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直线与圆的位置关系 单元专项巩固提升卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知⊙O的半径为6cm，圆心O到直线a的距离为6cm，则直线a与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A.若BC与⊙A相切，则AB的长为（ ）cm.
A．3 B．3 C．6 D．2
3．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝70°，过点A的圆的切线交射线BO于点P，则∠P的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
4．如图，在 中， ， 于D，⊙O为 的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在 中，AB是直径，AC是弦，过点C的切线与AB的延长线交于点D，若 ，则 的大小为
A． B． C． D．
6．如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD.若∠A=30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． ﹣ B． ﹣2 C．π﹣ D． ﹣
7．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别相为点D、E、F，设△ABC的面积、周长分别为S、l，⊙O的半径为r，则下列等式：
①∠AED＋∠BFE＋∠CDF＝180°；②S=l r；③2∠EDF＝∠A＋∠C；④2(AD＋CF＋BE)＝l，其中成立的是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
8．如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
9．如图，不等边内接于，I是其内心，，，，内切圆半径为（ ）
A．4 B． C． D．
10．在平面直角坐标系中，以点(3，－5)为圆心，r为半径的圆上有且仅有两点到x轴所在直线的距离等于1，则圆的半径r的取值范围是 ( )
A．r>4 B．0二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，CA是的切线，切点为，点在上.若，则的度数为 .
12．如图，已知的弦，以为一边作正方形，边与相切，切点为E，则半径为
13．如图，切于点，交于点．若，，则线段的长为 ．
14．如图，中，，为的角平分线，以点O为圆心，为半径作与边交于点D.若，，则 .
15．如图，△ABC，AC=3，BC=4，∠C=90°，⊙O为△ABC的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则⊙O的面积为 （结果保留π）
16．如图，将矩形的边翻折到，使点的对应点在边上，再将边翻折到，且点的对应点为的内心，则 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，AB与相切于点B，BC为的直径，为上的一点，且．AD，BC的延长线相交于点，连接OA.
（1）求证：AD是的切线；
（2）若，求的半径．
18．如图，点是的边上一点，与边相切于点，与边、分别相交于点、，且．
（1）求证：；
（2）当，时，求的长．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F.
（1）求证：∠CBF= ∠CAB；
（2）若CD=2， ，求FC的长.
20．如图，直线AD经过⊙O上的点A，△ABC为⊙O的内接三角形，并且∠CAD＝∠B.
（1）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠CAD＝30°，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积.（结果保留π）
21．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．
（1）求证：直线DF与⊙O相切；
（2）若AE=7，BC=6，求BE的长．
22．已知⊙O的直径为10，点A、点B、点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD的长；
（2）如图②，若∠CAB=60°，CF⊥BD，①求证：CF是⊙O的切线；②求由弦CD、CB以及弧DB围成图形的面积．
23．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点和点O均在网格图的格点上，将△ABC绕点O逆时针旋转90°，得到△A1B1C1．
（1）请画出△A1B1C1；
（2）以点O为圆心， 为半径作⊙O，请判断直线AA1与⊙O的位置关系，并说明理由．
24．如图，中，，以为直径的分别交边于点，过点作的切线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求和的长．
25．如图，△ABC为圆O的内接三角形，BD为⊙O的直径，AB＝AC，AD交BC于E，AE＝2，ED＝4．
（1）求证：△ABE∽△ADB，并求AB的长；
（2）延长DB到F，使BF＝BO，连接FA，那么直线FA与⊙O相切吗？为什么？
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直线与圆的位置关系 单元专项巩固提升卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知⊙O的半径为6cm，圆心O到直线a的距离为6cm，则直线a与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
【答案】B
【解析】【解答】解：设圆心O到直线a的距离为d，则d=6 cm
∵⊙O的半径为6 cm，
即半径=d=6 cm，
∴直线a与⊙O的位置关系是相切.
故答案为：B.
【分析】由⊙O的半径为6cm，圆心O到直线a的距离d=6cm，根据直线与圆的位置关系判定方法：当d＞r时，直线与圆相离，当d＜r时，直线与圆相交，当d=r时，直线与圆相切，即可判断.
