第2章 一元二次方程 单元检测能力提升卷（含解析）

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第2章 一元二次方程 单元检测能力提升卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．关于x的方程（m﹣2）x2+3x+n＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　）
A．m≠2 B．m＞2 C．m＜2 D．0＜m＜2
2．已知一元二次方程的两根是x1＝﹣2，x2＝3，则这个方程可以是（　　）
A．（x﹣2）（x+3）＝0 B．（x+2）（x+3）＝0 C．（x+2）（x﹣3）＝0 D．（x﹣2）（x﹣3）＝0
3．用因式分解法解下列方程，正确的是（　　）
A．（x+3）（x﹣1）＝1，则x+3＝1或x﹣1＝1
B．（2x﹣2）（3x﹣4）＝0，则2x﹣2＝0或3x﹣4＝0
C．（x﹣2）（x﹣3）＝2×3，则x﹣2＝2或x﹣3＝3
D．x（x+2）＝0，则x+2＝0
4．若关于x的方程x2﹣6x+m＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＞9 B．m＞﹣9 C．m＜9 D．m＜﹣9
5．设a，b是方程x2+x﹣2024＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
6．用配方法解方程4x2﹣2x﹣1＝0时，配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣）2＝ B．（x﹣）2＝ C．（x﹣）2＝ D．（x﹣）2＝
7．某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入49万元，设五月份和六月份该社区绿化投入的月平均增长率为x，根据题意所列方程为（　　）
A．25（1+x）+25（1+2x）＝49 B．25（1+x）2＝49
C．25（1﹣x）2＝49 D．25+25（1+x）+25（1+x）2＝49
8．嘉嘉和淇淇在解一道一元二次方程时，嘉嘉在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为﹣7和﹣2，淇淇在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为3和6，则原来的方程是（　　）
A．x2﹣9x+18＝0 B．x2+9x+18＝0 C．x2+5x+18＝0 D．x2﹣9x+14＝0
9．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修同样宽的小路（阴影部分），余下的部分种上草，要使草坪的面积为540m2，求小路的宽，若设小路的宽为x m，则根据题意所列方程正确的是（　　）
A．（20+x）（32+x）＝540 B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540
C．（20﹣x）（32﹣x）＝540 D．32×20﹣32x﹣20x＝540
10．对于两个代数式，记M＝3x，N＝1，以下说法正确的个数是（　　）
①若M2﹣N2﹣MN＝11，则x＝﹣1；
②若关于x的方程x2+M+N＝0的解为p和q，则p2﹣q2﹣pq的值为；
③若关于x的方程有两个不相等的实数根，则．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 　 　．
12．关于x的方程（a﹣3）x2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 　 　．
13．已知方程x2+3x﹣1＝0的两个根是x1，x2，则（1﹣x1）（1﹣x2）＝ 　 　．
14．数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少　 　人？”
15．已知（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝6，则a2+b2的值为　 　．
16．若关于x的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，且关于y的一元二次方程（a﹣1）y2+4y﹣2＝0有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是　 　．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．（1）用配方法解方程：x2﹣4x﹣3＝0．
（2）用公式法解方程：3x2+8x﹣4＝0．
18．在实数范围内定义运算“※”：a※b＝2（a﹣b）2﹣3，例如：3※2＝2×（3﹣2）2﹣3＝﹣1．
（1）若a＝5，b＝﹣3，计算a※b的立方根；
（2）若2※x＝15，求x的值．
19．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）设x1，x2是方程的两个根且，求m的值．
29．如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题．
（1）若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数．
（2）虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由．
21．定义新运算“ ”：对于实数m，n，p，q．有[m，p] [q，n]＝mn+pq，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如：[4，5] [2，6]＝4×6+5×2＝34．
