4.2平行四边形及其性质培优练习（含答案）

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4.2平行四边形及其性质培优练习浙教版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC＝60°，，下列结论中，不正确的是（ ）
A．∠CAD＝30° B．BD
C．OE D．
2．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（　　）
A．1cm＜OA＜4cm B．2cm＜OA＜8cm
C．2cm＜OA＜5cm D．3cm＜OA＜8cm
3．如图，在平行四边形ABCD中P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD＝5，AP＝8，则△APB的周长是（　　）
A．18 B．24 C．23 D．14
4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC，BD于点E、P．连接OE，∠ADC＝60°，ABBC＝1，则下列结论：
①∠CAD＝30°；②BD＝2；③S平行四边形ABCD＝AB AC；④AD＝4OE．
其中结论正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，分别以△ABC的三边为一边作 BCED， ABFG， ACIH，且点D，E分别在FG，HI上．若 ABFG， ACIH的面积分别为S1，S2，则 BCED的面积为（　　）
A．S1+S2 B． C． D．
二、填空题
6．如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中∠α＝　 　°．
7．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A（﹣1，﹣2），D（1，1），C（5，2），则顶点B的坐标为 　 　．
8．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，BC＝12，∠B＝120°，E是BC的中点，点P在平行四边形ABCD的边上，若△PBE为等腰三角形，则EP的长为　 　．
9．如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝17cm2，S△BQC＝27cm2，则阴影部分的面积为 　 　cm2．
10．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6， ABCD的周长为40，则 ABCD的面积为　 　．
三、解答题
11．如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，交BE于点G．
（1）求证：AF＝DE．
（2）若AD＝16，EF＝12，请求出 ABCD的周长．
12．如图，平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝2cm，∠C＝30°．点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A﹣B﹣C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点A出发沿折线A﹣D﹣C向点C运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．设运动时间为ts．
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）求当t＝0.5s时，△APQ的面积；
（3）当△APQ的面积是平行四边形ABCD面积的时，求t的值．
13．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，点E、F分别为OA、OC的中点，连接BE、DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若BD＝2AB，且AB＝20，CF＝12，求DF的长．
14．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，点E为BC的中点，AE＝2BE．点P在BE上，作EF⊥DP于点F，连接AF．
（1）若AD＝4，求AB的长；
（2）求证：．
15．在平行四边形ABCD中，AC⊥CD，E为BC中点，点M在线段BE上，连接AM，在BC下方有一点N，满足∠CAD＝∠BCN，连接MN．
（1）若∠BCN＝60°，AE＝5，求△ABE的面积；
（2）若MA＝MN，MC＝EA+CN，求证：ABAE．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5
答案 D A B C A
1．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，ABBC＝1，
∴AO＝CO，BO＝DO，AD＝BC＝2，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB＝∠BAE，∠DAC＝∠ACB，
∴AB＝BE＝1，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE＝BE＝1，∠BAE＝∠AEB＝60°，
∴AE＝EC＝1，
∴∠ACB＝∠EAC＝30°，