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A.若BC与⊙A相切，则AB的长为（ ）cm.
A．3 B．3 C．6 D．2
【答案】C
【解析】【解答】解：设BC与⊙A的切点为D，连接AD，
则AD⊥BC，
在Rt△ABD中，∠B＝30°，
∴AB＝2AD＝6（cm）.
故答案为：C.
【分析】设BC与⊙A的切点为D，连接AD，则AD⊥BC，然后根据含30°角的直角三角形的性质进行求解.
3．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝70°，过点A的圆的切线交射线BO于点P，则∠P的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】C
【解析】【解答】解：如下图，连接OA，
由圆周角定理得，∠AOB=2∠C=140°，
∴∠AOP=40°，
∵AP是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∴∠P=90°-40°=50°，
故答案为：C．
【分析】根据题意，连接OA，根据圆周角定理得到∠AOB=2∠C=140°，再根据切线的性质及三角形内角和定理即可得到∠P的度数．
4．如图，在 中， ， 于D，⊙O为 的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，令 分别与 的三边切于P，Q，T，连接
∴
∴
=
=
又∵
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：B.
【分析】如图，令 分别与 的三边切于P，Q，T，连接 ，得出 ，由 ，可求出，从而得出结论.
5．如图，在 中，AB是直径，AC是弦，过点C的切线与AB的延长线交于点D，若 ，则 的大小为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵OA=OC，∠A=25°，
∴∠A=∠OCA=25°，
∴∠DOC=∠A+∠OCA=50°，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∴∠D=90°-∠DOC=40°，
故答案为：B．
【分析】由OA=OC，∠A=25°，推出∠A=∠OCA=25°，推出∠DOC=∠A+∠OCA=50°，由CD是⊙O的切线，推出OC⊥CD，推出∠OCD=90°，推出∠D=90°-∠DOC=40°．
6．如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD.若∠A=30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． ﹣ B． ﹣2 C．π﹣ D． ﹣
【答案】A
【解析】【解答】如图，过O作OE CD于点E
AB是⊙O的切线
∠ABO=90°
∠A=30°
∠AOB=60°
∠COD=120°
OC=OD=2
OE=1，CD=2DE=
故答案为：A
【分析】过O作OE CD于点E，由圆的切线的性质可得∠ABO=90°，结合已知由三角形内角和定理可求得∠AOB=60°，根据邻补角的性质得∠COD=120°，然后由扇形的面积=和阴影部分的面积的构成得S阴影=S扇形COD-S△COD可求解.
7．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别相为点D、E、F，设△ABC的面积、周长分别为S、l，⊙O的半径为r，则下列等式：
①∠AED＋∠BFE＋∠CDF＝180°；②S=l r；③2∠EDF＝∠A＋∠C；④2(AD＋CF＋BE)＝l，其中成立的是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
【答案】A
【解析】【解答】解：连接OD、OE、OF、AO、BO、CO
∠AED＋∠BFE＋∠CDF＝180°，故①正确；
故②正确；
∴在四边形BFOE中有
故③正确；
⊙O是△ABC的内切圆
∴AD=AE，BE=BF，CD=CF
∴2(AD＋CF＋BE)＝l
故④正确.
故答案为：A.
【分析】连接OD、OE、OF、AO、BO、CO，由等腰三角形的性得∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，结合内角和定理得∠1+∠2+∠5=90°，由切线性质得∠AED+∠1=90°，∠BFE+∠5=90°，∠CDF+∠3=90°，据此判断①；由图形得S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC结合三角形的面积公式可判断②；易得∠ABC+∠EOF=180°，由圆周角定理可得∠EOF=2∠EDF，然后在△ABC中，利用内角和定理可得∠EOF=∠BAC+∠BCA，据此判断③；根据切线长定理可得AD=AE，BE=BF，CD=CF，据此判断④.
8．如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】如图，⊙O是△ABC的内切圆，⊙O切AB于F，切AC于E，切BC于D，
连接AD，OB，则AD过O（因为等边三角形的内切圆的圆心再角平分线上，也在底边的垂直平分线上），
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60 ，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴∠OBC= ∠ABC=30 ，
∵⊙O切BC于D，
∴∠ODB=90 ，
∵OD=1，
∴OB=2，
由勾股定理得：BD= = ，
同理求出CD= ，
即BC=2 .
