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一元二次方程 单元模拟演练卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如果x=4是一元二次方程x －3x=a 的一个根，则常数a的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4
2．用配方法解方程2x2﹣4x+1=0时，配方后所得的方程为（ ）
A．（x﹣2）2=3 B．2（x﹣2）2=3
C．2（x﹣1）2=1 D．2（x﹣1）2=
3．已知关于x的方程（a，b，m均为常数，且）的两个解是，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
4．若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别是﹣，5，则方程a（x﹣1）2+bx＝b﹣2c的两根为（ ）
A．﹣，6 B．﹣3，10 C．﹣2，11 D．﹣5，21
5．一元二次方程(x+1)(x-1)=2x+3的根的情况是 （ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
6．已知a，b，c为常数，点P(a，c)在第四象限，则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
7．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．x(x+1)= 110 B．x(x-1)= 110
C．x(x+1)= 110 D．x(x-1)= 110
8．在解关于x的一元二次方程x2+px+q=0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是-3，1．小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，-4，则原来的方程是（ ）
A．x2+2x-3=0 B．x2+2x-20=0 C．x2-2x-20=0 D．x2-2x-3=0
9．已知实数满足，则的值是（ ）．
A．-2 B．1 C．-1或2 D．-2或1
10．某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50％（即每100千克花生可加工成花生油50千克）．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的．则新品种花生亩产量的增长率为（ ）
A．20％ B．30% C．50% D．120%
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．方程(3x-2)(2x+1)=0的两个根为 .
12．某种商品平均每天可销售40件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，每降价1元，每天可多售出5件.若每天要盈利2400元，则该商品每件应降价 元.
13．如图是一张长为12 cm、宽为10 cm的长方形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的长方形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积为24 cm 的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为 cm.
14．某超市销售一种水果，每月可售出500千克，每千克盈利10元.经市场分析，售价每涨1元，月销售量将减少10千克.如果该超市销售这种水果每月盈利8000元，那么该水果的单价涨了多少元？设水果单价涨了x元，根据题意，可列方程为 .
15．若关于x的一元二次方程a(x－h)2+k=0的解是x1=－2，x2=1，则关于x的一元二次方程a(x－h+3)2+k=0的解是 ．
16．设x，y为实数，代数式5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知为实数，关于的方程为．
（1）若方程有两个不相等的实数根，请求出的范围；
（2）请判断是否可为此方程的根，说明理由．
18．据统计，目前某市基站的数量约万座，计划到2023年底，全市基站数是目前的4倍，到2025年底，全市基站数最将达到万座．
（1）计划到2023年底，全市基站的数量是多少万座？
（2）求2023年底到2025年底，全市基站数量的年平均增长率．
19．已知关于x的一元二次方程．
（1）判断方程根的情况；
（2）若方程的一个根为，求m的值和方程的一个根．
20．某商场将进货价为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40～60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销量就减少10个，
（1）当售价上涨 元时，那么销售量为 个；
（2）
为了实现销售这种台灯平均每月10000元的销售利润，售价应定为多少元？这时售出台灯多少个？
21．一个矩形周长为56cm．
（1）当矩形面积为180cm2时，边长分别为多少？
（2）能围成面积为200cm2的矩形吗？请说明理由．
22．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m-2=0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）当方程的一个根是-1时，求m的值．
23．某区推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次.
（1）如果第二批、第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；
（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次
24．某商店准备进一批季节性小家电，单价为每个40元，经市场预测，销售定价为每个52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个，定价每减少1元，销售量净增加10个，因受库存的影响，每批次进货个数不超过180个，商店准备获利2000元．
（1）该商店考虑涨价还是降价？请说明理由．
（2）应进货多少个？定价为每个多少元？
25．如图，x轴表示一条东西方向的道路，y轴表示一条南北方向的道路，小丽和小明分别从十字路口O点处同时出发，小丽沿着x轴以4千米时的速度由西向东前进，小明沿着y轴以5千米/时的速度由南向北前进．有一颗百年古树位于图中的P点处，古树与x轴、y轴的距离分别是3千米和2千米．
问：
（1）离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等？
（2）离开路口经过多少时间，两人与这颗古树所处的位置恰好在一条直线上？
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一元二次方程 单元模拟演练卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如果x=4是一元二次方程x －3x=a 的一个根，则常数a的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4
【答案】C
【解析】【解答】解：把x＝4代入方程
可得16-12= ，
解得a=±2，
故答案为：C．
【分析】把x＝4代入原方程得关于a的一元一次方程，从而得解.
