(共26张PPT)
1.3.1 二次根式的乘法
第一章 二次根式
浙版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
理解二次根式的乘法法则.
掌握二次根式的乘法法则
理解并应用积的算术平方根的性质进行简单运算
探究二次根式乘法法则
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
= ，，所以。
= ，，所以。
= ，，所以。
引导学生观察上述等式，归纳出二次根式的乘法法则：（，）。
用文字语言表述为：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
法则的证明
对于（，），设，，则，。
那么，而。
所以，即（，），证明了二次根式乘法法则的正确性。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：计算
（1）
解：根据二次根式乘法法则。
（2）
解：。
（3）（）
解：。
在讲解例题过程中，强调：
运用法则时要注意被开方数的取值范围，确保，。
计算结果要化为最简二次根式。
（四）课堂练习（10 分钟）
计算
（1）
（2）
（3）（）
比较大小：与。
让学生在练习本上完成，教师巡视，及时发现学生存在的问题并进行指导。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾二次根式的乘法法则：（，）。
总结运用法则进行计算时的注意事项，如被开方数的取值范围、结果要化为最简二次根式等。
强调从特殊到一般的探究方法以及类比思想在数学学习中的应用。
（六）布置作业（5 分钟）
基础作业
课本课后练习题中关于二次根式乘法运算的题目。
拓展作业
已知，求的取值范围。
若与都有意义，且，请你比较与的大小。
五、教学反思
在本节课的教学过程中，通过复习旧知引入新课，让学生从熟悉的内容过渡到新知识的学习，降低了学习难度。在探究二次根式乘法法则时，让学生通过计算具体式子，观察结果，自己归纳出法则，培养了学生的自主探究能力。在例题讲解和课堂练习环节，大部分学生能够掌握二次根式乘法法则的基本运算，但仍有部分学生在化简结果和处理含有字母的二次根式运算时存在困难，需要在后续的教学中加强辅导和练习。同时，在教学方法上，可以进一步增加一些互动环节，让更多的学生参与到课堂讨论中来，提高课堂的活跃度和学生的学习积极性。
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
计算下列各式
(1) ___ ×___=___;
= _________
(2) ___×___=____;
(3) ___×___=____;
= _________
=_______ __
2
3
6
4
5
20
5
6
30
观察两者有什么关系？
复习引入
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
你能证明这个猜测吗？
猜测：
你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？
思考
典例讲解
证明：根据积的乘方法则，可得
又∵ 表示ab算术平方根，
∴
求证：
就是ab算术平方根.
归纳新知
也可以说成：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
二次根式的乘法法则:
二次根式相乘，________不变，________相乘.
根指数
被开方数
注意：a，b都必须是非负数.
归纳新知
二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘，即 .
归纳
典例精讲
例1 计算
可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法法则
解：
问题 你还记得单项式乘单项式法则吗？
试回顾如何计算3a2·2a3= .
6a5
解:
计算:
例2
；
提示：可类比上面的计算
当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式乘单项式的法则计算，即 .
归纳
多个二次根式相乘时二次根式的乘法法则也适用，即
当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单项式的法则计算，即
归纳新知
例3 比较大小(一题多解):
解：(1)方法1：∵ ， ，
且20＜27， ∴ ，即 .
方法2：∵
，
且20＜27，，∴.
两个负数比较大小，绝对值大的反而小
.
比较两个二次根式大小的方法：可转化为比较两个被开方数的大小.计算出被开方数后，再比较被开方数的大小，被开方数大的，其算术平方根也大.也可以采用平方法计算.
归纳
解：(2) ，
. .
∵52＜54，∴ ，
∴ ， 即
积的算式平方根的性质:
这个性质常称为“积的算术平方根的性质”
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
语言表述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.
反过来：
（a≥0，b≥0）
一般地，
归纳新知
例4 化简
（1） （2）．
解：（1）
＝49＝36；
（2）
含有像4，a2，b2，这样开的尽方的因数或因式，把它们开方后移到根号外.
例5 计算
(1) (2) .
解：（1）
（3）
1.把被开方数分解因式(或因数)
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积
3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用 =
把这个因式(或因数)开出来，将二次根 式化简 .
归纳步骤
知识点1 二次根式的乘法
1. 的结果为( )
B
A. B. C. D.
2. [2024·宁波期末] 下列计算结果正确的是( )
B
A. B.
C. D.
返回
3. 若与的乘积是有理数，那么 的值不可能是( )
B
A. B. C. D.
4. 一个正三角形的边长为 ，则这个三角形
的面积是_____.
返回
5. 计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ；
原式 .
（3） ；
原式 .
（4） ；
原式
.
（5） ；
原式 .
（6） .
原式 .
