3.1直线与圆的位置关系（2）
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文档简介
课题：3.1直线与圆的位置关系（2）之一
学习目标：
1、通过动手操作，经历圆的切线的判定定理得产生过程，并帮助理解与记忆；
2、在探索圆的切线的判定定理的过程中，体验切线的判定、切线的特殊性；
3、通过圆的切线的判定定理得学习，培养学生学习主动性和积极性。
学习重点：圆的切线的判定定理
学习难点：定理的运用中，辅助线的添加方法。
学习过程：
一、预习检查和复习
根据图形，回答以下问题：
1、直线和圆的三种位置关系分别是1）、_______2）、________3）、__________
设圆心O到直线的距离为d ,圆的半径为r ,请填空：
直线和圆相交，则d______r ； 直线和圆相切，则d_______r ；直线和圆相交，则d____r
2、在上边三个图中，哪个图中的直线l 是圆的切线？你是怎样判断的？
二、探索切线的判定定理
1、学生动手操作：在⊙O中任取一点A，连结OA，过点A 作直线l⊥OA 。
思考：（可与同伴交流）
（1）圆心O到直线l的距离和圆的半径由什么关系？
（2）直线l 与⊙O的位置有什么关系？根据什么？
（3）由此你发现了什么？
结论：
切线的判定定理：经过 并且 的直线是圆的切线。
几何语言表示:
思考：（1）如何过圆上一个已知点做圆的切线呢？
（2）判定一条直线是圆的切线已经有几种方法？
2、做一做（1）下列哪个图形的直线l 与⊙O相切？（ ）
小结：证明一条直线为圆的切线时，必须两个条件缺一不可：①
②
（2）课本第52页课内练习第1题
（3）课本第51页做一做
三、应用定理，强化训练
例1、已知：如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。
求证：直线AB是⊙O的切线。
例2、如图，已知OA=OB=5厘米，AB=8厘米，⊙O的直径为6厘米。
求证：AB与⊙O相切。
思考：以上两例辅助线的添加法是否相同？有什么规律吗？
规律：
（1）若直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连结圆心和公共点”，再证明直线和半径垂直。
（2）当直线与圆并没有明确有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”再证明圆心到直线的距离等于圆的半径。
巩固练习
练习1：判断下列命题是否正确
（1）经过半径的外端的直线是圆的切线
（2）垂直于半径的直线是圆的切线；
（3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线；
（4）和圆有一个公共点的直线是圆的切线；
（5）以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切。
练习2、如图，⊙O的半径为8厘米，圆内的弦 AB=厘米，以O为圆心，4厘米为半径作小圆。
求证：小圆与直线 AB相切。
练习3、如图，已知AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在圆上，∠CAB=30°。
求证：直线DC是⊙O的切线。
练习4、课本第52页课内练习第2题
练习5、如图:O为∠ ABC平分线上点,OD⊥AB于D,以O为圆心,OD为半径作圆，求证：BC与作⊙O相切。
课外拓展：
1.如图，由正方形ABCD的顶点A引一直线分别交BD、CD及BC的延长线于E、F、G，⊙O是△CGF的外接圆
求证：CE是⊙O的切线。
2、如图,已知AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D,且DE⊥AC.
(1)求证:DE是⊙O的切线.
