2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.会画y=ax2+k的图象 几何直观
2.理解抛物线y=ax2与y=ax2+k之间的联系与区别 几何直观、抽象能力
3.能说出y=ax2+k的开口方向、对称轴、顶点、最值及增减性 几何直观、抽象能力、推理能力
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
二次函数y=ax2+k的图象和性质 y=ax2+ka>0a<0开口方向 对称轴y轴(直线x=0)顶点坐标(0,k)最值当x=0时, y最小值=k当x=0时, y最大值=k增减性当x<0时,y随x的增大而 ;当x>0时,y随x的增大而 当x>0时,y随x的增大而 ;当x<0时,y随x的增大而
1.抛物线y=-3x2-2的顶点坐标是( ) A.(-2,0) B.(2,0) C.(0,2) D.(0,-2) 2.抛物线y=x2+3的对称轴是( ) A.x轴 B.y轴 C.直线y=x D.直线y=-x 3.抛物线y=2x2-3可以由抛物线y=2x2向 平移3个单位得到.
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
重点1 二次函数y=ax2+k的图象与性质(几何直观、抽象能力)
【典例1】(教材再开发·P8例2拓展)
已知二次函数y=-x2+5.
(1)写出它的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值;
(2)若点(x1,y1),(x2,y2)在该二次函数的图象上,且x1>x2>0,试比较y1与y2的大小.
【举一反三】
1.(2024·合肥期末)抛物线y=x2-1的开口方向是( )
A.向右 B.向上 C.向左 D.向下
2.(2024·青岛期中)函数y=-x2+2的图象,当x>0时,y的值随x值的增大而 .(填“增大”或“减小”)
【技法点拨】
二次函数y=ax2与y=ax2+k之间的联系与区别
1.图象:形状相同,位置不同,即对称轴相同,顶点不同.
2.性质:增减性相同,最值不同,即y=ax2的最值是0,而y=ax2+k的最值是k.
重点2 二次函数y=ax2+k的平移(几何直观、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P10“做一做”拓展)(2024·南京期中)在平面直角坐标系中,将二次函数y=3x2+2的图象向下平移3个单位长度,所得函数的表达式为( )
A.y=3x2-1 B.y=3x2+1
C.y=3x2-5 D.y=3x2+5
【举一反三】
抛物线y=-2x2经过变换后,得到抛物线y=-2x2+1,则这个变换方式可以是( )
A.向左平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
C.向上平移1个单位长度
D.向下平移1个单位长度
【技法点拨】
二次函数y=ax2+k与y=ax2图象间的关系
如图示例,二次函数y=ax2+k与y=ax2的图象形状相同,位置不同.抛物线y=ax2+k可由抛物线y=ax2沿y轴向上(下)平移|k|个单位长度得到.平移规律为“上加下减”.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·抽象能力)抛物线y=-2x2-1的顶点坐标是( )
A.(0,-1) B.(-1,0)
C.(2,-1) D.(-1,-2)
2.(4分·几何直观)二次函数y=2x2+3的图象经过( )
A.第一、二象限 B.第三、四象限
C.第一、三象限 D.第二、四象限
3.(4分·模型观念)已知二次函数y=-x2-3,如果x>0,那么函数值y随着自变量x的增大而 (填“增大”或“减小”).
4.(8分·抽象能力、推理能力)不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象,回答下面的问题:
(1)抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2
(2)函数y=-x2+1,当x 时,y随x的增大而减小;当x 时,函数y有最大值,最大值y是 ;其图象与y轴的交点坐标是 ,与x轴的交点坐标是 .
(3)试说出抛物线y=-x2+1的开口方向、对称轴和顶点坐标.2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第5课时
课时学习目标 素养目标达成
会运用二次函数解决几何图形面积的最值问题 应用意识、运算能力
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
根据二次函数最值解决实际问题的一般步骤 (1)列出二次函数的表达式,并根据 的实际意义,确定自变量的 . (2)在自变量的取值范围内,运用公式法或通过配方求出二次函数的 或 . 如图,用一段长为16 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏(墙长9 m),则这个围栏的最大面积为 m2.
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
重点 图形面积与二次函数(模型观念、应用意识、运算能力)
【典例】(教材溯源·P19问题1·2024湖北中考)如图,某校劳动实践基地用总长为80 m的栅栏,围成一块一边靠墙的矩形实验田,墙长为42 m,栅栏在安装过程中不重叠、无损耗,设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位: m),与墙平行的一边长为y(单位: m),面积为S(单位:m2).
(1)直接写出y与x,S与x之间的函数表达式(不要求写x的取值范围);
(2)矩形实验田的面积S能达到750 m2吗 如果能,求x的值;如果不能,请说明理由;
(3)当x的值是多少时,矩形实验田的面积S最大 最大面积是多少
【举一反三】
1.(2024·石家庄期中)九年级16班计划在劳动实践基地内种植蔬菜,班长买回来8米长的围栏,准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园,为了让菜园面积尽可能大,同学们提出了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形这三种方案,最佳方案是( )
A.方案1 B.方案2
C.方案3 D.面积都一样
2.(2024·广州期中)如图所示,要建一个长方形的养鸡场,养鸡场的一边靠墙,如果用60 m长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场,设养鸡场的长为x m,当x= 时,养鸡场的面积最大.
3.(2024·济南期末)如图,学校课外兴趣活动小组准备利用长为8 m的墙AB和一段长为26 m的篱笆围建一个矩形苗圃园.如果矩形苗圃园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成,另三边由篱笆ACDF围成,设平行于墙的边CD的长为x m.