（1）求关于x的方程[x2，x﹣1] [3，2]＝0的根；
（2）若关于x的方程[x2+1，x] [1﹣2k，k]＝0有两个实数根，求k的取值范围．
22．某水果店出售A、B两种水果，现有如下信息：
①两种水果的进货单价之和是12元；
②A水果的销售单价比进货单价多3元，B水果的销售单价比进货单价的2倍少3元；
③小明在该水果店购买4斤A水果和5斤B水果，共付了75元．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求两种水果的进货单价分别为多少元？
（2）该水果店平均每天可卖出A水果60斤和B水果80斤．由于A水果的保质期较短，水果店老板为加快销售速度，打算将A水果的销售单价降低m元，B水果的销售单价和销量保持不变．经调查发现：A水果的销售单价每降0.1元，A水果每天多卖4斤．在不考虑其他因素的条件下，当m为多少时，水果店每天出售A、B两种水果可获利340元？
23．阅读下列材料：
解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+6＝0，
解：设x2﹣1＝y，则原方程化为y2﹣5y+6＝0，
解得y1＝2，y2＝3．
当y＝2时，x2﹣1＝2，解得：；
当y＝3时，x2﹣1＝3，解得x＝±2．
∴原方程的解为：，，x3＝2，x4＝﹣2．
以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想．
（1）请用上述方法解下列方程：（2x﹣5）2﹣4（2x﹣5）+3＝0；
（2）已知实数x，y满足（x2+y2+3）2﹣7x2﹣7y2﹣21＝8，求x2+y2的值．
24．综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板做收纳盒．
【任务要求】
任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1．
任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分．如图2．
【问题解决】
（1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为1600cm2，剪去的小正方形的边长为多少cm？
（2）若任务二中设计的该收纳盒的底面积为608cm2．
①该收纳盒的高是多少cm2？
②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．关于x的方程（m﹣2）x2+3x+n＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　）
A．m≠2 B．m＞2 C．m＜2 D．0＜m＜2
【点拨】根据二次项系数不等于0解答即可．
【解析】解：∵方程（m﹣2）x2+3x+n＝0是一元二次方程，
∴m﹣2≠0，
解得m≠2．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握二次项系数不等于0是解题的关键．
2．已知一元二次方程的两根是x1＝﹣2，x2＝3，则这个方程可以是（　　）
A．（x﹣2）（x+3）＝0 B．（x+2）（x+3）＝0 C．（x+2）（x﹣3）＝0 D．（x﹣2）（x﹣3）＝0
【点拨】由﹣2与3列出算式，即可得到所求方程．
【解析】解：一元二次方程的两根是x1＝﹣2，x2＝3，则这个方程可以是（x+2）（x﹣3）＝0，
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
3．用因式分解法解下列方程，正确的是（　　）
A．（x+3）（x﹣1）＝1，则x+3＝1或x﹣1＝1
B．（2x﹣2）（3x﹣4）＝0，则2x﹣2＝0或3x﹣4＝0
C．（x﹣2）（x﹣3）＝2×3，则x﹣2＝2或x﹣3＝3
D．x（x+2）＝0，则x+2＝0
【点拨】根据因式分解法解一元二次方程的步骤逐一判断即可．
【解析】解：A．（x+3）（x﹣1）＝1，右边不是0，无法得出x+3＝0或x﹣1＝1，此选项错误，不符合题意；
B．（2x﹣2）（3x﹣4）＝0，则2x﹣2＝0或3x﹣4＝0，此选项正确，符合题意；
C．（x﹣2）（x﹣3）＝2×3，不一定是x﹣2＝2或x﹣3＝3，此选项错误，不符合题意；
D．x（x+2）＝0，则x＝0或x+2＝0，此选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
4．若关于x的方程x2﹣6x+m＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＞9 B．m＞﹣9 C．m＜9 D．m＜﹣9
【点拨】对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程无实数根．根据根的判别式列出不等式，解不等式即可．
【解析】解：由条件可知：Δ＝（﹣6）2﹣4×1 m＜0，
∴m＞9．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＜0，得出关于m的一元一次不等式，并解不等式得出m的取值范围是解题的关键．
5．设a，b是方程x2+x﹣2024＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【点拨】先利用一元二次方程解的定义得到a2+a＝2024，再根据根与系数的关系得到a+b＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
【解析】解：∵a是方程x2+x﹣2 0 2 4＝0的实数根，
∴a2+a﹣2024＝0，
∴a2+a＝2024，
