第2章 一元二次方程 单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 南漳县期末）下列方程中，是关于一元二次方程是
A． B． C． D．
2．（2024秋 黄石期末）将一元二次方程化为一般形式后，常数项是1，则二次项系数和一次项系数分别是
A．2、 B．2、5 C．2、1 D．、
3．（2024秋 贵州期末）若关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为
A．1 B． C． D．0
4．（2024秋 江汉区期末）一元二次方程的根的情况是
A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
5．（2024秋 阳谷县期末）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了，，得到，则她求解的一元二次方程是
A． B． C． D．
6．（2024秋 铜仁市期末）数学课上，数学老师在黑板上写出了一个一元二次方程，让第一学习小组的四位同学以接力的方式用配方法解方程，每人负责完成一个步骤（如图），他完成一步解答后接着第二位同学上黑板计算，，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一名同学的计算结果．接力计算中，出现错误的同学是
A．张 B．王 C．李 D．陈
7．（2024秋 唐河县期末）关于的一元二次方程的两根，，满足，则的取值范围是
A． B． C． D．
8．（2024秋 徐水区期末）如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（图中单位：，现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为 ，则的值为
A． B． C．1 D．
9．（2024春 海阳市期中）关于的方程，下列说法正确的是
A．方程有两个根
B．当时，方程无实数根
C．当，方程有两个根
D．当时，方程有两个根
10．（2024秋 洪雅县期末）探求多项式的最小值时，我们可以这样处理：
解：原式．
无论取什么数，都有的值为非负数，
的最小值为0，此时．
的最小值是．
即当时，原多项式有最小值．
根据上面的解题思路，多项式的最值情况为
A．有最小值22 B．有最小值24 C．有最大值22 D．有最大值24
二．填空题（共6小题）
11．（2025 深圳一模）关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则的值可能是 ．（只需写出一个即可）
12．（2024秋 凤台县期末）若关于的方程是一元二次方程，则的值为 ．
13．（2025 南京开学）一元二次方程的两个根分别为，若，则 ．
14．（2024秋 宛城区期末）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为 ．
15．（2024春 姑苏区校级月考）若实数，满足，求的值为 ．
16．（2024 双峰县模拟）对于任意实数，，我们定义新运算“”： ，例如．若，是方程的两根，则的值为 ．
三．解答题（共8小题）
17．（2024秋 锦州期中）用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
18．（2025 宣恩县校级模拟）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若、是该方程的两个根，且，求的值．
19．（2024秋 漳州期末）已知实数，，，且满足，．
（1）求证：的值为定值；
（2）若，同号，求的取值范围．
20．（2024秋 姜堰区期末）定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
（1）判断一元二次方程是否为“黄金方程”，请说明理由；
（2）已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值．
21．（2024秋 文峰区期末）某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产了200万个芯片，第三季度生产了288万个芯片．
（1）已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率；
（2）经调查发现，1条生产线的最大产能是600万个季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个季度．现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？
22．（2024秋 信丰县期末）阅读材料：把形的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．请根据阅读材料解决下列问题：
（1）填空： ．
（2）若，求的值．
（3）若、、分别是△的三边，且，试判断△的形状，并说明理由．
23．（2024秋 铜仁市期末）阅读下列材料：
解方程，
解：设，则原方程化为，
解得，．
当时，，解得：；
当时，，解得．
原方程的解为：，，，．
以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想．
（1）请用上述方法解下列方程：；
（2）已知实数，满足，求的值．
24．（2024秋 凌河区校级月考）如何利用闲置纸板箱制作储物盒
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材1 如图1，图中是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图2所示．
素材2 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种均为 长方形纸板．
长方形纸板① 长方形纸板②
小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒．
长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式
裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．
目标1 熟悉材料 熟悉按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝障的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽为 ．
目标2 利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究．
初步应用 （1）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积．
储物收纳 （2）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒．
第1页（共1页）第2章 一元二次方程 单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 南漳县期末）下列方程中，是关于一元二次方程是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论．
【解析】．，当时不是一元二次方程，不符合题意；
