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一元二次方程 真题汇编培优卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．将方程改写成的形式，则a，b，c的值分别为（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
3．用配方法解方程方程应变形为（ ）
A． B．
C． D．（x－1）2＝1
4．若m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．2024 B． C．2023 D．
5．如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A． B． 且
C． D． 且
6．若方程满足，则方程必有一个实数根为（ ）
A．-1 B．0 C．2 D．4
7．用长为28米的铝材制成一个矩形窗框，使它面积为25平方米．若设它的一边长为x米，根据题意列出关于x的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8． 据某数据平台统计显示，荣公司快递业务逐年增长，2019年快递业务收入800万元，至2021年末，三年业务收入共计3200万元，设该公司2019年至2021年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知一元二次方程x2+2x-1=0的两实数根为x1、x2，则x1x2的值为（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
10．某个市2016年旅游收入2亿元，2018年旅游收入2.88亿元，则该市2017年、2018年旅游收入的年平均增长率为（ ）
A．2%， B．4.4%， C．20%， D．44%，
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．一元二次方程 的解是 .
12．若关于x的方程. 的一个根是3，则m-n的值为 .
13．设 与 为一元二次方程 的两个实数根， 则 .
14．已知等腰三角形的每条边长都是一元二次方程 的根，则这个三角形的周长为 ；
15．若关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值是
16．如图，在宽为25m，长为40m的长方形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干块，作为小麦试验田，假设试验田面积为912m2，求道路的宽为多少？设道路的宽为xm，可列出的方程是 .（化为一般形式）
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x+a2-a-2=0有两个不相等的实数根，．
（1）若a为正整数，求a的值；
（2）若，满足，求a的值.
18．已知代数式．
（1）当为何值时，代数式比的值大2；
（2）求证：对于任意的值，代数式的值恒为正数．
19．某商店销售一种商品，每件的进价为20元.根据市场调查，当售价不低于30元/件时，这种商品销售量（件）与售价（元/件）之间的函数关系的部分图象如图所示.
（1）求关于的函数解析式；（不要写自变量取值范围）
（2）商店销售这种商品是否能获得1080元利润？如果可以，求出该商品销售单价；如果不行，请说明理由.
20．已知关于x的一元二次方程．
（1）当时，请求出方程的解；
（2）试说明方程总有两个实数根．
21．今年大德福超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
（1）求四、五这两个月的月平均增长率．
（2）从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？
22．如图，某学校有一块长，宽的长方形空地，计划在其中修建三块相同的长方形绿地，三块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道.
（1）若设计人行通道的宽度为，则三块长方形绿地的面积共多少平方米
（2）若三块长方形绿地的面积共，求人行通道的宽度．
23．已知m，n是方程
的两个实数根，求下列代数式的值.
（1） ；
（2） .
24．某商业街有店面房共195间，2016年平均每间店面房的年租金为10万元，由于物价上涨，到2018年平均每间店面房的年租金上涨到了12.1万元，据预测，当每间的年租金定为12.1万元时，可全部租出；若每间的年租金每增加1万元，就要少租出10间．该商业街管委会要为租出的商铺每间每年交各种费用1.1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元．
（1）求2016年至2018年平均每间店面房年租金的平均增长率；
（2）当每间店面房的年租金上涨多少万元时，该商业街的年收益（收益租金各种费用）为2305万元？
25．若关于x的一元二次方程x2﹣2（2﹣k）x+k2+12=0有实数根α、β．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设 ，求t的最小值．
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一元二次方程 真题汇编培优卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、，是一元一次方程，故A不符合题意；
、，是一元二次方程，故B符合题意；
、是常数，是一元二次方程，故C不符合题意；
、是分式方程，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程的定义“含有一个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程”并结合各选项即可判断求解.
2．将方程改写成的形式，则a，b，c的值分别为（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】C
【解析】【解答】解：可化为，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为，，，
故答案为：C.
【分析】将原方程移项并按降幂排列可得2x2-4x+7=0，则a、b、c的值可求解.