(2)若∠C=30°,CD=10cm,求⊙Ｏ的半径．
四、小结提高：
1、切线的判定定理：经过 并且垂直于 的直线是圆的切线。
2、到目前为止，判定一条直线是圆的切线有三种方法，分别是：
（1）根据切线的定义判定：即与圆有 公共点的直线是圆的切线。
（2）根据圆心到直线的距离来判定：即与圆心的距离等于 的直线是圆的切线。
（3）根据切线的判定定理来判定：即经过半径的 并且 这条半径的直线是圆的切线。
3、证明一条直线是圆的切线常用的辅助线有两种：
（1）如果已知直线过圆上某一点，则作 ，后证明 。
（2）如果直线与圆的公共点没有明确，则 ，后证明 。
五、作业布置：见作业本和书上练习。
预习例3
教学案 3.1直线与圆的位置关系（2）之二
学习目标：
1、进一步掌握切线的判定定理，并能初步运用它解决问题；
2、通过例题教学，培养和提高学生分析问题解决问题的能力。
学习重点与难点：综合运用切线的判定定理。
学习关键：掌握切线的判定方法两种方法的理解是学好本节课的应用。
学习过程：
一、知识回顾和预习检查
判定直线与圆相切，常用的方法有哪些？
1、 ； 2、 ；3、 。
二、基础热身
1、在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AC=BC，以AB上的高CD为直径作一个圆，与这个圆相切的直线有（ ）
A、AC B、AC、BC C、AB D、AC、BC、AB
2、如图，点 A在⊙O上，由下列条件能判定直线AB和⊙O相切的有（ ）
①∠B=40°，∠O=50°，②sinB=1/2,③tanB×tanO=1,
④⊙O 过OB的中点，∠O=60°
A、① B、①② C、①②③ D、①③④
3、已知⊙O的直径为10厘米，如果圆心O到直线l 的距离为4.5厘米，那么直线l 与⊙O有 个公共点。
三、例题讲解
例1、(即课本的例2)已知如图,D是⊙O外一点,DO的延长线交⊙O于点A,点C在圆上,且AC=CD, ∠D=30°。
求证：直线CD是⊙O的切线。
做一做：如图AB是⊙Ｏ的直径，
（1）分别过A，B作⊙Ｏ的切线a，b．
(2) 直线a，b的位置关系；
（3）作出与直线a垂直的⊙Ｏ的切线
例2、如图，台风中心P（100，200）沿北偏东30°的方向移动，受台风影响区域的半径为200km,那么下列城市A（200，380），B（600，480），C（550，300），D（370，540 ）中，哪些受到这次台风的影响，哪些不受到这次台风的影响？
四、课内练习
1：如图,OP是⊙O的半径,∠POT=60°,OT交⊙O于S点。
(1)过点P作⊙O的切线.
(2)过点P的切线交OT于Q,判断S是不是OQ的中点,并说明理由.
2、如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过A作AC⊥DC，
求证：DC是⊙O的切线。
3、如图，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，CD＝AD＋BC。
求证：以CD为直径的⊙O与AB相切
4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，CD⊥AB于点D。
（1）求证：BC是△ADC的外接圆的切线；
（2） △BDC的外接圆的切线是哪一条？为什么？
（3）若AC=5，BC=12，以C为圆心作圆C，使圆C与 AB相切，则圆C的半径是多少？(p53 T6)
5、如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，连结OC，过A作AD∥OC，交⊙O于点D，连结DC。求证：CD是⊙O的切线。
6.请任意画一个圆,并在这个圆所在的平面内任意取一点P.
(1)过点P是否都能作这个圆的切线
(2)点P在什么位置时,能作并且只能作一条切线
(3)点P在什么位置时,能作两条切线 这两条切线有什么特性
(4)能作多于2条的切线吗
五．小结提高：
1.切线的判定定理:
2.用途：（1） （2）
3.方法：证明一条直线是圆的切线常用的辅助线有两种：
（1）如果已知直线过圆上某一点，则作 ，后证明 。
（2）如果直线与圆的公共点没有明确，则 ，后证明 。
四、布置作业：
1、已知，如图，A是半径为2的⊙O上一点，P是OA延长线上的动点，过P点作⊙O的切线为B.
