF的长为．
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义及圆周角定理可得，结合，即证 ；
（2） 连接OE，由角平分线的定义及等腰三角形的性质可得，从而得出 由平行线的性质可得，根据切线的判定定理即证；
（3） 连接OF、AF，可求出为等腰直角三角形， 从而求出AD、OA、OF的长，由 可得出AE的长，证明 利用相似三角形的性质可得，从而得出，在中，由得 ，据此求出GF即可 .
10．如图，是的直径，点C是外一点，点D在上，且，连接交于点E．过点E作于点H，交于点G，交于点F，且．
（1）猜想与的位置关系，并证明；
（2）连接，若，，求的长和的半径．
【答案】（1）解：与相切，证明如下：
∵，，
∴，
∴，
∵在中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵于点H，
∴，
∴，
∴，
又∵是的直径，
∴与相切，
（2）解：连接，，
∵在中，，
又∵在中，
∴，
∴，
∴，则，
∵在中于点H，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴
∴在中，
∵是的直径，
∴
∴，
∴，
∴，
∴；
【解析】【分析】（1）利用已知条件和三角形的外角的性质可证得∠D=∠1，利用等边对等角可证得∠C=∠D，可推出∠1=∠C，利用平行线的性质可得到∠ABC=∠2，再利用垂直的定义可证得∠ABC=90°，然后利用切线的判定定理可证得结论.
（2）连接AE，DF，利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠3=∠4，利用AAS可证得△BEG≌△FDG，利用全等三角形的性质可求出BG、BD的长；利用垂径定理和圆周角定理求出EH的长，∠3=∠7，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△BEG∽△BDE，利用相似三角形的对应边成比例可求出BE的长；利用勾股定理求出BH的长，然后利用解直角三角形求出AB的长，即可得到OB的长.
11．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B的平分线交AC于E，DE⊥BE.
（1）试说明AC是△BED外接圆的切线；
（2）若CE=1，BC=2，求△ABC内切圆的面积.
【答案】（1）证明：作BD的中点O，连接OE.
∵DE⊥BE，
∴BD是圆的直径.
∵OB=OE，
∴∠EBO=∠BEO，
又∵∠CBE=∠EBO，
在直角△BCE中，∠CBE+∠CEB=90°，
∴∠CEB+∠BEO=90°，即∠CEO=90°.
∴OE⊥AC，
∴AC是△BED外接圆的切线；
（2）解：在Rt△BCE中，BE= ，
∵∠CBE=∠DBE，∠C=∠BED=90°，
∴△CBE∽△EBD，
∴ ，
∴ ，
∴DE= ，BD= ，
∵OE∥BC，
∴ ，
∴ ，
∴AE= ，
∴ ，
∴OA= ，
∴AB= ，AC= ，
∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC的内切圆的半径r= =
∴圆的面积是：π .
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理即可证得BD是外接圆的直径，则作出BD的中点就是圆的圆心，连接OE，证明OE⊥AC即可证得AC是切线；（2）求出AB、AC，根据Rt△ABC的内切圆的半径r= ，计算即可；
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC是经过⊙H的圆心，交⊙H于点D、E，AB、AC是圆的切线，F、G是切点.
（1）求证：BH＝CH；
（2）填空：①当∠FHG＝ 时，四边形FHCG是平行四边形；
②当∠FED＝ 时，四边形AFHG是正方形.
【答案】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵AB、AC是⊙H的切线，
∴∠BFH＝∠CGH＝90°.
∵HF＝HG，
∴△BFH≌△CGH（AAS），
∴BH＝CH.
（2）90°；22.5°
【解析】【解答】解：（2）解：①当∠FHG＝90°时，四边形FHCG是平行四边形.
理由：∵△BFH≌△CGH（已证），
∴BF＝CG，
∵AB＝AC，
∴AF＝AG，
∴∠AFG＝∠AGF，
∵∠B＝∠C，∠A+2∠AGF＝180°，∠A+2∠C＝180°，
∴∠AGF＝∠C，
∴ ，
∵AC是⊙H的切线，
∴AC⊥HG，
∴∠FHG＝∠CGH＝90°，
∴ ，
∴四边形FHCG是平行四边形；
故答案为：90°；
②当∠FE D＝22.5°时，四边形AFHG是正方形.
理由：如图1中，连接EF.
，
，
∴∠FHD＝2∠FED＝45°，
∵△BFH≌△CGH（已证），
∴∠FHB＝∠GHC＝45°，
∴∠FHG＝90°，
∵AB，AC是⊙H的切线，
∴AB⊥HF，AC⊥HG，
∴∠AFH＝∠AGH＝90°，
∴四边形AFHG是矩形，
∵HF＝HG，
∴四边形AFHG是正方形.
故答案为：22.5°.
【分析】（1）证明△BFH≌△CGH可得结论；
（2）①当∠FHG＝90°时，四边形FHCG是平行四边形，分别证明FG∥CH，FH∥CG即可；
②当∠FED＝22.5°时，四边形AFHG是正方形.连接EF，首先证明∠AFH＝∠FHG＝∠AGH＝90°，推出四边形AFHG是矩形，再根据HF＝HG推出四边形AFHG是正方形.