．，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
．，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意；
．，是一元二次方程，符合题意．
故选．
2．（2024秋 黄石期末）将一元二次方程化为一般形式后，常数项是1，则二次项系数和一次项系数分别是
A．2、 B．2、5 C．2、1 D．、
【答案】
【分析】经过移项把一元二次方程化为一般形式，令常数项为1，找出其二次项系数和一次项系数即可得到答案．
【解析】，
移项得：，
此时常数项为1，
二次项系数为：2，一次项系数为：，
故选．
3．（2024秋 贵州期末）若关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为
A．1 B． C． D．0
【答案】
【分析】把代入方程得，然后解关于的方程后利用一元二次方程的定义确定满足条件的的值．
【解析】把代入方程得，解得，，
而，
所以．
故选．
4．（2024秋 江汉区期末）一元二次方程的根的情况是
A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】
【分析】先计算根的判别式△，再根据根的判别式进行判断即可．
【解析】△
，
原方程无实数根．
故选．
5．（2024秋 阳谷县期末）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了，，得到，则她求解的一元二次方程是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】判断出，，，可得结论．
【解析】由题意，，．
故选．
6．（2024秋 铜仁市期末）数学课上，数学老师在黑板上写出了一个一元二次方程，让第一学习小组的四位同学以接力的方式用配方法解方程，每人负责完成一个步骤（如图），他完成一步解答后接着第二位同学上黑板计算，，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一名同学的计算结果．接力计算中，出现错误的同学是
A．张 B．王 C．李 D．陈
【答案】
【分析】根据配方法解老师出示的一元二次方程即可判断出错的同学．
【解析】原方程移项得：，故小张正确；
方程左右两边同时除以2可得：，故小王错误；
故选．
7．（2024秋 唐河县期末）关于的一元二次方程的两根，，满足，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据根与系数的关系以及不等式的解法即可求出答案．
【解析】由题意可知：，，
，
，
，
△，
，
，
故选．
8．（2024秋 徐水区期末）如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（图中单位：，现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为 ，则的值为
A． B． C．1 D．
【答案】
【分析】直接利用直角三角形面积的求法列出方程即可求解．
【解析】根据题意，利用直角三角形面积得：，
即，
解得或（不符合题意，舍去），
所以的值为1，
故选．
9．（2024春 海阳市期中）关于的方程，下列说法正确的是
A．方程有两个根
B．当时，方程无实数根
C．当，方程有两个根
D．当时，方程有两个根
【答案】
【分析】根据一元二次方程的根判断即可．
【解析】当时，方程无实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程有两个不相等的实数根．
故选．
10．（2024秋 洪雅县期末）探求多项式的最小值时，我们可以这样处理：
解：原式．
无论取什么数，都有的值为非负数，
的最小值为0，此时．
的最小值是．
即当时，原多项式有最小值．
根据上面的解题思路，多项式的最值情况为
A．有最小值22 B．有最小值24 C．有最大值22 D．有最大值24
【答案】
【分析】根据题干中给定的方法，将转化为完全平方公式和一个数值的和的形式，再根据非负性进行求解即可．
【解析】
，
无论取什么数，都有的值为非负数，
的最小值为0，此时，
有最大值为0，
的最大值是．
当时，原多项式的最大值是24．
故选．
二．填空题（共6小题）
11．（2025 深圳一模）关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则的值可能是 0（答案不唯一） ．（只需写出一个即可）
【答案】0（答案不唯一）．
【分析】由题意可得△，计算即可得解．
【解析】由题意得，△，
解得：，
的值可能是0，
故答案为：0（答案不唯一）．
12．（2024秋 凤台县期末）若关于的方程是一元二次方程，则的值为 4 ．
【答案】4
【分析】根据一元二次方程的定义得到且，然后解方程和不等式即可得到满足条件的的值．
【解析】根据题意可知，
方程是一元二次方程，
，
解得：，，
综上所述，．
故答案为：4．
13．（2025 南京开学）一元二次方程的两个根分别为，若，则 2 ．
【答案】2．
【分析】根据根与系数的关系得到，，得出即可求解．
【解析】一元二次方程的两个根分别为，，
，，
所以．
故答案为：2．
14．（2024秋 宛城区期末）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为 11 ．
【答案】11．
【分析】先利用因式分解法解方程得到，，再利用三角形三边的关系得到三角形第三边长为4，然后计算三角形的周长即可．
【解析】由题意得，，
，
或，
解得：，，
当时，，不能构成三角形，
当时，三角形的周长为，
故答案为：11．
15．（2024春 姑苏区校级月考）若实数，满足，求的值为 3 ．
【答案】3．
【分析】将看成一个整体，令，转换成一个关于的一元二次方程，利用因式分解法求出的值，再结合平方的非负性，即可得到答案．
【解析】令，
，
，
，
，
或，
或，
，
，即，
故答案为：3
16．（2024 双峰县模拟）对于任意实数，，我们定义新运算“”： ，例如．若，是方程的两根，则的值为 ．
【答案】．
【分析】根据新定义先将方程化为一元二次方程，由根与系数的关系求得，，再结合分式的加减及完全平方公式代入计算可求解．
【解析】由题意得即为，
化简得，
，是该方程的两根，
，，
，
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
17．（2024秋 锦州期中）用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；
（2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；
（3）方程利用直接开平方法求出解即可；
（4）方程整理后，利用公式法求出解即可．
【解析】（1）方程移项得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，；
（2）分解因式得：，
可得或，
解得：，；
（3）开方得：，
解得：，；
（4）方程整理得：，
这里，，，
，
．
18．（2025 宣恩县校级模拟）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若、是该方程的两个根，且，求的值．
【分析】（1）计算出△的值，根据△的取值范围即可得证；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系求出，，然后代入中，求出的值即可．
