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解直角三角形 单元真题详解卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，cosB＝，则AC等于（ ）
A． B．3 C．4 D．5
2．河堤横断面如图所示，堤高BC＝4米，迎水坡AB的坡比是1：，则AC的长是（ ）
A．4米 B．8米 C．10米 D．8米
3．如图，点在正方形网格的格点上，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，正方形的面积为12，点E在边上，且，的平分线交于点F，点M，N分别是，的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．已知在中，，，，那么（ ）
A． B．
C． D．
6．如图所示，的直径弦，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知中，，、、所对的边分别是、、，且.则 （ ）
A． B． C． D．
8．在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（ ）
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．没有变化
9．如图，C，D 是以AB为直径的半圆上两个点(不与点A，B重合)，连结DC，AC，DB，AC与BD交于点P．若∠APD=α，则=（ ）
A．sinα B．cosα C．tanα D．
10．如图，正方形ABCD的边长是3，BP=CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2=OE OP；③S△AOD=S四边形OECF；④当BP=1时，tan∠OAE=，其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知点E，F分别在正方形ABCD的边CD，AD上，CD=4CE，∠EFB=∠FBC、则tan∠ABF=
12．计算： ．
13．在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，若∠BPC=∠BAC，tan∠BPC= ．
14．已知α为锐角，当 无意义时，tan（α+15°）﹣tan（α﹣15°）的值是 ．
15．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为 ．
16．如图，在中，，以点B为圆心、为半径画劣弧交射线于点D，M为的中点，联接、，分别交、于点E、F，如果点B是线段的黄金分割点，则 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sin B= ，AD=1.
（1）求BC的长；
（2）求tan ∠DAE的值.
18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，过点A作AH⊥x轴于点H，点O是线段CH的中点，AC＝4，cos∠ACH＝，点B的坐标为（4，n）．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求的值．
19．如图是小米洗漱时的侧面示意图.洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD＝80cm，宽AB＝48cm，小米身高160cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK＝80°），身体前倾成125°（∠EFG＝125°），脚与洗漱台距离GC＝15cm（点D，C，G，K在同一直线上）.
（1）此时小米头部E点与地面DK相距多少？
（2）若小米的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，她应向前或向后移动多少厘米？（sin80°≈0.98，cos80°≈0.18， ≈1.41，结果精确到0.1）
20．Jack同学从点A出发，沿着坡角为α的斜坡向上走了650米到达点B，且sinα=，然后又沿着坡比i=1：3的斜坡向上走了500米到达点C。
（1）Jack从点A到点B上升的高度是多少米？
（2）Jack从点A到点C上升的高度CD是多少米？
21．如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为40千米/时，受影响区域的半径为260千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离P点480千米．
（1）说明本次台风是否会影响B市；
（2）若这次台风会影响B市，求B市受台风影响的时间．
22．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH.
（1）求sinB的值；
（2）如果CD= ，求BE的值.
23．川西某高原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的A、B两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在A地北偏东45°，B地北偏西60°方向上有一牧民区C，过点C作CH⊥AB于H．
（1）求牧民区C到B地的距离（结果用根式表示）；
（2）一天，乙医疗队的医生要到牧民区C．若C、D两地距离是B、C两地距离的 倍，求∠ADC的度数及B、D两地的距离（结果保留根号）．
24．如图，在中，中线，交于点，，分别是，的中点，连结，，，．
（1）证明：四边形是平行四边形．
（2）当，，时，求四边形的面积．
25．某校有一露天舞台，纵断面如图所示，AC垂直于地面，AB表示楼梯，AE为舞台面，楼梯的坡角∠ABC＝45°，坡长AB＝2m，为保障安全，学校决定对该楼梯进行改造，降低坡度，拟修新楼梯AD，使∠ADC＝30°
（1）求舞台的高AC（结果保留根号）；
（2）求DB的长度(结果保留根号）.
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解直角三角形 单元真题详解卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，cosB＝，则AC等于（ ）
A． B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°， AB=5，
∴cosB=，
∴BC=4，
由勾股定理得AC===3，
故答案为：B
【分析】先根据锐角三角函数的定义得到cosB=，进而得到BC，再运用勾股定理即可求解。
2．河堤横断面如图所示，堤高BC＝4米，迎水坡AB的坡比是1：，则AC的长是（ ）
A．4米 B．8米 C．10米 D．8米
【答案】A
【解析】【解答】解：Rt△ABC中，BC=4米，tanA=1：；
∴AC==4米；
故答案为：A
【分析】根据题意解直角三角形（坡度坡角问题），进而即可求解。
3．如图，点在正方形网格的格点上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，取格点，连接交于H，则A、C、D三点共线，且，
设，则，
在中，，
.