3．用配方法解方程方程应变形为（ ）
A． B．
C． D．（x－1）2＝1
【答案】B
【解析】【解答】解：∵x2-4x-1=0，
即x2-4x=1，
∴x2-4x+4=1+4，
故（x-2）2=5；
故答案为：B.
【分析】将常数项移到方程的右边后，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得求解.
4．若m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．2024 B． C．2023 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵m是一元二次方程的一个根，
∴m2+5m-2024=0，
则m2+5m=2024；
故答案为：A.
【分析】根据能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解得到m2+5m-2024=0，即可求解.
5．如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A． B． 且
C． D． 且
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意知，k≠0，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
即．
解得：k＞，
∴k＞且k≠0．
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根条件：二次项系数不为零、根的判别式，列式计算即可.
6．若方程满足，则方程必有一个实数根为（ ）
A．-1 B．0 C．2 D．4
【答案】A
【解析】【解答】解：当则
∴
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的根的定义把代入方程，进而即可求解.
7．用长为28米的铝材制成一个矩形窗框，使它面积为25平方米．若设它的一边长为x米，根据题意列出关于x的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意，周长为28米，故一个长+一个宽=14； 设长为x米，则宽为（14－x）米，
可得方程：x(14－x)=25.
故答案为：C.
【分析】根据题意，周长为28米，故一个长+一个宽=14，再根据长×宽=25，列方程即可.
8． 据某数据平台统计显示，荣公司快递业务逐年增长，2019年快递业务收入800万元，至2021年末，三年业务收入共计3200万元，设该公司2019年至2021年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设该公司2019年至2021年快递业务收入的年平均增长率为x，
∴，
故答案为：D.
【分析】此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式列出方程即可.
9．已知一元二次方程x2+2x-1=0的两实数根为x1、x2，则x1x2的值为（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
【答案】D
【解析】【解答】解：x1x2==-1
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出值即可。
10．某个市2016年旅游收入2亿元，2018年旅游收入2.88亿元，则该市2017年、2018年旅游收入的年平均增长率为（ ）
A．2%， B．4.4%， C．20%， D．44%，
【答案】C
【解析】【解答】解：设年平均增长率为x
∴2（1+x）2=2.88
解得，x=0.2=20%，或x=-2.2（舍去）
故答案为：C.
【分析】可以设每年的年平均增长率为x，根据2015年以及2017年的的旅游收入，即可得到关于x的一元二次方程，求出答案即可。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．一元二次方程 的解是 .
【答案】
【解析】【解答】解：将方程整理得：3x2+2x-4=0，
则a=3，b=2，c=-4，
∴b2-4ac=22-4×3×（-4）=52，
故，
解得：，，
故答案为：，.
【分析】先将方程整理为一般式，根据公式法解方程即可.
12．若关于x的方程. 的一个根是3，则m-n的值为 .
【答案】-3
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2+mx-3n=0.的一个根是3，
故将x=3代入可得9+3m-3n=0，
整理可得m-n=-3；
故答案为：-3.
【分析】根据能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的根，将x=3代入方程即可求解.
13．设 与 为一元二次方程 的两个实数根， 则 .
【答案】20
【解析】【解答】解：∵是方程的两个实数根，
∴
∴
故答案为：20.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，根与系数关系为，据此即可得出的值，从而根据即可得出答案.
14．已知等腰三角形的每条边长都是一元二次方程 的根，则这个三角形的周长为 ；
【答案】6或12或15
【解析】【解答】∵x2-7x+10=0，
∴（x-2）（x-5）=0，
∴x-2=0或x-5=0，
∴x1=2，x2=5，
当腰为2，底边为5时，2+2=4<5，不能构成三角形；
当腰为5，底边为2时，等腰三角形的周长为2+5+5=12；
当腰为2，底边为2时，等腰三角形的周长为2+2+2=6，
当腰为5，底边为5时，等腰三角形的周长为5+5+5=15.
故答案为：6或12或15.