(1)当苗圃园的面积为60 m2时,求x的值.
(2)当x为何值时,所围苗圃园的面积最大 最大面积是多少
【技法点拨】
应用二次函数解决面积最大问题的步骤
(1)分析题中的变量与常量;
(2)找出等量关系,根据几何图形的面积公式建立函数模型;
(3)结合函数图象及性质,考虑实际问题中自变量的取值范围,求出面积的最大值.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·模型观念)用一段长度为24 m的篱笆围成一个矩形菜地,能围成菜地的面积不可能是( )
A.25 m2 B.31 m2
C.36 m2 D.38 m2
2.(4分·运算能力)如图所示是一个长20 m、宽16 m的矩形花园,根据需要将它的长缩短x m,宽增加x m,要想使修改后的花园面积达到最大,则x应为 .
3.(4分·运算能力)在综合实践活动中,同学们借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用24 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD,则矩形花园ABCD的最大面积为 m2.
4.(8分·模型观念、运算能力)如图,用长为9 m的铝合金条制成“日”字形窗框,若窗户的宽为x m,窗户的透光面积为y m2(铝合金条的宽度不计).
(1)求出y与x的函数关系式;(写出自变量x的取值范围)
(2)能否使窗中的透光面积达到3 m2 如果能,求出窗户的高度和宽度;如果不能,请说明理由.2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第3课时
课时学习目标 素养目标达成
1.会画y=a(x-h)2+k的图象 几何直观
2.理解抛物线y=ax2与y=a(x-h)2+k之间的联系与区别 几何直观、抽象能力
3.能说出y=a(x-h)2+k的最值、增减性及其图象的开口方向、对称轴及顶点坐标 几何直观、抽象能力、推理能力
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 抛物线y=a(x-h)2+k(a>0)y=a(x-h)2+k(a<0)顶点坐标(h,k)(h,k)对称轴直线x=h直线x=h开口方向向上向下增减性在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小; 在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大; 在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小最值当x=h时,最小值为k当x=h时,最大值为k
1.对于抛物线y=(x-2)2+3,下列说法错误的是(D) A.对称轴是直线x=2 B.函数的最小值是3 C.开口向上,顶点坐标(2,3) D.当x>2时,y随x的增大而减小 2.将抛物线y=3x2+2向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线的表达式为 y=3(x+2)2-1 .
重点典例研析 启思凝智 教学相长
重点1 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(几何直观、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P16练习T1强化)已知函数y=-3(x+1)2-4.
(1)指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(2)当x取何值时,该函数有最值,并求出最值.
(3)当x取何值时,y随x的增大而减小.
【自主解答】(1)∵a=-3<0,
∴抛物线开口向下,
顶点坐标为(-1,-4),
对称轴为直线x=-1;
(2)抛物线开口向下,函数有最大值,
∵顶点坐标为(-1,-4),
∴当x=-1时,函数有最大值-4;
(3)∵对称轴为直线x=-1,且抛物线开口向下,∴当x>-1时,y随x的增大而减小.
【举一反三】
1.已知二次函数y=3(x-1)2+1的图象上有三点A(4,y1),B(2,y2),C(-3,y3),则y1,y2,y3的大小关系为 y2
y1>y2) .
2.已知:抛物线y=(x-1)2-3,
(1)写出抛物线的开口方向、对称轴;
(2)设抛物线与y轴的交点为P,与x轴的交点为Q,求直线PQ的表达式.
【解析】(1)∵抛物线y=(x-1)2-3中,a=>0,∴抛物线开口向上,对称轴是直线x=1;
(2)∵令x=0,则y=-,∴P(0,-);
∵令y=0,则x=3或x=-1,
∴Q(3,0)或(-1,0).
若Q(3,0),设直线PQ的表达式为y=k1x+b1,则,解得.
此时直线表达式为y=x-;
若Q(-1,0),设直线PQ的表达式为y=k2x+b2,则,
解得.
此时直线表达式为y=-x-.
故直线PQ的表达式为y=x-或y=-x-.
【技法点拨】
利用y=a(x-h)2+k的性质比较
二次函数值大小的方法
(1)代入比较法:将x值代入表达式,求出y值.
(2)增减比较法:
①当几个点在对称轴同侧时:
当a>0时,x1②当几个点在对称轴异侧时:
通过轴对称,把它们转化到对称轴同侧,再按照①比较.
(3)距离比较法:根据距离对称轴的远近判断.
a>0时,点与对称轴的距离越近,函数值越小. a<0时,点与对称轴的距离越近,函数值越大.
重点2 二次函数y=a(x-h)2+k的平移(几何直观、抽象能力)
【典例2】(教材再开发·P16练习T2补充)在直角坐标系中画出函数y=-(x-1)2+2的图象(不用列表,直接画图),并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标.怎样移动抛物线y=-x2得到抛物线y=-(x-1)2+2
【自主解答】如图,
y=-(x-1)2+2的图象开口向下,对称轴是直线x=1,顶点坐标是(1,2);
抛物线y=-x2的顶点坐标是(0,0),抛物线y=-(x-1)2+2的顶点坐标是(1,2),
∵由顶点(0,0)向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度得到顶点(1,2),
∴由抛物线y=-x2向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度就可以得到抛物线y=-(x-1)2+2.