【解析】（1）根据根的判别式可得：
△，
方程总有两个实数根；
（2）根据题意得：，，
，
解得：．
19．（2024秋 漳州期末）已知实数，，，且满足，．
（1）求证：的值为定值；
（2）若，同号，求的取值范围．
【分析】（1）根据题意可得，，为关于的方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系即可求解；
（2）由（1）的一元二次方程根与系数的关系得，由，同号，解得：，再根据方程有两个不相等的实数根得到，解得，由此即可求解．
【解析】（1）证明：，，
，为关于的方程的两个不相等的实数根，
由根与系数的关系得，，
的值为定值．
（2）解：由（1）得，
，
解得：，
又，
，
．
20．（2024秋 姜堰区期末）定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
（1）判断一元二次方程是否为“黄金方程”，请说明理由；
（2）已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值．
【分析】（1）求出方程的解，根据黄金方程的定义判断即可；
（2）利用配方法，非负数的性质求解．
【解析】（1）是“黄金方程”，理由如下：
，
，
或，
，，
，
一元二次方程是“黄金方程”；
（2）关于的一元二次方程是“黄金方程”，
，
，
，
，
，
的最小值为．
21．（2024秋 文峰区期末）某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产了200万个芯片，第三季度生产了288万个芯片．
（1）已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率；
（2）经调查发现，1条生产线的最大产能是600万个季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个季度．现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？
【分析】（1）设前三季度生产量的平均增长率为，利用第三季度的生产量第一季度的生产量前三季度生产量的平均增长率），列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可；
（2）设再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个季度，根据该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可．
【解析】（1）设前三季度生产量的平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：前三季度生产量的平均增长率为；
（2）设再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个季度，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又在增加产能同时又要节省投入成本，
．
答：应该再增加4条生产线．
22．（2024秋 信丰县期末）阅读材料：把形的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．请根据阅读材料解决下列问题：
（1）填空： ．
（2）若，求的值．
（3）若、、分别是△的三边，且，试判断△的形状，并说明理由．
【分析】（1）运用完全平方公式将变形为，即可得结论；
（2）首先将，分成两个完全平方式的形式，根据非负数的性质求出，的值即可；
（3）先将已知等式利用配方法变形，再利用非负数的性质解题．
【解析】（1），
故答案为：；
（2），
，
，，
；
（3）△为等边三角形．理由如下：
，
，
，，
，
△为等边三角形．
23．（2024秋 铜仁市期末）阅读下列材料：
解方程，
解：设，则原方程化为，
解得，．
当时，，解得：；
当时，，解得．
原方程的解为：，，，．
以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想．
（1）请用上述方法解下列方程：；
（2）已知实数，满足，求的值．
【分析】（1）设，则原方程可化为，利用因式分解法求出未知数的值，从而把一元二次方程转化为两个一元一次主程，通过解一元一次方程求出原方程的解；
（2）设，则原方程化为，通过解一元二次方程求出的值，即可得到的值，根据平方的非负性把不符合条件的解舍去．
【解析】（1）设，则原方程可化为，
分解因式可得：，
解得：，，
当时，可得：，
解得：，
当时，可得：，
解得：，
原方程的解为，；
（2）原方程整理得：，
设，
则原方程化为，
整理得：，
分解因式可得：，
解得：，，
当时，，
当时，（不符合题意，舍去），
．
24．（2024秋 凌河区校级月考）如何利用闲置纸板箱制作储物盒
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材1 如图1，图中是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图2所示．
素材2 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种均为 长方形纸板．
长方形纸板① 长方形纸板②
小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒．
长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式
裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．
目标1 熟悉材料 熟悉按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝障的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽为 ．
目标2 利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究．
初步应用 （1）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积．
储物收纳 （2）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒．
【分析】目标1：储物区域的长为，由于收纳盒可以完全放入储物区域，则图1中的四角裁去小正方形的边长为，则收纳盒的宽小正方形的边长；
目标（1）设边长为 ，列出方程，解得：，（舍去），
得到体积为；
（2）设小长方形的宽为 ，长为 ，根据题意得：，解得：，当，之间两边恰好重合且无重叠部分，收纳盒的高，得出玩具机械狗不能完全放入该储物．
【解析】目标1：储物区域的长为，由于收纳盒可以完全放入储物区域，
则图1中的四角裁去小正方形的边长为，
则收纳盒的宽小正方形的边长，
故答案为：；
目标（1）设边长为 ，
，
解得：，（舍去），
体积为，
答：储物盒的容积为6552立方厘米；
（2）设小长方形的宽为 ，长为 ，
根据题意得：，
解得：，
小长方形的宽为，
当，之间两边恰好重合且无重叠部分，收纳盒的高，
玩具机械狗不能完全放入该储物，
答：玩具机械狗不能完全放入该储物．
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