【分析】根据因式分解法求出方程的解为x1=2，x2=5，根据等腰三角形的性质及题意可分四种情况：①当腰为2，底边为5时，②当腰为5，底边为2时，③当腰为2，底边为2时或当腰为5，④底边为5时，利用三角形的三边关系分别解答即可.
15．若关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值是
【答案】－1
【解析】【解答】解：把x=0代入（a+1）x2+5x+a2-1=0，
得a2-1=0，
∴a=±1，
∵a-1≠0，
∴a≠1，
∴a=-1.
故答案为：-1.
【分析】把x=0代入方程中求出a值，根据一元二次方程知a-1≠0，从而确定a值.
16．如图，在宽为25m，长为40m的长方形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干块，作为小麦试验田，假设试验田面积为912m2，求道路的宽为多少？设道路的宽为xm，可列出的方程是 .（化为一般形式）
【答案】
【解析】【解答】解：设道路的宽为xm，则种植小麦的部分可合成长为，宽为的矩形，依题意得
，
化简得
.
故答案为：.
【分析】设道路的宽为xm，则种植小麦的部分可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积列出方程即可.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x+a2-a-2=0有两个不相等的实数根，．
（1）若a为正整数，求a的值；
（2）若，满足，求a的值.
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x+a2-a-2=0有两个不相等的实数根，
∴△=[2(a-1)]2-4(a2-a-2)>0
解得：a<3，
∵a为正整数，∴a=1，2；
（2）解：∵x1+x2=2(a-1)，x1x2=a2-a-2
∵x12+x22-x1x2=16
∴(x1+x2)2-3x1x2=16
∴[2(a-1)]2-3(a2-a-2)=16，
解得，a1=-1，a2=6
∵a<3，∴a=1．
【解析】【分析】（1） 由于关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x+a2-a-2=0有两个不相等的实数根，，可得，据此解出a<3，因为a为正整数，所以得到a=1，2.
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=2(a-1)，x1x2=a2-a-2，对式子x12+x22-x1x2进行化简，得到(x1+x2)2-3x1x2，将x1+x2=2(a-1)，x1x2=a2-a-2代入即可求出答案.
18．已知代数式．
（1）当为何值时，代数式比的值大2；
（2）求证：对于任意的值，代数式的值恒为正数．
【答案】（1）解：由题意得：A-B=2，
即 ，
整理得：x2+4x+3=0，
（x+1）（x+3）=0，
解得：；
（2）证明：A-B=x2+4x+5=（x+2）2+1，
∵（x+2）2+≥0，
∴（x+2）2+1＞1，
∴ 对于任意的值，代数式的值恒为正数．
【解析】【分析】（1）由题意得：A-B=2，据此建立方程并解之即可；
（2）由题意得：A-B=（x+2）2+1，根据偶次幂的非负性即可判断.
19．某商店销售一种商品，每件的进价为20元.根据市场调查，当售价不低于30元/件时，这种商品销售量（件）与售价（元/件）之间的函数关系的部分图象如图所示.
（1）求关于的函数解析式；（不要写自变量取值范围）
（2）商店销售这种商品是否能获得1080元利润？如果可以，求出该商品销售单价；如果不行，请说明理由.
【答案】（1）解：设与之间的函数解析式为
把图象上两点，代入
得
解得
∴与之间的函数解析式为
（2）解：若商店销售这种商品能获得1080元利润，
则
解得，
∴商店销售这种商品能获得1080元利润，销售单价为32元或38元.
【解析】【分析】（1）设y=kx+b，将（30，100）、（40，50）代入求出k、b的值，据此可得y与x的函数解析式；
（2）根据(售价-进价)×销售量=总利润结合题意可得关于x的方程，求解即可.
20．已知关于x的一元二次方程．
（1）当时，请求出方程的解；
（2）试说明方程总有两个实数根．
【答案】（1）解：当 时，原方程化为
∴
∴ ，
（2）证明：∵ 中， ， ， ，
∴
∵ ，即
∴原方程总有两个实数根.
【解析】【分析】（1）将 代入方程得，利用因式分解——十字相乘法解方程即可；
（2） 由，计算出△≥0，据此即可判断.