【举一反三】
1.(2023·徐州中考)在平面直角坐标系中,将二次函数y=(x+1)2+3的图象向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,所得抛物线对应的函数表达式为(B)
A.y=(x+3)2+2
B.y=(x-1)2+2
C.y=(x-1)2+4
D.y=(x+3)2+4
2.已知二次函数y=(x+2)2-1的图象向左平移h个单位长度,再向下平移k个单位长度,得到二次函数y=(x+3)2-4的图象,则h= 1 ,k= 3 .
【技法点拨】
抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象是由抛物线y=ax2(a≠0)平移得到的.在平移的过程中,a的值不发生变化,变化的只是顶点的位置.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·几何直观、抽象能力)对于抛物线y=(x+2)2-1,下列说法中,错误的是(C)
A.开口向上
B.对称轴是直线x=-2
C.当x>-2时,y随x的增大而减小
D.当x=-2时,函数有最小值-1
2.(3分·几何直观)将抛物线y=(x-1)2+2向下平移2个单位长度后,得到的抛物线所对应的函数表达式为 y=(x-1)2 .
3.(5分·模型观念、运算能力·2023襄阳中考)如图,一位篮球运动员投篮时,球从A点出手后沿抛物线行进,篮球出手后距离地面的高度y(m)与篮球距离出手点的水平距离x(m)之间的函数关系式是y=-(x-)2+.下列说法正确的是 ① (填序号).
①篮球行进过程中距离地面的最大高度为3.5 m;
②篮球出手点距离地面的高度为2.25 m.
4.(9分·抽象能力、运算能力)已知二次函数y=(x-2)2+1,
(1)如表是y与x的部分对应值,请补充完整.
x … 0 1 2 3 4 …
y … 5 ① ② ③ 5 …
(2)根据如表的数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出该函数的图象.
【解析】(1)分别将x=1,2,3代入y=(x-2)2+1得y=2,1,2.
答案:①2 ②1 ③2
(2)如图,2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.会画y=a(x-h)2的图象 几何直观
2.理解抛物线y=ax2与y=a(x-h)2之间的联系与区别 几何直观、抽象能力
3.能说出y=a(x-h)2的开口方向、对称轴、顶点、最值及增减性 几何直观、抽象能力、推理能力
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 y=a(x-h)2a>0a<0开口方向向上向下对称轴 直线x=h 顶点坐标( h , 0 ) 最值当x= h 时, y最小值=0当x= h 时, y最大值=0增减性当xh时,y随x的增大而增大当x>h时,y随x的增大而减小;当x1.将抛物线y=x2平移得到抛物线y=(x-3)2,则这个平移过程正确的是(B) A.向左平移3个单位长度 B.向右平移3个单位长度 C.向上平移3个单位长度 D.向下平移3个单位长度 2.抛物线y=-(x+1)2的开口 向下 ,对称轴是 直线x=-1 ,顶点坐标是 (-1,0) ,对称轴左侧,y随x的增大而 增大 ,对称轴右侧,y随x的增大而 减小 .
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质(几何直观、抽象能力)
【典例1】(教材再开发P13“做一做”拓展)已知二次函数y=a(x-h)2的图象向左平移2个单位长度,得到抛物线y=-(x+1)2的图象.
(1)试确定a,h的值;
(2)指出二次函数y=a(x-h)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
【解析】(1)二次函数y=-(x+1)2的图象的顶点坐标为(-1,0),把点(-1,0)向右平移2个单位长度得到点的坐标为(1,0),
所以原二次函数的表达式为y=-(x-1)2,
所以a=-,h=1;
(2)二次函数y=a(x-h)2,即y=-(x-1)2,图象开口向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,0).
【举一反三】
(2024·绍兴质检)已知二次函数y=-(x+2)2.
(1)完成如表,并在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象;
x … -4 -3 -2 -1 0 …
y … -4 -1 …
(2)该函数图象的顶点坐标为 ;
(3)结合图象,请直接写出当x取何值时,y随x的增大而减小.
【解析】(1)将x=-2,-1,0分别代入y=-(x+2)2得y=0,-1,-4,
x … -4 -3 -2 -1 0 …
y … -4 -1 0 -1 -4 …
画出该函数的图象:
(2)由图象得,该函数图象的顶点坐标为(-2,0);
答案:(-2,0)
(3)由图象得:当x>-2时,y随x的增大而减小.
重点2 二次函数y=a(x-h)2的平移(几何直观、推理能力)
【典例2】(2024·福州期中)已知二次函数y=(x-3)2.
(1)写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和该函数的最值;
(2)若点A(x1,y1),B(x2,y2)位于对称轴右侧的抛物线上,且x1(3)抛物线y=(x+7)2可以由抛物线y=(x-3)2平移得到吗 如果可以,请写出平移的方法;如果不可以,请说明理由.
【解析】(1)由题意,∵二次函数y=(x-3)2,
∴该二次函数图象的开口向上,对称轴是直线x=3,顶点坐标为(3,0),该函数有最小值为0.
(2)由题意,∵二次函数y=(x-3)2,
∴当x>3时,y随x的增大而增大.
∵点A(x1,y1),B(x2,y2)位于对称轴右侧,且x1(3)由题意,按照“左加右减,上加下减”的规律进行判断,∵x-3+10=x+7,
∴抛物线y=(x+7)2可以由抛物线y=(x-3)2向左平移10个单位长度得到.
【举一反三】
(2024·北京质检)将抛物线y=2(x+1)2向右平移2个单位长度,平移后抛物线的表达式为 y=2(x-1)2 .
【技法点拨】
二次函数y=a(x-h)2与y=ax2图象间的关系
如图所示,二次函数y=a(x-h)2与y=ax2的图象形状相同,只是位置不同.抛物线y=a(x-h)2可由y=ax2沿x轴向右(左)平移|h|个单位长度.平移规律为“左加右减”.