返回
知识点2 二次根式的除法
6. 的结果为( )
D
A. B. C. 4 D. 2
7. [2024·杭州上城区期末] 计算，则 中的数为
( )
A
A. B. C. 3 D. 6
返回
8. 若，则 的取值范围是( )
B
A. B.
C. D. 且
9. 已知等腰直角三角形的斜边长为 ，则
它的直角边长为_____.
返回
10. 计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ；
原式 .
（3） ；
原式 .
（4） .
原式 .
返回
二次根式乘法
法则
性质
拓展法则
课堂小结
谢谢观看！(共26张PPT)
1.3.2 二次根式的除法
第一章 二次根式
浙版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
理解二次根式的除法法则.
理解最简二次根式的概念，能将二次根式化为最简二次根式.
会进行二次根式的乘除混合运算.
01
02
03
探究二次根式乘法法则
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
= ，，所以。
= ，，所以。
= ，，所以。
引导学生观察上述等式，归纳出二次根式的乘法法则：（，）。
用文字语言表述为：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
法则的证明
对于（，），设，，则，。
那么，而。
所以，即（，），证明了二次根式乘法法则的正确性。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：计算
（1）
解：根据二次根式乘法法则。
（2）
解：。
（3）（）
解：。
在讲解例题过程中，强调：
运用法则时要注意被开方数的取值范围，确保，。
计算结果要化为最简二次根式。
（四）课堂练习（10 分钟）
计算
（1）
（2）
（3）（）
比较大小：与。
让学生在练习本上完成，教师巡视，及时发现学生存在的问题并进行指导。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾二次根式的乘法法则：（，）。
总结运用法则进行计算时的注意事项，如被开方数的取值范围、结果要化为最简二次根式等。
强调从特殊到一般的探究方法以及类比思想在数学学习中的应用。
（六）布置作业（5 分钟）
基础作业
课本课后练习题中关于二次根式乘法运算的题目。
拓展作业
已知，求的取值范围。
若与都有意义，且，请你比较与的大小。
五、教学反思
在本节课的教学过程中，通过复习旧知引入新课，让学生从熟悉的内容过渡到新知识的学习，降低了学习难度。在探究二次根式乘法法则时，让学生通过计算具体式子，观察结果，自己归纳出法则，培养了学生的自主探究能力。在例题讲解和课堂练习环节，大部分学生能够掌握二次根式乘法法则的基本运算，但仍有部分学生在化简结果和处理含有字母的二次根式运算时存在困难，需要在后续的教学中加强辅导和练习。同时，在教学方法上，可以进一步增加一些互动环节，让更多的学生参与到课堂讨论中来，提高课堂的活跃度和学生的学习积极性。
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
思考: 站在水平高度为 h m的地方看到可见的水平距离为d 米，它们近似地符合公式为 .
问题1 某一登山者爬到海拔100m处，即 时，他看到的水平线的距离d1是多少？
解：
问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？
二次根式的除法该怎样算呢？
思考 乘法法则是如何得出的？除法有没有类似的法则？
问题2 该登山者接着爬到海拔200米的山顶，即 时，此时他看到的水平线的距离d2是多少？
解：
解：
计算下列各式
讲授新知
(1) ___÷___=____;
= _____;
(3) ___÷___=____;
(2) ___÷___=____;
2
3
4
5
6
7
观察两者有什么关系？
= _____;
= _____.
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
通过上述二次根式除法运算结果，你能说出二次根式 的结果吗？
思考
(1)
(2)
(3)
特殊
一般
问题 在前面发现的规律 中，a、b的取值范围有没有限制呢？
a、b同号就可以啦
不对，同乘法法则一样，a、b都为非负数.
当a≥0、b＞0.b=0时等式两边的二次根式就没有意义啦
归纳总结
二次根式的除法法则:
文字叙述:
算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.
当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得
典例精讲
例1 计算
除式是分数或分式时，先要转让化为乘法再进行运算.
解:
＝４3＝12.
类似(4)中被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.
归纳
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
语言表述：商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商.
把二次根式的除法法则反过来，就得到
二次根式的商的算术平方根的性质:
归纳总结
商的算式平方根的性质:
化简:
例2
解:
补充解法：
解法1：
=
解法2：
还有其他解法吗
变式训练
1.能使等式 成立的x的取值范围是（ ）
A.x≠2 B.x≥0 C.x＞2 D.x≥2
C
2.化简：
解：
思考:
前面我们学习了二次根式的除法法则，你会去掉 这样的式子分母的根号吗？
是不是可以用分数的基本性质去掉分母的根号呢？
怎么化去分母中的根号呢？
把分母中的根号化去,使分母变成有理数的这个过程就叫做分母有理化.
总结
例3 计算：
解:
归纳总结
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
简记为：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方.
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.
注意
例4 在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．
解：只有(3)是最简二次根式.
