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二次根式 单元提优测评卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列二次根式中的最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
2．墨迹覆盖了等式“”中的运算符号，则覆盖的是（ ）
A．＋ B．－ C．× D．÷
3． 方程 ， 当 时， 的值是（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
4． 下列说法错误的是（ ）
A．当 时， 没有意义 B．当 时，
C．当 时， D． 没有最小值
5．若，那么的值为( )
A． B． C．或 D．
6．下列各等式成立的是（ ）
A．4×2=8 B．5×4=20 C．4×3=7 D．5×4=20
7．若a=,b=，则（ ）
A．a、b互为相反数 B．a、b互为倒数
C．ab=5 D．a=b
8．已知是整数，a是正整数，a的最小值是（ ）
A．0 B．3 C．6 D．24
9．计算 的结果是（ ）
A． B．-1 C． D．1
10．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．将化为最简二次根式是 ．
12．若，且，则 .
13．已知直角三角形两边满足，则第三边长为 ．
14． 有理数在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ．
15．如图，在矩形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则的长为 ．
16．已知，，则 .
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知，，求下列各式的值：
（1）
（2）.
18．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为.据研究，高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足 （不考虑风速的影响）.
（1）从200m高空抛物到落地所需时间t是多少？
（2）从高空抛物经过3s落地，该物体下落的高度是多少？
19．一个三角形的三边长分别为5 ， ， ．
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给出一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
20．
（1）已知：，求的值．
（2）已知，，求的值．
21．解答下列各题
（1）计算：
（2）已知一次函数 的图象经过点 与 ，求一次函数的解析式.
22．计算：
（1） ；
（2）直角三角形 中， 是斜边 的中，两直角边 ， ，求 的长．
23．解答下列各题：
（1）计算：
（2）设实数 的整数部分为a，小数部分为b，求(2a+b)(2a-b)的值.
24．在算式“”中，“”表示被开方数，“”表示“”“”“”“”中的某一个运算符号．
（1）当“”表示“”时，运算结果为，求“”表示的数．
（2）如果“”表示的是（1）中所求的数，请通过计算说明当“”表示哪一种运算符号时，算式的结果最大．
25．观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
…
（1）含n（n为正整数的关系式表示上述各式子的变形规律.并验证你的结论.
（2）利用上面的结论，求下列式子的值：
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二次根式 单元提优测评卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列二次根式中的最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、，被开方数不是正整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、，被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故本选项符合题意；
D、，被开方数不是正整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：C．
【分析】
最简二次根式是指无法进一步化简的二次根式，即根号下没有可以提取出来的平方因式，且被开方数为正整数。对于给出的选项逐一判断其是否可以进一步化简即可确定最简二次根式。
2．墨迹覆盖了等式“”中的运算符号，则覆盖的是（ ）
A．＋ B．－ C．× D．÷
【答案】D
【解析】【解答】解：A ，故A项不符合题意；
B ，故B项不符合题意；
C ，故C项不符合题意；
D ，故D项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的加减法和乘除法分别计算，即可求得.
3． 方程 ， 当 时， 的值是（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴4x-8=0，x-y-m=0，
∴x=2，y=2-m，
又∵y=1，
∴2-m=1，
解得m=1.
故答案为：C.
【分析】根据绝对值及算术平方根的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零可求出y=2-m，进而再结合y=1可求出m的值.
4． 下列说法错误的是（ ）
A．当 时， 没有意义 B．当 时，
C．当 时， D． 没有最小值
【答案】D
【解析】【解答】解：A、中，当x＜4时，x-4＜0，所以此二次根式无意义，故此选项正确，不符合题意；
B、当x=4时，，故此选项正确，不符合题意；
C、中，当x＞4时，x-4＞0，所以，故此选项正确，不符合题意；
D、中，当x=4时，有最小值为，故此选项错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】由二次根式无意义的条件是被开方数不能为负数可判断A选项；将x=0代入式子按算术平方根定义计算可判断B选项；由二次根式的非负性，可判断C、D选项.
