4.1多边形培优练习(含答案)

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名称 4.1多边形培优练习(含答案)
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资源类型 试卷
版本资源 浙教版
科目 数学
更新时间 2025-03-10 22:01:39

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4.1多边形培优练习浙教版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1.如图,Rt△ABC的两条直角边AC,BC分别经过正五边形的两个顶点,则∠1+∠2等于(  )
A.126° B.130° C.136° D.140°
2.如图,在四边形ABCD中,∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P,且∠D+∠C=210°,则∠P=(  )
A.10° B.15° C.30° D.40°
3.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为(  )
A.180° B.240° C.270° D.360°
4.若一个多边形截去一个角后变成了六边形,则原来多边形的边数可能是(  )
A.5或6 B.6或7 C.5或6或7 D.6或7或8
5.如图,∠B+∠C+∠D+∠E﹣∠A等于(  )
A.180° B.240° C.300° D.360°
二、填空题
6.如图所示,将正六边形与正五边形按此方式摆放,正六边形与正五边形的公共顶点为O,且正六边形的边AB与正五边形的边DE在同一条直线上,则∠COF的度数为    .
7.如图,用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结(如图1),然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE.在图2中,∠ACD的度数为   .
8.如图为6个边长相等的正方形的组合图形,则∠1+∠3﹣∠2=   .
9.如图,五边形ABCDE中,AE∥BC,则∠C+∠D+∠E的度数为   .
10.如图,在△ABC中,∠A=50°,若剪去∠A得到四边形BCDE,则∠1+∠2=   .
三、解答题
11.探究归纳题:
(1)试验分析:
如图1,经过一个顶点(如点A)可以作    条对角线,它把四边形ABCD分为    个三角形;
(2)拓展延伸:
运用(1)的分析方法,可得:图2过一个顶点作所有的对角线,把这个多边形分为    个三角形;图3过一个顶点作所有的对角线,把这个多边形分为    个三角形;
(3)探索归纳:对于n边形(n>3),过一个顶点的所有对角线把这个n边形分为    个三角形.(用含n的式子表示)
(4)特例验证:过一个顶点的所有对角线可把十边形分为    个三角形.
12.如图,四边形ABCD,BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC,若∠BAD=α,∠BCD=β.
(1)如图1,若α+β=105°,求∠MBC+∠NDC的度数;
(2)如图1,若BE与DF相交于点G,∠BGD=45°,请直接写出α,β所满足的数量关系式;
(3)如图2,若α=β,判断BE,DF的位置关系,并说明理由.
13.探究一:
(1)如图1,在△ABC中,∠A=64°,BP,CP分别是两个内角∠ABC,∠ACB的角平分线,则∠P=   度.
(2)如图2,在△ABC中,∠A=70°,BP,CP分别是两个外角∠CBD,∠BCE的角平分线,则∠P=   度.
探究二:(1)如图3,在△ABC中,BP是三角形内角∠ABC的角平分线,CP是外角∠ACD的角平分线.请说明∠P和∠A之间的数量关系?并证明你的结论.
(2)如图4,在四边形ABCD中,BP是内角∠ABC的角平分线,CP是外角∠DCE的角平分线,请直接写出∠P与∠A,∠D之间的数量关系.(不用说明理由)
14.如图,AB⊥CD,垂足为O,点P、Q分别在射线OC、OA上运动(点P、Q都不与点O重合),QE是∠AQP的平分线.
(1)如图1,在点P、Q的运动过程中,若直线QE交∠DPQ的平分线于点H.
①当∠PQB=60°时,∠PHE=   °;
②随着点P、Q分别在OC、OA的运动,∠PHE的大小是否是定值?如果是定值,请求出∠PHE的度数;如果不是定值,请说明理由;
(2)如图2,若QE所在直线交∠QPC的平分线于点E时,将△EFG沿FG折叠,使点E落在四边形PFGQ内点E′的位置,猜测∠PFE′与∠QGE′之间的数量关系,并说明理由.
15.如图,在四边形ABCD中,∠A=x,∠C=y.
(1)∠ABC+∠ADC=   (用含x,y的式子直接填空);
(2)如图1,若x=y=90°,DE平分∠ADC,BF平分∠CBM,请写出DE与BF的位置关系,并说明理由;
(3)如图2,∠DFB为四边形ABCD的∠ABC,∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角.若x+y=120°,∠DFB=20°,求x,y的值.
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5
答案 A B A C A
1.【解答】解:如图:
∵(5﹣2)×180°÷5×2
=3×180°÷5×2
=216°,
∠3+∠4=180°﹣90°=90°,
∴∠1+∠2=216°﹣90°=126°.
故选:A.
2.【解答】解:如图,∵∠D+∠C=210°,∠DAB+∠ABC+∠C+∠D=360°,
∴∠DAB+∠ABC=150°.
又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P,
∴∠PAB+∠ABP∠DAB+∠ABC(180°﹣∠ABC)=90°(∠DAB+∠ABC)=165°,
∴∠P=180°﹣(∠PAB+∠ABP)=15°.