2．用配方法解方程2x2﹣4x+1=0时，配方后所得的方程为（ ）
A．（x﹣2）2=3 B．2（x﹣2）2=3
C．2（x﹣1）2=1 D．2（x﹣1）2=
【答案】C
【解析】【解答】解：2x2﹣4x=-1，x2﹣2x= ，x2﹣2x+1= +1，∴ ，即 ．
故答案为：C．
【分析】先把方程的常数项移到等号的右边，再进行配方，即可.
3．已知关于x的方程（a，b，m均为常数，且）的两个解是，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：方程a（x+m）2+b=0，的解为：，
方程的解为，
∵方程（a，b，m均为常数，且）的两个解是，
即的值为3或6，
故方程的解为或；
故答案为：D.
【分析】根据直接开方法分别求出两个方程的解，结合题意得出的值为3或6，即可求解.
4．若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别是﹣，5，则方程a（x﹣1）2+bx＝b﹣2c的两根为（ ）
A．﹣，6 B．﹣3，10 C．﹣2，11 D．﹣5，21
【答案】C
【解析】【解答】解：∵方程（）的两个根分别是，5．
∴，，
∴，，
由方程得：
，
∴，
即，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据根与系数的关系求出，，代入新方程化简求值即可.
5．一元二次方程(x+1)(x-1)=2x+3的根的情况是 （ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【解析】【解答】解：（x+1）（x-1）=2x+3，
整理得：x2-2x-4=0，
则Δ=（-2）2-4×1×（-4）=20＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
故答案为：A.
【分析】先将方程整理为一般形式，根据一元二次方程根的判别式：Δ＞0时，有两个不相等的实数根即可求解.
6．已知a，b，c为常数，点P(a，c)在第四象限，则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】A
【解析】【解答】解： 点P(a，c)在第四象限，
∴，即
ax2+bx+c=0，，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】利用第四象限点的坐标特征得，然后利用根的判别式：时，方程有两个不相等的实数根，即可得解.
7．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．x(x+1)= 110 B．x(x-1)= 110
C．x(x+1)= 110 D．x(x-1)= 110
【答案】D
【解析】【解答】解：设有x个队参赛，则
x（x﹣1）＝110．
故答案为：D．
【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛110场，可列出方程．
8．在解关于x的一元二次方程x2+px+q=0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是-3，1．小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，-4，则原来的方程是（ ）
A．x2+2x-3=0 B．x2+2x-20=0 C．x2-2x-20=0 D．x2-2x-3=0
【答案】B
【解析】【解答】解：设方程的两个根为α，β，
根据题意得α+β=-p=-3+1=-2，αβ=q=5×（-4）=-20，
∴以α，β为根的一元二次方程是 x2+2x-20=0 .
故答案为：B.
【分析】设方程的两个根为α，β，根据根与系数的关系可求出p、q的值，进而求出方程.
9．已知实数满足，则的值是（ ）．
A．-2 B．1 C．-1或2 D．-2或1
【答案】D
【解析】【分析】由方程可得，，
再把看作一个整体运用解一元二次方程的方法求解即可.
【解答】
或
解得或1
故选D.