∴∠CAD＝30°，ACAB，故选项A不符合题意；
∴∠BAC＝90°，AO＝CO，
∴BO，
∴BD，故选项B不符合题意；
∵AO＝CO，BE＝CE＝1，
∴OEAB，
∴OEAD，故选项C不符合题意；
∵S△ABCAB AC，AO＝CO，BE＝CE，
∴S△AOES△ABC，故选项D符合题意，
故选：D．
2．【解答】解：∵AB＝3cm，BC＝5cm，
∴2cm＜AC＜8cm，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AOAC，
∴1cm＜OA＜4cm，
故选：A．
3．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB∥CD，
∴∠DAB+∠CBA＝180°，
又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA（∠DAB+∠CBA）＝90°，
在△APB中，∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝90°；
∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP＝∠PAB，
∵AB∥CD，
∴∠PAB＝∠DPA
∴∠DAP＝∠DPA
∴△ADP是等腰三角形，
∴AD＝DP＝5，
同理：PC＝CB＝5，
即AB＝DC＝DP+PC＝10，
在Rt△APB中，AB＝10，AP＝8，
∴BP6，
∴△APB的周长＝6+8+10＝24；
故选：B．
4．【解答】解：①∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE＝1，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE＝1，
∵BC＝2，
∴EC＝1，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠ACE，
∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACE＝30°，
故①正确；
②∵BE＝EC，OA＝OC，
∴OEAB，OE∥AB，
∴∠EOC＝∠BAC＝60°+30°＝90°，
Rt△EOC中，OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠BAD＝120°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠ACD＝90°，
Rt△OCD中，OD，
∴BD＝2OD，
故②错误；
③由②知：∠BAC＝90°，
∴S平行四边形ABCD＝AB AC，
故③正确；
④由②知：OE是△ABC的中位线，
∴OEAB，
∵ABBC，
∴OEBCAD，
故④正确；
故选：C．
5．【解答】解：过A作AM⊥BD交BD的延长线于M，AN⊥CE于N，
∵四边形BCED是平行四边形，
∴BD∥CE，BD＝CE，
∴AM⊥CE，
∴M、A、N共线，
∵四边形ABFG是平行四边形，
∴FG∥AB，
∴△ABD的面积S1，
同理：△ACE的面积S2，
∴△ABD的面积+△ACE的面积（S1+S2），
∵△ABD的面积BD AM，△ACE的面积CE AN，
∴BD（AM+AN）＝△ABD的面积+△ACE的面积（S1+S2），
∴BD MN＝S1+S2，
∴平行四边形BCED的面积＝S1+S2．
故选：A．
二、填空题
6．【解答】解：如图，把M、N拼在一起，得到平行四边形ABCD，则∠BCD＝120°+α，
∵AB∥CD，
∴∠B＝180°﹣∠BCD＝180°﹣（120°+α）＝60°﹣α，
∵四边形的内角和为360°，
∴70°+140°+120°+（60°﹣α）＝360°，
∴α＝30°，
故答案为：30．
7．【解答】解：设B点的坐标为（x，y），
∵平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A（﹣1，﹣2），D（1，1），C（5，2），
∴，
解得x＝3，y＝﹣1，
∴B（3，﹣1）．
故答案为：（3，﹣1）．
8．【解答】解：当P点在BA上，BP＝BE＝6，
作BH⊥PE于H，如图1，则PH＝EH，
∵∠B＝120°，
∴∠BPE＝∠BEP＝30°，
在Rt△BEH中，BHBE＝3，EHBH＝3，
∴PE＝2EH＝6；
当P点在AD上，BP＝PE，
作BG⊥AD于G，PF⊥BE于F，如图2，则BF＝EF＝3，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠A＝60°，
在Rt△ABG中，AGAB＝4，BGAG＝4，
∴PF＝4，
在Rt△PEF中，PE；
当点P在CD上，如图3，EB＝EP＝6，
综上所述，PE的长为6或6或．
故答案为6或6或．
9．【解答】解：如图，连接EF
∵△ADF与△DEF同底等高，
∴S△ADF＝S△DEF，
即S△ADF﹣S△DPF＝S△DEF﹣S△DPF，
即S△APD＝S△EPF＝17cm2，
同理可得S△BQC＝S△EFQ＝27cm2，
∴阴影部分的面积为S△EPF+S△EFQ＝17+27＝44cm2．
故答案为：44．
10．【解答】解：∵ ABCD的周长＝2（BC+CD）＝40，
∴BC+CD＝20①，
∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE＝4，AF＝6，
∴S ABCD＝4BC＝6CD，
