4.4平行四边形的判定定理培优练习（含解析）

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4.4平行四边形的判定定理培优练习浙教版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，BC＝16cm，∠ABC的平分线交AD于点F，点E是BC的中点，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以每秒2cm的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为（　　）
A．2s B．5s C．2s或 D．5s或
2．如图，在腰长为8的等腰△ABC中，AB＝AC，E，M，F分别是AB，BC，AC上的点，并且ME∥AC，MF∥AB，则四边形MEAF的周长是（　　）
A．8 B．10 C．12 D．16
3．如图，点E为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，AC＝5，CE＝1，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接BF，则BF为（　　）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．8
4．根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知四边形的四条边长分别为a，b，c，d，其中a，c为一组对边的边长，且满足，则四边形一定是（　　）
A．任意四边形 B．平行四边形
C．对角线相等的四边形 D．无法确定
二、填空题
6．如图，3×3的方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，以线段AB为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多有 　 　个．
7．在平面直角坐标系中，有四个点O（0，0），A（4，0），B（1，3），C（x，3），若以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝　 　．
8．如图，在 ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在CB上以4cm/s的速度从点C出发在CB上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为t（s）（t＞0）．当t＝　 　时，四边形PDCQ是平行四边形．
9．平行四边形两邻边的长为3和4，两对角线长为m，n，则m2+n2的值为 　 　．
10．在四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，且∠DOC＝120°，AC＝6，BD＝4，则AD+BC的最小值是 　 　．
三、解答题
11．如图，在 ABCD中，E，F为对角线AC上的两点（点E在点F的上方），AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当DE⊥AC时，且DE＝3，DF＝5，求B，D两点之间的距离．
12．如图，在 ABCD中，G是边CD上一点，BG的延长线交AD的延长线于点E，AF＝CG．
（1）求证：四边形DFBG是平行四边形．
（2）若∠DGE＝105°，求∠AFD的度数．
13．如图，在 ABCD中，BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC．
（1）求证：四边形BEDG是平行四边形；
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．若 ABCD的周长为28，EF＝5，求S△ABC．
14．如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线BD，点E和点F是直线BD上的两点且DE＝BF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，FE＝8，求点D到AF的距离．
15．已知：如图，BD垂直平分AC，∠BCD＝∠ADE，AE⊥AC．
（1）证明：四边形ABDE是平行四边形；
（2）若AE＝DE＝5，AD＝6，求AC的长．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5
答案 C D B C B
1．【解答】解：∵平行四边形ABCD，BF是∠ABC的平分线，
∴∠AFB＝∠CBF＝∠ABF，
∴AF＝AB＝6，
∵点E是BC的中点，
∴，
∴点P运动到F时间为6÷1＝6s，点Q运动到E时间为8÷2＝4s，
当0≤t＜4时，AP＝t，CQ＝2t，则PF＝6﹣t，QE＝8﹣2t，
当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，PF＝QE，
∴6﹣t＝8﹣2t，
解得，t＝2，
当4≤t＜6时，AP＝t，CQ＝2t，则PF＝6﹣t，QE＝2t﹣8，
当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，PF＝QE，
∴6﹣t＝2t﹣8，
解得，，
综上所述，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为2s或，
故选：C．
2．【解答】解：∵ME∥AC，MF∥AB，
∴四边形MEAF是平行四边形，
∴FM＝AE，EM＝AF，
∵ME∥AC，
∴∠EMB＝∠C，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠EMB，
∴EM＝EB，
∴AF＝BE，
∴AE+AF＝AE+BE＝AB，
∵AB＝AC＝8，
∴平行四边形MEAF的周长＝2（AE+AF）＝2AB＝2×8＝16；
故选：D．
3．【解答】解：过点F作FG∥CD交AC于点G，
∴∠CDE＝∠GFE，∠DCE＝∠FGE，
在△CDE和△GFE中，
，
∴△CDE≌△GFE（AAS），
∴GE＝CE＝1，FG＝CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB且CD＝AB，
∴GF∥AB且GF＝AB，
∴四边形ABFG为平行四边形，
∴BF＝AG＝5﹣1﹣1＝3．
故选：B．
4．【解答】解：A、∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
