第2章 一元二次方程 单元检测基础过关卷（含解析）

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第2章 一元二次方程 单元检测基础过关卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．x﹣1＝0 B．x+y＝2 C． D．x2﹣1＝0
2．若x＝1是一元二次方程x2﹣3mx+5＝0的解，则m的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
3．一元二次方程x2﹣5x+3＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
4．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜2且k≠0 B．k≤2 C．k≤2且k≠1 D．k＜2且k≠1
5．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0，此方程可变形为（　　）
A．（x+3）2＝1 B．（x﹣3）2＝17 C．（x+3）2＝17 D．（x﹣3）2＝1
6．一商店销售某种进价为20元/件的商品，当售价为60元时，平均每天可售出20件．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件，若该商店每天要实现1400元的利润，每件需降价多少元？设每件商品降价x元，由题意可列方程（　　）
A．（60﹣x）（20+4x）＝1400 B．（40﹣x）（20+4x）＝1400
C．（60﹣x）（20+2x）＝1400 D．（40﹣x）（20+0.5x）＝1400
7．定义运算：a☆b＝a2﹣ab﹣b，例如：3☆2＝32﹣3×2﹣2＝1，则方程x☆2024＝1的解为（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝2025 B．x1＝﹣1，x2＝﹣2025
C．x1＝1，x2＝2025 D．x1＝1，x2＝﹣2025
8．已知等腰△ABC的一条边长为7．其余两边的边长恰好是方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个根，则m的值是（　　）
A．4 B．4或10 C．2 D．2或4或10
9．关于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正确的是（　　）
①两边同时除以（x﹣1）得x＝3；
②整理得x2﹣4x＝﹣3，∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3，b2﹣4ac＝28，∴；
③整理得x2﹣4x＝﹣3，配方得x2﹣4x+2＝﹣1，∴（x﹣2）2＝﹣1，∴x﹣2＝±1，
∴x1＝1，x2＝3；
④移项得：（x﹣3）（x﹣1）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，∴x1＝1，x2＝3．
A．① B．② C．④ D．③④
10．已知实数m，n（m≠n）满足2m2﹣3m﹣1＝0，2n2﹣3n﹣1＝0，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.
11．若x1和x2是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个的实数根，则x1x2＝ 　 　．
12．已知m为方程x2+3x﹣2023＝0的根，那么m2+3m+1的值为　 　．
13．一元二次方程（2x+3）2＝5（2x+3）的解是　 　．
14．如果关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，那么m的取值范围是　 　．
15．若关于x的一元二次方程mx2﹣4x+1＝0无实数根，则m的取值范围是 　 　．
16．若定义：方程cx2+bx+a＝0是方程ax2+bx+c＝0（a≠c≠0）的“倒方程”．则下列四个结论：
①如果x＝﹣2是x2+2x+c＝0的倒方程的一个解，则．
②一元二次方程ax2+bx+c＝0与它的倒方程有公共解．
③若一元二次方程ax2﹣2x+c＝0无解，则它的倒方程也无解．
④若ac＜0，则ax2+bx+c＝0与它的倒方程都有两个不相等的实数根．
上述结论正确的有 　 　.（填序号即可）
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．解下列一元二次方程：
（1）x2﹣4x+2＝0；
（2）（x﹣3）2﹣2x（x﹣3）＝0．
18．解一元二次方程x2﹣2x＝3时，两位同学的解法如下：
甲同学：x2﹣2x＝3x（x﹣2）＝3x＝1或x﹣2＝3∴x1＝1或x2＝5 乙同学：a＝1，b＝﹣2，c＝3b2﹣4ac＝4﹣12＝﹣8∵b2﹣4ac＜0∴此方程无实数根．
（1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果．
甲同学的解法 　 　，乙同学的解法 　 　.（填“正确”或者“不正确”）
（2）请选择合适的方法解一元二次方程x（x+3）＝4．
19．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若△ABC中，AB＝AC＝2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2＝0的两根，求BC的长．