故答案为：D.
【分析】取格点D、E，连接CD、BE交于H，则A、C、D三点共线，且BH⊥AH，设BH=a，则AH=5a，利用勾股定理可得AB，然后根据三角函数的概念进行计算.
4．如图，正方形的面积为12，点E在边上，且，的平分线交于点F，点M，N分别是，的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：连接EF，如图：
∵正方形ABCD的面积为12，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在Rt中，，
∴，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∵点M，N分别是BE，BF的中点，
∴MN是的中位线，
∴.
故答案为：A.
【分析】连接EF，由正方形的性质并结合面积是12可得，在Rt△BCE中由正切函数的定义并结合特殊锐角三角函数值得∠EBC=30°，进而由角平分线的定义得∠ABF=30°，在Rt△ABF中由正切函数的定义并结合特殊锐角三角函数值可求出AF，从而可判断出△DEF是等腰直角三角形，得EF=DE，最后根据三角形的中位线定理即可求出EF的长.
5．已知在中，，，，那么（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，.
故答案为：A.
【分析】直接根据三角函数的概念进行判断即可.
6．如图所示，的直径弦，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设CD交AB于H.
∵OB=OC，
∴∠2=∠3，
∵AB⊥CD，
∴∠1+∠2+∠3=90°，CH=HD，
∵∠1=2∠2，
∴4∠3=90°，
∴∠3=22.5°，
∴∠1=45°，
∴CH=OH，
设DH=CH=a，则OC=OB=a，BH=a+a，
∴tan∠CDB=，
故答案为：D.
【分析】设CD交AB于H，根据等腰三角形的性质可得∠2=∠3，由垂径定理可得CH=HD，根据余角的性质可得∠1+∠2+∠3=90°，结合∠1=2∠2可得∠3=22.5°，∠1=45°，推出CH=OH，设DH=CH=a，则OC=OB=a，BH=a+a，然后根据三角函数的概念进行计算.
7．已知中，，、、所对的边分别是、、，且.则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意，画出图形如下：
，
，
故答案为：C.
【分析】利用锐角三角函数的定义，可求出cosA的值.
8．在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（ ）
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．没有变化
【答案】D
【解析】【解答】解：根据锐角三角函数的概念，知
若各边长都扩大2倍，则sinA的值不变．
故选D．
【分析】理解锐角三角函数的概念：锐角A的各个三角函数值等于直角三角形的边的比值．
9．如图，C，D 是以AB为直径的半圆上两个点(不与点A，B重合)，连结DC，AC，DB，AC与BD交于点P．若∠APD=α，则=（ ）
A．sinα B．cosα C．tanα D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接AD.
∵ AB为半圆的直径，
∴ ∠ADB=90°
∴ cosα=
∵ ∠C=∠B，∠DPC=∠APB
∴
∴
∴=cosα
故答案为：B.
【分析】本题考查圆的直径，三角形相似的判定与性质及解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识是关键。由AB为直径得 ∠ADB=90°，可得cosα=，再证得，可得 =cosα.
10．如图，正方形ABCD的边长是3，BP=CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2=OE OP；③S△AOD=S四边形OECF；④当BP=1时，tan∠OAE=，其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，
∵BP=CQ，
∴AP=BQ，
在△DAP与△ABQ中，
∴△DAP≌△ABQ(SAS)，
∴∠P=∠Q，
∵∠Q+∠QAB=90°，
∴∠P+∠QAB=90°，
∴∠AOP=90°，
∴AQ⊥DP，故①正确；
∵∠DOA=∠AOP=90°，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠DAO=∠P，
∴△DAO∽△APO，
∴，
∴AO2=OD OP，
∵AE＞AB，
∴AE＞AD，
∴OD≠OE，
∴OA2≠OE OP，故②错误；
在△CQF与△BPE中，
∴△CQF≌△BPE(AAS)，
∴CF=BE，
∴DF=CE，
在△ADF与△DCE中，
∴△ADF≌△DCE(SAS)，
∴S△ADF﹣S△DFO=S△DCE﹣S△DOF，
即S△AOD=S四边形OECF，故③正确；
∵BP=1，AB=3，
∴AP=4，
∵AD∥BC，
∴△PBE∽△PAD，
