第1章 二次根式 单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 美兰区校级期末）下列式子一定是二次根式的是
A． B． C． D．
2．（2024秋 邗江区校级期末）若二次根式有意义，则的取值范围是
A． B． C． D．
3．（2024秋 汝州市期末）在，，，中，是最简二次根式的是
A． B． C． D．
4．（2024秋 成都期中）若和最简二次根式是同类二次根式，则可以为
A． B． C． D．
5．（2024秋 信都区期末）若成立，则的值可以是
A． B．0 C．2 D．3
6．（2024秋 宁强县期末）下列计算正确的是
A． B． C． D．
7．（2024春 河东区期中）已知、、在数轴上的位置如图，化简：
A． B． C． D．
8．（2024秋 静安区校级期中）把式子分母有理化过程中，错误的是
A．
B．
C．
D．
9．（2023春 武昌区校级期中）已知，且，则的值是
A． B． C． D．
10．（2024秋 綦江区期末）在学习二次根式过程中，对代数式定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”，不能改变式子中字母和数字顺序，每次操作只能加一次新运算．实数，在数轴上的位置如图所示．例如：，．下列说法：
①；
②不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式相等；
③不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0；
④所有可能的“新运算操作”共有7种不同运算结果．
其中正确的个数是
A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题（共6小题）
11．（2024秋 东坡区期末）把根号外的因式移入根号内，其结果为 ．
12．（2024秋 姜堰区期末）若、都是实数，且，则 ．
13．（2024春 崇川区校级期中）我们把形如，为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是 型无理数．
14．（2024秋 江都区期中）若满足关系式，则 ．
15．（2024春 思明区校级期中）设，，则 ．（填“”“ ”或“”
16．（2024秋 龙湾区期中）在草稿纸上计算：①，②，③，，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值： ， ．
三．解答题（共8小题）
17．（2024秋 银川校级期末）计算：
（1）；
（2）．
18．（2024秋 北碚区期末）已知，是△的两边，且满足．
（1）求的算术平方根；
（2）求△的面积．
19．（2024秋 雁塔区校级期中）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”．
（1）若与是关于15的友好二次根式，求；
（2）若与是关于4的友好二次根式，求．
20．（2024秋 任丘市期末）我们知道，因此在计算时，分子和分母同时乘以，从而将分母中含有的根号通过化简去掉，这就是分母有理化．
（1）化简：；
（2）若，求的值．
21．（2024秋 镇巴县期末）如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台，其面积为平方米，长为米．
（1）求这个舞台的宽；（结果化简为最简二次根式）
（2）为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后矩形舞台的总面积．
22．（2024秋 碧江区 期末）铜仁市碧江区某中学数学社团的同学，在一次社团活动中遇到了化简二次根式的难题．
【问题解决】
（1）聪明的小明同学思考后说：我的解决思路是将转化为的形式，根据，因为，，所以 ， ，则可得到化简．
【学以致用】
（2）请仿照小明的解题思路，化简二次根式；
【知识迁移与拓展】
（3）若，解方程．
23．（2024 婺城区校级开学）在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如：①要使二次根式有意义，则需，解得：；
②化简：．
（1）利用①中的提示，请解答：如果，求的值；
（2）利用②中的结论计算：．
24．（2024春 河东区期中）阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
标题：双层二次根式的化简
内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号．
例如：要化简，可以先思考，所以．通过计算，我还发现设（其中，，，都为正整数），则有，， ．
这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法．
任务：
（1）文中的 ．
（2）化简： ．
（3）已知，其中，，均为正整数，求的值．
（4）化简： （直接写出答案）
第1页（共1页）第1章 二次根式 单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 美兰区校级期末）下列式子一定是二次根式的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】一般地，形如的式子叫做二次根式，据此可得答案．
【解析】一般地，形如的式子叫做二次根式，据此进行判断如下：
、是开三次方，不是二次根式，不符合题意；
、是二次根式，符合题意；
、当时，不是二次根式，不符合题意；
