4.5三角形中位线培优练习（含解析）

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4.5三角形中位线培优练习浙教版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（　　）
A．2 B． C．3 D．
2．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，AE是∠BAC的角平分线，AE⊥CE于点E，连接DE．若AB＝7，DE＝1，则AC的长度是（　　）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
3．如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝12，点D，E分别是AB，BC边上的动点，连结DE，F，M分别是AD，DE的中点，则FM的最小值为（　　）
A．12 B．10 C．9.6 D．4.8
4．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点AE⊥BE，AB＝5，AC＝3，则DE的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．
5．如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，若AC＝6，则AF＝（　　）
A．3 B．2 C． D．
二、填空题
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边AC上，点E在边BC上，且AD＝3，BE＝4，点M，N分别是AB，DE的中点，连接MN，则线段MN的长为 　 　．
7．如图，在△ABC中，AB＝BC＝12，BD⊥AC于点D，点F在BC上，且BF＝4，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为 　 　．
8．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为　 　．
9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，D，E分别为AC，BC上的点，AD＝CE＝2，F，G分别为AE，BD的中点，连FG，则FG的长度是 　 　．
10．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，点E，F分别是AD，BC的中点，连接EF，已知BD＝6，AC＝8．则
（1）四边形ABCD的面积为 　 　；
（2）EF的长为 　 　．
三、解答题
11．如图，在△ABC中，ED，EF是中位线，连接EC和DF，交于点O．
（1）求证：OEEC；
（2）若OD＝2，求AB的长．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，延长CE交AB于点D．
（1）求证：CE＝DE；
（2）若点F为BC的中点，求EF的长．
13．（1）如图1，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交DC，AB于点M，N，判断△OMN的形状，并说明理由；
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N．求证：∠BME＝∠CNE．
14．我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形的中位线有如下性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半．下面请对这个性质进行证明．
（1）如图1，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，求证：DE∥BC，且；
（2）如图2，四边形ABCD中，点M是边AB的中点，点N是边CD的中点，若AD∥BC，AD＝4，MN＝5，直接写出BC的长．
15．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．
（1）若AB＝10，CD＝24，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长．
（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5
答案 B C D A B
1．【解答】解：连接CM，当CM⊥AB时，CM的值最小（垂线段最短），此时DE有最小值，
理由是：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB10，
∴AC BC，
∴，
∴CM，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴DECM，
即DE的最小值是，
故选：B．
2．【解答】解：延长CE，交AB于点F．
∵AE平分∠BAC，AE⊥CE，
∴∠EAF＝∠EAC，∠AEF＝∠AEC，
在△EAF与△EAC中，
，
∴△EAF≌△EAC（ASA），
∴AF＝AC，EF＝EC，
又∵D是BC中点，
∴BD＝CD，
∴DE是△BCF的中位线，
∴BF＝2DE＝2．
∴AC＝AF＝AB﹣BF＝7﹣2＝5；
故选：C．
3．【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于H，
∵F，M分别是AD，DE的中点，
∴FM，
∴当AE取最小值时，FM的值最小，
由垂线段最短可知，当AE⊥BC于点E时，AE的值最小，
在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝12，
∴CH，
∴BH8，
∴48，
又∵，
∴，
∴AE＝9.6，
∴FM＝4.8，
故选：D．
4．【解答】解：连接BE并延长交AC的延长线于点F，如图，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝∠AEF＝90°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠FAE，
∴∠ABE＝∠AFE，
∴△ABF是等腰三角形，
∴AF＝AB＝5，点E是BF的中点，