13．如图1，等腰直角三角形ABC的腰长是2，∠ABC=90度．以AB为直径作半圆O，M是BC上一动点（不运动至B、C两点），过点M引半圆为O的切线，切点是P，过点A作AB的垂线AN，交切线MP于点N，AC与ON、MN分别交于点E、F．
（1）证明：△MON是直角三角形；
（2）当BM= 时，求 的值（结果不取近似值）；
（3）当BM= 时（图2），判断△AEO与△CMF是否相似？如果相似，请证明；如果不相似，请说明理由．
【答案】（1）证明：连接OP；
∵MB和MP是圆的切线，∴MP=MB；
又∵OP=OB，OM=OM，
∴Rt△MOP≌Rt△MOB；
∴∠POM=∠BOM，同理∠AON=∠PON；
∵∠POM+∠BOM+∠AON+∠PON=180°，
∴2（∠NOP+∠POM）=180°即∠NOP+∠POM=90°；
∴△NOM是直角三角形．
（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，AB=BC=2，
∴AO=OB=1，CM=BC﹣BM=2﹣ ；
∵∠MOB+∠AON=∠AON+∠ANO=90°
∴∠BOM=∠ANO；
∴Rt△OBM∽Rt△NAO，
∴OB：AN=BM：AO，得AN= ；
∵AN⊥AB，CB⊥AB，
∴AN∥BC；
∴CF：AF=CM：AN=（2﹣ ）： =2 ﹣3；
（3） 解：∵BM= ，OB=1，
∴tan∠MOB=MB：OB= ，即∠MOB=30°；
∴∠FMO=∠OMB=60°；
∴∠CMF=180°﹣2∠OMB=60°，∠EOA=180°﹣∠NOM﹣∠MOB=60°；
又∵∠C=∠OAE=45°
∴△AEO∽△CMF．
【解析】【分析】（1） 连接OP，根据切线长定理得出 MP=MB； 然后利用SSS判断出 Rt△MOP≌Rt△MOB ，根据全等三角形对应角相等得出 ∠POM=∠BOM，同理∠AON=∠PON，根据平角的定义即可得出 ∠NOP+∠POM=90°，故 △NOM是直角三角形 ；
（2）根据同角的余角相等得出 ∠BOM=∠ANO ，然后判断出 Rt△OBM∽Rt△NAO， 根据相似三角形对应边成比例得出 OB：AN=BM：AO ，根据比例式即可求出AN的长，根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出 AN∥BC ，根据平行线分线段成比例定理得出 CF：AF=CM：AN ，根据比例式即可得出答案；
（3）根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值，由 tan∠MOB=MB：OB= ，得出∠MOB=30°； 进而得出 ∠FMO=∠OMB=60° ，根据平角的定义得出 ∠CMF=60°=∠EOA ，根据等腰直角三角形的性质得出 ∠C=∠OAE=45° ，根据两组角对应相等的两个三角形相似得出 △AEO∽△CMF．
14．如图1，在△APE中，∠PAE=90°，PO是△APE的角平分线，以O为圆心，OA为半径作圆交AE于点G．
（1）求证：直线PE是⊙O的切线；
（2）在图2中，设PE与⊙O相切于点H，连结AH，点D是⊙O的劣弧 上一点，过点D作⊙O的切线，交PA于点B，交PE于点C，已知△PBC的周长为4，tan∠EAH= ，求EH的长．
【答案】（1）证明：如图1，
作OH⊥PE，
∴∠OHP=90°，
∵∠PAE=90，
∴∠OHP=∠OAP，
∵PO是∠APE的角平分线，
∴∠APO=∠EPO，
在△PAO和△PHO中
，
∴△PAO≌△PHO，
∴OH=OA，
∵OA是⊙O的半径，
∴OH是⊙O的半径，
∵OH⊥PE，
∴直线PE是⊙O的切线
（2）解：如图2，连接GH，
∵BC，PA，PB是⊙O的切线，
∴DB=DA，DC=CH，
∵△PBC的周长为4，
∴PB+PC+BC=4，
∴PB+PC+DB+DC=4，
∴PB+AB+PC+CH=4，
∴PA+PH=4，
∵PA，PH是⊙O的切线，
∴PA=PH，
∴PA=2，
由（1）得，△PAO≌△PHO，
∴∠OFA=90°，
∴∠EAH+∠AOP=90°，
∵∠OAP=90°，
∴∠AOP+∠APO=90°，
∴∠APO=∠EAH，
∵tan∠EAH= ，
∴tan∠APO= = ，
∴OA= PA=1，
∴AG=2，
∵∠AHG=90°，
∵tan∠EAH= = ，
∵△EGH∽△EHA，
∴ = ，
∴EH=2EG，AE=2EH，
∴AE=4EG，
∵AE=EG+AG，
∴EG+AG=4EG，
∴EG= AG= ，
∵EH是⊙O的切线，EGA是⊙O的割线，
∴EH2=EG×EA=EG×（EG+AG）= ×（ +2）= ，
∴EH=
【解析】【分析】（1）作OH⊥PE，由PO是∠APE的角平分线，得到∠APO=∠EPO，判断出△PAO≌△PHO，得到OH=OA，用“圆心到直线的距离等于半径”来得出直线PE是⊙O的切线；
（2）先利用切线的性质和△PBC的周长为4求出PA=2，再用三角函数求出OA，AG，然后用三角形相似，得到EH=2EG，AE=2EH，用勾股定理求出EG，最后用切割线定理即可．此题是切线的性质和判定题，主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，三角函数，解本题的关键是用三角函数求出OA．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O交AC于点E，且交BC于点F，BE平分∠ABC．
（1）求证：AC是⊙O的切线：
（2）若BF=6，⊙O的半径为5，求CE的长。
【答案】（1）证明：如图，连接OE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵ BE平分∠ABC．
∴∠OBE=∠EBC，
∴∠OEB=∠EBC，
∴OE∥BC，
∵ ∠ACB=90° ，
∴∠OEA=∠ACB=90°，
∴ AC是⊙O的切线 .
（2）解：过O作OH⊥BF，
∴BH=BF=3，四边形OHCE是矩形，
∴CE=OH，
在Rt△OBH中，BH=3，O，B=5，
∴OH==4，
∴CE=4.
【解析】【分析】（1）根据等角对等边得∠OBE=∠OEB，由角平分线的定义可得∠OBE=∠EBC，从而可得∠OEB=∠EBC，根据内错角相等，两直线平行可得OE∥BC，根据两直线平行，同位角相等可得∠OEA
=90°，从而可证
AC是⊙O的切线.
（2）根据垂径定理可求BH=
BF=3，根据三个角是直角的四边形是矩形，可得四边形OHCE是矩形，由矩形的对边相等可得CE=OH，在Rt△OBH中，利用勾股定理可求出OH的长，从而求出CE的长.
16．如图，AG是∠HAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的⊙O交AG于点D，过点D作AH的垂线，垂足为点C，交AF于点B．
（1）求证：直线BC是⊙O的切线；
（2）若AC=2CD，设⊙O的半径为r，求BD的长度．
【答案】（1）证明：连接OD，∵AG是∠HAF的平分线，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∵∠ACD=90°，
∴∠ODB=∠ACD=90°，即OD⊥CB，
∵D在⊙O上，
∴直线BC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ACD中，设CD=a，则AC=2a，AD= a，连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°，由∠CAD=∠BAD，∠ACD=∠ADE=90°，
∴△ACD∽△ADE，
∴ ，即 ，∴a= ，由（1）知：OD∥AC，∴ ，即 ，
∵a= ，解得BD= r．
【解析】【分析】（1）连接OD，根据角平分线的定义得出∠CAD=∠BAD，根据等边对等角得出∠OAD=∠ODA，故∠CAD=∠ODA，根据内错角相等二直线平行得出OD∥AC，根据二直线平行同位角相等得出∠ODB=∠ACD=90°，即OD⊥CB，故直线BC是⊙O的切线；
（2）在Rt△ACD中，设CD=a，则AC=2a，AD= a，连接DE，首先判断出△ACD∽△ADE，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式即可用含r的式子表示出a，根据平行线分线段成比例定理得出，从而即可用r的式子表示出BD的长。
17．如图，内接于，是的直径，，于点，交于点，交于点，，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）判断的形状，并说明理由；
（3）当时，求的长．
【答案】（1）证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
即，又是的直径，
∴是的切线；
（2）解：∵，是的直径，
∴，，
∴，
∵，，
∵，
∴，
又，
∴，
∴是等腰三角形，