（1）当PB=4时，求PO的值。
（2）⊙O上是否存在点C，使△ PBC为等边三角形？若存在，请求出此时PB的值，若不存在，请说明理由。
C
B
A
·O
C
B
A
·O
D
B
O
Ｏ
A
C
Ｅ
Ｄ
Ｃ
Ｂ
Ａ
O
T
S
P
O
O
A
C
D
B
B
C
D
A
B
C
D
O
A
学习目标：
1、通过动手操作，经历圆的切线的判定定理得产生过程，并帮助理解与记忆；
2、在探索圆的切线的判定定理的过程中，体验切线的判定、切线的特殊性；
3、通过圆的切线的判定定理得学习，培养学生学习主动性和积极性。
学习重点：圆的切线的判定定理
学习难点：定理的运用中，辅助线的添加方法。
学习过程：
一、预习检查和复习
根据图形，回答以下问题：
1、直线和圆的三种位置关系分别是1）、_______2）、________3）、__________
设圆心O到直线的距离为d ,圆的半径为r ,请填空：
直线和圆相交，则d______r ； 直线和圆相切，则d_______r ；直线和圆相交，则d____r
2、在上边三个图中，哪个图中的直线l 是圆的切线？你是怎样判断的？
二、探索切线的判定定理
1、学生动手操作：在⊙O中任取一点A，连结OA，过点A 作直线l⊥OA 。
思考：（可与同伴交流）
（1）圆心O到直线l的距离和圆的半径由什么关系？
（2）直线l 与⊙O的位置有什么关系？根据什么？
（3）由此你发现了什么？
结论：
切线的判定定理：经过 并且 的直线是圆的切线。
几何语言表示:
思考：（1）如何过圆上一个已知点做圆的切线呢？
（2）判定一条直线是圆的切线已经有几种方法？
2、做一做（1）下列哪个图形的直线l 与⊙O相切？（ ）
小结：证明一条直线为圆的切线时，必须两个条件缺一不可：①
②
（2）课本第52页课内练习第1题
（3）课本第51页做一做
三、应用定理，强化训练
例1、已知：如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。
求证：直线AB是⊙O的切线。
例2、如图，已知OA=OB=5厘米，AB=8厘米，⊙O的直径为6厘米。
求证：AB与⊙O相切。
思考：以上两例辅助线的添加法是否相同？有什么规律吗？
规律：
（1）若直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连结圆心和公共点”，再证明直线和半径垂直。
（2）当直线与圆并没有明确有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”再证明圆心到直线的距离等于圆的半径。
巩固练习
练习1：判断下列命题是否正确
（1）经过半径的外端的直线是圆的切线
（2）垂直于半径的直线是圆的切线；
（3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线；
（4）和圆有一个公共点的直线是圆的切线；
（5）以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切。
练习2、如图，⊙O的半径为8厘米，圆内的弦 AB=厘米，以O为圆心，4厘米为半径作小圆。
求证：小圆与直线 AB相切。
练习3、如图，已知AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在圆上，∠CAB=30°。
求证：直线DC是⊙O的切线。
练习4、课本第52页课内练习第2题
练习5、如图:O为∠ ABC平分线上点,OD⊥AB于D,以O为圆心,OD为半径作圆，求证：BC与作⊙O相切。
课外拓展：
1.如图，由正方形ABCD的顶点A引一直线分别交BD、CD及BC的延长线于E、F、G，⊙O是△CGF的外接圆
求证：CE是⊙O的切线。
2、如图,已知AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D,且DE⊥AC.
(1)求证:DE是⊙O的切线.