故答案为：D.
【分析】标注A、B、C点，连接AD，OB，则AD过O，求出∠OBD=30°，求出OB，根据勾股定理求出BD，同法求出CD，求出BC即可.
9．如图，不等边内接于，I是其内心，，，，内切圆半径为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：延长 交 于点 ，连接 ， 交 于点 ，
则： ，
∵I是 内心，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 ，
则： ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵I是 内心，
∴ ，
∴ ，
如图2：过点 作 ，连接 ，设 ，则： ，
则： ，
即： ，
解得： ，
∴ ；
∴
设 的半径为
则：
∴ ，
即： ，
解得： ；
故答案为：A.
【分析】延长BI交⊙O于点D，连接OB、OD、AI，OD交AC于点E，由圆周角定理可得∠DAC=∠DBC，由内心的概念可得∠ABD=∠DBC，∠CAI=∠BAI，则∠DAC=∠DBA，根据角的和差关系可得∠DAI=∠AID，推出AD=DI，由等腰三角形的性质可得DI=BI，则AD=BI，过点I作IG⊥BC，IM⊥AC，IN⊥AB，利用AAS证明△AED≌△BGI，得到BG=AE=7，则CG=BC-BG=6，由内心的概念可得CM=CG=6，BN=BG=7，AN=AM=8，AB=AN+BN=15，过点C作CH⊥AB，连接IC，设AH=x，则BH=15-x，由勾股定理可得x的值，然后求出CH，设半径为r，则IG=IM=IN=r，然后根据三角形的面积公式进行计算.
10．在平面直角坐标系中，以点(3，－5)为圆心，r为半径的圆上有且仅有两点到x轴所在直线的距离等于1，则圆的半径r的取值范围是 ( )
A．r>4 B．0【答案】D
【解析】【分析】根据题意可知，本题其实是利用圆与直线y=1和直线y=-1之间的位置关系来求得半径r的取值范围，根据相离时半径小于圆心到直线的距离，相交时半径大于圆心到直线的距离即可求得r的范围。
【解答】根据题意可知到x轴所在直线的距离等于1的点的集合分别是直线y=1和直线y=-1，
若以点（3，-5)为圆心，r为半径的圆上有且仅有两点到x轴所在直线的距离等于1，
那么该圆与直线y=-1必须是相交的关系，与直线y=1必须是相离的关系，
所以r的取值范围是|-5|-|-1|＜r＜|-5|+1，
即4＜r＜6．
故选D．
【点评】解决本题要认真分析题意，理清其中的数量关系．看似求半径与x轴之间的关系，其实是利用圆与直线y=1和直线y=-1之间的位置关系来求得半径r的取值范围。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，CA是的切线，切点为，点在上.若，则的度数为 .
【答案】106°
【解析】【解答】解：因为CA为⊙O的切线，
所以OA⊥AC，
所以∠OAC=90°.
因为∠CAB=53°，
所以∠OAB=90°-53°=37°，
因为OA=OB，
所以∠OAB=∠B.
所以∠AOB=180°-2×37°=106°.
故答案为：106°
【分析】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和.根据CA为⊙O的切线，利用圆的切线垂直于过切点的半径，所以OA⊥AC，据此可得：∠OAC=90°，通过计算可得：∠OAB=37°，再根据半径相等，利用等边对等角可得：∠OAB=∠B，利用三角形的内角和定理可求出∠AOB.
12．如图，已知的弦，以为一边作正方形，边与相切，切点为E，则半径为
【答案】
【解析】【解答】解：连接并延长，交于F，连接，如图，
∵CD与圆O相切于点E，
∴OE⊥CD，即∠DEF=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠DAF=90°，
∴四边形ADEF是矩形，
∴EF=AD=6，∠AFE=90°，
∴AF=AB=3，
设的半径为r，则，
在中，，即
解得：，
即圆的半径为，
故答案为：.