【点评】解答该类题目的一般思路是先求出x的值，但此题行不通，注意整体思想的灵活运用．
10．某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50％（即每100千克花生可加工成花生油50千克）．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的．则新品种花生亩产量的增长率为（ ）
A．20％ B．30% C．50% D．120%
【答案】A
【解析】【分析】本题为增长率问题，增长后的量=增长前的量×（1+增长率)。则每亩收获的花生可加工成花生油的质量是200（1+x) 50%（1+x)，即可列方程求解。
【解答】设新品种花生亩产量的增长率为x，
根据题意得200（1+x) 50%（1+x)=132，
解得x1=0.2=20%，x2=-3.2（不合题意，舍去)，
则新品种花生亩产量的增长率为20%，
故选A.
【点评】本题为一般的增长率问题，可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解。找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．方程(3x-2)(2x+1)=0的两个根为 .
【答案】或
【解析】【解答】解：∵（3x-2）（2x+1）=0，
∴3x-2=0或2x+1=0，
解得：或；
故答案为：或.
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可.
12．某种商品平均每天可销售40件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，每降价1元，每天可多售出5件.若每天要盈利2400元，则该商品每件应降价 元.
【答案】4
【解析】【解答】解：设每件服装应降价x元，根据题意，得：
（44-x）（40+5x）=2400
解方程得 x=4或x=32，
∵在降价幅度不超过10元的情况下，
∴x=32不合题意舍去，
故每件服装应降价4元；
故答案为：4.
【分析】根据每件商品的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）=2400列出方程式，求解即可.
13．如图是一张长为12 cm、宽为10 cm的长方形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的长方形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积为24 cm 的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为 cm.
【答案】2
【解析】【解答】解：设剪去的正方形的边长为x cm，则长方形的底的长为（10-2x）cm，宽为（12-2x）cm，
则（10-2x）×（12-2x）=24，
解得，x1=2，x2=9（不符合题意舍去），
所以，剪去的正方形的边长为2cm.
故答案为：2.
【分析】设剪去的正方形的边长为xcm，表示出长方形的底的长为（10-2x）cm，宽为（12-2x）cm，根据长方形的面积公式列出方程，解方程即可.
14．某超市销售一种水果，每月可售出500千克，每千克盈利10元.经市场分析，售价每涨1元，月销售量将减少10千克.如果该超市销售这种水果每月盈利8000元，那么该水果的单价涨了多少元？设水果单价涨了x元，根据题意，可列方程为 .
【答案】（10+x）（500-10x）＝8000
【解析】【解答】解：设水果单价涨了x元，则每千克水产品获利（10+x）元，月销售量减少10x千克；
由题意可列方程（10+x）（500-10x）=8000.
故答案为：（10+x）（500-10x）=8000.
【分析】设水果单价涨了x元，则每千克水产品获利（10+x）元，月销售量减少10x千克，则月实际销售量为（500-10x）千克，进而根据每千克水果的利润×月销售数量=月总利润建立方程即可.
15．若关于x的一元二次方程a(x－h)2+k=0的解是x1=－2，x2=1，则关于x的一元二次方程a(x－h+3)2+k=0的解是 ．
【答案】x1=－5，x2=－2
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程a(x－h)2+k=0的解是x1=－2，x2=1，
∴关于x的一元二次方程a(x－h+3)2+k=0的解为x+3=-2或x+3=1
解之：x1=－5，x2=－2.
故答案为：x1=－5，x2=－2.
【分析】将x-h看着整体，可得到关于x的一元二次方程a(x－h+3)2+k=0的解为x+3=-2或x+3=1，然后求出x的值.
16．设x，y为实数，代数式5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：原式=（x2+2x+1）+（4x2﹣8xy+4y2）+3=4（x﹣y）2+（x+1）2+3，
∵4（x﹣y）2和（x+1）2的最小值是0，
即原式=0+0+3=3，
∴5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为3．
故答案为：3
【分析】将所给等式分为两组进行配方，再利用平方项的非负性可判断所给代数式的最小值为3.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知为实数，关于的方程为．
（1）若方程有两个不相等的实数根，请求出的范围；
（2）请判断是否可为此方程的根，说明理由．
【答案】（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴；
（2）解：不是此方程的根，理由如下：
∵当时，
方程左边
，
而右边，
∴左边右边，
∴不可能是此方程的实数根．
【解析】【分析】（1）根据题意结合一元二次方程的判别式即可求解；
（2）根据一元二次方程的根将代入结合题意即可求解。
18．据统计，目前某市基站的数量约万座，计划到2023年底，全市基站数是目前的4倍，到2025年底，全市基站数最将达到万座．
（1）计划到2023年底，全市基站的数量是多少万座？
（2）求2023年底到2025年底，全市基站数量的年平均增长率．
【答案】（1）解：（万座），
答：计划到2023年底，全市基站的数量是6万座.