∵a，b是方程x2+x﹣2 0 2 4＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，
∴a2+2a+b＝a2+a+a+b＝2024+（﹣1）＝2023．
故选：B．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则，．也考查了一元二次方程的根．
6．用配方法解方程4x2﹣2x﹣1＝0时，配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣）2＝ B．（x﹣）2＝ C．（x﹣）2＝ D．（x﹣）2＝
【点拨】根据配方法的方法可以对题目中的方程配方，从而可以解答本题．
【解析】解：4x2﹣2x﹣1＝0，
x2﹣x＝，
x2﹣x+（）2＝+（）2，
（x﹣）2＝．
故选：D．
【点睛】本题考查解一元二次方程﹣配方法，解题的关键是明确配方法，会用配方法对方程进行变形．
7．某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入49万元，设五月份和六月份该社区绿化投入的月平均增长率为x，根据题意所列方程为（　　）
A．25（1+x）+25（1+2x）＝49 B．25（1+x）2＝49
C．25（1﹣x）2＝49 D．25+25（1+x）+25（1+x）2＝49
【点拨】根据增长率公式列出方程即可．
【解析】解：根据题意得：25（1+x）2＝49．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．嘉嘉和淇淇在解一道一元二次方程时，嘉嘉在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为﹣7和﹣2，淇淇在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为3和6，则原来的方程是（　　）
A．x2﹣9x+18＝0 B．x2+9x+18＝0 C．x2+5x+18＝0 D．x2﹣9x+14＝0
【点拨】根据嘉嘉及琪琪的计算结果，可求出b，c的值（a＝1的情况下），进而可找出原方程为x2+9x+18＝0．
【解析】解：由条件可知两根之和﹣（﹣7﹣2）＝9，
∴当a＝1时，b＝9；
由条件可知两根之积＝3×6＝18，
∴当a＝1时，c＝18，
∴正确的方程是x2+9x+18＝0．
故选：B．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键．
9．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修同样宽的小路（阴影部分），余下的部分种上草，要使草坪的面积为540m2，求小路的宽，若设小路的宽为x m，则根据题意所列方程正确的是（　　）
A．（20+x）（32+x）＝540 B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540
C．（20﹣x）（32﹣x）＝540 D．32×20﹣32x﹣20x＝540
【点拨】利用平移可把草坪把为一个长为（32﹣x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，从而根据题中的等量关系即可得出方程．
【解析】解：如图所示，利用平移，原图可转化为：
设小路宽为x米，则有（20﹣x）（32﹣x）＝540，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，利用平移把草坪变为矩形是本题的关键．
10．对于两个代数式，记M＝3x，N＝1，以下说法正确的个数是（　　）
①若M2﹣N2﹣MN＝11，则x＝﹣1；
②若关于x的方程x2+M+N＝0的解为p和q，则p2﹣q2﹣pq的值为；
③若关于x的方程有两个不相等的实数根，则．
A．0 B．1 C．2 D．3
【点拨】分别对三个说法进行分析判断，通过代入代数式，利用方程的性质、根的判别式等知识来判断其正确性．
【解析】解：判断说法①，已知M＝3x，N＝1，将其代入M2﹣N2﹣MN＝11，
可得：（3x）2﹣12﹣3x×1＝11，
即9x2﹣3x﹣1﹣11＝0，
整理得9x2﹣3x﹣12＝0，
两边同时除以3得到3x2﹣x﹣4＝0．
因式分解为（3x﹣4）（x+1）＝0，
则3x﹣4＝ 0或x+1＝0，
解得或x＝﹣1，
所以说法①错误．
判断说法②方程x2+M+N＝0即x2+3x+1＝0，
由韦达定理可知，若P，q是方程x2+3x+1＝ O的解，
则p+q＝﹣3，pq＝1．p2﹣q2﹣pq＝（p+q）（p﹣q）﹣pq，
先求（p﹣q）2＝（p+q）2﹣4pq＝（﹣3）2﹣4×1＝9﹣4＝5，
所．
时，
（p+q）（p﹣q）﹣pq＝﹣3×，
当时，
＝ ，
所以入p2﹣q2﹣pq的值为 1），说法②错误．
判断说法③方程化为|﹣1﹣2|＝x+m，也就是|x2﹣3|＝x+m．
当x2﹣3≥0，即或时，
方程为x2﹣x﹣3﹣m＝0 因为方程有两个不相等的实数根，
所以判别式Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3﹣m）＝1+12+4m＝13+4m＞0，
解得．
当x2﹣3＜0，
即时，方程为﹣x2+x+3﹣m＝0，
即x2﹣x﹣3+m＝ 0．因为方程有两个不相等的实数根，
所以判别式Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3+m）＝1+12﹣4m＝13﹣4m＞0，
解得．综合起来，要使原方程有两个不相等的实数根，m的取值范围比较复杂，并非 说法③错误．
故选：A．
