4.3 中心对称培优练习 浙教版2024—2025学年八年级下册（含答案）

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4.3中心对称培优练习浙教版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，，AE＝3，∠D＝90°，AC＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　）
A．B． C．D．
4．如图，直线l是正方形ABCD的一条对称轴，l与AB，CD分别交于点M，N，AN，BC的延长线相交于点P，连接BN．下列三角形中，与△NCP成中心对称的是（　　）
A．△NCB B．△BMN C．△AMN D．△NDA
5．如图，△ABC与△A′B′C′关于某个点成中心对称，则这个点是（　　）
A．点D B．点G C．点F D．点E
二、填空题
6．如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，其中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．满足条件的小等边三角形有 　 　个．
7．如图，点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E，F是边AB上的点，G，H是边BC上的点，且EFAB，GHBC，若S1，S2分别表示△EOF 和△GOH 的面积，则　 　．
8．如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D．若OB＝4，OD＝3，则阴影部分的面积之和为　 　．
9．如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AG为△ABC的高，若CE＝5，AG＝2，则S△DEC＝ 　 　．
10．婆罗摩笈多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他研究发现：当圆中两弦互相垂直时，图形中相对的几何元素间存在着特殊的关系．如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB、CD交于点E，弦AB和CD将圆分成了四个部分，其面积分别记为S1、S2、S3、S4，若点O到AB和CD的距离分别为2和1，则S1+S3﹣S2﹣S4＝　 　．
11．已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（﹣2，4），（5，1），以OA、OC为邻边作平行四边形OABC，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象过点B．
（1）点B的坐标为 　 　；
（2）求用含k的代数式表示b；
（3）当一次函数y＝kx+b的图象将OABC分成面积相等的两部分时，求k的值．
（4）直接写出一次函数y＝kx+b的图象与OABC的边只有两个公共点时k的取值范围．
13．如图，在直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．
（1）直接写出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1的对称点A1、B1、C1的坐标；
（2）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
（3）求△A1B1C1的面积．
14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，是CD上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接AE并延长，与BC的延长线交于点F．
（1）E是线段CD的 　 　，点A与点F关于点 　 　成中心对称；
（2）若AB＝AD+BC，求证：△ABF是等腰三角形．
15．《义务教育数学课程标准》指出平面直角坐标系是沟通几何与代数的桥梁，核心是平面上的点与坐标是一一对应的，用代数的方法表达图形变化，用平面直角坐标系解决几何问题，是数形结合的重要运用．
如图，正方形OABC的顶点B的坐标为（2，﹣2），D（m，0）为x轴上的一个动点（m＞2），以BD为边作正方形BDEF，点E在第四象限．
（1）试判断线段AD与CF的关系，并说明理由；
（2）设正方形BDEF的对称中心为M，直线CM交y轴于点G．随着点D的运动，点G的位置是否会发生变化？若保持不变，请求出点G的坐标；若发生变化，请说明理由．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5
答案 B A D D D
1．【解答】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项分析判断如下：
A、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意；
B、是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．
故选：B．
2．【解答】解：∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AB，
∴，AC＝CD，
∵AE＝3，∠D＝90°，
根据勾股定理可得：，
∴．
故选：A．
3．【解答】解：选项A、B、C不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
4．【解答】解：观察图形可知，与△NCP成中心对称的是△NDA．
故选：D．
5．【解答】解：连接AA'，BB'，CC'，相交于点E，