整理得，BCCD②，
联立①②解得，CD＝8，
∴ ABCD的面积＝AF CD＝6CD＝6×8＝48．
故答案为：48．
三、解答题
11．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE∠ABC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB，
同理可得：DF＝CD，
∴AE＝DF，
∴AE﹣EF＝DF﹣EF，
∴AF＝DE；
（2）解：∵AD＝16，
∴AF+EF+DE＝16，
∵AF＝DE，EF＝12，
∴AF+12+AF＝16，
解得AF＝2，
∴AB＝AE＝AF+EF＝2+12＝14，
∴ ABCD的周长为2（AB+AD）＝2×（16+14）＝60，即 ABCD的周长为60．
12．【解答】解：（1）平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝2cm
∴CD＝AB＝4cm，BC＝AD＝2cm
如图，过点B作BE⊥CD于点E，
∵∠C＝30°
∴BEBC＝1cm
∴平行四边形ABCD的面积为：CD×BE＝4×1＝4（cm2）
答：平行四边形ABCD的面积为4cm2．
（2）当t＝0.5s时，
AP＝2×0.5＝1cm，AQ＝1×0.5＝0.5cm
如图，过点Q作QM⊥AP
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠C
∵∠C＝30°
∴∠A＝30°
∴QMAQ0.5（cm）
∴△APQ的面积为：AP×QM1（cm2）
答：当t＝0.5s时，△APQ的面积为（cm2）．
（3）∵由（1）知平行四边形ABCD的面积为4cm2．
∴当△APQ的面积是平行四边形ABCD面积的时，
△APQ的面积为：4（cm2）
当点P在线段AB上运动t秒时，点Q在AD上运动t秒，AP＝2tcm，AQ＝tcm，高为cm
∴2t
∴t（舍）或t
∴t时符合题意；
当点P运动到线段BC上时，且运动时间为t秒时，点Q也运动到线段CD上，
如图，过点P作MN垂直CD于点M，垂直于AB延长线于点N
∵四边形ABCD为平行四边形，∠C＝30°，
∴AB∥CD
∴∠PBN＝∠C＝30°
PNPB（2t﹣4）＝（t﹣2）（cm），PM＝1﹣（t﹣2）＝（3﹣t）（cm）
S△APQ＝44×（t﹣2）[4﹣（t﹣2）]×[1﹣（t﹣2）]（t﹣2）×1
∴4﹣2t+4（6﹣t）（3﹣t）1
化简得：t2﹣4t+3＝0
∴（t﹣1）（t﹣3）＝0
∴t＝1（不符合题意，舍）或t＝3
当t＝3时，点P位于点C处，点Q位于线段CD上，符合题意．
综上，t的值为或3．
13．【解答】（1）证明：∵平行四边形ABCD，
∴AB＝CD，OA＝OC，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵点E，F分别为OA，OC的中点，
∴，，
∴AE＝CF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：∵BD＝2AB，且AB＝20，CF＝12，
∴BD＝40，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴△DCO为等腰三角形，
∵点F是CO的中点，
∴DF⊥AC，
在Rt△CDF中，CF＝12，CD＝20，
由勾股定理得：．
14．【解答】（1）解：∵点E为BC的中点，
∴BC＝2BE，
由条件可知AE＝BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝4，
∴AD＝BC＝4，
∴AE＝AD＝4，，
∵AE⊥BC，
∴AB2；
（2）证明：过点A作AH⊥AF交DP于点H，
则∠DAE＝∠FAH＝90°，
∴∠DAE﹣∠EAH＝∠FAH﹣∠EAH，
即∠DAH＝∠EAF，
∵∠1+∠EAD+∠ADP＝180°，∠2+∠EFD+∠AEF＝180°，
且∠1＝∠2，∠DAE＝∠EFD＝90°，
∴∠AEF＝∠ADF，
∵∠DAH＝∠EAF，AD＝AE，
∴△AEF≌△ADH（ASA），
∴DH＝EF，AF＝AH，
在Rt△AFH中，∠FAH＝90°，
由勾股定理得：，
∵DF＝FH+HD，
∴，
∴．
15．【解答】（1）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB＝∠BCN＝60°，
又AC⊥CD，
∴AB⊥AC，
∴∠B＝30°，
在Rt△ABC中，E为BC的中点，
∴BC＝2AE＝10，
∴ACBC＝5，
∴，
∴；
（2）证明：延长CN至G，使CG＝AC，
由（1）知∠ACM＝∠GCM，
又MC＝MC，
∴△ACM≌△GCM，
∴AM＝GM，∠MAC＝∠G，
又AM＝MN，
∴GM＝MN，
∴∠G＝∠MNG＝∠MAC＝∠MAE+∠EAC，
又由（1）可得EC＝EA，
∴∠EAC＝∠ACE＝∠NCM，
∵∠MNG＝∠NCM+∠NMC，
∴∠NMC＝∠MAE，
在MC上截取MF＝AE，
∴△MAE≌△NMF，
∴ME＝FN，
又MC＝ME+CE＝MF+CF，MC＝EA+CN，
∵EA＝MF＝CE，
∴ME＝CN＝FN＝CF，
∴△NCF为等边三角形，
∴∠MCN＝60°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴，
∵AEBC，
∴ABAE．
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