【点睛】本题考查根与系数的关系、非负数的性质、一元二次方程的解、根的判别式，解题的关键是掌握相关值得灵活运用．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 　﹣2　．
【点拨】判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．根据一元二次方程的定义解答即可．
【解析】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，
解得m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是关键．
12．关于x的方程（a﹣3）x2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 　a＞﹣1且a≠3　．
【点拨】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到a﹣3≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4（a﹣3）×（﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解析】解：根据题意得a﹣3≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4（a﹣3）×（﹣1）＞0，
解得a＞﹣1且a≠3．
故答案为：a＞﹣1且a≠3．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
13．已知方程x2+3x﹣1＝0的两个根是x1，x2，则（1﹣x1）（1﹣x2）＝ 　3　．
【点拨】先根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2＝﹣3，x1 x2＝﹣1，再将（1﹣x1）（1﹣x2）根据多项式乘多项式的运算法则展开，然后将值代入计算即可得出答案．
【解析】解：由根与系数的关系可知：x1+x2＝﹣3，x1 x2＝﹣1，
（1﹣x1）（1﹣x2）
＝1﹣x1﹣x2+x1 x2
＝1﹣（﹣3）+（﹣1）
＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，若x1，x2是方程ax2+bx+c＝0的两个根，则，．
14．数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少　19　人？”
【点拨】设这群人共有x人，则共摘了个石榴，根据“如果平均分配，每个人可以得到10个石榴”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解析】解：设这群人共有x人，则共摘了个石榴，
根据题意得：＝10x，
整理得：x2﹣19x＝0，
解得：x1＝0（不符合题意，舍去），x2＝19，
∴这群人共有19人．
故答案为：19．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．已知（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝6，则a2+b2的值为　3　．
【点拨】把a2+b2看作一个整体，设a2+b2＝y，利用换元法得到新方程y2﹣y﹣6＝0，求解即可．
【解析】解：设a2+b2＝y，
据题意得y2﹣y﹣6＝0，
解得y1＝3，y2＝﹣2，
∵a2+b2≥0，
∴a2+b2＝3．
故答案为3．
【点睛】本题考查了用换元法解一元二次方程，以及学生的综合应用能力，解题时要注意换元法的应用，还要注意a2+b2的取值是非负数．
16．若关于x的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，且关于y的一元二次方程（a﹣1）y2+4y﹣2＝0有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是　8　．
【点拨】根据关于x的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，可以求得a的取值范围，再根据关于y的一元二次方程（a﹣1）y2﹣4y﹣2＝0始终有实数根，进一步得到a的取值范围，从而可以写出满足条件的a的整数值，然后相加即可．
【解析】解：不等式整理得，
∵关于x的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，
∴0＜≤1
解得﹣4＜a≤4，
∵关于y的一元二次方程（a﹣1）y2﹣4y﹣2＝0始终有实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4（a﹣1）（﹣2）≥0，
解得a≥﹣1，
∴﹣1≤a≤4，
∵（a﹣1）y2+4y﹣2＝0，
∴a≠1
∴整数a的值是﹣1，0，2，3，4，
∴所有满足条件的整数a的值之和是：（﹣1）+2+3+4＝8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，求出a的取值范围．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．（1）用配方法解方程：x2﹣4x﹣3＝0．
（2）用公式法解方程：3x2+8x﹣4＝0．
【点拨】（1）利用配方法进行解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【解析】解：（1）x2﹣4x﹣3＝0，
x2﹣4x＝3．
x2﹣4x+22＝3+22，
（x﹣2）2＝7，
∴．
∴；
（2）3x2+8x﹣4＝0，
∵a＝3，b＝8，c＝﹣4．
∴Δ＝b2﹣4ac＝82+4×3×4＝112＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