【分析】连接EO并延长，交AB于F，连接OA，由切线的性质得∠DEF=90°，由正方形的性质得∠D=∠DAF=90°，由有三个角是直角的四边形是矩形得四边形ADEF是矩形，得EF=AD=6，∠AFE=90°，由垂径定理得AF=AB=3，设的半径为r，则，由勾股定理列式可求出．
13．如图，切于点，交于点．若，，则线段的长为 ．
【答案】4
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵切于A点，
∴，
，
在中，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4．
【分析】本题考查圆切线的性质，勾股定理.先根据圆切线的性质可推出，再利用勾股定理可求出半径OA，利用线段的运算可求出长．
14．如图，中，，为的角平分线，以点O为圆心，为半径作与边交于点D.若，，则 .
【答案】2
【解析】【解答】解：过O作于H，
∵，
∴，
∵为的角平分线，，
∴，
即为的半径，
∵，
∴为的切线；
设的半径为，则，
在中，
∵，
∴=，
∴=，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴.
故答案为：2.
【分析】过O作OH⊥AB于H，根据角平分线的性质可得OH=OC，推出AB为⊙O的切线，设半径为3x，则OH=OD=OC=3x，根据三角函数的概念可得AH=4x，由勾股定理可得AO=5x，则AO=OD+AD=3x=2，据此可得x的值，然后求出OA、OH、AC的值，再根据三角函数的概念进行计算.
15．如图，△ABC，AC=3，BC=4，∠C=90°，⊙O为△ABC的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则⊙O的面积为 （结果保留π）
【答案】π
【解析】【解答】解：连接OE、OF，
∵AC=3，BC=4，∠C=90°，
∴AB=5，
∵⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F为切点，
∴FB=DB，CE=CF，AD=AF，
OE⊥BC，OF⊥AC，
又∵∠C=90°，OF=OE，
∴四边形ECFO为正方形，
∴设OE=OF=CF=CE=x，
∴BE=4﹣x，FA=3﹣x；
∴DB=4﹣x，AD=3﹣x，
∴3﹣x+4﹣x=5，
解得：x=1，
则⊙O的面积为：π．
故答案为：π．
【分析】连接OE、OF，首先根据勾股定理算出AB的长，根据切线长定理得出FB=DB，CE=CF，AD=AF，OE⊥BC，OF⊥AC，进而判断出四边形ECFO为正方形，根据正方形的性质得出设OE=OF=CF=CE=x，进而判断出BE，FA，BD，AD，然后根据AB=AD+BD列出方程，求解得出x的值，最后根据圆的面积计算方法算出答案。
16．如图，将矩形的边翻折到，使点的对应点在边上，再将边翻折到，且点的对应点为的内心，则 ．
【答案】4
【解析】【解答】解：作于点，作于点，则，
∴，
由翻折得，
，，
点为的内心，
，，
四边形是矩形，
∴，，
，，
，，
∴，
，
，
，
，
，，
，
，
设交于点，
，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：4．
【分析】作于点，作于点，则，根据翻折和内心即可得到，，即可得到，然后根据AAS得到，即可得到，推出，根据正切得到，求出解题即可．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，AB与相切于点B，BC为的直径，为上的一点，且．AD，BC的延长线相交于点，连接OA.
（1）求证：AD是的切线；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）证明：连接OD，
是的切线
，即
在和中
（SSS）
，又OD是的半径
是的切线．
（2）解：
设的半径为，在Rt中，
则
，解得
检验：当时，
是原方程的解．
的半径是.
【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到，即，进而根据三角形全等的判定与性质证明得到，从而根据切线的判定即可求解；
（2）先根据相似三角形的判定与性质证明得到，设的半径为，在Rt中，，进而运用余弦函数得到，从而即可列出分式方程，解方程即可得到r.
18．如图，点是的边上一点，与边相切于点，与边、分别相交于点、，且．
（1）求证：；
（2）当，时，求的长．
【答案】（1）证明：如图所示，连接，，
，
，
，
，
，
，
，
与边相切于点，
，
，
；
（2）解：在中，，设，则，根据勾股定理，
∵，
∴，即，，
∴，
设的半径为，则，
在中，，
，经检验，是上述分式方程的解，
，
∴．
【解析】【分析】（1）连接，，则可得到，即可证明，进而得到即可得到结论；
（2）先求出，再设的半径为，则有，然后在中，运用求出的值解题．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F.