（3）解：∵，，
设，则，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）连接，先根据圆周角定理即可得到，再结合题意得到，从而得到，再根据切线的判定即可求解；
（2）是等腰三角形，理由如下：先根据题意结合圆周角定理即可得到，，进而得到，再根据平行线的性质结合题意证明，从而根据等腰三角形的判定即可求解；
（3）设，则，进而得到等腰三角形的性质即可得到，进而即可得到。
18．如图，⊙O的直径AB＝6，C为圆周上的一点，BC＝3．过C点作⊙O的切线GE，作AD⊥GE于点D，交⊙O于点F．
（1）求证：∠ACG＝∠B．
（2）计算线段AF的长．
【答案】（1）证明：连接OC，BF．
∵GE是过点C的⊙O的切线，
∴OC⊥GE，即∠ACG+∠OCA＝90°．
∵AB是⊙O的直径，AO＝OC，
∴∠ACB＝90°，∠BAC＝∠OCA．
∵∠B+∠CAB＝90°，
∴∠B＝∠ACG；
（2）解：
∵Rt△ACB中，AB＝6，BC＝3，
∴∠CAB＝30°．
∵∠B＝∠ACG＝60°，AD⊥GE，
∴∠CAD＝30°．
∴∠DAB＝∠CAD+∠CAB＝60°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∵AB＝6，
∴AF＝ AB＝3．
【解析】【分析】（1）连接OC，BF．根据切线的性质得到OC⊥GE，即∠ACG+∠OCA＝90°，再根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB＝90°，则∠B+∠CAB＝90°，而∠BAC＝∠OCA，得到∠B＝∠ACG．（2）Rt△ACB中，AB＝6，BC＝3，得到∠CAB＝30°，而∠B＝∠ACG＝60°，AD⊥GE，则∠CAD＝30°，则∠DAB＝∠CAD+∠CAB＝60°，根据直径所对的圆周角为直角得到∠AFB＝90°，所以AF＝ AB＝3．
19．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上一点，连接BD，使∠A=2∠1，点E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若∠A=60°，⊙O的半径为2，求AB的长．
【答案】（1）证明：连接OD，
∵OD=OB，
∴∠1=∠ODB，
∴∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1，
而∠A=2∠1，
∴∠DOC=∠A，
∵∠A+∠C=90°，
∴∠DOC+∠C=90°，
∴OD⊥DC，
∴AC是⊙O的切线
（2）解：∵∠A=60°，
∴∠C=30°，∠DOC=60°，
在Rt△DOC中，OD=2，
∴OC=2OD=4，BC=OB+OC=6
在Rt△ABC中，AB=BC tan30°=2 ．
【解析】【分析】（1）首先依据直角三角形的性质可得到∠A+∠C=90°，然后由OD=OB得∠1=∠ODB，则根据三角形外角性质得∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1=∠A，故此可得到∠DOC+∠C=90°，最后，根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线；
（2）由直角三角形的性质可得到∠C=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得CD=2OD，最后，在Rt△ABC中，根据AB=BC tan30°计算即可.
20．如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点C，点D是AB延长线上一点，∠A＝30°，∠D＝30°．
（1）求证：FD是⊙O的切线；
（2）取BE的中点M，连接MF，若⊙O的半径为2，求MF的长．
【答案】（1）证明：如图，连接OE，OF，
∵EF⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴ ，
∴∠DOF＝∠DOE，
∵∠DOE＝2∠A，∠A＝30°，
∴∠DOF＝60°，
∵∠D＝30°，
∴∠OFD＝90°，
∴OF⊥FD．
∴FD为⊙O的切线.
（2）解：如图，连接OM，MF，
∵O是AB中点，M是BE中点，
∴OM∥AE．
∴∠MOB＝∠A＝30°．
∵OM过圆心，M是BE中点，
∴OM⊥BE．
∴MB= OB=1，
∴OM= = ，
∵∠OFD=90°，∠D=30°，
∴∠DOF＝60°，
∴∠MOF＝∠DOF+∠MOB=90°，
∴MF＝ ＝ ＝ ．
【解析】【分析】（1）如图，连接OE，OF，由垂径定理可知 ，根据圆周角定理可求出∠DOF=60°，根据三角形内角和定理可得∠OFD=90°，即可得FD为⊙O的切线；（2）如图，连接OM，由中位线的性质可得OM//AE，根据平行线的性质可得∠MOB＝∠A＝30°，根据垂径定理可得OM⊥BE，根据含30°角的直角三角形的性质可求出BE的长，利用勾股定理可求出OM的长，根据三角形内角和可得∠DOF=60°，即可求出∠MOF=90°，利用勾股定理求出MF的长即可.
21．如图，在 中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若BC＝4，∠A＝30°，求 的长．（结果保留π）
【答案】（1）证明：连接OD，CD，
∵BC为⊙O直径，
∴∠BDC=90°，
即CD⊥AB，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AD=BD，
∵OB=OC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴ ，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵D点在⊙O上，
∴DE为⊙O的切线；
（2）解：
【解析】【分析】（1）连接OD，CD，根据等腰三角形的性质及三角形中位线定理，可得OD∥AC，利用平行线的性质得出OD⊥DE，由于OD为半径，即证DE为⊙O的切线；
（2） 求出∠DOC=60°，利用弧长公式计算即可.
22．如图，在平面直角坐标系中，⊙ 与 轴的正半轴交于 两点，与 轴的正半轴相切于点 ，连接 ，已知⊙ 半径为2， ，双曲线 经过圆心 ．
（1）求双曲线 的解析式；
（2）求直线 的解析式．
【答案】（1）解：如图，过点 作 轴于 ，
∴ ，
∵⊙ 切 轴于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵双曲线 经过圆心 ，
∴ ，
∴双曲线的解析式为
（2）解：如图，过点 作直线，
由（1）知，四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ．
【解析】【分析】（1）根据切线的性质，即可证明四边形OCMN为矩形，由矩形的性质，在直角三角形中，根据叫AMN的余弦值即可得到MN的长度，得到点M的坐标，将坐标代入函数的解析式中，即可得到双曲线的解析式。
（2）根据四边形OCMN为矩形的性质，得到点C的坐标，在直角三角形ANM中，根据直角三角形的性质得到点B的坐标，可以设出直线BC的解析式，利用待定系数法得到答案。
23．如图，已知是的角平分线，点是斜边上的动点，以点为圆心，长为半径的经过点，与相交于点.
（1）判定与的位置关系，为什么？
（2）若，，
①求、的值；
②试用和表示，猜测与，的关系，并用给予验证.
【答案】（1）解：AC与的位置关系为相切，理由如下，
连接OD，如图所示
∵BD为的角平分线
∴
又∵过点B、D，设半径为r
∴OB=OD=r
∴
∴（内错角相等，两直线平行）
∵
∴AC与的位置关系为相切.
（2）解：①∵BC=3，
∴
∴
过点D作交于一点F，如图所示
∴CD=DF（角平分线的性质定理）
∴BF=BC=3
∴OF=BF-OB=3-r，
∴即
∴
∵
∴
∴
∴；
②
∴
∴
猜测
当时
∴
∴
∴.
【解析】【分析】（1）连接OD，根据角平分线概念得∠ABD=∠CBD，设OB=OD=r，结合等腰三角形性质得∠ODB=∠OBD=∠CBD，推出OD∥BC，结合BC⊥AD可得OD⊥AC，据此证明；
（2）①利用勾股定理可得BD，根据三角函数的概念可得sin∠DBC的值，过点D作DF⊥AB交于一点F，根据角平分线的性质可得CD=DF，则BF=BC=3，OF=3-r，OF=CD=，利用勾股定理可得r，根据平行线的性质可得∠ABC=∠FOD，然后结合三角函数的概念进行解答；②根据三角函数的概念求出cos∠DBC、sin∠DBC、cos∠DBC的值，猜想sin2α=2sinαcosα，令α=30°，求出sin2α、sinα、cosα的值，据此证明.
24．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.