＝．
即．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练运用不同的方法解一元二次方程是解题的关键．
18．在实数范围内定义运算“※”：a※b＝2（a﹣b）2﹣3，例如：3※2＝2×（3﹣2）2﹣3＝﹣1．
（1）若a＝5，b＝﹣3，计算a※b的立方根；
（2）若2※x＝15，求x的值．
【点拨】（1）根据新定义运算法则先计算a※b的值，然后再求其立方根即可；
（2）根据新定义运算法则列出方程2（2﹣x）2﹣3＝15，然后根据直接开平方法解方程即可．
【解析】解：（1）∵a＝5，b＝﹣3，
∴a※b＝5※（﹣3）＝2×[5﹣（﹣3）]2﹣3＝2×82﹣3＝2×64﹣3＝125，
∵125的立方根是5，
∴a※b的立方根是5；
（2）∵2※x＝15，
∴2（2﹣x）2﹣3＝15，
∴2（2﹣x）2＝18，
∴（2﹣x）2＝9，
∴2﹣x＝±3，
∴x＝﹣1或x＝5．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，实数的运算，理解新定义运算法则是解题的关键．
19．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）设x1，x2是方程的两个根且，求m的值．
【点拨】（1）根据题意可得Δ＞0，再代入相应数值解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣1，代入所求的式子可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值．
【解析】解：（1）根据题意得Δ＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0，
解得m＞﹣，
故m的取值范围是m＞﹣；
（2）x+x+x1x2﹣6＝（x1+x2）2﹣x1x2﹣6＝（2m+1）2﹣（m2﹣1）﹣6＝0，
解得m1＝，m2＝﹣2，
∵m＞﹣，
∴m的值为．
【点睛】本题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系．
20．如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题．
（1）若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数．
（2）虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由．
【点拨】（1）设最小数是x，则最大数是（x+8），根据“最大数与最小数的乘积为180”，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可；
（2）设最小数为y，则另外三个数分别是y+1，y+7，y+8，根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和为80，列出一元二次方程，解之可得出y的值，即可解决问题．
【解析】解：（1）设最小数为x，则最大数为x+8，
由题意得：（x+8）x＝180，
整理得：x2+8x﹣180＝0，
解得x＝﹣18或10，
当x＝﹣18时，不符合题意，舍去，
从日历表中可以看出10是第二行第6个数，符合要求，
所以最小数为10，
答：最小数为10；
（2）方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由如下：
设最小数为y，则另外三个数分别是y+1，y+7，y+8，
由题意得：y（y+8）+y+（y+1）+（y+7）+（y+8）＝80，
整理得：y2+12y﹣64＝0，
解得y＝﹣16或4，
当y＝﹣16时，不符合题意，舍去，
∵y＝4在最后一列，
∴假设不成立，
即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．定义新运算“ ”：对于实数m，n，p，q．有[m，p] [q，n]＝mn+pq，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如：[4，5] [2，6]＝4×6+5×2＝34．
（1）求关于x的方程[x2，x﹣1] [3，2]＝0的根；
（2）若关于x的方程[x2+1，x] [1﹣2k，k]＝0有两个实数根，求k的取值范围．
【点拨】（1）由新定义的运算，可得到关于x的一元二次方程，解方程即可．
（2）由新定义的运算，可得到关于x的一元二次方程，再利用根的判别式进行求解即可．
【解析】解：（1）∵[x2，x﹣1] [3，2]＝0，
∴2x2+3（x﹣1）＝0，
∴2x2+3x﹣3＝0，
∴Δ＝32﹣4×2×（﹣3）＝33＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）∵[x2+1，x] [1﹣2k，k]＝0，
∴（x2+1）k+x（1﹣2k）＝0，
整理得：kx2+（1﹣2k）x+k＝0，
∵方程有两个实数根，
∴Δ＝（1﹣2k）2﹣4k k≥0，k≠0，
解得：k≤且k≠0．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．把有新定义运算的方程化为一元二次方程的一般式是解决问题的关键．
22．某水果店出售A、B两种水果，现有如下信息：
①两种水果的进货单价之和是12元；
②A水果的销售单价比进货单价多3元，B水果的销售单价比进货单价的2倍少3元；
③小明在该水果店购买4斤A水果和5斤B水果，共付了75元．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求两种水果的进货单价分别为多少元？