、不是二次根式，不符合题意．
故选．
2．（2024秋 邗江区校级期末）若二次根式有意义，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【解析】二次根式有意义，
，
解得．
故选．
3．（2024秋 汝州市期末）在，，，中，是最简二次根式的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可．
【解析】，不是二次根式，，
是最简二次根式．
故选．
4．（2024秋 成都期中）若和最简二次根式是同类二次根式，则可以为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．根据同类二次根式的定义得，求出的值即可．
【解析】，
由题意得：，
，
故选．
5．（2024秋 信都区期末）若成立，则的值可以是
A． B．0 C．2 D．3
【答案】
【分析】直接利用二次根式的性质得出的取值范围进而得出答案．
【解析】若成立，
，
解得：，
故的值可以是0．
故选．
6．（2024秋 宁强县期末）下列计算正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据二次根式的加减法对进行判断；根据二次根式的除法法则对、进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断．
【解析】、与不能合并，所以选项错误；
、原式，所以选项正确；
、原式，所以选项错误；
、原式，所以选项错误．
故选．
7．（2024春 河东区期中）已知、、在数轴上的位置如图，化简：
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先根据数轴可得，且，进而得到，，再根据二次根式的性质化简即可求解．
【解析】由数轴可得，，且，
，，
原式
，
，
，
故选．
8．（2024秋 静安区校级期中）把式子分母有理化过程中，错误的是
A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】根据分子分母同乘或除以一个不为零的数或式子，原式的值才不变，本题据此依次判断即可．
【解析】根据分母有理化运算法则对各选项分析判断如下：
、将式子的分子分母同乘以，式子的值不变，故该选项正确，不符合题意；
、将分子因式分解为，与分母约分后得到，故该选项正确，不符合题意；
、因为有可能为0，所以分子分母同时乘以错误，故该选项符合题意；
、将分子因式分解为，与分母约分后得到，故该选项正确，不符合题意；
故选．
9．（2023春 武昌区校级期中）已知，且，则的值是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据完全平方公式变形，计算即可．
【解析】，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选．
10．（2024秋 綦江区期末）在学习二次根式过程中，对代数式定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”，不能改变式子中字母和数字顺序，每次操作只能加一次新运算．实数，在数轴上的位置如图所示．例如：，．下列说法：
①；
②不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式相等；
③不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0；
④所有可能的“新运算操作”共有7种不同运算结果．
其中正确的个数是
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】
【分析】根据数轴可知，，则有，结合“新运算操作”可得，即可判断说法①；结合可得，即可判断说法②；推导，易得，可知，即可判断说法③；根据“新运算操作”可知所有可能的“新运算操作”共有6种不同运算结果，即可判断说法④．
【解析】，
，
，①正确；
，
，②错误；
，，
，
，
，
，
存在“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0，③错误；
可能的“新运算操作”有，
，
，
，
，
，
，
所有可能的“新运算操作”共有5种不同运算结果，④错误．
所以正确的个数有1个，
故选．
二．填空题（共6小题）
11．（2024秋 东坡区期末）把根号外的因式移入根号内，其结果为 ．
【答案】．
【分析】先根据题意判断出的符号，进而可得出结论．
【解析】有意义，
，
，
．
故答案为：．
12．（2024秋 姜堰区期末）若、都是实数，且，则 4 ．
【答案】4．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出的值，继而求出的值，从而得出答案．
【解析】根据题意得，，
解得，
，
，
，
故答案为：4．
13．（2024春 崇川区校级期中）我们把形如，为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是 型无理数．
【答案】．
【分析】利用完全平方公式进行化简即可．
【解析】
是型无理数．
故答案为：．
14．（2024秋 江都区期中）若满足关系式，则 3 ．
【答案】3．
【分析】利用二次根式有意义的条件得到且，则，所以，则且，然后解方程组即可．
【解析】根据题意得且，
，
即，
，
且，
即且，
且，
解得．
故答案为：3．
15．（2024春 思明区校级期中）设，，则 ．（填“”“ ”或“”
【答案】．