特别提醒
抛物线左右平移,顶点的横坐标改变,纵坐标不变,故对称轴改变而最值不变.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·抽象能力)二次函数y=-3(x+1)2的对称轴是(C)
A.直线x=1 B.y轴
C.直线x=-1 D.直线x=3
2.(4分·推理能力)抛物线y=-2(x+2)2可由抛物线y=-2x2 得到.(C)
A.向上平移2个单位长度
B.向下平移2个单位长度
C.向左平移2个单位长度
D.向右平移2个单位长度
3.(4分·抽象能力)抛物线y=(x-1)2的顶点坐标是 (1,0) .
4.(8分·几何直观、抽象能力)已知函数y1=-x2,y2=-(x+2)2和y3=-(x-2)2.
(1)画出它们的函数图象,并分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(2)试说明分别通过怎样的平移,可以由函数y1的图象得到函数y2和函数y3的图象.
【解析】(1)函数图象如图所示;
函数y1=-x2的图象开口向下、对称轴是y轴,顶点坐标是(0,0);
函数y2=-(x+2)2的图象开口向下、对称轴是直线x=-2,顶点坐标是(-2,0);
函数y3=-(x-2)2的图象开口向下、对称轴是直线x=2,顶点坐标是(2,0);
(2)由函数y1的图象向左平移2个单位长度得到函数y2的图象,由函数y1的图象向右平移2个单位长度得到函数y3的图象.2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第4课时
课时学习目标 素养目标达成
1.会用配方法将y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式 运算能力
2.能熟练求出y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴,说出它的开口方向、最值、增减性等性质 运算能力、抽象能力
3.会画y=ax2+bx+c的图象 几何直观、模型观念
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 a的符号a>0a<0图象开口方向向上向下对称轴x=-顶点坐标(-, )增减性当x<-时,y随x的增大而减小;当x>-时,y随x的增大而增大当x<-时,y随x的增大而增大;当x>-时,y随x的增大而减小最值当x=-时,y有最小值,y最小值=当x=-时,y有最大值,y最大值=
1.抛物线y=x2-4x-4的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是( ) A.开口向上,对称轴是直线x=2,顶点坐标是(2,8) B.开口向上,对称轴是直线x=2,顶点坐标是(2,-8) C.开口向上,对称轴是直线x=-2,顶点坐标是(2,-8) D.开口向下,对称轴是直线x=2,顶点坐标是(2,8) 2.关于抛物线y=-x2-2x+3,下列说法中,错误的是( ) A.开口向下 B.顶点坐标是(-1,4) C.对称轴是直线x=-1 D.当x>-1时,y随x的增大而增大
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(几何直观、抽象能力)
【典例1】已知二次函数y=x2+2x-3.
(1)求二次函数图象的顶点坐标;
(2)在平面直角坐标系中,画出该函数的图象;
(3)当x在什么范围时,y随x的增大而减小
【举一反三】
1.(2024·大连期末)二次函数y=ax2-2ax+1(a≠0)的图象可能是( )
2.(2024·南平模拟)已知二次函数y=-2x2+4x+3.
(1)求抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标;
(2)当x为何值时,y随x的增大而减小 当x为何值时,y随x的增大而增大
【技法点拨】
根据一般式确定二次函数图象特征的两个方法
1.配方得到顶点式,然后确定顶点坐标、对称轴、最值等.
2.先确定系数a,b,c,然后套用公式求出顶点坐标、对称轴、最值等.
重点2 二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系(几何直观、抽象能力、推理能力)
【典例2】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列5个结论:
①abc<0;②b0;④2c<3b;⑤a+b其中正确的结论有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【举一反三】
1.(2024·上海期末)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(-1,0),与y轴的交点B在(0,-2)和(0,-1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=1.下列结论:
①abc>0;②4a+2b+c>0;③4ac-b2<8a;④c.
其中包含所有正确结论的选项是( )
A.①③ B.①③④
C.②④⑤ D.①③④⑤
2.对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)如图所示,小明同学得出了以下结论:
①abc<0,②a2>4ac,③4a+2b+c>0,④当x<-1时,y随x的增大而增大,
⑤a+b≤m(am+b)(m为任意实数).其中结论正确的个数为( )
A.3 B.2 C.5 D.6
【技法点拨】
根据二次函数图象确定字母系数取值范围的策略
(1)由口诀“上正下负”“左同右异”推断a,b,c的符号.
(2)结合图象,通过给x赋值,判断“a+b+c”“a-b+c”“4a+2b+c”“4a-2b+c”等式子的正负.
(3)当式子是由a,b组成的不等式时,通常可以通过对称轴解得.
(4)当式子是由a,c或b,c组成的不等式时,通常可以通过一个等式和一个不等式或两个不等式联立解得.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·抽象能力、推理能力)对于抛物线y=-x2+2x+1,下列说法中,错误的是( )
A.对称轴是直线x=1
B.顶点坐标是(1,2)
C.当x>1时,y随x的增大而减小
D.当x=1时,函数的最小值为2
2.(4分·几何直观、抽象能力、推理能力)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1,则下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③4a+2b+c>0;④3a+c<0,其中正确的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
3.(4分·运算能力)抛物线y=-x2+x+的对称轴为 .
4.(8分·运算能力、抽象能力)已知二次函数y=x2-2x+4.