（1）求证：∠BDC=∠A；
（2）若CE=4，DE=2，求AD的长.
【答案】（1）证明：连接OD，
∵CD是⊙O切线，
∴∠ODC=90°，即∠ODB+∠BDC=90°，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ODB+∠ADO=90°，∴∠BDC=∠ADO，
∵OA=OD，∴∠ADO=∠A，
∴∠BDC=∠A
（2）解：∵CE⊥AE， ∴∠E=∠ADB=90°， ∴DB∥EC， ∴∠DCE=∠BDC， ∵∠BDC=∠A， ∴∠A=∠DCE，
∵∠E=∠E， ∴△AEC∽△CED， ∴ ， ∴EC2=DE AE， ∴16=2（2+AD），
∴AD=6.
【解析】【分析】（1）连接OD，由CD是⊙O切线，得到∠ODC=90°，根据AB为⊙O的直径，得到∠ADB=90°，等量代换得到∠BDC=∠ADO，根据等腰直角三角形的性质得到∠ADO=∠A，即可得到结论；（2）根据垂直的定义得到∠E=∠ADB=90°，根据平行线的性质得到∠DCE=∠BDC，根据相似三角形的性质得到 ，解方程即可得到结论.
25．如图， 是 的直径，点C在 的延长线上， 与 相切于点D， ，交 的延长线于点E．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求AB的长．
【答案】（1）证明：如图，连接OD．
∵CD是切线，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC＝90°，
∴∠ADO+∠EDC＝90°，
∵∠EDC+∠DCE＝90°，
∴∠ADO＝∠DCE．
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO，
∴∠ECD＝∠A．
（2）解：由（1）知∠ECD＝∠A．
又∵∠E＝∠E，
∴△ECD∽△EAC．
∴ ，
即EC2＝ED EA．
∵ ， ，
∴42＝2EA，
∴EA＝8，
∴AD＝AE﹣DE＝8﹣2＝6．
在Rt△AEC中，
AC= ，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠E=90°，
∵∠DAB=∠EAC，
∴△ADB∽△AEC，
∴ 即 ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）连接OD．由CD是切线，得出OD⊥CD，推出∠ADO＝∠DCE，得出∠A＝∠ADO，即可得出结论；
（2）由（1）知∠ECD＝∠A．利用三角形相似得出△ECD∽△EAC．即EC2＝ED EA．在Rt△AEC中，利用勾股定理得出AC的值，再证出△ADB∽△AEC，得出 ，代入求值即可。
26．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC，过点C作CE⊥DB交DB的延长线于点E，直线AB与CE相交于点F．
（1）求证：CF为⊙O的切线；
（2）填空：当∠CAB的度数为 时，四边形ACFD是菱形．
【答案】（1）解：证明：连结OC，如图，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA，
∴∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，
∵∠ABD=2∠BAC，
∴∠ABD=∠BOC，
∴OC∥BD，
∵CE⊥BD，
∴OC⊥CE，
∴CF为⊙O的切线
（2）30°
【解析】【解答】(2)当∠CAB的度数为30°时，四边形ACFD是菱形，理由如下：
∵∠A=30°，
∴∠COF=60°，
∴∠F=30°，
∴∠A=∠F，
∴AC=CF，
连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BD，
∴AD∥CF，
∴∠DAF=∠F=30°，
在△ACB与△ADB中，
，
∴△ACB≌△ADB，
∴AD=AC，
∴AD=CF，
∵AD∥CF，
∴四边形ACFD是菱形。
故答案为：30°.
【分析】（1） 连结OC，根据等边对等角可得∠A=∠OCA，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，已知∠ABD=2∠BAC，所以∠ABD=∠BOC，根据平行线的判定可得OC∥BD，而CE⊥BD，所以OC⊥CE，根据圆的切线的判定可得CF为⊙O的切线；
（2）当∠CAB的度数为30°时，四边形ACFD是菱形，理由如下：连接AD，因为∠CAB=30°，由圆周角定理可得∠COF=60°，根据直角三角形两锐角互余可得∠F=30°，所以∠A=∠F，所以AC=CF；根据直径所对的圆周角是直角可得AD⊥BD，所以AD∥CF，由平行线的性质可得∠DAF=∠F=30°，用角角边可证得△ACB≌△ADB，所以AD=AC，所以AD=CF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，而AD=AC，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形ACFD是菱形。
27．如图，AB是 的直径，MN与 相切于点M，与AB的延长线交于点 于点H.
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的半径；
（3）在（2）的条件下，求线段BN.MN及劣弧BM围成的阴影部分面积.
【答案】（1）证明：连接OM；
∵NM是 的切线
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
（2）解：∵
∴
∵
∴
解得
故 的半径为5；
（3）解：∵ 的半径为5，
∴ ，
∴
.
【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得 ，再根据等边对等角可得 ，再根据垂直性质得到 ，即可证明 ；（2）根据含30°角的直角三角形的性质求解即可；（3）根据 求解即可.
28．如图，已知 中， ．
（1）请按如下要求完成尺规作图．（不写作法，保留作图痕迹）
① 的角平分线 ，交 于点D；
②作线段 的垂直平分线 与 相交于点O；
③以点O为圆心，以 长为半径画圆，交边 于点M．
（2）在（1）的条件下求证： 是 的切线；
（3）若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）解：作图如图所示：
（2）证明：由作图可知，OD=OA，∠OAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∵∠ADC+∠CAD=90°，
∴∠ADC+∠ODA=90°，即∠ODC=90°，
∴OD⊥BC，
∴ 是 的切线
（3）解：由（2）可知，OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴
【解析】【分析】（1）①根据尺规作图，作出角平分线；②根据尺规作图，作出垂直平分线；③根据尺规作图作出圆即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质求出角之间的关系，继而由平行线的判定得到OD∥AC，得到OD⊥BC即可；
（3）根据题意得到线段之间的关系，OM=2BM，BO=3BM，AB=5BM，由相似三角形的性质求出答案即可。
29．在平面内， 为线段 的中点，所有到点 的距离等于 的点组成图形 ，取 的中点 ，过点 作 交图形 于的点 ， 在直线 的上方，连接 ， ．
（1）求∠ABD 的度数；
（2）若点 在线段 的延长线上，且 ，求直线 与图形 的公共点个数．
【答案】（1）解：根据题意，图形 为以 为圆心， 为直径的圆，
连接
点 为 的中点，
是等边三角形
（2）解：
是 的切线
直线 与图形 的公共点个数为
【解析】【分析】（1）连接 ，再证明 是等边三角形，即可解答；（2）先证明 ，根据切线的判定方法即可解答.
30．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE.
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径.
【答案】（1）证明：连接OD，OE，如图所示：
∵，
∴∠A=∠ODA，
∵点E是边BC的中点，
∴OE∥AB，
∴∠DOE=∠ODA，∠A=∠COE，
∴∠DOE=∠COE，
∵，
∴△COE≌△DOE（SAS），
∵∠ACB＝90°，
∴∠ODE＝∠ACB＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接CD，如图所示：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∴△ADC∽△CDB，
∴，即，
∵AD＝4，BD＝9，
∴，
∴，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：，
∴⊙O的半径为.