20．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m﹣3＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2﹣2x1x2＝2m+1，求m的值．
21．如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为30m的篱笆围成．如图，墙长为16m，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x m．请列出方程并解答：
（1）若苗圃园的面积为108m2，求x的值；
（2）苗圃园的面积能达到120m2吗？若能，求出x的值；若不能，说明理由．
22．定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0中的常数项c是该方程的一个根，我们就将该一元二次方程叫做常数根方程．例如，对于一元二次方程x2﹣1＝0，因为x＝﹣1是该方程的一个根，所以该方程是常数根方程．
（1）下列方程是常数根方程的有　 　（填序号）：
①x2﹣2x+1＝0；②x2﹣x﹣6＝0；③x2+2x＝3；
（2）已知关于x的一元二次方程x2+x+m＝0是常数根方程，求m的值．
23．某商场在元旦期间对某款空调进行降价促销活动，已知该款空调每台进价2100元，标价3200元．
（1）该商场举行了摸奖活动，中奖者商场将该冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2592元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调查表明：当每台售价为3100元，平均每天可售出3台，当每台售价每降100元时，平均每天就能多售出3台，若该商场要想使该款空调的销售利润平均每天达到9000元，为了每天的销量最大，则每台空调的定价应为多少元？
24．用配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．例如，①用配方法因式分解：x2+8x﹣9，原式＝x2+8x+16﹣9﹣16＝（x+4）2﹣25＝（x+4﹣5）（x+4+5）＝（x+1）（x﹣9）；②若M＝a2﹣2ab+2b2﹣4b+10，利用配方法求M的最小值：M＝a2﹣2ab+b2+b2﹣4b+4+10﹣4＝（a﹣b）2+（b﹣2）2+6，∵（a﹣b）2≥0，（b﹣2）2≥0，∴当a＝b＝2时，M有最小值6．请根据上述材料解决下列问题：
（1）用配方法分解因式：a2﹣18a﹣175；
（2）若M＝a2﹣8a+10，求M的最小值及a的值；
（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣6b﹣6c+21＝0，求2a+3b﹣c的值．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．x﹣1＝0 B．x+y＝2 C． D．x2﹣1＝0
【点拨】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．
【解析】解：∵x﹣1＝0不是一元二次方程，
故A选项不符合题意；
∵x+y＝2不是一元二次方程，
故B选项不符合题意；
∵不是一元二次方程，
故C选项不符合题意；
∵x2﹣1＝0是一元二次方程，
故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．
2．若x＝1是一元二次方程x2﹣3mx+5＝0的解，则m的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【点拨】根据一元二次方程的解的意义，把x＝1代入原方程得到m的一次方程，然后解一次方程即可．
【解析】解：把x＝1代入x2﹣3mx+5＝0，
得：1﹣3m+5＝0，
解得m＝2．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的解的意义．
3．一元二次方程x2﹣5x+3＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
【点拨】根据一元二次方程根的判别式判定方程根的情况即可．
【解析】解：Δ＝（﹣5）2﹣4×1×3＝25﹣12＝13＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系是解题的关键．
4．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜2且k≠0 B．k≤2 C．k≤2且k≠1 D．k＜2且k≠1
【点拨】根据一元二次方程的定义和根的判别式计算即可．
【解析】解：由题意，得：k﹣1≠0且（﹣2）2﹣4（k﹣1）≥0，
解得：，
∴实数k的取值范围是k≤2且k≠1．
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式．掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式为Δ＝b2﹣4ac，且当Δ＞0时，该方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，该方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，该方程没有实数根是解题关键．