(1)写出此抛物线的开口方向及顶点坐标;
(2)当x为何值时,y随x的增大而减小 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第5课时
课时学习目标 素养目标达成
会运用二次函数解决几何图形面积的最值问题 应用意识、运算能力
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
根据二次函数最值解决实际问题的一般步骤 (1)列出二次函数的表达式,并根据 自变量 的实际意义,确定自变量的 取值范围 . (2)在自变量的取值范围内,运用公式法或通过配方求出二次函数的 最大值 或 最小值 . 如图,用一段长为16 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏(墙长9 m),则这个围栏的最大面积为 32 m2.
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
重点 图形面积与二次函数(模型观念、应用意识、运算能力)
【典例】(教材溯源·P19问题1·2024湖北中考)如图,某校劳动实践基地用总长为80 m的栅栏,围成一块一边靠墙的矩形实验田,墙长为42 m,栅栏在安装过程中不重叠、无损耗,设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位: m),与墙平行的一边长为y(单位: m),面积为S(单位:m2).
(1)直接写出y与x,S与x之间的函数表达式(不要求写x的取值范围);
(2)矩形实验田的面积S能达到750 m2吗 如果能,求x的值;如果不能,请说明理由;
(3)当x的值是多少时,矩形实验田的面积S最大 最大面积是多少
【解析】(1)∵2x+y=80,
∴y=-2x+80.
∵S=xy,
∴S=x(-2x+80)=-2x2+80x;
(2)∵y≤42,
∴-2x+80≤42,
∴x≥19,
∴19≤x<40,
当S=750时,-2x2+80x=750,
x2-40x+375=0,
(x-25)(x-15)=0,
∴x=25,
∴当x=25 m时,矩形实验田的面积S能达到750 m2;
(3)∵S=-2x2+80x=-2(x2-40x)=-2(x2-40x+400-400)=-2(x-20)2+800,
∴当x=20 m时,S有最大值,最大值为800 m2.
【举一反三】
1.(2024·石家庄期中)九年级16班计划在劳动实践基地内种植蔬菜,班长买回来8米长的围栏,准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园,为了让菜园面积尽可能大,同学们提出了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形这三种方案,最佳方案是(C)
A.方案1 B.方案2
C.方案3 D.面积都一样
2.(2024·广州期中)如图所示,要建一个长方形的养鸡场,养鸡场的一边靠墙,如果用60 m长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场,设养鸡场的长为x m,当x= 30 时,养鸡场的面积最大.
3.(2024·济南期末)如图,学校课外兴趣活动小组准备利用长为8 m的墙AB和一段长为26 m的篱笆围建一个矩形苗圃园.如果矩形苗圃园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成,另三边由篱笆ACDF围成,设平行于墙的边CD的长为x m.
(1)当苗圃园的面积为60 m2时,求x的值.
(2)当x为何值时,所围苗圃园的面积最大 最大面积是多少
【解析】(1)∵篱笆的总长为26 m,平行于墙的
边CD的长为x m,∴垂直于墙的边CA的长为=(17-x)m,
根据题意得(17-x)·x=60,
整理得x2-17x+60=0,解得x1=5(不符合题意,舍去),x2=12,∴x的值为12;
(2)设苗圃园的面积为S m2,
S=(17-x)·x=-x2+17x=-(x-)2+,
当x=8.5时,S最大值=72.25,
∴当x的值为8.5时,所围苗圃园的面积最大,最大面积是72.25 m2.
【技法点拨】
应用二次函数解决面积最大问题的步骤
(1)分析题中的变量与常量;
(2)找出等量关系,根据几何图形的面积公式建立函数模型;
(3)结合函数图象及性质,考虑实际问题中自变量的取值范围,求出面积的最大值.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·模型观念)用一段长度为24 m的篱笆围成一个矩形菜地,能围成菜地的面积不可能是(D)
A.25 m2 B.31 m2
C.36 m2 D.38 m2
2.(4分·运算能力)如图所示是一个长20 m、宽16 m的矩形花园,根据需要将它的长缩短x m,宽增加x m,要想使修改后的花园面积达到最大,则x应为 2 .
3.(4分·运算能力)在综合实践活动中,同学们借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用24 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD,则矩形花园ABCD的最大面积为 144 m2.
4.(8分·模型观念、运算能力)如图,用长为9 m的铝合金条制成“日”字形窗框,若窗户的宽为x m,窗户的透光面积为y m2(铝合金条的宽度不计).
(1)求出y与x的函数关系式;(写出自变量x的取值范围)
(2)能否使窗中的透光面积达到3 m2 如果能,求出窗户的高度和宽度;如果不能,请说明理由.
【解析】(1)窗户的宽为x m,则窗户的高为
(9-3x)m,由此得y=x·(9-3x)=-x2+x(0(2)由(1)知3=-x2+x,
解得x1=1,x2=2,
当x=2时,(9-3x)=1.5,
当x=1时,(9-3x)=3.
答:能,窗户的宽和高分别是2 m,1.5 m或1 m,3 m时,窗户的透光面积为3 m2.2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第3课时
课时学习目标 素养目标达成
1.会画y=a(x-h)2+k的图象 几何直观
2.理解抛物线y=ax2与y=a(x-h)2+k之间的联系与区别 几何直观、抽象能力
3.能说出y=a(x-h)2+k的最值、增减性及其图象的开口方向、对称轴及顶点坐标 几何直观、抽象能力、推理能力
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 抛物线y=a(x-h)2+k(a>0)y=a(x-h)2+k(a<0)顶点坐标(h,k)(h,k)对称轴直线x=h直线x=h开口方向向上向下增减性在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小; 在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大; 在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小最值当x=h时,最小值为k当x=h时,最大值为k
1.对于抛物线y=(x-2)2+3,下列说法错误的是( ) A.对称轴是直线x=2 B.函数的最小值是3 C.开口向上,顶点坐标(2,3) D.当x>2时,y随x的增大而减小 2.将抛物线y=3x2+2向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线的表达式为 .