21．今年大德福超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
（1）求四、五这两个月的月平均增长率．
（2）从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？
【答案】（1）解：设四、五这两个月的月平均增长率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：四、五这两个月的月平均增长率为25%；
（2）解：设商品降价元，则每件获利元，月销售量为件，
依题意得：，
解得：，不合题意舍去．
答：当商品降价5元时，商场月获利4250元．
【解析】【分析】（1）设四、五这两个月的月平均增长率为x，则四月份销售256(1+x)件，五月份销售256(1+x)2件，然后结合五月份的销售量达到400件列出方程，求解即可；
（2）设商品降价m元，则每件获利(40-m-25)元，月销售量为(400+5m)件，根据每件的利润×销售量=总利润可得关于m的方程，求解即可.
22．如图，某学校有一块长，宽的长方形空地，计划在其中修建三块相同的长方形绿地，三块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道.
（1）若设计人行通道的宽度为，则三块长方形绿地的面积共多少平方米
（2）若三块长方形绿地的面积共，求人行通道的宽度．
【答案】（1）解：
答：三块的长方形绿地的面积共648平方米
（2）解：设人行通道的宽度为x米，
由题意，得，
化简，得，
解得，（不符合题意，舍去）.
答：人行通道的宽度为
【解析】【分析】（1）利用平移的性质，可求出三块长方形绿地的面积和.
（2）设人行通道的宽度为x米，可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值即可.
23．已知m，n是方程
的两个实数根，求下列代数式的值.
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：∵ 是方程 的两个实数根，
∵ .
（2）解：
【解析】【分析】（1）根据m是一元二次方程x2-x-2021=0的解，得出m2-m=2021，再整体代入原式进行计算，即可得出答案；
（2）把原式化为（m2-m）-（m+n）+2022的形式，再根据一元二次方程根与系数的关系得出m+n=1，再整体代入原式进行计算，即可得出答案.
24．某商业街有店面房共195间，2016年平均每间店面房的年租金为10万元，由于物价上涨，到2018年平均每间店面房的年租金上涨到了12.1万元，据预测，当每间的年租金定为12.1万元时，可全部租出；若每间的年租金每增加1万元，就要少租出10间．该商业街管委会要为租出的商铺每间每年交各种费用1.1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元．
（1）求2016年至2018年平均每间店面房年租金的平均增长率；
（2）当每间店面房的年租金上涨多少万元时，该商业街的年收益（收益租金各种费用）为2305万元？
【答案】（1）解：设2016年至2018年平均每间店面房年租金的平均增长率为x，
根据题意得出：，
解得：，（不合题意舍去），
答：2016年至2018年平均每间店面房年租金的平均增长率为10%；
（2）解：当每间店面房的年租金上涨y万元时，
该商业街的年收益（收益租金各种费用）为2305万元，
故根据题意得出：
，
整理得出：，
解得：．
答：当每间店面房的年租金上涨4万元时，该商业街的年收益为2305万元．
【解析】【分析】（1）设2016年至2018年平均每间店面房年租金的平均增长率为x，根据题意列出方程求解即可；
（2）根据题意列出方程求解即可。
25．若关于x的一元二次方程x2﹣2（2﹣k）x+k2+12=0有实数根α、β．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设 ，求t的最小值．
【答案】（1）解：∵一元二次方程x2﹣2（2﹣k）x+k2+12=0有实数根a，β，
∴△≥0，
即4（2﹣k）2﹣4（k2+12）≥0，
4（4﹣4k+k2）﹣4k2﹣48≥0，
16﹣16k﹣48≥0，即16k≤﹣32，
解得k≤﹣2
（2）解：由根与系数的关系得：a+β=﹣[﹣2（2﹣k）]=4﹣2k，
∴ ，
∵k≤﹣2，
∴﹣2≤ ＜0，
∴ ，
即t的最小值为﹣4．
【解析】【分析】（1）由于一元二次方程存在两实根，令△≥0求得k的取值范围；（2）将α+β换为k的表达式，根据k的取值范围得出t的取值范围，求得最小值．
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