5．若，那么的值为( )
A． B． C．或 D．
【答案】A
【解析】【解答】∵，
∴2-x<0，3-x>0，
∴，
故答案为：A.
【分析】利用二次根式的性质化简，再去掉绝对值，最后合并同类项即可.
6．下列各等式成立的是（ ）
A．4×2=8 B．5×4=20 C．4×3=7 D．5×4=20
【答案】D
【解析】【解答】解：A、4×2=8×5=40，故选项错误；
B、5×4=20=20，故选项错误；
C、4×3=12=12，故选项错误；
D、5×4=20=20，故选项正确．
故选D．
【分析】根据二次根式乘法法则： =（a≥0，b≥0），分别计算即可．
7．若a=,b=，则（ ）
A．a、b互为相反数 B．a、b互为倒数
C．ab=5 D．a=b
【答案】D
【解析】【解答】解：∵a==，b=，
∴a=b．
故选：D．
【分析】由a=，利用分母有理化的知识，即可将原式化简，可得a=，则可求得答案．
8．已知是整数，a是正整数，a的最小值是（ ）
A．0 B．3 C．6 D．24
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，且是整数，
∴是整数，即6a是完全平方数；
∴a的最小正整数值为6．
故选C．
【分析】因为是整数，且，则6a是完全平方数，满足条件的最小正整数a为6．
9．计算 的结果是（ ）
A． B．-1 C． D．1
【答案】A
【解析】【解答】解： 有意义，
，
解得： ，
则 ，
原式
.
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数可得2-a≥0，则a≤2，a-3<0，然后根据二次根式的性质“及”化简再合并即可.
10．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴
.
故答案为：D.
【分析】根据2＜a＜3可得2-a＜0，a-3＜0，进而根据“”及绝对值的性质化简，再合并同类项即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．将化为最简二次根式是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：.
故答案为：．
【分析】分母有理化，被开方数中的分子分母同时乘以3，求解即可．
12．若，且，则 .
【答案】-99
【解析】【解答】解：∵，且，
∴
∴
故答案为：-99.
【分析】根据二次根式“”可得a=±11，由算术平方根定义可得b=9，进而再根据a+b＜0可得a=-11，b=9，进而代入即可求解.
13．已知直角三角形两边满足，则第三边长为 ．
【答案】，，2
【解析】【解答】解：∵，
∴x2-4=0，（y-2）(y-3)=0，
解得：x=±2，y=2或y=3，
∵x，y是直角三角形的两边长，
∴x=2，
当x=2，y=2时，三角形是等腰直角三角形，
第三边为：；
当x=2，y=3且都是直角边时，
第三边为：；
当x=2，y=3且3是斜边时，
第三边为：.
故答案为：，，.
【分析】由绝对值和偶次方的非负性可得关于x、y的方程，解方程求出x、y的值，然后用勾股定理计算即可求解.
14． 有理数在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ．
【答案】
【解析】【解答】解：由图可知，，
∴，，，
则
，
故答案为：3a+c。
【分析】根据a、b、c在数轴上的位置，判断出a、b、c的正负情况，继而得出b-c>0，a+c<0，a-b<0，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，合并同类项求解即可。
15．如图，在矩形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵两张正方形纸片面积分别为和，
∴它们的边长分别是：，，
∴．
故答案为：．
【分析】先分别求出两个正方形的边长，再利用线段的和差求出即可．
16．已知，，则 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴．
故答案为：．
【分析】根据二次根式的加法及乘法法则先算出a+b及ab的值，再将用配方法变形为，然后代入求值即可．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知，，求下列各式的值：
（1）
（2）.
【答案】（1）解：，，
∴ ；
（2）解：，，
∴ .
【解析】【分析】（1）利用完全平方式将待求式子进行因式分解，再代值计算，即可求出结果；
（2）利用平方差公式将待求式子进行因式分解，再代值计算，即可求出结果.
18．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为.据研究，高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足 （不考虑风速的影响）.