5．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0，此方程可变形为（　　）
A．（x+3）2＝1 B．（x﹣3）2＝17 C．（x+3）2＝17 D．（x﹣3）2＝1
【点拨】根据完全平方公式将方程化成（x+m）2＝n的形式即可．
【解析】解：移项，得x2﹣6x＝﹣8，
配方，得x2﹣6x+32＝﹣8+9，
即（x﹣3）2＝1．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是关键．
6．一商店销售某种进价为20元/件的商品，当售价为60元时，平均每天可售出20件．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件，若该商店每天要实现1400元的利润，每件需降价多少元？设每件商品降价x元，由题意可列方程（　　）
A．（60﹣x）（20+4x）＝1400 B．（40﹣x）（20+4x）＝1400
C．（60﹣x）（20+2x）＝1400 D．（40﹣x）（20+0.5x）＝1400
【点拨】设每件商品降价x元，则每件的利润为（60﹣20﹣x）元，根据总利润＝每件的利润×件数即可得解．
【解析】解：设每件商品降价x元，
由题意可得：（60﹣20﹣x）（20+4x）＝1400，
即（40﹣x）（20+4x）＝1400，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．定义运算：a☆b＝a2﹣ab﹣b，例如：3☆2＝32﹣3×2﹣2＝1，则方程x☆2024＝1的解为（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝2025 B．x1＝﹣1，x2＝﹣2025 C．x1＝1，x2＝2025 D．x1＝1，x2＝﹣2025
【点拨】利用新定义得出方程，再求出方程的解即可．
【解析】解：根据题中的新定义得：x2﹣2024x﹣2024＝1，
∴x2﹣2024x﹣2025＝0，
（x+1）（x﹣2025）＝0，
∴x+1＝0或x﹣2025＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝2025．
故选：A．
【点睛】此题考查了新定义，解一元二次方程﹣因式分解法，弄清题中的新定义是解本题的关键．
8．已知等腰△ABC的一条边长为7．其余两边的边长恰好是方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个根，则m的值是（　　）
A．4 B．4或10 C．2 D．2或4或10
【点拨】分7为等腰三角形的底或腰两种情形，讨论求解即可．
【解析】解：当7为底时，由题意得，Δ＝0，则8m﹣16＝0，
解得m＝2，
此时一元二次方程x2﹣6x+9＝0
解得x＝3，因为3+3＜7，舍去；
当7为腰时，将x＝7代入得49﹣14（m+1）+m2+5＝0，
解得m＝4或m＝10，
当m＝10时，得三边长为7、7、15，因为7+7＜15（舍去），
当m＝4时，算得三边长为3、7、7，可以构成三角形，
故m的值为4．
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是学会利用一元二次方程的根与系数的关系，把问题转化为方程解决．
9．关于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正确的是（　　）
①两边同时除以（x﹣1）得x＝3；
②整理得x2﹣4x＝﹣3，∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3，b2﹣4ac＝28，∴；
③整理得x2﹣4x＝﹣3，配方得x2﹣4x+2＝﹣1，∴（x﹣2）2＝﹣1，∴x﹣2＝±1，
∴x1＝1，x2＝3；
④移项得：（x﹣3）（x﹣1）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，∴x1＝1，x2＝3．
A．① B．② C．④ D．③④
【点拨】根据解一元二次方程的方法逐一判断即可．
【解析】解：A．①不符合解一元二次方程的方法，故①错误；
B．c＝3不是﹣3，故②错误；
C．配方时，等式两边应该加4，故③错误；
D．x（x﹣1）＝3（x﹣1），
x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝1，x2＝3．故④正确．
故选：C．
【点睛】此题考查了解二元一次方程﹣因式分解法，直接开方法，公式法，以及配方法，熟练掌握各自解法是解本题的关键．
10．已知实数m，n（m≠n）满足2m2﹣3m﹣1＝0，2n2﹣3n﹣1＝0，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】判断出m，n是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根，可得m+n＝，mn＝﹣，利用整体代入的思想解决问题即可．
【解析】解：∵实数m，n（m≠n）满足2m2﹣3m﹣1＝0，2n2﹣3n﹣1＝0，
∴m，n是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根，
∴m+n＝，mn＝﹣，
∴+＝＝＝＝﹣．