则△ABC与△A′B′C'关于点E成中心对称．
故选：D．
二、填空题
6．【解答】解：平行四边形的性质，它是中心对称图形，两对角线的交点是其对称中心；根据这一性质判断如下：
如图1、如图2所示，添加后的空白小等边三角形与原来的3个小等边三角形组成平行四边形，因而是中心对称图形．
故答案为：2．
7．【解答】解：如图，连接AC，OB，
∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，
∴点O是线段AC的中点，且S△AOB＝S△BOCS平行四边形ABCD，
令S△AOB＝S△BOC＝S，
∵EFAB，GHBC，
∴S△EOFS，S△GOHS，
∴．
故答案为：．
8．【解答】解：如图，过点A′作A′F⊥a于点F，过点A作AE⊥b于点E，
∵A′D⊥b于点D．
∠A′FO＝∠FOD＝∠A′DO＝90°，
∴四边形A′DOF是矩形，
∴A′F＝OD＝3，
同理可知，四边形ABOE是矩形，
∴AE＝OB＝4，
∵曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′，
∴AE＝A′D＝OB＝4，AB＝A′F＝3，图形①与图形②面积相等，
∴阴影部分的面积之和＝长方形ABOE的面积＝3×4＝12．
故答案为：12．
9．【解答】解：∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AG＝2，
∴CE＝BC，S△DEC＝S△ABC，
∴，
∴S△DEC＝5，
故答案为：5．
10．【解答】解：如图，作弦AB、CD关于O的对称弦，
根据圆的对称性可知，
S①＝S②，S③＝S④，S⑤＝S⑥＝S⑦＝S⑧，
所以S1+S3﹣S2﹣S4＝S②+S③+S⑥+S⑦+S长方形EFGH﹣S①﹣S④﹣S⑤﹣S⑧＝S长方形EFGH．
又因为点O到AB和CD的距离分别为2和1，
所以EF＝2，EH＝4，
所以S1+S3﹣S2﹣S4＝S长方形EFGH＝2×4＝8．
故答案为：8．
三、解答题
11．【解答】（1）证明：∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，
∴△ABM≌△ACM，
∴AB＝AC，
又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称，
∴△ABE≌△DCE，
∴AB＝CD，
∴AC＝CD；
（2）解：∠F＝∠MCD．
理由：由（1）可得∠BAE＝∠CAE＝∠CDE，∠CMA＝∠BMA，
∵∠BAC＝2∠MPC，∠BMA＝∠PMF，
∴设∠MPC＝α，则∠BAE＝∠CAE＝∠CDE＝α，
设∠BMA＝β，则∠PMF＝∠CMA＝β，
∴∠F＝∠CPM﹣∠PMF＝α﹣β，
∠MCD＝∠CDE﹣∠DMC＝α﹣β，
∴∠F＝∠MCD．
12．【解答】解：（1）∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB∥OC，AB＝OC，
∴AB可由OC平移得到，
∵点A（﹣2，4），点C（5，1），O（0，0），
∴B（5﹣2，1+4），
即B（3，5），
故答案为：（3，5）；
（2）将B（3，5）代入y＝kx+b，得：3k+b＝5，
∴b＝5﹣3k；
（3）一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象过点B，
∴当一次函数y＝kx+b的图象将平行四边形OABC分成面积相等的两部分时，图象必过（0，0）点，
由（2）知：y＝kx+5﹣3k，
∴5﹣3k＝0，
∴；
（4）当直线y＝kx+b经过A点时，得，
解得：，
当直线y＝kx+b经过C点时，得，
解得：k＝﹣2，
∵一次函数y＝kx+b的图象与平行四边形OABC的边只有两个公共点，
∴或k＜﹣2．
13．【解答】解：（1）∵A（0，3），B（3，4），C（2，2），
∴A1（0，﹣3），B1（﹣3，﹣4），C1（﹣2，﹣2）；
（2）如图，△A1B1C1即为所求，
（3）△A1B1C1的面积为．
14．【解答】（1）解：∵点D与点C关于点E中心对称，
∴E是线段CD的中点，DE＝EC，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DCF，
在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AE＝FE，AD＝CF，
∴点A与点F关于点E成中心对称，
故答案为：中点，E；
（2）证明：∵AB＝AD+BC，
∴AB＝BF，
∴△ABF是等腰三角形．
15．【解答】解：（1）AD＝CF，理由如下：
连接AD，CF，
∵四边形OABC、BDEF为正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠DBF＝90°，BD＝BF，
∴∠ABC+∠DBC＝∠DBF+∠DBC，
∴∠ABD＝∠CBF，
∴△ABD≌△CBF（SAS），
∴AD＝CF；
（2）不变，
过点F作FH⊥BC交BC的延长线于点H，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，
∵∠BCD＝∠DBF＝∠H＝90°，
∴∠CBD+∠FBH＝90°，∠FBH+∠BFH＝90°，
∴∠CBD＝∠BFH，
∵BD＝BF，
∴△BCD≌△FHB（AAS），
∵D（m，0），
∴CD＝BH＝m﹣2，BC＝FH＝2，
∴F（4，﹣m），
∵M为DF的中点，
∴，
在△CMN中，，，
∴△CMN是等腰直角三角形，
∴∠OCG＝∠NCM＝45°，
∴△OCG是等腰直角三角形，
∴OG＝OC＝2，
∴点G的坐标为（0，2）．
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