第二章一元二次方程（A卷）单元测试（含解析）

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第二章一元二次方程（A卷）单元测试浙教版2024—2025学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．已知方程x2﹣（k﹣1）x+2＝0有一个根是x＝﹣1，则k的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
2．关于x的方程（m﹣2）x2+3x+n＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　）
A．m≠2 B．m＞2 C．m＜2 D．0＜m＜2
3．用配方法解一元二次方程x2+2x﹣9＝0时，原方程可变形为（　　）
A．（x+1）2＝13 B．（x+1）2＝10 C．（x+2）2＝13 D．（x+2）2＝10
4．一元二次方程x2﹣5x+3＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
5．若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则2024﹣x1﹣x2的值为（　　）
A．2025 B．2023 C． D．
6．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（　　）
A．16（1+x）2＝23 B．23（1﹣x）2＝16
C．16（1+2x）2＝23 D．23（1﹣2x）2＝16
7．若a﹣b＝3，则下列x的值一定是关于x的方程ax2+2bx﹣12＝0的根的是（　　）
A．x＝2 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝﹣2
8．已知a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则代数式2a3+5a+3b3+3b+1的值是（　　）
A．19 B．20 C．14 D．15
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．若x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为 　 　．
10．已知a，b是关于x的一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两个根，则（a﹣b）2﹣（a+b）2的值为　 　．
11．若关于x的方程x2+mx﹣6＝0的一个根是2，则另一个根是 　 　．
12．如果关于x的一元二次方程kx2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 　 ．
三．解答题（共8小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．解下列方程：
（1）x2﹣4x+2＝0；
（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0．
14．某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．
（1）求二、三这两个月的月平均增长率；
（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？
15．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）设x1，x2是方程的两个根且，求m的值．
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+4k＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根小于1，求k的取值范围．
17．定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若x1＜x2＜0，且
，则称这个方程为“限根方程”．比如：一元二次方程x2+13x+30＝0的两根为x1＝﹣10，x2＝﹣3，因﹣10＜﹣3＜0，，所以一元二次方程x2+13x+30＝0为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
（1）判断：一元二次方程x2+14x+33＝0 　 　“限根方程”（填“是”或“不是”）；
（2）若关于x的一元二次方程x2+（k+9）x+k2+8＝0是“限根方程”，且方程的两根x1、x2满足11x1+11x2+x1x2＝﹣121，求k的值；
（3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0是“限根方程”，求m的取值范围．
18．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么由求根公式可推出x1+x2＝﹣p，x1 x2＝q，请根据这一结论，解决下列问题：
（1）若α，β是方程x2﹣3x+1＝0的两根，则α+β＝ 　 　，α β＝ 　 　；
（2）已知a，b满足a2﹣5a+3＝0，b2﹣5b+3＝0，求的值；
（3）已知a，b，c满足a+b+c＝0，abc＝5，求正整数c的最小值．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A B A A B D D
1．【解答】解：把x＝﹣1代入方程得（﹣1）2﹣（k﹣1） （﹣1）+2＝0，
解得，k＝﹣2，
故选：A．
2．【解答】解：∵方程（m﹣2）x2+3x+n＝0是一元二次方程，
∴m﹣2≠0，
解得m≠2．
故选：A．
3．【解答】解：原方程配方得x2+2x+1＝9+1，即（x+1）2＝10．
故选：B．
4．【解答】解：Δ＝（﹣5）2﹣4×1×3＝25﹣12＝13＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