重点典例研析 启思凝智 教学相长
重点1 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(几何直观、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P16练习T1强化)已知函数y=-3(x+1)2-4.
(1)指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(2)当x取何值时,该函数有最值,并求出最值.
(3)当x取何值时,y随x的增大而减小.
【举一反三】
1.已知二次函数y=3(x-1)2+1的图象上有三点A(4,y1),B(2,y2),C(-3,y3),则y1,y2,y3的大小关系为 .
2.已知:抛物线y=(x-1)2-3,
(1)写出抛物线的开口方向、对称轴;
(2)设抛物线与y轴的交点为P,与x轴的交点为Q,求直线PQ的表达式.
【技法点拨】
利用y=a(x-h)2+k的性质比较
二次函数值大小的方法
(1)代入比较法:将x值代入表达式,求出y值.
(2)增减比较法:
①当几个点在对称轴同侧时:
当a>0时,x1②当几个点在对称轴异侧时:
通过轴对称,把它们转化到对称轴同侧,再按照①比较.
(3)距离比较法:根据距离对称轴的远近判断.
a>0时,点与对称轴的距离越近,函数值越小. a<0时,点与对称轴的距离越近,函数值越大.
重点2 二次函数y=a(x-h)2+k的平移(几何直观、抽象能力)
【典例2】(教材再开发·P16练习T2补充)在直角坐标系中画出函数y=-(x-1)2+2的图象(不用列表,直接画图),并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标.怎样移动抛物线y=-x2得到抛物线y=-(x-1)2+2
【举一反三】
1.(2023·徐州中考)在平面直角坐标系中,将二次函数y=(x+1)2+3的图象向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,所得抛物线对应的函数表达式为( )
A.y=(x+3)2+2
B.y=(x-1)2+2
C.y=(x-1)2+4
D.y=(x+3)2+4
2.已知二次函数y=(x+2)2-1的图象向左平移h个单位长度,再向下平移k个单位长度,得到二次函数y=(x+3)2-4的图象,则h= ,k= .
【技法点拨】
抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象是由抛物线y=ax2(a≠0)平移得到的.在平移的过程中,a的值不发生变化,变化的只是顶点的位置.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·几何直观、抽象能力)对于抛物线y=(x+2)2-1,下列说法中,错误的是( )
A.开口向上
B.对称轴是直线x=-2
C.当x>-2时,y随x的增大而减小
D.当x=-2时,函数有最小值-1
2.(3分·几何直观)将抛物线y=(x-1)2+2向下平移2个单位长度后,得到的抛物线所对应的函数表达式为 .
3.(5分·模型观念、运算能力·2023襄阳中考)如图,一位篮球运动员投篮时,球从A点出手后沿抛物线行进,篮球出手后距离地面的高度y(m)与篮球距离出手点的水平距离x(m)之间的函数关系式是y=-(x-)2+.下列说法正确的是 (填序号).
①篮球行进过程中距离地面的最大高度为3.5 m;
②篮球出手点距离地面的高度为2.25 m.
4.(9分·抽象能力、运算能力)已知二次函数y=(x-2)2+1,
(1)如表是y与x的部分对应值,请补充完整.
x … 0 1 2 3 4 …
y … 5 ① ② ③ 5 …
(2)根据如表的数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出该函数的图象.2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.会画y=ax2+k的图象 几何直观
2.理解抛物线y=ax2与y=ax2+k之间的联系与区别 几何直观、抽象能力
3.能说出y=ax2+k的开口方向、对称轴、顶点、最值及增减性 几何直观、抽象能力、推理能力
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
二次函数y=ax2+k的图象和性质 y=ax2+ka>0a<0开口方向 向上 向下 对称轴y轴(直线x=0)顶点坐标(0,k)最值当x=0时, y最小值=k当x=0时, y最大值=k增减性当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时,y随x的增大而增大当x>0时,y随x的增大而减小;当x<0时,y随x的增大而增大
1.抛物线y=-3x2-2的顶点坐标是(D) A.(-2,0) B.(2,0) C.(0,2) D.(0,-2) 2.抛物线y=x2+3的对称轴是(B) A.x轴 B.y轴 C.直线y=x D.直线y=-x 3.抛物线y=2x2-3可以由抛物线y=2x2向 下 平移3个单位得到.
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
重点1 二次函数y=ax2+k的图象与性质(几何直观、抽象能力)
【典例1】(教材再开发·P8例2拓展)
已知二次函数y=-x2+5.
(1)写出它的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值;
(2)若点(x1,y1),(x2,y2)在该二次函数的图象上,且x1>x2>0,试比较y1与y2的大小.
【解析】(1)∵a=-<0,∴它的图象的开口向下,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,5),
当x=0时,y最大值=5,没有最小值.
(2)∵抛物线的开口向下,对称轴为y轴,
∴当x>0时,y随x的增大而减小,
故当x1>x2>0时,y1【举一反三】
1.(2024·合肥期末)抛物线y=x2-1的开口方向是(B)
A.向右 B.向上 C.向左 D.向下
2.(2024·青岛期中)函数y=-x2+2的图象,当x>0时,y的值随x值的增大而 减小 .(填“增大”或“减小”)
【技法点拨】
二次函数y=ax2与y=ax2+k之间的联系与区别
1.图象:形状相同,位置不同,即对称轴相同,顶点不同.