∴，
∴BE=，
∴QE=，
∵△QOE∽△PAD，
∴，
∴QO=，OE=，
∴AO=5﹣QO=，
∴tan∠OAE=，故④错误；
故答案为：A．
【分析】先利用“SAS”证出△DAP≌△ABQ，可得 ∠P=∠Q， 再利用余角的性质可得 AQ⊥DP， 判断①是否正确；再证出△DAO∽△APO，利用相似三角形的性质可得AO2=OD OP，由OD≠OE，得到OA2≠OE OP，判断②是否正确；再证出△CQF≌△BPE(AAS)，△ADF≌△DCE(SAS)，可得S△ADF﹣S△DFO=S△DCE﹣S△DOF，从而可得S△AOD=S四边形OECF，判断③是否正确；再证出△PBE∽△PAD，可得，求出QE=，再结合△QOE∽△PAD，利用相似三角形的性质求出QO=，OE=，利用线段的和差求出AO=5﹣QO=，再求出tan∠OAE=，判断④是否正确，从而得解.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知点E，F分别在正方形ABCD的边CD，AD上，CD=4CE，∠EFB=∠FBC、则tan∠ABF=
【答案】．
【解析】【解答】解：如图：延长交的延长线于，设的中点为，连，
∵，
∴，
∴，
四边形是正方形，
，
，
，
，
∴，
，
，
，
设，，
，，
，，
，
，
，
，，，
，
化简得，
或0（舍弃）．
．
故答案为．
【分析】根据，延长，相交于，得到等腰，连接点和的中点，根据相似三角形的判定得，，得到，设，，由，得，由相似三角形的性质得，得出，列出方程，求出，即可求出的值．
12．计算： ．
【答案】1
【解析】【解答】解：
，
故答案为：1.
【分析】先利用0指数幂、特殊角的三角函数值及二次根式的性质化简，再计算即可.
13．在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，若∠BPC=∠BAC，tan∠BPC= ．
【答案】
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD.
∵AB=AC=5，BC=8，
∴BD=CD=4，
∴AD==3.
∵∠BAD=∠CAD， ∠BPC=∠BAC
∴∠BPC=∠BAD，
∴tan∠BPC=tan∠BAD=.
故答案为：.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，由等腰三角形的性质可得∠BAD=∠CAD，BD=CD=4，利用勾股定理可得AD，结合∠BPC=∠BAC可得∠BPC=∠BAD，然后利用三角函数的概念进行计算.
14．已知α为锐角，当 无意义时，tan（α+15°）﹣tan（α﹣15°）的值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：当 无意义时，tanα=1，
∠α=45°，
则tan（α+15°）﹣tan（α﹣15°）=tan60°﹣tan30°= ﹣
= ．
故答案为： ．
【分析】根据分式无意义的条件可得α的度数，将α的度数代入代数式可求解。
15．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为 ．
【答案】（2 ）km
【解析】【解答】解：在CD上取一点E，使BD=DE，
∵CD⊥AB，
∴∠EBD=45°，AD=DC，
∵AB=AD﹣BD，CE=CD﹣DE，
∴CE=AB=2km，
∵从B测得船C在北偏东22.5°的方向，
∴∠BCE=∠CBE=22.5°，
∴BE=EC=2km，
∴BD=ED= km，
∴CD=2+ （km）．
故答案为：（2+ ）km．
【分析】根据题意在CD上取一点E，使BD=DE，进而得出EC=BE=2km，再利用勾股定理得出DE的长，即可得出答案．
16．如图，在中，，以点B为圆心、为半径画劣弧交射线于点D，M为的中点，联接、，分别交、于点E、F，如果点B是线段的黄金分割点，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得∶，
在中，
∴，
∴，
∵点B是线段的黄金分割点，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意可得，然后把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点可得，根据结合锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sin B= ，AD=1.
（1）求BC的长；
（2）求tan ∠DAE的值.
【答案】（1）解：在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°.在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1，∴DC=AD=1.在△ADB中，∵∠ADB=90°，sin B= ，AD=1，∴AB= =3，∴BD= =2 ，
∴BC=BD+DC=2 +1.
（2）解：∵AE是BC边上的中线，∴CE= BC= + ，∴DE=CE-CD= - ，
∴tan ∠DAE= = - .