【解析】【分析】（1）连接OD、OE，根据等腰三角形的性质可得∠A=∠ODA，根据三角形的中位线定理得OE∥AB，根据平行线的性质可得∠DOE=∠ODA，∠A=∠COE，则∠DOE=∠COE，证明△COE≌△DOE，得到∠ODE=∠ACB=90°，据此证明；
（2）连接CD，根据圆周角定理可得∠ADC＝∠CDB＝90°，由同角的余角相等可得∠A＝∠DCB，证明△ADC∽△CDB，根据相似三角形的性质可得CD，然后利用勾股定理进行计算.
31．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E.过点D作DF⊥AC，垂足为F.
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若AB＝4，∠C＝30°，求劣弧的长.
【答案】（1）证明：如图，连接OD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠C=∠ODB，
∴OD// AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
DF为⊙O的切线
（2）解：如图，连接OE，
∵∠B=∠C=30°，
∴∠EAB=∠B+∠C=60°，
∴∠EOB=2∠EAB=120°，
∴的长=.
【解析】【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质可得∠B=∠C=∠ODB， 根据平行线的判定可证OD// AC，由DF⊥AC， 利用平行线的性质可得DF⊥OD，根据切线的判定定理即证；
（2）连接OE，由等腰三角形的性质可得∠B=∠C=30°，利用三角形外角的性质可得 ∠EAB=60°， 根据圆周角定理可得∠EOB=2∠EAB=120°，再根据弧长公式计算即可.
32．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点 D作DE⊥AC，垂足为E.
（1）求证：DE是⊙O的切线.
（2）若⊙O的半径为2，∠A＝60°，求DE的长.
【答案】（1）证明：连接OD.
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB.
∴∠C＝∠ODB.
∴OD∥AC.
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°.
∴∠ODE＝∠DEC＝90°.
又OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线.
（2）解：∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC为等边三角形.
∴∠C＝60°，BC＝AB.
∵OD∥AC，
∴ ＝ .
∴BD＝CD.
∴CD＝ BC＝ AB＝2.
在Rt△CDE中，∠C＝60°，CD＝2，
∵sinC＝ ，
∴DE＝CD×sinC＝ .
【解析】【分析】（1）连接OD，先说明OD//AC，进而得到∠ODE=∠CED=90°，再根据DE⊥AC，即可证出OD⊥DE，从而完成证明；
（2）利用（1）中的结论，可以说明明△BOD是等边三角形，即可求得CD和BD的长，最后根据锐角三角函数即可解答.
33．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，过点C作CE⊥AB于点E，CH⊥AD交AD的延长线于点H，连接BD交CE于点G.
（1）求证：CH是⊙O的切线；
（2）若点D为AH的中点，求证：AD＝BE；
（3）若cos∠DBA＝，CG＝5，求BD的长.
【答案】（1）证明：如图1，连接OC，OD，
∵BC=CD，
∴∠BOC=∠COD=∠BOD，
又∵∠BAH=∠BOD，
∴∠BAH=∠BOC，
∴AH∥OC，
∵AH⊥CH，
∴OC⊥CH，
∴CH是⊙O的切线；
（2）证明：如图2，连接AC，
∵BC=CD，
∴，
∴∠BAC=∠CAH，
又∵CE⊥AB，CH⊥AH，
∴CE=CH，
∴Rt△CEB≌Rt△CHD（HL），
∴BE=DH，
∵点D为AH的中点，
∴AD=DH，
∴AD=BE；
（3）解：如图3，延长CE交⊙O于点F，
∵AB是⊙O的直径，CF⊥AB，
∴，
∴∠BCE=∠CBD，
∴GB=GC=5，
在Rt△GEB中，cos∠DBA=，
∴EB=4，
∴，
∴CE=CG+GE=5+3=8，
∵∠EAC=∠CAD=∠CBD=∠BCE，∠AEC=∠CEB=90°，
∴Rt△AEC∽Rt△CEB，
∴，
即，
∴AE=16，
∴AB=AE+BE=16+4=20，
在Rt△ADB中，cos∠DBA==，
∴.
【解析】【分析】（1）连接OC，OD，根据弦、圆心角的关系可得∠BOC=∠COD=∠BOD，根据圆周角定理可得∠BAH=∠BOD，则∠BAH=∠BOC，推出AH∥OC，进而得到OC⊥CH，据此证明；
（2）连接AC，根据圆周角定理可得∠BAC=∠CAH，证明Rt△CEB≌Rt△CHD，得到BE=DH，根据中点的概念可得AD=DH，据此证明；
（3）延长CE交⊙O于点F，则∠BCE=∠CBD，GB=GC=5，利用三角函数的概念可得EB，根据勾股定理可得GE，进而求出CE，证明Rt△AEC∽Rt△CEB，根据相似三角形的性质可得AE，然后求出AB，接下来利用三角函数的概念即可求出BD.
34．如图1，在△APE中，∠PAE＝90°，PO是△APE的角平分线，以O为圆心，OA为半径作圆交AE于点G．
（1）求证：直线PE是⊙O的切线；
（2）在图2中，设PE与⊙O相切于点H，连结AH交PO于点D，已知PA＝6，tan∠EAH＝ ．
①求⊙O的半径；
②求EH的长．
【答案】（1）证明：如图1，
作OH⊥PE，
∴∠OHP＝90°，
∵∠PAE＝90，
∴∠OHP＝∠OAP，
∵PO是∠APE的角平分线，
∴∠APO＝∠EPO，
在△PAO和△PHO中， ，
∴△PAO≌△PHO，
∴OH＝OA，
∵OA是⊙O的半径，
∴OH是⊙O的半径，
∴直线PE是⊙O的切线；
（2）证明：①如图，
∵∠PAO=90°，
∴ PA切⊙O于A，
∵PE与 ⊙O相切于点H ，
∴PA= PH=6，
∵PO是△APE的角平分线，
∴PO⊥AH，
∴∠APO+∠PAH= 90°，
∴∠EAH+∠PAH= 90° ，
∴∠APO=∠EAH，
∵tan∠EAH==tan∠APO，
在Rt△APO中，
∴OA=AP=×6=4，
② 由 ①知，OA=4，
∵PE是⊙O 的切线，
∴∠EHG=∠EAH，
∵∠HEG=∠AEH，
∴△EHG∽△EAH，
∴，
在Rt△AEG中，tan∠EAH=，
∴，
∴EG=EH，AE=EH，
∵AE-EG=AG=8，
∴EH-EH=8，
∴EH=.
【解析】【分析】 （1）作OH⊥PE，由PO是∠APE的角平分线，得到∠APO=∠EPO，判断出△PAO≌△PHO，得到OH=OA，用“圆心到直线的距离等于半径”来得出直线PE是 O的切线；
（2）①利用同角的余角相等得出，∠APO=∠EAH，再用锐角三角函数即可求出半径OA=4；
② 先判断出，△EHG∽△EAH得出的比例式，用EH表示AE，EG，用AG=AE-EG建立方程即可求出EH即可．
35．如图，AB为⊙O的直径，D为AB延长线上的点，AC为弦，且∠A＝∠D＝30°.
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为1cm，求图中阴影部分的面积.
【答案】（1）证明：连接OC，
∵∠A ＝∠D＝30°，
由圆周角定理得：∠COD＝2∠A ＝60°.