故选:B.
3.【解答】解:如图所示:连接BC,
∵∠D+∠E=∠1,∠1=∠2+∠3,
∴∠D+∠E=∠2+∠3,
则∠A+∠ABC+∠ACD+∠D+∠E=∠A+∠ABC+∠ACD+∠2+∠3=∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
故选:A.
4.【解答】解:如图可知,原来多边形的边数可能是5,6,7.
故选:C.
5.【解答】解:根据三角形的外角的性质,得∠B+∠C=∠CGE=180°﹣∠AGF,∠D+∠E=∠DFG=180°﹣∠AFG,两式相加再减去∠A,根据三角形的内角和是180°可求解.
∵∠B+∠C=∠CGE=180°﹣∠ADF,∠D+∠E=∠DFG=180°﹣∠AFG,
∴∠B+∠C+∠D+∠E﹣∠A=360°﹣(∠AGF+∠AFG+∠A)=180°.
故答案为:A.
二、填空题
6.【解答】解:由题意得:∠EOF=108°,∠BOC=120°,∠OEB=72°,∠OBE=60°,
∴∠BOE=180°﹣72°﹣60°=48°,
∴∠COF=360°﹣108°﹣48°﹣120°=84°,
故答案为:84°.
7.【解答】解:∵五边形ABCDE是正五边形,
∴其每个内角为108°,且AB=BC,
∴△ABC是等腰三角形,
∴∠BCA=(180°﹣108°)÷2=36°,
∴∠ACD=∠BCE﹣∠BCA=108°﹣36°=72°.
故答案为:72°
8.【解答】解:如图:
在△ABC和△DEA中,

∴△ABC≌△DEA(SAS),
∴∠1=∠4,
∵∠3+∠4=90°,
∴∠1+∠3=90°,
又∵∠2=45°,
∴∠1+∠3﹣∠2=90°﹣45°=45°.
故答案为:45°.
9.【解答】解:过点D作DF∥AE,交AB于点F,
∵AE∥BC,
∴AE∥DF∥BC,
∴∠A+∠B=180°,∠E+∠EDF=180°,∠CDF+∠C=180°,
∴∠C+∠CDE+∠E=360°,
故答案为360°.
10.【解答】解:∵△ABC中,∠A=50°,
∴∠B+∠C=180°﹣50°=130°,
∵∠B+∠C+∠1+∠2=360°,
∴∠1+∠2=360°﹣130°=230°.
故答案为:230°.
三、解答题
11.【解答】解:(1)如图1,经过一个顶点(如点A)可以作1条对角线,它把四边形ABCD分为2个三角形;
(2)应用(1)的分析方法,可得:图2过一个顶点作所有的对角线,把这个多边形分为3个三角形;图3过一个顶点作所有的对角线,把这个多边形分为4个三角形;
(3)对于n边形(n>3),过一个顶点的所有对角线把这个n边形分为(n﹣2)个三角形.(用含n的式子表示);
(4)过一个顶点的所有对角线可把十边形分为8个三角形.
故答案为:(1)1,2;(2)3,4;(3)(n﹣2);(4)8.
12.【解答】解:(1)∵四边形ABCD的内角和为360°,
∴α+β=∠A+∠BCD=360°﹣(∠ABC+∠ADC),
∵∠MBC和∠NDC是四边形ABCD的外角,
∴∠MBC=180°﹣∠ABC,∠NDC=180°﹣∠ADC,
∴∠MBC+∠NDC=180°﹣∠ABC+180°﹣∠ADC
=360°﹣(∠ABC+∠ADC),
=α+β
=105°;
(2)β﹣α=90°(或α﹣β=﹣90°等均正确).
理由:如图1,连接BD,
由(1)有,∠MBC+∠NDC=α+β,
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC,
∴∠CBG∠MBC,∠CDG∠NDC,
∴∠CBG+∠CDG∠MBC∠NDC(∠MBC+∠NDC)(α+β),
在△BCD中,∠BDC+∠CBD=180°﹣∠BCD=180°﹣β,
在△BDG中,∠BGD=45°,∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°,
∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°,
∴(∠CBG+∠CDG)+(∠BDC+∠CBD)+∠BGD=180°,
∴(α+β)+180°﹣β+45°=180°,
∴β﹣α=90°.
(3)BE∥DF.
理由:如图2,过点C作CP∥BE,
则∠EBC=∠BCP,
∴∠DCP=∠BCD﹣∠BCP=β﹣∠EBC,
由(1)知∠MBC+∠NDC=α+β,
∵α=β,
∴∠MBC+∠NDC=2β,
又∵BE、DF分别平分∠MBC和∠NDC,
∴∠EBC+∠FDC(∠MBC+∠NDC)=β,
∴∠FDC=β﹣∠EBC,
又∵∠DCP=β﹣∠EBC,
∴∠FDC=∠DCP,
∴CP∥DF,
又CP∥BE,
∴BE∥DF.