【分析】利用二次根式的乘除法对式子进行整理，再比较即可．
【解析】
，
，
即，
则．
故答案为：．
16．（2024秋 龙湾区期中）在草稿纸上计算：①，②，③，，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值： 10 ， ．
【答案】10，351．
【分析】先根据已知条件中的算式，找出规律，再按照规律进行解答即可．
【解析】①，
②；
③；
．
第个算式为：，
，，
故答案为：10，351．
三．解答题（共8小题）
17．（2024秋 银川校级期末）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则、绝对值和零指数幂的意义计算，然后合并即可；
（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式后进行二次根式的除法运算．
【解析】（1）原式
；
（2）原式
．
18．（2024秋 北碚区期末）已知，是△的两边，且满足．
（1）求的算术平方根；
（2）求△的面积．
【分析】（1）根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式组，解不等式组求出，进而求出，根据算术平方根的概念计算即可；
（2）分6是直角边长、6是斜边长两种情况，根据勾股定理、三角形面积公式计算即可．
【解析】（1）由题意得：，，
解得：，
则，
，
的算术平方根是4，
的算术平方根是4；
（2）当是直角边长时，，
当是斜边长时，另一条直角边为：，
则，
综上所述，△的面积为15或．
19．（2024秋 雁塔区校级期中）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”．
（1）若与是关于15的友好二次根式，求；
（2）若与是关于4的友好二次根式，求．
【分析】（1）根据定义得到，求解即可；
（2）根据定义得到：，求解即可．
【解析】（1）与是关于15的友好二次根式，
，
；
（2）与是关于4的友好二次根式，
，
．
20．（2024秋 任丘市期末）我们知道，因此在计算时，分子和分母同时乘以，从而将分母中含有的根号通过化简去掉，这就是分母有理化．
（1）化简：；
（2）若，求的值．
【分析】（1）仿照题中给出的方法计算即可；
（2）先仿照题中给出的方法计算求出的值，再把变形为，然后代入计算即可．
【解析】（1）
；
（2），
．
21．（2024秋 镇巴县期末）如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台，其面积为平方米，长为米．
（1）求这个舞台的宽；（结果化简为最简二次根式）
（2）为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后矩形舞台的总面积．
【分析】（1）利用二次根式的除法解题即可；
（2）利用二次根式的混合运算解题即可．
【解析】（1）利用二次根式的除法解得：
（米．
答：这个舞台的宽是米．
（2）
（平方米）．
答：舞台装饰后的面积是140平方米．
22．（2024秋 碧江区 期末）铜仁市碧江区某中学数学社团的同学，在一次社团活动中遇到了化简二次根式的难题．
【问题解决】
（1）聪明的小明同学思考后说：我的解决思路是将转化为的形式，根据，因为，，所以 ， ，则可得到化简．
【学以致用】
（2）请仿照小明的解题思路，化简二次根式；
【知识迁移与拓展】
（3）若，解方程．
【分析】（1）根据题目所给方法对变形即可得解；
（2）根据题意结合所给方法对变形，再利用二次根式的性质化简即可得解；
（3）根据题目所给方法，左边化简得到，再利用二次根式性质化简，得到，再解方程即可．
【解析】（1），
，
故答案为：，1；
（2），
，
（3），，
，
又，
，
方程左侧，
故方程为，
解得：．
23．（2024 婺城区校级开学）在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如：①要使二次根式有意义，则需，解得：；
②化简：．
（1）利用①中的提示，请解答：如果，求的值；
（2）利用②中的结论计算：．
【分析】（1）根据二次根式的被开方数不能为负数，列出不等式组，求解可得的值，将的值代入已知等式可得的值，最后求与的和即可；
（2）利用②中的结论直接化简各个二次根式，再根据有理数的加减法法则计算即可．
【解析】（1）由题意得，，
，
，
；
（2）原式
．
24．（2024春 河东区期中）阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
标题：双层二次根式的化简
内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号．
例如：要化简，可以先思考，所以．通过计算，我还发现设（其中，，，都为正整数），则有，， ．
这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法．
任务：
（1）文中的 ．
（2）化简： ．
（3）已知，其中，，均为正整数，求的值．
（4）化简： （直接写出答案）
【分析】（1）根据题目所给信息即可得到答案；
（2）根据结合完全平方公式求解即可；
（3）根据，得出，，根据，为正整数，求出，或，，最后求出的值即可．
（4）根据进行化简求解即可．
【解析】（1），
，．
故答案为：；
（2）
，
故答案为：；
（3）由题意得，
，，
，为正整数，
，或，，
或．
（4）
，
当，即时，则原式；
当，即时，则原式；
综上所述，当时，，当时，．
第1页（共1页）