2.性质:增减性相同,最值不同,即y=ax2的最值是0,而y=ax2+k的最值是k.
重点2 二次函数y=ax2+k的平移(几何直观、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P10“做一做”拓展)(2024·南京期中)在平面直角坐标系中,将二次函数y=3x2+2的图象向下平移3个单位长度,所得函数的表达式为(A)
A.y=3x2-1 B.y=3x2+1
C.y=3x2-5 D.y=3x2+5
【举一反三】
抛物线y=-2x2经过变换后,得到抛物线y=-2x2+1,则这个变换方式可以是(C)
A.向左平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
C.向上平移1个单位长度
D.向下平移1个单位长度
【技法点拨】
二次函数y=ax2+k与y=ax2图象间的关系
如图示例,二次函数y=ax2+k与y=ax2的图象形状相同,位置不同.抛物线y=ax2+k可由抛物线y=ax2沿y轴向上(下)平移|k|个单位长度得到.平移规律为“上加下减”.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·抽象能力)抛物线y=-2x2-1的顶点坐标是(A)
A.(0,-1) B.(-1,0)
C.(2,-1) D.(-1,-2)
2.(4分·几何直观)二次函数y=2x2+3的图象经过(A)
A.第一、二象限 B.第三、四象限
C.第一、三象限 D.第二、四象限
3.(4分·模型观念)已知二次函数y=-x2-3,如果x>0,那么函数值y随着自变量x的增大而 减小 (填“增大”或“减小”).
4.(8分·抽象能力、推理能力)不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象,回答下面的问题:
(1)抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2
(2)函数y=-x2+1,当x 时,y随x的增大而减小;当x 时,函数y有最大值,最大值y是 ;其图象与y轴的交点坐标是 ,与x轴的交点坐标是 .
(3)试说出抛物线y=-x2+1的开口方向、对称轴和顶点坐标.
【解析】(1)根据抛物线平移的知识,可知y=-x2+1向下平移1个单位长度才能得到抛物线y=-x2.
(2)当x=0时,y=1;当y=0时,-x2+1=0,解得x=±1.
函数y=-x2+1,当x>0时,y随x的增大而减小;当x=0时,函数y有最大值,最大值y是1;其图象与y轴的交点坐标是(0,1),与x轴的交点坐标是(-1,0),(1,0).
答案:>0 =0 1 (0,1) (-1,0),(1,0)
(3)抛物线y=-x2+1开口向下,对称轴为直线x=0即y轴,顶点坐标为(0,1).2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.会画y=a(x-h)2的图象 几何直观
2.理解抛物线y=ax2与y=a(x-h)2之间的联系与区别 几何直观、抽象能力
3.能说出y=a(x-h)2的开口方向、对称轴、顶点、最值及增减性 几何直观、抽象能力、推理能力
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 y=a(x-h)2a>0a<0开口方向向上向下对称轴 顶点坐标( , ) 最值当x= 时, y最小值=0当x= 时, y最大值=0增减性当xh时,y随x的增大而增大当x>h时,y随x的增大而减小;当x1.将抛物线y=x2平移得到抛物线y=(x-3)2,则这个平移过程正确的是( ) A.向左平移3个单位长度 B.向右平移3个单位长度 C.向上平移3个单位长度 D.向下平移3个单位长度 2.抛物线y=-(x+1)2的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,对称轴左侧,y随x的增大而 ,对称轴右侧,y随x的增大而 .
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质(几何直观、抽象能力)
【典例1】(教材再开发P13“做一做”拓展)已知二次函数y=a(x-h)2的图象向左平移2个单位长度,得到抛物线y=-(x+1)2的图象.
(1)试确定a,h的值;
(2)指出二次函数y=a(x-h)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
【举一反三】
(2024·绍兴质检)已知二次函数y=-(x+2)2.
(1)完成如表,并在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象;
x … -4 -3 -2 -1 0 …
y … -4 -1 …
(2)该函数图象的顶点坐标为 ;
(3)结合图象,请直接写出当x取何值时,y随x的增大而减小.
重点2 二次函数y=a(x-h)2的平移(几何直观、推理能力)
【典例2】(2024·福州期中)已知二次函数y=(x-3)2.
(1)写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和该函数的最值;
(2)若点A(x1,y1),B(x2,y2)位于对称轴右侧的抛物线上,且x1(3)抛物线y=(x+7)2可以由抛物线y=(x-3)2平移得到吗 如果可以,请写出平移的方法;如果不可以,请说明理由.
【举一反三】
(2024·北京质检)将抛物线y=2(x+1)2向右平移2个单位长度,平移后抛物线的表达式为 .
【技法点拨】
二次函数y=a(x-h)2与y=ax2图象间的关系
如图所示,二次函数y=a(x-h)2与y=ax2的图象形状相同,只是位置不同.抛物线y=a(x-h)2可由y=ax2沿x轴向右(左)平移|h|个单位长度.平移规律为“左加右减”.
特别提醒
抛物线左右平移,顶点的横坐标改变,纵坐标不变,故对称轴改变而最值不变.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·抽象能力)二次函数y=-3(x+1)2的对称轴是( )
A.直线x=1 B.y轴
C.直线x=-1 D.直线x=3
2.(4分·推理能力)抛物线y=-2(x+2)2可由抛物线y=-2x2 得到.( )
A.向上平移2个单位长度
B.向下平移2个单位长度
C.向左平移2个单位长度
D.向右平移2个单位长度
3.(4分·抽象能力)抛物线y=(x-1)2的顶点坐标是 .