（1）从200m高空抛物到落地所需时间t是多少？
（2）从高空抛物经过3s落地，该物体下落的高度是多少？
【答案】（1）解：当h=200时，
（2）解：当t=3时， ，解得
∴下落的高度是45米.
【解析】【分析】（1）将h=200直接代入t=中进行计算即可；
（2）将t=3代入t=中进行计算即可.
19．一个三角形的三边长分别为5 ， ， ．
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给出一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
【答案】（1）解：∵个三角形的三边长分别为5 ， ， ，
∴这个三角形的周长是：
5 + +
＝
＝
（2）解：当x＝20时，这个三角形的周长是：
【解析】【分析】（1）根据三角形的周长公式，将三边的长相加求和，根据二次根式相加减的性质进行计算。
（2）根据题意可知，二次根式进行求值后，为整数，根据题意选择合适的x的值，求三角形的周长即可。
20．
（1）已知：，求的值．
（2）已知，，求的值．
【答案】（1）解：当时，
原式，
，
，
，
（2）解：，，
，
原式，
，
，
．
【解析】【分析】（1）将代入，再利用二次根式的混合运算求解即可；
（2）先将代数式变形为，再将，代入计算即可。
21．解答下列各题
（1）计算：
（2）已知一次函数 的图象经过点 与 ，求一次函数的解析式.
【答案】（1）解：原式
（2）解：把点 与 代入 中，
得 ，
解得： ，
一次函数的析式为
【解析】【分析】（1）先将二次根式化为最简二次根式，再合并即可；
（2） 直接将点 与 代入中，可得关于k、b的方程组，解之即可.
22．计算：
（1） ；
（2）直角三角形 中， 是斜边 的中，两直角边 ， ，求 的长．
【答案】（1）解：原式
（2）解：∵ ， ，∠ACB=90°，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴
【解析】【分析】（1）先利用二次根式和立方根的性质化简，再计算即可；
（2）先利用勾股定理求出AB的长，再利用直角三角形斜边上的中线的性质求解即可。
23．解答下列各题：
（1）计算：
（2）设实数 的整数部分为a，小数部分为b，求(2a+b)(2a-b)的值.
【答案】（1）解：原式=
（2）解：
∴ 的整数部分为a=2，小数部分为b= 2，
【解析】【分析】（1）先根据二次根式乘法法则和除法法则及二次根式性质化简计算，然后再合并同类二次根式得到答案.
（2）先求出a、b，然后再利用平方差公式化简原式，最后代入即可求出答案.
24．在算式“”中，“”表示被开方数，“”表示“”“”“”“”中的某一个运算符号．
（1）当“”表示“”时，运算结果为，求“”表示的数．
（2）如果“”表示的是（1）中所求的数，请通过计算说明当“”表示哪一种运算符号时，算式的结果最大．
【答案】（1）解：设“ ”表示的数为 ，则 ，
∴ ，
∴“ ”表示的数为 ；
（2）解：依题意，原式为 ，
当“ ”表示“ ”时， ，
当“ ”表示“ ”时， ，
当“ ”表示“ ”时， ，
当“ ”表示“ ”时， ，
∵ ，
∴
∴当“ ”表示“ ”时，算式的结果最大．
【解析】【分析】
（1）本题考查二次根式的混合运算；
（2）本题考查二次根式的混合运算以及分类讨论思想。
25．观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
…
（1）含n（n为正整数的关系式表示上述各式子的变形规律.并验证你的结论.
（2）利用上面的结论，求下列式子的值：
【答案】（1）解：根据题意得： ，
验证：左边＝ ＝ ＝ ＝右边；
（2）解：原式＝ ﹣1+ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）（ +1）
＝（ ﹣1）（ +1）
＝2008﹣1
＝2007.
【解析】【分析】（1）被开方数是两个相邻的数，即 ，它的有理化因式为 ；（2）由（1）得，原式＝（ ﹣1）（ +1），再根据平方差公式可得结果.
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