B、∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
C、∵∠ACB＝∠DAC＝40°，
∴AD∥BC，
∵AB＝CD，
∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，故符合题意；
D、∠ACB＝∠CAD＝40°，
∴AD∥BC，
∵∠ABD＝∠BDC＝35°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
故选：C．
5．【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴a﹣c＝0，b﹣d＝0，
∴a＝c，b＝d，
∴该四边形为平行四边形．
故选：B．
二、填空题
6．【解答】解：在直线AB的右下方有5个格点，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画5个，故答案为：5．
7．【解答】解：∵B（1，3），C（x，3），
∴BC∥x轴，
∵以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，O（0，0），A（4，0），
∴BC＝OA＝4，
①当点C在点B左侧，如图1，则x＝1﹣4＝﹣3；
②当点C在点B右侧，如图2，则x＝1+4＝5；
综上所述，x＝﹣3或5，
故答案为：﹣3或5．
8．【解答】解：设经过t秒，四边形PDCQ是平行四边形，
∵P在AD上运动，
∴t7.5，即0＜t≤7.5，
∵四边形PDCQ是平行四边形，
∴DP＝CQ，
分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B，方程为4t＝15﹣t，
解得t＝3，
②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，方程为15﹣415﹣t，
解得：t＝5；
故答案为：3或5．
9．【解答】解：设 ABCD中，AB＝3，BC＝4，AC＝m，BD＝n，
作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，如图所示，
在 ABCD中，AD∥BC，CD＝AB＝3，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB＝∠AEC＝∠DFB＝90°，AE∥DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AE＝DF，EF＝AD＝BC＝4，
∴BE＝CF，
在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2＝9，
在Rt△AEC中，AE2+EC2＝AC2＝m2，
在Rt△DCF中，DF2+CF2＝CD2＝9，
在Rt△BFD中，DF2+BF2＝BD2＝n2，
∴m2+n2
＝AE2+EC2+DF2+BF2
＝AE2+（4﹣BE）2+DF2+（4+CF）2
＝AE2+16﹣8BE+BE2+DF2+16+8CF+CF2
＝32+（AE2+BE2）+（DF2+CF2）
＝32+9+9
＝50，
故答案为：50．
10．【解答】解：以DA、DB为邻边构造 ADBM，过C作CN⊥AM．
∴AM＝DB＝4，BM＝AD，∠NAC＝∠COB＝180°﹣∠DOC＝60°，
∴ANAC＝3，
∴CNAN＝3，
∴NM＝AM﹣AN＝1，
∴CM2．
∵BC+BM≥CM，
∴AD+BC＝BM+BC最小值＝2．
三、解答题
11．【解答】（1）证明：连接BD交AC于点O，
由题意可得：OB＝OD，OA＝OC，
∵AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，
即OE＝OF，
又∵OB＝OD，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：∵DE⊥AC，DE＝3，DF＝5，
∴，
由题意可得：，BD＝2OD，
∴，
∴B，D两点之间的距离为．
12．【解答】证明：（1）∵ ABCD，
∴∠A＝∠C，AD＝CB，
又AF＝CG，
∴△ADF≌△CBG（SAS）
∴DF＝BG，
（2）∵△ADF≌△CBG，
∴∠AFD＝∠BGC＝∠DGE＝105°
13．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC，
∴，，
∴∠ADG＝∠CBE，
∴△ADG≌△CBE（ASA），
∴∠AGD＝∠CEB，BE＝DG，
∴180°﹣∠AGD＝180°﹣∠CEB，
∴∠DGE＝∠BEG，
∴BE∥DG，
∵BE＝DG，
∴四边形BEDG是平行四边形；
（2）解：如图，过E作EH⊥BC于点H，
∵ ABCD的周长为28，
∴，
∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，EH⊥BC，
∴EH＝EF＝5，
∴35．
14．【解答】（1）证明：∵点E和点F是直线BD上的两点且DE＝BF，
∴DE+DB＝BF+BD，
∴BE＝DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）解：设点D到AF的距离为h，
∵AD⊥BD，AB＝5，AD＝BC＝3，
∴∠ADB＝90°，
∴BD4，
∵DE+BF+BD＝2BF+4＝FE＝8，
∴BF＝2，
∴DF＝BD+BF＝4+2＝6，
∴AF3，
∵S△ADF3h3×6，
∴h，
∴点D到AF的距离是．
15．【解答】（1）证明：∵BD垂直平分AC，
∴AD＝CD，AB＝BC，
在△ADB与△CDB中，
，
∴△ADB≌△CDB（SSS），
∴∠DAB＝∠DCB，
∵∠BCD＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠DAB，
∴DE∥AB，
∵AE⊥AC，
∴AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）解：∵AE＝DE＝5，四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝BD＝5，
∵AC⊥BD，
∴AD2﹣DF2＝AB2﹣BF2，
∴62﹣DF2＝52﹣（5﹣DF）2，
解得：DF＝3.6，
∴AF4.8，
∴AC＝2AF＝9.6，
故答案为：9.6．
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