【解析】【分析】（1）在Rt△ADC中，由∠C=45°，AD=1，可得DC=AD=1.在Rt△ADB中，由sin B= ，AD=1，可求得AB，再由勾股定理可得BD，从而BC=BD+DC；
（2）在Rt△ADE中，tan∠DAE=，而AD=1，DE=CE-CD=BC-CD，代入BC和CD的值即可求出DE，从而得到tan∠DAE。
18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，过点A作AH⊥x轴于点H，点O是线段CH的中点，AC＝4，cos∠ACH＝，点B的坐标为（4，n）．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求的值．
【答案】（1）解： ，轴于点，，，
，
解得：，
点是线段的中点，
，
，
，
反比例函数解析式为：，
把点代入，得：，
，
设一次函数解析式为：，
则，
解得：，
一次函数解析式为：；
（2）解：
【解析】【分析】（1）先根据锐角三角函数的定义结合已知条件得到，进而得到HC，再根据勾股定理求出AH即可得到点A的坐标，进而根据待定系数法即可求出反比例函数解析式，再根据待定系数法求出一次函数解析式即可求解；
（2）根据三角形的面积结合点的坐标代入即可求解。
19．如图是小米洗漱时的侧面示意图.洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD＝80cm，宽AB＝48cm，小米身高160cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK＝80°），身体前倾成125°（∠EFG＝125°），脚与洗漱台距离GC＝15cm（点D，C，G，K在同一直线上）.
（1）此时小米头部E点与地面DK相距多少？
（2）若小米的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，她应向前或向后移动多少厘米？（sin80°≈0.98，cos80°≈0.18， ≈1.41，结果精确到0.1）
【答案】（1）解：过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M.
∵EF+FG＝160，FG＝100，
∴EF＝60，
∵∠FGK＝80°，
∴FN＝100 sin80°≈98
∵∠EFG＝125°，
∴∠EFM＝180°﹣125°﹣10°＝45°，
∴FM＝60 cos45°＝30 ≈42.3，
∴MN＝FN+FM≈140.3，
∴此时小米头部E点与地面DK相距约为140.3cm
（2）解：过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于H.
∵AB＝48，O为AB中点，
∴AO＝BO＝24，
∵EM＝60 sin45°≈42.3，
∴PH≈42.3，
∵GN＝100 cos80°≈18，CG＝15，
∴OH＝24+15+18＝57，OP＝OH﹣PH＝57﹣42.3＝14.7，
∴他应向前14.7cm.
【解析】【分析】（1）过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M.求出MF、FN的值即可解决问题；（2）求出OH、PH的值即可判断；
20．Jack同学从点A出发，沿着坡角为α的斜坡向上走了650米到达点B，且sinα=，然后又沿着坡比i=1：3的斜坡向上走了500米到达点C。
（1）Jack从点A到点B上升的高度是多少米？
（2）Jack从点A到点C上升的高度CD是多少米？
【答案】（1） 解： 作BF⊥AD，
∴∠BFA=90°，
在Rt△ABF中，
∵sinα==，
∴BF=ABsinα=650×=250（米），
答： Jack从点A到点C上升的高度CD是250米 .
（2）解：作BE⊥CD，∴∠BEC=90°，在Rt△CBE中，∵CE：BE=1：3，BC=500，设CE=x，则BE=3x，∴CE2+BE2=BC2，即x2+9x2=5002，解得：x=50，∴CE=50，得CD=CE+DE=CE+BF=50+250（米）.答： Jack从点A到点C上升的高度CD是50+250米.
【解析】【分析】（1）作BF⊥AD，在Rt△ABF中，根据正弦定义可求得BF长.
（2） 作BE⊥CD，在Rt△CBE中，由CE：BE=1：3，设CE=x，则BE=3x，根据勾股定理求得CE=50，由CD=CE+DE=CE+BF即可求得答案.
21．如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为40千米/时，受影响区域的半径为260千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离P点480千米．
（1）说明本次台风是否会影响B市；
（2）若这次台风会影响B市，求B市受台风影响的时间．
【答案】（1）解：作BH⊥PQ于点H．
在Rt△BHP中，
由条件知，PB=480，∠BPQ=75°﹣45°=30°，
∴BH=480sin30°=240＜260，
∴本次台风会影响B市．
（2）解：如图，若台风中心移动到P1时，台风开始影响B市，台风中心移动到P2时，台风影响结束．
由（1）得BH=240，由条件得BP1=BP2=260，
∴P1P2=2 =200，
∴台风影响的时间t= =5（小时）．
故B市受台风影响的时间为5小时．
【解析】【分析】 （1） 作BH⊥PQ于点H． 在Rt△BHP中， 根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由 BH=480sin30° 算出BH的长，再将该长度与 受影响区域的半径260千米 比大小即可得出结论；
（2） 如图，若台风中心移动到P1时，台风开始影响B市，台风中心移动到P2时，台风影响结束． 只要根据勾股定理及垂径定理算出 P1P2 的长度，再根据时间等于路程除以速度即可算出答案。
22．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH.
（1）求sinB的值；
（2）如果CD= ，求BE的值.