二次根式乘除混合运算
二次根式的乘除混合运算按照从左到右的顺序进行计算，如果有括号，应先算括号里面的.
例4 计算：23
解：23
3.
知识点2 的应用
5. 化简 的结果为( )
B
A. B. C. D. 2
6.若成立，则 的取值范围是______.
返回
7.化简：
（1） ____；
（2） _ __；
（3） ____；
（4） ____.
返回
8. 计算：
（1） ;
【解】原式 .
（2） .
原式 .
返回
变式1 计算：
（1） ；
【解】原式
（2） ；
原式 .
（3） .
【解】原式 .
类型2 与二次根式有关的化简求值
例2 若， ，则
_________.
【点拨】原式
.
当，时，原式 .
课堂小结
谢谢观看！(共19张PPT)
1.3.3 二次根式的加减
第一章 二次根式
浙版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
了解二次根式的加、减运算法则.
会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算.
掌握二次根式与整式乘法公式的综合运用.
01
02
03
探究二次根式乘法法则
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
= ，，所以。
= ，，所以。
= ，，所以。
引导学生观察上述等式，归纳出二次根式的乘法法则：（，）。
用文字语言表述为：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
法则的证明
对于（，），设，，则，。
那么，而。
所以，即（，），证明了二次根式乘法法则的正确性。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：计算
（1）
解：根据二次根式乘法法则。
（2）
解：。
（3）（）
解：。
在讲解例题过程中，强调：
运用法则时要注意被开方数的取值范围，确保，。
计算结果要化为最简二次根式。
（四）课堂练习（10 分钟）
计算
（1）
（2）
（3）（）
比较大小：与。
让学生在练习本上完成，教师巡视，及时发现学生存在的问题并进行指导。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾二次根式的乘法法则：（，）。
总结运用法则进行计算时的注意事项，如被开方数的取值范围、结果要化为最简二次根式等。
强调从特殊到一般的探究方法以及类比思想在数学学习中的应用。
（六）布置作业（5 分钟）
基础作业
课本课后练习题中关于二次根式乘法运算的题目。
拓展作业
已知，求的取值范围。
若与都有意义，且，请你比较与的大小。
五、教学反思
在本节课的教学过程中，通过复习旧知引入新课，让学生从熟悉的内容过渡到新知识的学习，降低了学习难度。在探究二次根式乘法法则时，让学生通过计算具体式子，观察结果，自己归纳出法则，培养了学生的自主探究能力。在例题讲解和课堂练习环节，大部分学生能够掌握二次根式乘法法则的基本运算，但仍有部分学生在化简结果和处理含有字母的二次根式运算时存在困难，需要在后续的教学中加强辅导和练习。同时，在教学方法上，可以进一步增加一些互动环节，让更多的学生参与到课堂讨论中来，提高课堂的活跃度和学生的学习积极性。
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
问题1 满足什么条件的根式是最简二次根式
问题2 化简下列两组二次根式，每组化简后有什么共同特点
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
化简后被开方数相同
化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.
总结
问题3 现有一块长为7.5 dm、宽为5 dm的木板，能否在这块木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板？
面积是8 dm2和18 dm2的正方形木板的边长分别是多少？
dm，
dm.
思考1：
面积是8 dm2和18 dm2的正方形木板的边长分别是
＝
＝
7.5dm
5dm
S=8dm2
S=18dm2
思考2：
从长方形木板上 截取两个正方形木板，长方形木板够宽吗？你是如何得出答案的？
.
木板够宽
从长方形木板上截取两个正方形木板，长方形木板够长吗？你是如何得出答案的？
思考3：
木板够长
，
.
即两个正方形的边长的和小于木板的长，
化成最简二次根式
分配律
运算律在实数范围内仍然成立.
二次根式的加减运算
讲授新知
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数(式)不变.如：
.
例1
若最简根式 与 可以合并，求的值.
解：由题意，得 解得
所以
确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：
利用被开方数相同，指数都为2，列关于待定字母的方程求解即可.
总结
典例讲解
(1)化——将非最简二次根式的二次根式化简；
(2)找——找出被开方数相同的二次根式；
(3)合——把被开方数相同的二次根式合并.
计算步骤
计算:
例2
;
解：
=
不相等
有括号，先去括号.
计算:
例3
(2)
解：
不能
合并的前提条件是同类二次根式
还能合并吗？
1. 计算 的结果是( )
D
A. 6 B. C. D.
2. [2024·金华期末] 下列计算正确的是( )
A
A. B.
C. D.
中考考法
3. 若，则运算符号“ ”表示( )
D
A. B. - C. × D.
4. 一个三角形的三边长分别是 ,
, ，则此三角形的周长为 ( )
A
A. B. C. D.
5.计算 的结果是_______.