（1）求证：∠CBF= ∠CAB；
（2）若CD=2， ，求FC的长.
【答案】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°.
∴∠BAE+∠ABC=90°，
∵AB=AC，
∴∠BAE=∠EAC= ∠CAB.
∵BF为⊙O的切线，
∴∠ABC+∠CBF=90°.
∴∠BAE=∠CBF.
∴∠CBF= ∠CAB.
（2）解：连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°.
∵∠DBC=∠DAE，
∴∠DBC=∠CBF.
∵tan∠CBF= .
∴tan∠DBC= .
∵CD=2，
∴BD=4.
设AB=x，则AD= ，
在RtΔABD中，∠ADB=90°，由勾股定理得x=5.
∴AB=5，AD=3.
∵∠ABF=∠ADB=90°，∠BAF=∠BAF.
∴ΔABD∽ΔAFB.
∴ .
∴AF= .
∴FC=AF-AC= .
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质易证∠BAE=∠EAC= ∠CAB，由弦切角定理可得∠BAE=∠CBF，即可证明.（2）连接BD，由∠DBC=∠CBF.得到tan∠DBC= .得出BD=4.设AB=x，则AD= ，在RtΔABD中，根据勾股定理求得AB=5，证明ΔABD∽ΔAFB，根据相似三角形的性质即可求解.
20．如图，直线AD经过⊙O上的点A，△ABC为⊙O的内接三角形，并且∠CAD＝∠B.
（1）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠CAD＝30°，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积.（结果保留π）
【答案】（1）解：直线AD与⊙O的位置关系是相切，
理由是：作直径AE，连接CE，
∵AE为直径，
∴∠ACE＝90°，
∴∠E+∠EAC＝90°，
∵∠B＝∠DAC，∠B＝∠E，
∴∠E＝∠DAC，
∴∠EAC+∠DAC＝90°，
即OA⊥AD，
∵OA过O，
∴直线AD与⊙O的位置关系是相切；
（2）解：连接OC，过O作OF⊥AC于F，
则∠OFA＝90，
∵∠CAD＝30°，∠DAO＝90°，
∴∠OAC＝60°，
∵OC＝OA＝1，
∴△OAC是等边三角形，
∴AC＝OA＝1，∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，OF⊥AC，
∴AF＝FC＝ ，
由勾股定理得：OF＝ ，
∴阴影部分的面积为：
【解析】【分析】（1）作直径AE，连接CE，求出∠OAD＝90°，根据切线的判定得出即可；（2）求出△OAC是等边三角形，再分别求出△OAC和扇形OCA的面积，即可得出答案.
21．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．
（1）求证：直线DF与⊙O相切；
（2）若AE=7，BC=6，求BE的长．
【答案】（1）证明：连结OD，如图，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OC=OD，
∴∠1=∠C，
∴∠1=∠B，
∴OD∥AB，
∵DF⊥AB，
∴DF⊥OD，
∴直线DF与⊙O相切
（2）解：∵OD∥AB，
而OA=OC，
∴BD=CD=3，
∵∠BED=∠ACB，∠DBE=∠ABC，
∴△BDE∽△BAC，
∴BE：BC=BD：BA，即BE：6=3：（BE+7），
整理得BE2+7BE﹣18=0，解得BE=2或BE=﹣9（舍去），
即BE的长为2．
【解析】【分析】（1）连结OD，如图，先证明OD∥AB，则由DF⊥AB可判断DF⊥OD，然后根据切线的判定定理可得直线DF与⊙O相切；（2）先确定BD=CD=3，再证明△BDE∽△BAC，则利用相似比得到BE：6=3：（BE+7），然后解关于BE的方程即可．
22．已知⊙O的直径为10，点A、点B、点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD的长；
（2）如图②，若∠CAB=60°，CF⊥BD，①求证：CF是⊙O的切线；②求由弦CD、CB以及弧DB围成图形的面积．
【答案】（1）解：如图①，∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB=∠BDC=90°．
∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6，
∴由勾股定理得到：AC= =8，
∵AD平分∠CAB，
∴ = ，
∴CD=BD．