故选：B．
【点睛】本题考查根与系数关系，分式的化简求值等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．若x1和x2是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个的实数根，则x1x2＝ 　﹣1　．
【点拨】根据一元二次方程根与系数的关系作答即可．
【解析】解：由一元二次方程根与系数的关系可知：x1x2＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若x1，x2是该方程的两个实数根，则．
12．已知m为方程x2+3x﹣2023＝0的根，那么m2+3m+1的值为　2024　．
【点拨】先利用一元二次方程根的定义得到m2+3m＝2023，然后整体代入求值即可．
【解析】解：由条件可知m2+3m﹣2023＝0，
∴m2+3m＝2023，
∴m2+3m+1＝2023+1＝2024．
故答案为：2024．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握该知识点是关键．
13．一元二次方程（2x+3）2＝5（2x+3）的解是　x1＝﹣1.5，x2＝1　．
【点拨】移项后分解因式，即可转化成两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解析】解：（2x+3）2＝5（2x+3），
移项得：（2x+3）2﹣5（2x+3）＝0，
（2x+3）（2x+3﹣5）＝0，
2x+3＝0，2x+3﹣5＝0，
x1＝﹣1.5，x2＝1．
故答案为：x1＝﹣1.5，x2＝1．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
14．如果关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，那么m的取值范围是　m≥﹣2且m≠﹣1　．
【点拨】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m+1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（m+1）×（﹣1）≥0，然后求写出两不等式的公共部分即可．
【解析】解：根据题意得m+1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（m+1）×（﹣1）≥0，
解得m≥﹣2且m≠﹣1．
故答案为m≥﹣2且m≠﹣1．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
15．若关于x的一元二次方程mx2﹣4x+1＝0无实数根，则m的取值范围是 　m＞4　．
【点拨】根据根的判别式的意义得到m≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4m×1＜0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解析】解：根据题意得m≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4m×1＜0，
解得m＞4，
所以m的取值范围为m＞4．
故答案为：m＞4．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
16．若定义：方程cx2+bx+a＝0是方程ax2+bx+c＝0（a≠c≠0）的“倒方程”．则下列四个结论：
①如果x＝﹣2是x2+2x+c＝0的倒方程的一个解，则．
②一元二次方程ax2+bx+c＝0与它的倒方程有公共解．
③若一元二次方程ax2﹣2x+c＝0无解，则它的倒方程也无解．
④若ac＜0，则ax2+bx+c＝0与它的倒方程都有两个不相等的实数根．
上述结论正确的有 　②③④　.（填序号即可）
【点拨】根据倒方程的定义和一元二次方程根的定义对①进行判断；一元二次方程ax2+bx+c＝0与它的倒方程有公共解x＝1，可以判定②正确；利用倒方程的定义和根的判别式的意义对③④进行判断．
【解析】解：①x2+2x+c＝0的倒方程为cx2+2x+1＝0，把x＝﹣2代入方程cx2+2x+1＝0得4c﹣4+1＝0，解得c＝，所以错误；
②一元二次方程ax2+bx+c＝0与它的倒方程有公共解，正确，公共解是x＝1；
③若一元二次方程ax2﹣2x+c＝0无解，则它的倒方程也无解，正确，因为倒方程的判别式的值也小于0，方程没有实数根；
④当ac＜0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，cx2+bx+a＝0也为一元二次方程，此方程的根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，所以这两个方程都有两个不相等的实数根，所以④正确，符合题意；
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，以及根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．解下列一元二次方程：
（1）x2﹣4x+2＝0；
（2）（x﹣3）2﹣2x（x﹣3）＝0．
【点拨】（1）利用配方法解一元二次方程；
（2）利用因式分解法解一元二次方程．
【解析】解：（1）x2﹣4x+2＝0，