5．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣1，
∴2024﹣x1﹣x2
＝2024﹣（x1+x2）
＝2024﹣（﹣1）
＝2024+1
＝2025，
故选：A．
6．【解答】解：∵3月份售价为23万元，月均下降率是x，5月份售价为16万元，
∴23（1﹣x）2＝16．
故选：B．
7．【解答】解：当x＝2时，
4a+4b﹣12＝0，
整理得：a+b＝3，则A不符合题意；
当x＝0时，
﹣12＝0不成立，则B不符合题意；
当x＝1时，
a+2b﹣12＝0，
整理得：a+2b＝12，则C不符合题意；
当x＝﹣2时，
4a﹣4b﹣12＝0，
整理得：a﹣b＝3，则D符合题意；
故选：D．
8．【解答】解：∵a、b是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，
∴a2﹣a﹣1＝0，b2﹣b﹣1＝0，a+b＝1，
∴a2＝a+1，b2＝b+1，
则2a3+5a+3b3+3b+1
＝2a（a+1）+3b（b+1）+5a+3b+1
＝2a2+2a+3b2+3b+5a+3b+1
＝2（a+1）+3（b+1）+7a+6b+1
＝2a+2+3b+3+7a+6b+1
＝9（a+b）+6
＝9+6
＝15．
故选：D．
二、填空题
9．【解答】解：∵x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是一元二次方程，
∴|m﹣1|＝2，
∴m﹣1＝±2，
解得：m＝3或﹣1．
故答案为：3或﹣1．
10．【解答】解：根据根与系数的关系可得：a+b＝﹣3，ab＝﹣5，
∵（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab
∴原式＝﹣4ab
＝﹣4×（﹣5）
＝20，
故答案为：20．
11．【解答】解：∵方程的一个根是2，设另一根是α，
∴2α＝﹣6，α＝﹣3；
故答案为：﹣3．
12．【解答】解：根据题意得k≠0，3k+1≥0且Δ＝（）2﹣4k＞0，
解得k＜1且k≠0．
故答案为：k＜1且k≠0．
三、解答题
13．【解答】解：（1）x2﹣4x+2＝0，
x2﹣4x+2+2＝2，
x2﹣4x+4＝2，
（x﹣2）2＝2，
，
解得：，；
（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0，
x（x﹣2）+（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x+1）＝0，
∴x﹣2＝0或x+1＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣1．
14．【解答】解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：
256（1+x）2＝400，
解得：x1，x2（不合题意舍去）．
答：二、三这两个月的月平均增长率为25%；
（2）设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得：
（40﹣25﹣m）（400+5m）＝4250，
解得：m1＝5，m2＝﹣70（不合题意舍去）．
答：当商品降价5元时，商场获利4250元．
15．【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0，
解得m，
故m的取值范围是m；
（2）xxx1x2﹣6＝（x1+x2）2﹣x1x2﹣6＝（2m+1）2﹣（m2﹣1）﹣6＝0，
解得m1，m2＝﹣2，
∵m，
∴m的值为．
16．【解答】（1）证明：x2﹣（k+4）x+4k＝0．
∵Δ＝[﹣（k+4）]2﹣4×1×4k＝（k﹣4）2≥0，
∴该方程总有两个实数根
（2）解：根据求根公式得：．
∴x1＝4，x2＝k．
∴k＜1．
17．【解答】解：（1）x2+14x+33＝0，
（x+11）（x+3）＝0，
x+11＝0或x+3＝0，
解得x1＝﹣11，x2＝﹣3，
∵﹣11＜﹣3＜0，34，
∴一元二次方程x2+14x+33＝0是“限根方程“；
故答案为：是；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣（k+9）＜0，x1x2＝k2+8＞0，
∵11x1+11x2+x1x2＝﹣121，
∴11（x1+x2）+x1x2＝﹣121，
∴﹣11（k+9）+k2+8＝﹣121，
整理得k2﹣11k+3＝0，
解得k1＝5，k2＝6，
当k＝5时，原方程化为x2+14x+33＝0，此方程为“限根方程”；
当k＝6时，原方程化为x2+15x+44＝0，解得x1＝﹣11，x2＝﹣5，
∵﹣11＜﹣4＜0，3，
∴一元二次方程x2+15x+44＝0不是“限根方程“；
综上所述，k的值为5；
（3）解方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0得x1＝m，x2＝﹣1，
关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0是“限根方程”，
当m＜﹣1时，34，
解得﹣4＜m＜﹣3；
当﹣1＜m＜0时，34，
解得m，
综上所述，m的取值范围为﹣4＜m＜﹣3或m．
18．【解答】解：（1）由题知，
因为α，β是方程x2﹣3x+1＝0的两根，
所以α+β＝3，αβ＝1．
故答案为：3，1．
（2）因为a，b满足a2﹣5a+3＝0，b2﹣5b+3＝0，
所以a和b可看成是方程x2﹣5x+3＝0的两个根．
因为Δ＝（﹣5）2﹣4×3＝13＞0，
所以a≠b，
所以a+b＝5，ab＝3，
所以．
（3）由a+b+c＝0，abc＝5得，
a+b＝﹣c，ab，
所以a和b可看成方程x2+cx0的两个根，
则Δ＝c20，
解得．
又因为c为正整数，
所以c的最小值为3．
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