（2）该水果店平均每天可卖出A水果60斤和B水果80斤．由于A水果的保质期较短，水果店老板为加快销售速度，打算将A水果的销售单价降低m元，B水果的销售单价和销量保持不变．经调查发现：A水果的销售单价每降0.1元，A水果每天多卖4斤．在不考虑其他因素的条件下，当m为多少时，水果店每天出售A、B两种水果可获利340元？
【点拨】（1）设A水果的进货单价为x元，B水果的进货单价为y元，利用总价＝单价×数量，结合“两种水果的进货单价之和是12元，且小明在该水果店购买4斤A水果和5斤B水果，共付了75元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总利润＝每斤A水果的销售利润×日销售量+每斤B水果的销售利润×日销售量，可列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解析】解：（1）设A水果的进货单价为x元，B水果的进货单价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A水果的进货单价为7元，B水果的进货单价为5元；
（2）根据题意得：（3﹣m）（60+×4）+（5﹣3）×80＝340，
整理得：2m2﹣3m＝0，
解得：m1＝0（不符合题意，舍去），m2＝1.5．
答：当m为1.5时，水果店每天出售A、B两种水果可获利340元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．阅读下列材料：
解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+6＝0，
解：设x2﹣1＝y，则原方程化为y2﹣5y+6＝0，
解得y1＝2，y2＝3．
当y＝2时，x2﹣1＝2，解得：；
当y＝3时，x2﹣1＝3，解得x＝±2．
∴原方程的解为：，，x3＝2，x4＝﹣2．
以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想．
（1）请用上述方法解下列方程：（2x﹣5）2﹣4（2x﹣5）+3＝0；
（2）已知实数x，y满足（x2+y2+3）2﹣7x2﹣7y2﹣21＝8，求x2+y2的值．
【点拨】（1）设2x﹣5＝a，则原方程可化为a2﹣4a+3＝0，利用因式分解法求出未知数a的值，从而把一元二次方程转化为两个一元一次主程，通过解一元一次方程求出原方程的解；
（2）设x2+y2＝b，则原方程化为（b+3）2﹣7b﹣21＝8，通过解一元二次方程求出b的值，即可得到x2+y2的值，根据平方的非负性把不符合条件的解舍去．
【解析】解：（1）设2x﹣5＝a，则原方程可化为a2﹣4a+3＝0，
分解因式可得：（a﹣1）（a﹣3）＝0，
解得：a1＝1，a2＝3，
当a＝1时，可得：2x﹣5＝1，
解得：x＝3，
当a＝3时，可得：2x﹣5＝3，
解得：x＝4，
∴原方程的解为x1＝3，x2＝4；
（2）原方程整理得：（x2+y2+3）2﹣7（x2+y2）﹣21＝8，
设x2+y2＝b，
则原方程化为（b+3）2﹣7b﹣21＝8，
整理得：b2﹣b﹣20＝0，
分解因式可得：（b﹣5）（b+4）＝0，
解得：b1＝5，b2＝﹣4，
当b＝5时，x2+y2＝5，
当b＝﹣4时，x2+y2＝﹣4（不符合题意，舍去），
∴x2+y2＝5．
【点睛】本题主要考查了运用换元法解方程．解决本题的关键是读懂阅读材料中的解题思路，通过换元的方法降低方程的次数，从而达到简化方程的目的，使解方程更容易．
24．综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板做收纳盒．
【任务要求】
任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1．
任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分．如图2．
【问题解决】
（1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为1600cm2，剪去的小正方形的边长为多少cm？
（2）若任务二中设计的该收纳盒的底面积为608cm2．
①该收纳盒的高是多少cm2？
②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由．
【点拨】（1）设剪去的小正方形的边长为x厘米，则底面的长为（100﹣2x）厘米，宽为（40﹣2x）厘米，根据面积的计算公式列式即可求解；
（2）根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米，结合图示分析可得收纳盒底面的长、宽，根据收纳盒的底面积为608cm2列式可得a＝12，
②根据该收纳盒的高与玩具机械狗的尺寸比较即可求解．
【解析】解：（1）设剪去的小正方形的边长为x厘米，由题意得：
（100﹣2x）（40﹣2x）＝1600，
解得：x1＝10，x2＝60（不符合题意，舍去），
答：剪去的小正方形的边长为10cm
（2）①根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米，则收纳盒底面的长为（厘米），宽为（40﹣2a）厘米，
∴（50﹣a）（40﹣2a）＝608，
解得：a＝12，a2＝58＞50（不符合题意，舍去），
∴收纳盒的高为12厘米，
②∵12＜15，
∴不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒．
【点睛】本题主要考查用一元二次方程的运用，理解题意是关键．
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