（2）解：设2023年底到2025年底，全市基站数量的年平均增长率为x，
依题意，得，
解得（不符合题意，舍去），
答：2023年底到2025年底，全市5G基站数量的年平均增长率为；
【解析】【分析】（1）根据题意进行计算即可求解；
（2）设2023年底到2025年底，全市基站数量的年平均增长率为x，根据“目前某市基站的数量约万座，计划到2023年底，全市基站数是目前的4倍，到2025年底，全市基站数最将达到万座”结合题意即可列出一元二次方程，进而即可求解。
19．已知关于x的一元二次方程．
（1）判断方程根的情况；
（2）若方程的一个根为，求m的值和方程的一个根．
【答案】（1）解：由的判别式为：．
当时，，原方程无实数根；
当时，，原方程有两个相等的实数根；
当时，，原方程有两个不相等的实数根．
（2）解：∵是方程的一个根，
∴，解得：，
∴
设方程的另一个根为，
∵，
∴．
∴，方程的另一个根为3．
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解；
（2）根据一元二次方程的根即可求出m，再运用根与系数的关系即可求解。
20．某商场将进货价为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40～60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销量就减少10个，
（1）当售价上涨 元时，那么销售量为 个；
（2）
为了实现销售这种台灯平均每月10000元的销售利润，售价应定为多少元？这时售出台灯多少个？
【答案】（1）600-10x
（2）解：设售价定为x元， [600﹣10（x﹣40）]（x﹣30）=10000， 整理，得x2﹣130x+4000=0， 解得：x1=50，x2=80（舍去）， 600﹣10（x﹣40）=600﹣10×（50﹣40）=500（个） 答：台灯的定价定为50元，这时应进台灯500个。
【解析】【解答】解（1）∵涨价前的销售量为600个， 台灯的售价每上涨1元，其销量就减少10个，
∴ 当售价上涨x元，销售量为：600-10x
【分析】（1）利用涨价前的销售量减去涨价后减少的销售量，列式即可。
（2）此题的等量关系为：每一个的利润×销售量=10000，设未知数，列方程求出方程的解，然后求出售价及此时的销售量。
21．一个矩形周长为56cm．
（1）当矩形面积为180cm2时，边长分别为多少？
（2）能围成面积为200cm2的矩形吗？请说明理由．
【答案】（1）解：设矩形的长为xcm，则宽为，
依题意得：x（28-x）＝180，
整理得：x2-28x+180＝0，
解得：x1＝10，x2＝18．
当x＝10时，28-x＝28-10＝18＞10，不合题意，舍去；
当x＝18时，28-x＝28-18＝10＜18，符合题意．
答：当矩形面积为180cm2时，长为18cm，宽为10cm．
（2）解：不能围成，理由如下：
设矩形的长为ycm，则宽为，
依题意得：y（28-y）＝200，
整理得：y2-28y+200＝0．
∵Δ＝（-28）2-4×1×200＝-16＜0，
∴该方程无解，
∴不能围成面积为200cm2的矩形．
【解析】【分析】 （1）设矩形的长为x cm，则宽为，根据矩形的面积为180cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合长不小于宽，即可确定矩形的长和宽；
（2）设矩形的长为y cm，则宽为，根据矩形的面积为200cm2，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ=-16＜0，即可得出该方程无解，即不能围成面积为200cm2的矩形．
22．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m-2=0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）当方程的一个根是-1时，求m的值．
【答案】（1）证明：∵△=（2m+1）2-4×1×（m-2）
=4m2+4m+1-4m+8=4m2+9>0
∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根
（2）解：把x=-1代入方程x2+（2m+1）x+m-2=0，
∴1-（2m+1）+m-2=0．
∴m=-2．
【解析】【分析】（1）此题就是证根的判别式b2-4ac恒大于0即可；
（2）把x=-1代入一元二次方程中，得到关于m的一元一次方程，解出m即可解决问题.