6.计算:
（1） ;
【解】原式 .
（2） ；
原式 .
（3） ;
【解】原式 .
（4） .
原式
.
7.已知， ，分别求下列代数式的值.
（1） ；
【解】， ，
，
，
.
（2） .
， ，
，
.
课堂小结
二次根式的加减
法则
注意
运算顺序
运算原理
一般地，二次根式相加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并
运算律同适用
与实数的运算顺序一样
谢谢观看！(共20张PPT)
1.3.4 二次根式混合运算
第一章 二次根式
浙版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
01
02
03
掌握二次根式的混合运算的运算法则.
运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算
解决二次根式实际问题
探究二次根式乘法法则
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
= ，，所以。
= ，，所以。
= ，，所以。
引导学生观察上述等式，归纳出二次根式的乘法法则：（，）。
用文字语言表述为：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
法则的证明
对于（，），设，，则，。
那么，而。
所以，即（，），证明了二次根式乘法法则的正确性。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：计算
（1）
解：根据二次根式乘法法则。
（2）
解：。
（3）（）
解：。
在讲解例题过程中，强调：
运用法则时要注意被开方数的取值范围，确保，。
计算结果要化为最简二次根式。
（四）课堂练习（10 分钟）
计算
（1）
（2）
（3）（）
比较大小：与。
让学生在练习本上完成，教师巡视，及时发现学生存在的问题并进行指导。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾二次根式的乘法法则：（，）。
总结运用法则进行计算时的注意事项，如被开方数的取值范围、结果要化为最简二次根式等。
强调从特殊到一般的探究方法以及类比思想在数学学习中的应用。
（六）布置作业（5 分钟）
基础作业
课本课后练习题中关于二次根式乘法运算的题目。
拓展作业
已知，求的取值范围。
若与都有意义，且，请你比较与的大小。
五、教学反思
在本节课的教学过程中，通过复习旧知引入新课，让学生从熟悉的内容过渡到新知识的学习，降低了学习难度。在探究二次根式乘法法则时，让学生通过计算具体式子，观察结果，自己归纳出法则，培养了学生的自主探究能力。在例题讲解和课堂练习环节，大部分学生能够掌握二次根式乘法法则的基本运算，但仍有部分学生在化简结果和处理含有字母的二次根式运算时存在困难，需要在后续的教学中加强辅导和练习。同时，在教学方法上，可以进一步增加一些互动环节，让更多的学生参与到课堂讨论中来，提高课堂的活跃度和学生的学习积极性。
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
典例精讲
例1 计算
2
)
2
5
5
3
(
-
(3)
4
解：
（2）原式=6+4－3－4
=2+
（1）原式=( －(3)2
=8－27 = -19
（3）原式=(3) －2·5·3＋(5)
=45－＋50=95－
平方差公式
多项式相乘
完全平方公式
（4）原式=(2) －2·2·3＋(3)
=12－＋18=30－
例2
（
（
类比单项式乘多项式法则计算
类比多项式除以单项式法则计算
（2）
计算 （1）
（2）
－
（1）
讲授新知
二个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的代数式互为有理化因式.
例如：
的有理化因式是
的有理化因式是
的有理化因式是
指出下列各式的有理化因式
单项二次根式利用
两项二次根式利用平方差公式来确定，形式为：a+b和 a-b.
发现
·=a来确定
例3: 计算
解:
（1）
例4: 如图，两根高分别为4m和7m的竹杆相距6m，一根绳子拉直系在两根竹杆的顶端，问两竹杆顶端间的绳子有多长？
4m
6m
7m
A
B
C
D
E
解：过A点作AE⊥DC于点E，
由题意可得AE=6m,DE=3m
在Rt ADE中，AD =
= =3
∴两竹杆顶端间的绳子有3m
例5: 比较根式的大小.
解:
∵
= 20+
7+2+13
= 20+
∴
20+ ＜ 20+
∵+ ＞ 0
+ ＞ 0
+ ＜
∴
例3 解决问题：“已知 ，求
的值”.
，
. .
.
请你根据上面的解答过程，解决问题：
若，求 的值.
【解】 ，
. .
.
.
1.计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） .
原式 .
2. 化简：已知 ，化简
，并赋予 一个你喜欢的值，求出结果.
【解】， 原式
.令 ，则原
式 .
（的取值不唯一，符合 即可）
3.已知，求 的值.
【解】， .
.
.
4.已知， .
（1） 的值为___；
3
【点拨】， ，
.
（2） 的值为____；
13
【点拨】,, ，
.
课堂小结
二次根式混合运算
乘法公式
合并被开方数相同的二次根式
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
整式乘法运算法则
m(a+b+c)=ma+mb+mc
(a+b)(a-b)=a2-b2
谢谢观看！