∴CF＝AF﹣AC＝5﹣3＝2，DE是△BCF的中位线，
∴．
故选：A．
5．【解答】解：取BF的中点H，连接DH，
∵BD＝DC，BH＝HF，
∴，DH∥AC，
∴∠HDE＝∠FAE，
在△AEF和△DEH中，
，
∴△AEF≌△DEH（ASA），
∴AF＝DH，
∴，
∵AC＝6，
∴，
故选：B．
二、填空题
6．【解答】解：如图，过点B作BG∥AD，连接DM并延长交BG于点G，连接EG，
∴∠GBM＝∠A，
又∵BM＝AM，∠GMB＝∠DMA，
∴△GMB≌△DMA（ASA），
∴BG＝AD＝3，GM＝DM
∴∠GBC＝90°，
∴在Rt△GBE中，
∴，
又∵GM＝DM，EN＝DN，即MN是△DEG中位线，
∴，
故答案为：．
7．【解答】解：∵BC＝12，BF＝4，
∴FC＝BC﹣BF＝12﹣4＝8，
∵AB＝BC，BD⊥AC，
∴AD＝DC，
∵AE＝EF，
∴DE是△AFC的中位线，
∴DEFC8＝4．
故答案为：4．
8．【解答】解：连接DN、DB，如图所示：
在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，
∴BD4，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△DMN的中位线，
∴EFDN，
由题意得，当点N与点B重合时DN最大，最大值为4，
∴EF长度的最大值为2，
故答案为：2．
9．【解答】解：如图，取AB的中点H，连接HF，HG并延长交AC于点I，交BC于点J，
∵F，G分别为AE，BD的中点，
∴HG是△ABD的中位线，HF是△AEB的中位线，
∴HG，HG∥AC，HF，HF∥BC，
∴四边形IHJC是平行四边形，
∵∠C＝90°，
∴四边形IHJC是矩形，
∴∠FHG＝90°，
∴FG，
故答案为：．
10．【解答】解：（1）∵AC⊥BD，BD＝6，AC＝8，
∴S四边形ABCDAC BD6×8＝24，
故答案为：24；
（2）取CD的中点H，连接EH、FH，
∵点E，H分别是AD，DC的中点，
∴EH是△ADC的中位线，
∴EHAC＝4，EH∥AC，
同理可得：FHBD＝3，FH∥BD，
∵AC⊥BD，
∴EH⊥FH，
∴EF5，
故答案为：5．
三、解答题
11．【解答】（1）证明：∵ED，EF是中位线，
∴ED∥FC，EF∥DC，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∵对角线CE和DF相交于点O，
∴OE；
（2）解：∵EC，DF是平行四边形EFCD的对角线，OD＝2，
∴DF＝2OD＝4，
∵ED，EF是△ABC的中位线，
∴点D，F分别是AC，BC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF，
∴AB＝2DF＝8．
12．【解答】（1）证明：∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝∠AED＝90°，
在△AEC和△AED中，
，
∴△AEC≌△AED（ASA），
∴CE＝DE；
（2）在Rt△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，
∴，
∵△AEC≌△AED，
∴AD＝AC＝6，
∴BD＝AB﹣AD＝4，
∵点E为CD中点，点F为BC中点，
∴．
13．【解答】解：（1）△OMN是等腰三角形，理由如下：
如图，取BD的中点H，连接HE，HF，
∵E，F分别是BC，AD的中点，
∴HF∥AB，HE∥CD，，，
∵AB＝CD，
∴HF＝HE，
∴∠HFE＝∠HEF，
∵HF∥AB，HE∥CD，
∴∠HFE＝∠ONM，∠HEF＝∠OMN，
∴∠ONM＝∠OMN，
∴OM＝ON，
∴△OMN是等腰三角形．
（2）如图，连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF，
∴HF∥CN，HE∥BM，，，
∵AB＝CD，
∴HF＝HE，
∴∠HEF＝∠HFE，
∵HF∥CN，HE∥BM，
∴∠HEF＝∠BME，∠HFE＝∠CNE，
∴∠BME＝∠CNE．
14．【解答】（1）证明：如图所示，延长DE到F，使得DE＝FE，连接CF．
∵点E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△AED和△CEF中，
，
∴△AED≌△CEF（SAS），
∴∠A＝∠FCE，AD＝CF，
∴AD∥CF，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD＝CF，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DE∥BC，DF＝BC，
又∵DE＝FE，
∴，
∴DE∥BC，且；
（2）解：如图所示，连接AN并延长交BC延长线于E，
∵AD∥BC，
∴∠NAD＝∠NEC，∠NDA＝∠NCE，
∵点N是CD的中点，
∴DN＝CN，
在△ADN和△ECN中，
，
∴△ADN≌△ECN（AAS），
∴AD＝CE＝4，AN＝NE，即点N是AE的中点，
又∵点M是AB的中点，
∴由（1）的结论可知BE＝2MN＝10，
∴BC＝BE﹣CE＝10﹣4＝6．
15．【解答】（1）解：如图，取BD的中点P，连接EP、FP，
∵E，F分别是AD、BC的中点，AB＝10，CD＝24，
∴PE是△ABD的中位线，PF是△BCD的中位线，
∴PE∥AB，且，且，
∴∠EPD＝∠ABD＝30°，∠DPF＝180°﹣∠BDC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝90°，
在Rt△EPF中，由勾股定理得：，
即EF的长为13；
（2）证明：由（1）可知，PE是△ABD的中位线，PF是△BCD的中位线，
∴PE∥AB，且，PF∥CD，且，
∴∠EPD＝∠ABD，∠DPF＝180°﹣∠BDC．
∵∠BDC﹣∠ABD＝90°，
∴∠BDC＝90°+∠ABD，
∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝∠ABD+180°﹣∠BDC＝∠ABD+180°﹣（90°+∠ABD）＝90°，
∴，
∴AB2+CD2＝4EF2．
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