23．某区推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次.
（1）如果第二批、第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；
（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次
【答案】（1）解：设增长率为x，根据题意，得
2(1＋x)2=2.42，
解得x1=-2.1(舍去)，x2=0.1=10%.
答：增长率为10%.
（2）解：2.42×(1+0.1)=2.662(万人次).
答：第四批公益课受益学生将达到2.662万人次.
【解析】【分析】（1） 设增长率为x，根据题意列出方程，解方程求出x的值，再进行检验，即可得出答案；（2）用第三批受益的学生人数×（1+x）列式进行计算，即可得出答案.
24．某商店准备进一批季节性小家电，单价为每个40元，经市场预测，销售定价为每个52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个，定价每减少1元，销售量净增加10个，因受库存的影响，每批次进货个数不超过180个，商店准备获利2000元．
（1）该商店考虑涨价还是降价？请说明理由．
（2）应进货多少个？定价为每个多少元？
【答案】（1）解：考虑涨价，理由如下：
设每个商品的定价为 元，若考虑涨价，则 ＞
则进货为 个．
所以 ，解得 ， ;
当 时，是降价，不合题意，舍去；
当 时， 个＜180个，符合题意；
若考虑降价，则 ＜ 由题意得；
解得： （ 是涨价，不合题意，舍去）
当 时，销售量为： ＞ ，不合题意，
综上：商店准备获利2000元，且每批次进货个数不超过180个，应该考虑涨价．
（2）解：由（1）得：商店若准备获利2000元，且每批次进货个数不超过180个，则定价为60元，应进货100个．
答：商店若准备获利2000元，则定价为60元，应进货100个．
【解析】【分析】（1） 设每个商品的定价为 元 ，根据销售利润=每个的利润×销售量=2000，列出方程，求出x=50或60值，然后分别检验即得结论；
（2） 由（1）得：商店若准备获利2000元，且每批次进货个数不超过180个，则定价为60元，应进货100个．
25．如图，x轴表示一条东西方向的道路，y轴表示一条南北方向的道路，小丽和小明分别从十字路口O点处同时出发，小丽沿着x轴以4千米时的速度由西向东前进，小明沿着y轴以5千米/时的速度由南向北前进．有一颗百年古树位于图中的P点处，古树与x轴、y轴的距离分别是3千米和2千米．
问：
（1）离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等？
（2）离开路口经过多少时间，两人与这颗古树所处的位置恰好在一条直线上？
【答案】（1）解：设离开路口后经过x小时，两人与这棵古树的距离恰好相等．
由题意P（2，3）．A（4x，0），B（0，5x），
∵PA=PB，
∴（2﹣4x）2+32=22+（3﹣5x）2，
解得 或0（舍弃），
答：经过 小时，两人与这棵古树的距离恰好相等．
（2）解：设离开路口经过y小时，两人与这颗古树所处的位置恰好在一条直线上．作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F．
∵B，P，A共线，
∴∠BPE=∠PAF，
∴tan∠BPE=tan∠PAF，
∴
解得： 或0（舍弃），
答：离开路口经过 小时，两人与这颗古树所处的位置恰好在一条直线上.
【解析】【分析】（1）设离开路口后经过x小时，两人与这棵古树的距离恰好相等．由题意得P（2，3）．A（4x，0），B（0，5x），根据PA=PB，根据勾股定理，列出方程求出 即可.（2）设离开路口经过y小时，两人与这颗古树所处的位置恰好在一条直线上．作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F．根据B，P，A共线，得到∠BPE=∠PAF，根据tan∠BPE=tan∠PAF，列出式子求解即可.
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