4.(8分·几何直观、抽象能力)已知函数y1=-x2,y2=-(x+2)2和y3=-(x-2)2.
(1)画出它们的函数图象,并分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(2)试说明分别通过怎样的平移,可以由函数y1的图象得到函数y2和函数y3的图象.2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第4课时
课时学习目标 素养目标达成
1.会用配方法将y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式 运算能力
2.能熟练求出y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴,说出它的开口方向、最值、增减性等性质 运算能力、抽象能力
3.会画y=ax2+bx+c的图象 几何直观、模型观念
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 a的符号a>0a<0图象开口方向向上向下对称轴x=-顶点坐标(-, )增减性当x<-时,y随x的增大而减小;当x>-时,y随x的增大而增大当x<-时,y随x的增大而增大;当x>-时,y随x的增大而减小最值当x=-时,y有最小值,y最小值=当x=-时,y有最大值,y最大值=
1.抛物线y=x2-4x-4的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是(B) A.开口向上,对称轴是直线x=2,顶点坐标是(2,8) B.开口向上,对称轴是直线x=2,顶点坐标是(2,-8) C.开口向上,对称轴是直线x=-2,顶点坐标是(2,-8) D.开口向下,对称轴是直线x=2,顶点坐标是(2,8) 2.关于抛物线y=-x2-2x+3,下列说法中,错误的是(D) A.开口向下 B.顶点坐标是(-1,4) C.对称轴是直线x=-1 D.当x>-1时,y随x的增大而增大
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(几何直观、抽象能力)
【典例1】已知二次函数y=x2+2x-3.
(1)求二次函数图象的顶点坐标;
(2)在平面直角坐标系中,画出该函数的图象;
(3)当x在什么范围时,y随x的增大而减小
【解析】(1)∵y=x2+2x-3=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-4,
∴抛物线的顶点坐标为(-1,-4);
(2)当x=0时,y=x2+2x-3=-3,则抛物线与y轴的交点坐标为(0,-3);
当y=0时,x2+2x-3=0,解得x1=-3,x2=1,则抛物线与x轴的交点坐标为(-3,0),(1,0),
如图,
(3)当x<-1时,y随x的增大而减小.
【举一反三】
1.(2024·大连期末)二次函数y=ax2-2ax+1(a≠0)的图象可能是(B)
2.(2024·南平模拟)已知二次函数y=-2x2+4x+3.
(1)求抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标;
(2)当x为何值时,y随x的增大而减小 当x为何值时,y随x的增大而增大
【解析】(1)y=-2x2+4x+3=-2(x-1)2+5,
∵-2<0,∴抛物线的开口向下,
对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,5);
(2)∵抛物线的开口向下,
∴当x>1时,y随x的增大而减小,当x<1时,y随x的增大而增大.
【技法点拨】
根据一般式确定二次函数图象特征的两个方法
1.配方得到顶点式,然后确定顶点坐标、对称轴、最值等.
2.先确定系数a,b,c,然后套用公式求出顶点坐标、对称轴、最值等.
重点2 二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系(几何直观、抽象能力、推理能力)
【典例2】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列5个结论:
①abc<0;②b0;④2c<3b;⑤a+b其中正确的结论有(B)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【举一反三】
1.(2024·上海期末)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(-1,0),与y轴的交点B在(0,-2)和(0,-1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=1.下列结论:
①abc>0;②4a+2b+c>0;③4ac-b2<8a;④c.
其中包含所有正确结论的选项是(D)
A.①③ B.①③④
C.②④⑤ D.①③④⑤
2.对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)如图所示,小明同学得出了以下结论:
①abc<0,②a2>4ac,③4a+2b+c>0,④当x<-1时,y随x的增大而增大,
⑤a+b≤m(am+b)(m为任意实数).其中结论正确的个数为(B)
A.3 B.2 C.5 D.6
【技法点拨】
根据二次函数图象确定字母系数取值范围的策略
(1)由口诀“上正下负”“左同右异”推断a,b,c的符号.
(2)结合图象,通过给x赋值,判断“a+b+c”“a-b+c”“4a+2b+c”“4a-2b+c”等式子的正负.
(3)当式子是由a,b组成的不等式时,通常可以通过对称轴解得.
(4)当式子是由a,c或b,c组成的不等式时,通常可以通过一个等式和一个不等式或两个不等式联立解得.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·抽象能力、推理能力)对于抛物线y=-x2+2x+1,下列说法中,错误的是(D)
A.对称轴是直线x=1
B.顶点坐标是(1,2)
C.当x>1时,y随x的增大而减小
D.当x=1时,函数的最小值为2
2.(4分·几何直观、抽象能力、推理能力)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1,则下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③4a+2b+c>0;④3a+c<0,其中正确的个数是(B)
A.4 B.3 C.2 D.1
3.(4分·运算能力)抛物线y=-x2+x+的对称轴为 直线x=4 .
4.(8分·运算能力、抽象能力)已知二次函数y=x2-2x+4.
(1)写出此抛物线的开口方向及顶点坐标;
(2)当x为何值时,y随x的增大而减小
【解析】(1)∵在y=x2-2x+4中,a=1>0,
∴该抛物线的开口向上.
∵y=x2-2x+4=(x-1)2+3,
∴顶点坐标为(1,3).
(2)∵抛物线开口向上,对称轴为直线x=1,
∴当x<1时,y随x的增大而减小.