在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，
∴易求BD=CD=5
（2）证明：∵∠BAC=60°，AD平分∠CAB，
∴∠CAD=30°，
∴∠COD=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴∠OCD=60°，
∵CF⊥BD，
∴∠CFD=90°，
∵∠CDF=∠CAB=60°，
∴∠FCD=30°，
∴∠OCF=∠OCD+∠DCF=90°，
∴OC⊥CF，
∴CF是⊙O的切线；
②连接OB，
∵∠BAD= BAC=30°，
∴∠BOD=60°，
∴∠ODB=∠COD=60°，
∴OC∥BD，
∴S阴影=S扇形，
∵⊙O的直径为10，
∴OB=5，
∴S阴影=S扇形= = π．
【解析】【分析】（1）利用圆周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD=CD=5 ；（2）①根据角平分线的性质得到∠CAD=30°，求得∠COD=60°，得到△COD是等边三角形，求得∠OCD=60°，得到∠FCD=30°，于是得到结论；②连接OB，根据圆周角定理得到∠BOD=60°，推出OC∥BD，得到S阴影=S扇形，根据扇形的面积公式即可得到结论．
23．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点和点O均在网格图的格点上，将△ABC绕点O逆时针旋转90°，得到△A1B1C1．
（1）请画出△A1B1C1；
（2）以点O为圆心， 为半径作⊙O，请判断直线AA1与⊙O的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求；
（2）解：直线AA1是⊙O的切线．
过点O作OD⊥OA于点D，
∵OA= = ，
∴OA1=OA= ，∠AOA1=90°，
∴AA1= =2 ．
∵OA1=OA，OD⊥AA1，
∴点D是OA1的中点，OD= AA1= ．
∵⊙O的半径为 ，
∴直线AA1是⊙O的切线
【解析】【分析】（1）根据图形旋转的性质画出旋转后的△A1B1C1即可；（2）过点O作OD⊥OA于点D，根据勾股定理求出OA的长，再由图形旋转的性质得出OA1=OA，OD⊥AA1，
由直角三角形的性质即可得出结论．
24．如图，中，，以为直径的分别交边于点，过点作的切线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求和的长．
【答案】（1）证明：，
，
是的切线，
，
，
，，
，
；
（2）解：如图，连接、，
，
由（1）可得，
，
，
，
，，
.
是的直径，是的切线，
，
，
∵，
，
，即，
，
.
∵四边形ADEC是圆内接四边形，
∴∠BDE=∠BCA，∠BED=∠BAC，
由（1）得，
∴∠BDE=∠BED=∠BCA=∠BAC，
∴.
，即，
．
【解析】【分析】（1）根据， 得；根据是切线，可证得，，于是有，结论可证；
（2）根据，可得，于是可求得CF，BC，AC的长；求出sin∠F.证明，可利用sin∠ACD=sin∠F可求得AD长，AB-AD可得BD长；证明，于是有，代入即可求得DE长.
25．如图，△ABC为圆O的内接三角形，BD为⊙O的直径，AB＝AC，AD交BC于E，AE＝2，ED＝4．
（1）求证：△ABE∽△ADB，并求AB的长；
（2）延长DB到F，使BF＝BO，连接FA，那么直线FA与⊙O相切吗？为什么？
【答案】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C．
∵∠C＝∠D，
∴∠ABC＝∠D．
又∵∠BAE＝∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，
∴ ，
∴AB2＝AD AE＝（AE+ED） AE＝（2+4）×2＝12，
∴AB＝2 ；
（2）解：直线FA与⊙O相切．
理由如下：
连接OA，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∴BD＝ ，
∴BF＝BO＝ ．
∵AB＝2 ，
∴BF＝BO＝AB，
∴∠OAF＝90°．
∴直线FA与⊙O相切．
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和圆周角定理可得∠ABC＝∠D，由∠BAE＝∠DAB故△ABE∽△ADB，进而可得 ；代入数据即可得求解．（2）连接OA，根据勾股定理可得BF＝BO＝AB；易得∠OAF＝90°，可得直线FA与⊙O相切．
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