∴∠DCO＝180°﹣∠COD-∠D=180°-60°﹣30°＝ 90°，
∴OC⊥CD.
∵OC为半径，
∴DC是⊙O切线.
（2）在Rt△OCD中，∠D＝30°，OC＝1cm，
∴OD＝2cm，
由勾股定理得：DC＝ cm.
∴图中阴影部分的面积 .
【解析】【分析】（1）连接OC.由圆周角定理得：∠COD＝2∠A ＝60°.根据三角形内角和可求∠OCD＝90°即可；
（2）阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积即可.
36．如图，AB是⊙O的直径，AM、BN分别切⊙O于点A、B，CD交AM，BN于点D、C，DO平分∠ADC.
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD=4，BC=9，求⊙O的半径R.
【答案】（1）解：过O点作OE⊥CD于点E，
∵AM切⊙O于点A，
∴OA⊥AD，
又∵DO平分∠ADC，
∴OE=OA，
∵OA为⊙O的半径，
∴OE是⊙O的半径，且OE⊥DC，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：过点D作DF⊥BC于点F，
∵AM，BN分别切⊙O于点A，B，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∴四边形ABFD是矩形，
∴AD=BF，AB=DF，
又∵AD=4，BC=9，
∴FC=9﹣4=5，
∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E，
∴DA=DE，CB=CE，
∴DC=AD+BC=4+9=13，
在Rt△DFC中，DC2=DF2+FC2，
∴DF==12，
∴AB=12，
∴⊙O的半径R是6.
【解析】【分析】（1）过O点作OE⊥CD于点E，利用切线的性质可证得OA⊥AD，利用角平分线的性质可证得OA=OE，利用切线的判定定理可证得结论；
（2）过点D作DF⊥BC于点F，利用切线的性质可证得AB⊥AD，AB⊥BC，由此可推出四边形ABFD是矩形，利用矩形的性质可得到AD=BF，AB=DF，即可得到FC的长；再利用切线长定理求出DC的长，然后利用勾股定理求出DF的长，即可得到AB的长，由此可求出圆的半径.
37．如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点且∠BOD=60°，过点D作⊙O的切线CD交AB的延长线于点C，E为的中点，连接DE，EB．
（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；
（2）已知图中阴影部分面积为6π，求⊙O的半径r．
【答案】（1）【解答】解：∵∠BOD=60°，
∴∠AOD=120°，
∴=，
∵E为的中点，
∴，
∴DE∥AB，OD⊥BE，
即DE∥BC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴BE∥CD，
∴四边形BCDE是平行四边形；
（2）连接OE，由1知，，
∴∠BOE=120°，
∵阴影部分面积为6π，
∴=6π，
∴r=6．
【解析】【分析】（1）由∠BOD=60°E为的中点，得到，于是得到DE∥BC，根据CD是⊙O的切线，得到OD⊥CD，于是得到BE∥CD，即可证得四边形BCDE是平行四边形；
（2）连接OE，由（1）知，，得到∠BOE=120°，根据扇形的面积公式列方程即可得到结论．
38．如图，点 在 的 边上， 经过点 、 ，且与 相交于点 .点 是下半圆弧的中点，连接 交 于点 ，已知 .
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的值.
【答案】（1）证明：连接 、 ，
∵点 是下半圆弧的中点， 过 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ 为半径，
∴ 是 的切线
（2）解：设 ，则 ， ，
∵ ，
由勾股定理得： ，
∴ ，
解得： ，
∴
【解析】【分析】（1）连接OA、OE，根据垂径定理得OE⊥DC，由等腰三角形的性质可得∠BAF=∠BFA，∠E=∠OAE，由对顶角的性质可得∠AFB=∠OFE，推出OA⊥AB，据此证明；
（2）设AB=x，则BF=x，OB=x+1，由勾股定理求出x，然后结合三角函数的概念进行求解.
39．如图，四边形内接于，连接、交于点，是的直径，且，过点作的切线，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明： 是 的直径， ，
，
是 的切线，
，
；
（2）解： ， ，
，
∵AC是圆的直径，
，
又 ，
，即 ，
，
，
，
，即 ，
．
【解析】【分析】（1）由垂径定理证得AC⊥BD，然后由切线的性质得AC⊥CF，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行证得CF∥BD；
（2）先利用∠F的余弦函数可得，据此求出CF的长，再由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△AEB∽△ACF，然后通过相似三角形对应边成比例建立方程可求得BE的长度.
40．如图，的半径是，AB是的直径，半径于点O，点E是半径上一点，交于点D，且.
（1）求证：是的切线；
（2）若，求：和的长.
【答案】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，又，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，又是的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，由勾股定理得，
则，解得，
∴，
在中，，
∴.
【解析】【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质可得∠ODC=∠OCD，∠PDE=∠PED，根据对顶角的性质可得∠OEC=∠PED，由同角的余角相等可得∠PDE=∠PED，则∠ODP=∠PDE+∠ODC=90°，据此证明；
（2）连接AD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，∠ABD=∠ACD，结合三角函数的概念可设AD=x，则BD=2x，接下来在Rt△ADB、Rt△AOC中，根据勾股定理进行计算.
41．如图，点D是以AB为直径的半圆O上一点，连接BD，点C是AD的中点，过点C作直线BD的垂线，垂足为点E.
求证：
（1）CE是半圆O的切线；
（2）BC2=AB·BE.
【答案】（1）证明：连接OC， ∵点C是 的中点，∴ ＝ ， ∴∠ABC＝∠DBC，
∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠OCB＝∠CBD，
∴OC∥BD，
又CE⊥BE，∴OC⊥CE，
∴CE是半圆O的切线；
（2）证明：连接AC， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， ∵CE⊥BE，∴∠E＝90°，
∴∠E＝∠ACB，
又∠ABC＝∠CBD，∴△ABC∽△CBE， ∴ ，
∴BC2＝AB BE．
【解析】【分析】（1）连接OC，利用圆周角定理得∠ABC＝∠DBC，利用等腰三角形的性质得∠OCB＝∠OBC，等量代换得∠OCB＝∠CBD，则利用平行线的性质可得OC∥BD，然后平行线的性质得OC⊥CE，即可得证；
（2）连接AC。由AB是⊙O的直径，可得∠ACB＝90°；利用垂直的定义得∠E＝90°，则有∠E＝∠ACB，
又∠ABC＝∠CBD，可得△ABC∽△CBE，利用相似三角形对应边成比例得，利用比例的性质变形即可得证。
42．数学活动﹣旋转变换
（1）如图①，在△ABC中，∠ABC=130°，将△ABC绕点C逆时针旋转50°，得到△A′B′C，连接BB′，求∠A′B′B的大小；
（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=150°，AB=3，BC=5，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，连接BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆．
（Ⅰ）猜想：直线BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论；
（Ⅱ）连接A′B，求线段A′B的长度．
【答案】（1）解：由旋转变换的性质可知，∠A′B′C=∠ABC=130°，∠BCB′=50°，CB=CB′，
∴∠CB′B=65°，
∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠CB′B=65°
（2）解：（Ⅰ）直线BB′与⊙A′相切，
∵∠A′B′C=∠ABC=150°，∠BCB′=60°，CB=CB′，
∴∠CB′B=60°，
∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠CB′B=90°，
∴直线BB′与⊙A′相切；
（Ⅱ）在Rt△A′B′B中，∠A′B′B=90°，BB′=BC=5，AB′=AB=3，
由勾股定理得，A′B= =
【解析】【分析】（1）根据旋转变换的性质得到∠A′B′C=∠ABC=130°，∠BCB′=50°，CB=CB′，根据等腰三角形的性质求出∠A′B′B的大小；（2）（Ⅰ）根据旋转变换的性质求出∠A′B′B=90°，根据切线的判定定理证明；（Ⅱ）根据旋转变换的性质和勾股定理计算即可．
43．如图，已知以 的边 为直径作 的外接圆的 平分线 交 于D，交 于 ，过E作 交 的延长线于F.