x2﹣4x+4＝﹣2+4，
（x﹣2）2＝2，
，
解得：；
（2）（x﹣3）2﹣2x（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3﹣2x）＝0，
（x﹣3）（﹣3﹣x）＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣3．
【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18．解一元二次方程x2﹣2x＝3时，两位同学的解法如下：
甲同学：x2﹣2x＝3x（x﹣2）＝3x＝1或x﹣2＝3∴x1＝1或x2＝5 乙同学：a＝1，b＝﹣2，c＝3b2﹣4ac＝4﹣12＝﹣8∵b2﹣4ac＜0∴此方程无实数根．
（1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果．
甲同学的解法 　不正确　，乙同学的解法 　不正确　.（填“正确”或者“不正确”）
（2）请选择合适的方法解一元二次方程x（x+3）＝4．
【点拨】（1）利用因式分解法解方程可对解法一进行判断；根据公式法可对解法二进行判断；
（2）利用因式分解法把方程转化为（x+4）＝0或（x﹣1）＝0，然后解两个一次方程．
【解析】解：（1）甲同学的解法不正确，乙同学的解法不正确，
故答案为：不正确；不正确．
（2）x（x+3）＝4，
x2+3x﹣4＝0，
（x+4）（x﹣1）＝0，
（x+4）＝0或（x﹣1）＝0，
x1＝﹣4，x2＝1．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是运用恰当的方法进行计算．
19．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若△ABC中，AB＝AC＝2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2＝0的两根，求BC的长．
【点拨】（1）若一元二次方程有实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，即可求出k的取值范围．
（2）由于AB＝2是方程kx2﹣4x+2＝0，所以可以确定k的值，进而再解方程求出BC的值．
【解析】解：（1）∵方程有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×k×2＝16﹣8k≥0，
解得：k≤2，
又因为k是二次项系数，所以k≠0，
所以k的取值范围是k≤2且k≠0．
（2）由于AB＝2是方程kx2﹣4x+2＝0，
所以把x＝2代入方程，可得k＝，
所以原方程是：3x2﹣8x+4＝0，
解得：x1＝2，x2＝，
所以BC的值是．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的应用，容易出现的错误是忽视根的判别式应用的前提条件：二次项系数k≠0．
20．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m﹣3＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2﹣2x1x2＝2m+1，求m的值．
【点拨】（1）直接根据根的判别式证明即可；
（2）先根据根与系数的关系求出x1+x2，x1x2的值，再代入x1+x2﹣2x1x2＝2m+1求解即可．
【解析】（1）证明：Δ＝（m+3）2﹣4×1 （m﹣3）
＝m2+2m+21
＝（m+1）2+20
∵（m+1）2≥0，
∴（m+1）2+20＞0恒成立，
故无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：，，
代入x1+x2﹣2x1x2＝2m+1可得：﹣m﹣3﹣2（m﹣3）＝2m+1，
解得．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元一次方程，熟练掌握根的判别式和根与系数的关系是解题的关键．
21．如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为30m的篱笆围成．如图，墙长为16m，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x m．请列出方程并解答：
（1）若苗圃园的面积为108m2，求x的值；
（2）苗圃园的面积能达到120m2吗？若能，求出x的值；若不能，说明理由．
【点拨】（1）根据苗圃园的面积为108m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合墙长为16m，即可确定结论；
（2）假设苗圃园的面积能达到120m2，根据苗圃园的面积为120m2，可列出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣15＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即苗圃园的面积不能达到120m2．
【解析】解：（1）根据题意得：x（30﹣2x）＝108，
整理得：x2﹣15x+54＝0，
解得：x1＝6，x2＝9，
当x＝6时，30﹣2x＝30﹣2×6＝18＞16，不符合题意，舍去；
当x＝9时，30﹣2x＝30﹣2×9＝12＜16，符合题意．
答：x的值为6；