(2)若∠C=30°,CD=10cm,求⊙Ｏ的半径．
四、小结提高：
1、切线的判定定理：经过 并且垂直于 的直线是圆的切线。
2、到目前为止，判定一条直线是圆的切线有三种方法，分别是：
（1）根据切线的定义判定：即与圆有 公共点的直线是圆的切线。
（2）根据圆心到直线的距离来判定：即与圆心的距离等于 的直线是圆的切线。
（3）根据切线的判定定理来判定：即经过半径的 并且 这条半径的直线是圆的切线。
3、证明一条直线是圆的切线常用的辅助线有两种：
（1）如果已知直线过圆上某一点，则作 ，后证明 。
（2）如果直线与圆的公共点没有明确，则 ，后证明 。
五、作业布置：见作业本和书上练习。
预习例3
教学案 3.1直线与圆的位置关系（2）之二
学习目标：
1、进一步掌握切线的判定定理，并能初步运用它解决问题；
2、通过例题教学，培养和提高学生分析问题解决问题的能力。
学习重点与难点：综合运用切线的判定定理。
学习关键：掌握切线的判定方法两种方法的理解是学好本节课的应用。
学习过程：
一、知识回顾和预习检查
判定直线与圆相切，常用的方法有哪些？
1、 ； 2、 ；3、 。
二、基础热身
1、在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AC=BC，以AB上的高CD为直径作一个圆，与这个圆相切的直线有（ ）
A、AC B、AC、BC C、AB D、AC、BC、AB
2、如图，点 A在⊙O上，由下列条件能判定直线AB和⊙O相切的有（ ）
①∠B=40°，∠O=50°，②sinB=1/2,③tanB×tanO=1,
④⊙O 过OB的中点，∠O=60°
A、① B、①② C、①②③ D、①③④
3、已知⊙O的直径为10厘米，如果圆心O到直线l 的距离为4.5厘米，那么直线l 与⊙O有 个公共点。
三、例题讲解
例1、(即课本的例2)已知如图,D是⊙O外一点,DO的延长线交⊙O于点A,点C在圆上,且AC=CD, ∠D=30°。
求证：直线CD是⊙O的切线。
做一做：如图AB是⊙Ｏ的直径，
（1）分别过A，B作⊙Ｏ的切线a，b．
(2) 直线a，b的位置关系；
（3）作出与直线a垂直的⊙Ｏ的切线
例2、如图，台风中心P（100，200）沿北偏东30°的方向移动，受台风影响区域的半径为200km,那么下列城市A（200，380），B（600，480），C（550，300），D（370，540 ）中，哪些受到这次台风的影响，哪些不受到这次台风的影响？
四、课内练习
1：如图,OP是⊙O的半径,∠POT=60°,OT交⊙O于S点。
(1)过点P作⊙O的切线.
(2)过点P的切线交OT于Q,判断S是不是OQ的中点,并说明理由.
2、如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过A作AC⊥DC，
求证：DC是⊙O的切线。
3、如图，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，CD＝AD＋BC。
求证：以CD为直径的⊙O与AB相切
4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，CD⊥AB于点D。
（1）求证：BC是△ADC的外接圆的切线；
（2） △BDC的外接圆的切线是哪一条？为什么？
（3）若AC=5，BC=12，以C为圆心作圆C，使圆C与 AB相切，则圆C的半径是多少？(p53 T6)
5、如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，连结OC，过A作AD∥OC，交⊙O于点D，连结DC。求证：CD是⊙O的切线。
6.请任意画一个圆,并在这个圆所在的平面内任意取一点P.
(1)过点P是否都能作这个圆的切线
(2)点P在什么位置时,能作并且只能作一条切线
(3)点P在什么位置时,能作两条切线 这两条切线有什么特性
(4)能作多于2条的切线吗
五．小结提高：
1.切线的判定定理:
2.用途：（1） （2）
3.方法：证明一条直线是圆的切线常用的辅助线有两种：
（1）如果已知直线过圆上某一点，则作 ，后证明 。
（2）如果直线与圆的公共点没有明确，则 ，后证明 。
四、布置作业：
1、已知，如图，A是半径为2的⊙O上一点，P是OA延长线上的动点，过P点作⊙O的切线为B.
（1）当PB=4时，求PO的值。
（2）⊙O上是否存在点C，使△ PBC为等边三角形？若存在，请求出此时PB的值，若不存在，请说明理由。
C
B
A
·O
C
B
A
·O
D
B
O
Ｏ
A
C
Ｅ
Ｄ
Ｃ
Ｂ
Ａ
O
T
S
P
O
O
A
C
D
B
B
C
D
A
B
C
D
O
A