（1）求证： 是 切线；
（2）若 求 的长.
【答案】（1）证明：连接OE，
∵∠B的平分线BE交AC于D，
∴∠CBE=∠OBE，
∵EF∥AC，
∴∠CAE=∠FEA，
∵∠OBE=∠OEB，∠CBE=∠CAE，
∴∠FEA=∠OEB，
∵AB是 的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠FEO=90°，
∴EF是 切线
（2）解：∵∠FEA=∠OEB=∠OBE，∠F=∠F，
∴ FEA~ FBE，
∴ ，
即： ，
∴AF×(AF+15)=10×10，解得：AF=5或AF=-20（舍去），
∴ ，
∵在Rt ABE中，AE2+BE2=AB2，
∴AE2+（2AE）2=152，
∴AE=
【解析】【分析】（1）要证EF是 的切线，只要连接OE，再证∠FEO=90°即可；
（2）证明△FEA∽△FBE，得出 ，从而得到AF的值，进而得到 ，结合勾股定理得到关于AE的方程，即可求出AE的长.
44．已知：AB为⊙O的直径，点D、N在⊙O上，连接AD、BN交于点F，过点D作⊙O的切线交BA的延长线于点C，且CD⊥BE于点E
（1）如图1，求证：AB＝BF；
（2）如图2，连接OD，点G在OD上，连接BG，若BG＝CD，求证：∠ACD＝∠EBG；
（3）如图3，在（2）的条件下，作AH//BE交⊙O于点H，过点G作MG⊥BG交AH于点M，连接MB，若DG＝8，MB＝25，求线段MG的长.
【答案】（1）证明：如图1，连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD
∵CD⊥BE
∴OD∥BE
∴∠F＝∠ODA
∵OD＝OA
∴∠BAF＝∠ODA
∴∠BAF＝∠F
∴AB＝BF
（2）证明：如图，过点D作DH⊥AB，过点G作GP⊥BE，连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，且AB＝AF
∴∠ABD＝∠FBD，且∠DEB＝∠DHB＝90°，DB＝DB
∴△DHB≌△DEB（AAS）
∴DH＝DE，BH＝BE
∵DE⊥BE，DE⊥OD，GP⊥BE
∴四边形DEPG是矩形，
∴DE＝GP＝DH，DG＝EP，
∵DH＝DE，CD＝BG
∴Rt△CDH≌Rt△BGP（HL）
∴∠ACD＝∠EBG
（3）解：如图3，
∵OD∥BE
∴∠EBG＝∠BGO，
∴∠BGO＝∠ACD
∵OD⊥CD，GB⊥GM
∴∠ACD+∠COD＝90°，∠BGO+∠MGO＝90°
∴∠MGO＝∠COD，
∴GK＝KO，
∵AH∥DO
∴∠MGO＝∠GMA，∠COD＝∠OAM
∴∠OAM＝∠GMA
∴AK＝KM
∴KO+AK＝GK+KM
∴AO＝GM，
∴GM＝DO，BG＝CD，∠CDO＝∠MGB＝90°
∴△CDO≌△MGB（SAS）
∴CO＝BM＝25，
∵Rt△CDH≌Rt△BGP
∴CH＝BP
设AO＝DO＝BO＝r＝GM，BP＝x＝CH，
∴BE＝BH＝x+8，
∴AH＝2r﹣x﹣8，AC＝25﹣r
∴CH＝AH+AC＝2r﹣x﹣8+25﹣r＝x
∴x＝
∵∠C＝∠C，∠CDO＝∠CEB＝90°
∴△CDO∽△CEB
∴
∴
∴2r2+25r﹣25×33＝0
∴r＝15，r＝﹣ （不合题意舍去）
∴GM＝15
【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线的性质可得OD⊥CD，推出OD∥BE，根据平行线的性质可得∠F＝∠ODA，根据等腰三角形的性质可得∠BAF＝∠ODA，推出∠BAF＝∠F，据此证明；
（2）过点D作DH⊥AB，过点G作GP⊥BE，连接BD，根据圆周角定理可得∠ADB＝90°，证明△DHB≌△DEB，得到DH＝DE，BH＝BE，易得四边形DEPG是矩形，则DE＝GP＝DH，DG＝EP，然后证明Rt△CDH≌Rt△BGP，据此可得结论；
（3）根据平行线的性质可得∠EBG＝∠BGO，则∠BGO＝∠ACD，根据等角的余角相等可得∠MGO＝∠COD，则GK＝KO，同理可得AK＝KM，推出AO＝GM，证明△CDO≌△MGB，得到CO＝BM＝25，根据全等三角形的性质可得CH＝BP，设AO＝DO＝BO＝r＝GM，BP＝x＝CH，则BE＝BH＝x+8，AH＝2r-x-8，AC＝25-r，CH＝x，表示出x，证明△CDO∽△CEB，根据相似三角形的性质可得r，进而可得GM.
45．已知AD为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为M，分别过A，D两点作BC的垂线，垂足分别为B，C，AD的延长线与BC相交于点E．
（1）求证：△ABM∽△MCD；
（2）若AD=8，AB=5，求ME的长．
【答案】（1）证明：∵AD为圆O的直径，∴∠AMD=90°． ∵∠BMC=180°，∴∠2+∠3=90°． ∵∠ABM=∠MCD=90°，∴∠2+∠1=90°，∴∠1=∠3，∴△ABM∽△MCD
（2）解：连接OM． ∵BC为圆O的切线，∴OM⊥BC． ∵AB⊥BC，∴sin∠E= = ，即 = ． ∵AD=8，AB=5，∴ = ，即OE=16，根据勾股定理得：ME= = =4 ．
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出 ∠AMD=90°． 根据同角的余角相等得出 ∠1=∠3， 利用有两组角对应相等的两个三角形相似得出 △ABM∽△MCD ；
（2） 连接OM． 根据切线的性质得出 OM⊥BC． 根据正弦函数的定义得出 sin∠E= = ，即 = ，根据比例式即可求出OE的长，然后根据勾股定理即可算出ME的长。
46．如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连结EC．∠ABE=2∠E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若tanE=，BD=1，则AB的长为
【答案】（1）证明：连结OC，
∵OE=OC，
∴∠E=∠OCE，
∵∠BOC=∠E+∠OCE，
∴∠BOC=2∠E，
∵∠ABE=2∠E
∴∠ABE=∠BOC，
∴AB∥OC，
∵AB⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）8
【解析】【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到∠ABE＝∠BOC，根据平行线的性质得到OC⊥CD，于是得到CD是⊙O的切线；
（2）连接AC，BC，根据圆周角定理得到∠BCE＝90°，推出∠BCD＝∠OCE，得到∠BCD＝∠E，根据三角函数的定义得到结论．
47．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，AP BC，BP交AC于Q.