（2）苗圃园的面积不能达到120m2，理由如下：
假设苗圃园的面积能达到120m2，
根据题意得：x（30﹣2x）＝120，
整理得：x2﹣15x+60＝0，
∵Δ＝（﹣15）2﹣4×1×60＝﹣15＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即苗圃园的面积不能达到120m2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0中的常数项c是该方程的一个根，我们就将该一元二次方程叫做常数根方程．例如，对于一元二次方程x2﹣1＝0，因为x＝﹣1是该方程的一个根，所以该方程是常数根方程．
（1）下列方程是常数根方程的有　①③　（填序号）：
①x2﹣2x+1＝0；②x2﹣x﹣6＝0；③x2+2x＝3；
（2）已知关于x的一元二次方程x2+x+m＝0是常数根方程，求m的值．
【点拨】（1）将各方程的常数项分别代入方程，验证是否是方程的根，即可判定方程是否为常数根方程；
（2）根据常数根方程的定义将x＝m，代入方程得m2+2m＝0，解方程即可得出m的值．
【解析】解：（1）①将x＝1代入x2﹣2x+1＝0得0＝0，
故x2﹣2x+1＝0是常数根方程；
②将x＝﹣6代入x2﹣x﹣6＝0得36＝0不成立，
故x2﹣x﹣6＝0不是常数根方程；
③将x＝﹣3代入x2+2x＝3得3＝3，
故x2+2x＝3是常数根方程；
故答案为：①③；
（2）由条件可知：方程的一个根为x＝m，代入方程得m2+2m＝0，解得m＝0或m＝﹣2，
即m的值为：0或﹣2．
【点睛】本题考查一元二次方程与新定义常数根方程、解一元二次方程．熟练掌握以上知识点是关键．
23．某商场在元旦期间对某款空调进行降价促销活动，已知该款空调每台进价2100元，标价3200元．
（1）该商场举行了摸奖活动，中奖者商场将该冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2592元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调查表明：当每台售价为3100元，平均每天可售出3台，当每台售价每降100元时，平均每天就能多售出3台，若该商场要想使该款空调的销售利润平均每天达到9000元，为了每天的销量最大，则每台空调的定价应为多少元？
【点拨】（1）设每次降价的百分率为x，根据题意列方程求解即可；
（2）设每台空调的降价应为y元，根据题意列方程求解即可．
【解析】解：（1）已知该款空调标价3200元，连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2592元售出，设每次降价的百分率为x，
由题意得：3200（1﹣x）2＝2592，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去），
答：每次降价的百分率为10%；
（2）设每台空调的降价应为y元，由题意得：
，
化简得：y2﹣900y+200000＝0，
解得：y1＝400，y2＝500，
∵为了每天的销量最大，
∴y＝500，
∴每台空调的定价为：3100﹣500＝2600（元），
答：每台空调的定价应为2600元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
24．用配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．例如，①用配方法因式分解：x2+8x﹣9，原式＝x2+8x+16﹣9﹣16＝（x+4）2﹣25＝（x+4﹣5）（x+4+5）＝（x+1）（x﹣9）；②若M＝a2﹣2ab+2b2﹣4b+10，利用配方法求M的最小值：M＝a2﹣2ab+b2+b2﹣4b+4+10﹣4＝（a﹣b）2+（b﹣2）2+6，∵（a﹣b）2≥0，（b﹣2）2≥0，∴当a＝b＝2时，M有最小值6．请根据上述材料解决下列问题：
（1）用配方法分解因式：a2﹣18a﹣175；
（2）若M＝a2﹣8a+10，求M的最小值及a的值；
（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣6b﹣6c+21＝0，求2a+3b﹣c的值．
【点拨】（1）a2﹣18a﹣175＝a2﹣18a+81﹣256＝（a﹣9）2﹣162＝（a﹣9+16）（a﹣9﹣16）＝（a+7）（a﹣25），即可求解；
（2）M＝a2﹣8a+10＝M＝a2﹣8a+16﹣6＝（a﹣4）2﹣6≤﹣6，即可求解；
（3）由a2+b2+c2﹣ab﹣6b﹣6c+21＝0得到（a﹣b）2+（b﹣4）2+（c﹣3）2＝0，即可求解．
【解析】解：（1）a2﹣18a﹣175＝a2﹣18a+81﹣256＝（a﹣9）2﹣162＝（a﹣9+16）（a﹣9﹣16）＝（a+7）（a﹣25）；
（2）M＝a2﹣8a+10＝M＝a2﹣8a+16﹣6＝（a﹣4）2﹣6≤﹣6，
故M的最小值为﹣6，此时，a＝4；
（3）∵a2+b2+c2﹣ab﹣6b﹣6c+21＝0，
即（a﹣b）2+（b﹣4）2+（c﹣3）2＝0，
则a＝b，b＝4，c＝3，
则a＝2，
即2a+3b﹣c＝4+12﹣3＝13．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，等边三角形的判定，正确理解题意并掌握配方法是解题的关键．
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