【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD=BD，∴∠B=∠BCD.∵AE⊥CD，∴∠CAH+∠ACH=90°，又∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACH=90°，∴∠B=∠BCD=∠CAH，即∠B=∠CAH.∵AH=2CH，由勾股定理得，AC= CH，∴CH∶AC=1∶ ，∴sinB= .
（2）解： 在Rt△ACB中，∵sinB= ，∴AC∶AB=1∶ .又CD= ，∴AB=2 ，∴AC=2.由AC2+BC2=AB2，∴BC=4，
在Rt△ACE中，∵∠CAH=∠B，∴sin∠CAH=sinB= = ，
设CE=x(x>0)，则AE= x，则x2+22=( x)2，∴CE=x=1，AC=2，
∴BE=BC-CE=3.
【解析】【分析】（1）由中线长定理可知CD=BD，根据“等边对等角”可得∠B=∠BCD，由“同角或等角的余角相等”和可得∠B=∠BCD=∠CAH，从而在Rt△ACH中，可得sinB=sin∠CAH=，而由AH=2CH及勾股定理可得AC=CH，即可求得sinB 的值；
（2）由sinB的值，在Rt△ACB中，由AB=2CD=2，可得AC=AB·sin B=2，也可求得BC的值；在Rt△ACE中，∵∠CAH=∠B，∴sin∠CAH=sinB，可设CE=x(x>0)，则AE=x，由勾股定理AC2+CE2=AE2，求出x值即可，则BE=BC-CE。
23．川西某高原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的A、B两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在A地北偏东45°，B地北偏西60°方向上有一牧民区C，过点C作CH⊥AB于H．
（1）求牧民区C到B地的距离（结果用根式表示）；
（2）一天，乙医疗队的医生要到牧民区C．若C、D两地距离是B、C两地距离的 倍，求∠ADC的度数及B、D两地的距离（结果保留根号）．
【答案】（1）解：设CH为x千米，由题意得，∠CBH=30°，∠CAH=45°，
∴AH=CH=x，
在Rt△BCH中，tan30°= = ，
∴BH= x，
∵AH+HB=AB=40，
∴x+ x=40，
解得x=20 ﹣20，
∴CB=2CH=40 ﹣40．
答：牧民区C到B地的距离为（40 ﹣40）千米；
（2）解：∵C、D 两地距离是B、C两地距离的 倍，CH= BC，
∴sin∠ADC= = = ，
∴∠ADC=60°．
在Rt△CHD中，DH=CH cot∠CDH= CH，
∵BH= CH，CH=20 ﹣20，
∴BD=BH﹣DH= CH﹣ CH= （20 ﹣20）=40﹣ ．
答：BD之间的距离为40﹣ 千米．
【解析】【分析】（1）设CH=x，分别表示出AH，BH的值，让其相加得40求值即可求得CH的长，进而可求得CB的长；（2）由CD和BC的数量关系可得CD和CH的数量关系，根据特殊角的三角函数值可求出∠ADC的度数，进而可得HD的长，用BH的长减去DH的长即为BD的距离．
24．如图，在中，中线，交于点，，分别是，的中点，连结，，，．
（1）证明：四边形是平行四边形．
（2）当，，时，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵、分别为的中线，
∴点、分别为、的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∵点，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
连接并延长交于点，连接，
∵、分别为的中线且交于点，
∴为的边上的中线，即点为的中点，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵点为的中点，点为的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵点为的中点，点为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
【解析】【分析】（1）利用三角形中位线定理可得，，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形解题；
（2）先得到是矩形，即可得到，然后根据两角相等得到，即可得到，然后得到，即可得到，进而求出，，连接并延长交于点，连接，根据三线合一得到，，然后利用勾股定理求出AD长，可以得到，得到OA长，再利用矩形面积公式计算解题．
25．某校有一露天舞台，纵断面如图所示，AC垂直于地面，AB表示楼梯，AE为舞台面，楼梯的坡角∠ABC＝45°，坡长AB＝2m，为保障安全，学校决定对该楼梯进行改造，降低坡度，拟修新楼梯AD，使∠ADC＝30°
（1）求舞台的高AC（结果保留根号）；
（2）求DB的长度(结果保留根号）.
【答案】（1）解：∵AB=2m，∠ABC=45°，
∴AC=BC==AB·sin45°= =
（2）解：∵∠ADC=30°
∴ CD= = =
∴BD=CD-BC=
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，利用解直角三角形求出AC的长.
（2）在Rt△ADC中，利用解直角三角形求出CD的长；然后根据BD=CD-BC，可求出BD的长.
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