13.【解答】解:探究一:
(1)如图1,∵∠A=64°,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠ABC+∠ACB=116°,
∵BP,CP分别平分∠ABC,∠ACB,
∴∠PBC∠ABC,∠PCB∠ACB,
∴∠PBC+∠PCB(∠ABC+∠ACB)116°=58°,
∵∠P+∠PBC+∠PCB=180°,
∴∠P=180°﹣58°=122°,
故答案为:122.
(2)如图2,∵∠A=70°,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠ABC+∠ACB=110°,
∵BP,CP分别平分∠DBC,∠ECB,
∴∠PBC∠DBC,∠PCB∠ECB,
∴∠PBC+∠PCB(∠DBC+∠ECB)
(180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB)
=180°(∠ABC+∠ACB)
=180°110°
=125°,
∴∠P=180°﹣(∠PBC+∠PCB)=180°﹣125°=55°,
故答案为:55.
探究二:
(1)∠A=2∠P.理由如下:
如图3,∵BP是△ABC中∠ABC的平分线,CP是外角∠ACD的角平分线,
∴∠PBC∠ABC,∠PCD∠ACD,
∵∠ACD是△ABC的外角,∠PCD是△BPC的外角,
∴∠ACD=∠ABC+∠A,∠PCD=∠PBC+∠P,
∴∠ACD∠ABC∠A,
∴∠ABC∠A=∠PBC+∠P,
∴∠A=2∠P;
(2)∠P(∠A+∠D)﹣90°.理由如下:
如图4,由四边形内角和定理得∠BCD=360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC,
∴∠DCE=180°﹣(360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC)=∠A+∠D+∠ABC﹣180°,
由三角形的外角性质得,∠PCE=∠P+∠PBC,
∵BP、CP分别是∠ABC和∠DCE的平分线,
∴∠PBC∠ABC,∠PCE∠DCE,
∴∠P+∠PBC(∠A+∠D+∠ABC﹣180°)(∠A+∠D)∠ABC﹣90°,
∴∠P(∠A+∠D)﹣90°.
14.【解答】解:(1)①∵AB⊥CD,
∴∠POQ=90°,
∴∠PQO+∠QPO=90°,
∵∠PQB=60°,
∴∠QPO=30°,∠AQP=120°,
∵EQ平分∠AQP,PH平分∠QPO,
∴,,
∴∠H=∠EQP﹣∠HPQ=45°,
故答案为:45;
②∠PHE 是一个定值,∠PHE=45°,理由如下:
∵AB⊥CD,
∴∠POQ=90°,
∴∠PQO+∠QPO=90°,
∴∠QPO=90°﹣∠PQO,∠AQP=180°﹣∠PQO,
∵EQ平分∠AQP,PH平分∠QPO,
∴,,
∴∠H=∠EQP﹣∠HPQ=45°;
(2)∠PFE'+∠QGE'=90°,理由如下:
如图2所示,连接EE',
∵AB⊥CD,
∴∠POQ=90°,
∴∠PQO+∠QPO=90°,
∵∠CPQ+∠QPO=180°,∠PQA+∠PQO=180°,
∴180°﹣∠CPQ+180°﹣∠PQA=90°,
∴∠CPQ+∠PQA=270°,
∵QE,PE分别平分∠PQA,∠CPQ,
∴,
∴,
∴∠PEQ=180°﹣∠EPQ﹣∠EQP=45°,
由折叠的性质可知∠GE'F=∠PEQ=45°,
∵∠FEE'+∠EFE'+∠EE'F=180°=∠GEE'+∠EGE'+∠EE'G,
∴∠FEG+∠FE'G+∠EFE'+∠EGE'=360°,
∴∠EFE'+∠EFE'=270°,
∵∠EFE'+∠PFE'=180°=∠EGE'+∠QGE',
∴∠PFE'+∠QGE'=360°﹣∠EFE'﹣∠EFE'=90°.
15.【解答】解:(1)∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°,∠A=x,∠C=y,
∴∠ABC+∠ADC=360°﹣x﹣y;
故答案为:360°﹣x﹣y;
(2)DE⊥BF.
理由:如图1:
∵DE平分∠ADC,BF平分∠MBC,
∴∠CDE∠ADC,∠CBF∠CBM,
又∵∠CBM=180°﹣∠ABC=180°﹣(180°﹣∠ADC)=∠ADC,
∴∠CDE=∠CBF,
又∵∠DGC=∠BGE,
∴∠BEG=∠C=90°,
∴DE⊥BF;
(3)由(1)得:∠CDN+∠CBM=360°﹣(360°﹣x﹣y)=x+y,
∵BF、DF分别平分∠CBM、∠CDN,
∴∠CDF+∠CBF(x+y),
如图2,连接DB,则∠CBD+∠CDB=180°﹣y,
∴∠FBD+∠FDB=180°﹣y(x+y)=180°yx,
∴∠DFByx=20°,
解方程组:,
可得:,
即x=40°,y=80°.
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