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）连接OC交BQ于点D，若BP⊥AC于Q，CD＝2OD＝2，求AP的长.
【答案】（1）证明：如图，作AE⊥BC于点E，
∵AB=AC，
∴点O在AE上，
∵AP BC，
∴AE⊥AP，
∴PA是⊙O的切线.
（2）解：过点O作OF⊥AC交AC于F，则AF=CF
∵BP⊥AC，OF⊥AC
∴OF DQ
∴ ，
∵CD＝2OD＝2，
∴OD=1，OC=3；
∴ = ；
设FQ=x，则QC=2x，CF=AF=3x，AQ=4x；
∴AB=AC=6x，
在Rt△ABQ中，
BQ2= ，
即BQ2= ，
BQ2=20x2
∴BQ=2
在Rt△BCQ中，
=
=2
∴CE= =
在Rt△AEC中，
AE=
=
=
在△AOF和△ACE中，
，
∴△AOF∽△ACE
∴ ，
即
解得：x= ，
∴AQ=4 = ，
BC=2 = ，
QC=2 =
∵AP BC
∴∠P=∠QBC，∠PAQ=∠BCQ
∴△APQ∽△CBQ
∴
即
∴AP=
【解析】【分析】（1）作AE⊥BC于点E，由垂径定理和等腰三角形的性质可知点O在AE上，利用AP∥CB，可证得AE⊥AP，利用切线的判定定理可证得结论；
（2）过点O作OF⊥AC交AC于F，利用垂径定理可知AF=CF，易证OF∥DQ，易求OD，OC的长，利用平行线分线段成比例定理，可求出FQ与QC的比值，设FQ=x，可表示出QC，CF，AF，AQ，AB的长；利用勾股定理表示出BQ、BC、CE及AE的长；再证明△AOF∽△ACE，利用相似三角形的性质可建立关于x的方程，解方程求出x的值；从而可求出AQ，BC，QC的长；然后证明△APQ∽△CBQ，利用相似三角形的对应边成比例，可得到AP的长.
48．如图，已知是的直径，，切于点，过点作交于点，若．
（1）如图1，连接，求证：；
（2）如图2，是上一点，在上取一点，使，连接．请问：三条线段有怎样的数量关系？并证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵，是半径，
∴是的切线，
∵是的切线，
∴，
∵
∴，
∴
∴，，
∵
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下，
延长至使得，连接，，如图所示
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）可得，
又是直径，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
即．
【解析】【分析】（1）先根据切线的判定证明是的切线，进而根据切线长定理即可得到，进而即可得到，从而得到，进而即可得到，，再根据题意即可得到，进而根据圆周角定理即可得到，进而得到，再根据含30°角的直角三角形的性质即可得到，进而根据三角形全等的判定即可求解；
（2），理由如下：延长至使得，连接，，先根据题意即可得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，，由（1）可得，再根据圆周角定理得到，进而得到，从而证明，再根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而即可求解。
49．如图，抛物线 与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ，已知 .
（1）
求抛物线的函数表达式；
（2）
若点 在 轴上，在该抛物线的对称轴上，是否存在唯一的点 ，满足 ？如果存在，请求出点 的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）
若点 在 轴上，满足 的点 是否存在？如果存在，请求出点 的坐标；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1） 解： ， ，
∽ ，
，
，
，
，
抛物线 与 轴交于点 ， ，
设 ，
把 代入得 ，解得 ，
抛物线的函数表达式 ；
（2） 解：存在，
抛物线的对称轴上是否存在唯一的点 ，满足 ，就是指以 为直径的圆与对称轴：直线 有唯一的交点，即相切.
如图，
设 的中点为 ，
，
点 的横坐标为 ，
点 到直线 的距离为 ，
直径 的长为 ，
，
点 的坐标为 或 ；
（3） 解：存在，如图：
当点 在以 为弦的 上，圆心角 .
过点 做 于 ，则 .
，
.
，
，
或 ，
设 ，
，
当 时， ，
或 ，
同理，当 时， 或
综上所述，点 的坐标为 或 或 或 .
【解析】【分析】（1）由已知条件知∠OAC=∠OCB，∠AOC=∠COB=90°，证明△OAC∽△OCB，根据相似三角形的性质可得OC的值，设y=a(x-1)(x-9)，将点C的坐标代入求出a的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）由题意可得以AP为直径的圆与对称轴x=5有唯一的交点，即相切，设AP的中点为M，易得点M的横坐标为0.5，则点M到直线x=5的距离为4.5，然后求出OP，据此可得点P的坐标；
（3）当点P在以AB为弦的⊙N上时，根据圆周角定理可得∠ANB=2∠APB，过点N做NH⊥AB于H，则∠ANH=∠APB，结合三角函数的概念可得AN=6，利用勾股定理求出NH，据此可得点N的坐标，设P（0，p），根据两点间距离公式可得p的值，据此可得点P的坐标.
50．如图，A为⊙O外一点，AO⊥BC，直径BC＝12，AO＝10，的长为π，点P是BC上一动点，∠DPM＝90°，点M在⊙O上，且∠DPM在DP的下方．
（1）当sinA＝时，求证：AM是⊙O的切线；
（2）求AM的最大长度．
【答案】（1）证明：如图①，过点O作OE⊥AM于点E，
∵在Rt△AOE中，当sinA＝，OA＝10，
∴OE＝6
∵直径BC＝12，
∴OM＝6＝OE，
∴点E与点M重合，OM⊥AM，
∴AM是⊙O的切线．
（2）解：如图②，当点P与点B重合时，AM取得最大值．AM的最大长度可以通过勾股定理求得．
延长AO交⊙O于点F，作MG⊥AF于点G，连接OD、OM，DM，
∵的长为π，
∴π＝，
∴∠BOD＝30°，
∵∠DBM＝90°，
∴DM是⊙O的直径，即DM过点O，
∴∠COM＝30°，
∵AO⊥BC，
∴∠MOG＝60°，
在Rt△GOM中，∠MOG＝60°，OM＝6，
∴OG＝3，GM＝3，
在Rt△GAM中，
AM＝＝14，
∴AM的最大长度：14．
【解析】【分析】（1）如图①，过点O作OE⊥AM于点E，在Rt△AOE中，根据锐角三角函数sinA=求出OE的值，再由直径BC=12可得半径OM=6=OE，从而可知点E与点M重合，于是由圆的切线的判定可得AM是⊙O的切线；
（2）如图②，当点P与点B重合时，AM取得最大值，AM的最大长度可以通过勾股定理求得；延长AO交⊙O于点F，作MG⊥AF于点G，连接OD、OM，DM，由弧长公式LBC=和已知弧BC的长可得关于n的方程，解之可求得∠BOD=n的值，结合已知可得DM是⊙O的直径，即DM过点O，在Rt△GOM中，解直角三角形可求得OG、GM的值，在Rt△GOM中，用勾股定理求得AM的值，即为AM的最大长度.
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