(共32张PPT)
4.2.1 平行四边形及其性质
第4章 平行四边形
浙版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
探究二次根式乘法法则
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
= ，，所以。
= ，，所以。
= ，，所以。
引导学生观察上述等式，归纳出二次根式的乘法法则：（，）。
用文字语言表述为：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
法则的证明
对于（，），设，，则，。
那么，而。
所以，即（，），证明了二次根式乘法法则的正确性。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：计算
（1）
解：根据二次根式乘法法则。
（2）
解：。
（3）（）
解：。
在讲解例题过程中，强调：
运用法则时要注意被开方数的取值范围，确保，。
计算结果要化为最简二次根式。
（四）课堂练习（10 分钟）
计算
（1）
（2）
（3）（）
比较大小：与。
让学生在练习本上完成，教师巡视，及时发现学生存在的问题并进行指导。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾二次根式的乘法法则：（，）。
总结运用法则进行计算时的注意事项，如被开方数的取值范围、结果要化为最简二次根式等。
强调从特殊到一般的探究方法以及类比思想在数学学习中的应用。
（六）布置作业（5 分钟）
基础作业
课本课后练习题中关于二次根式乘法运算的题目。
拓展作业
已知，求的取值范围。
若与都有意义，且，请你比较与的大小。
五、教学反思
在本节课的教学过程中，通过复习旧知引入新课，让学生从熟悉的内容过渡到新知识的学习，降低了学习难度。在探究二次根式乘法法则时，让学生通过计算具体式子，观察结果，自己归纳出法则，培养了学生的自主探究能力。在例题讲解和课堂练习环节，大部分学生能够掌握二次根式乘法法则的基本运算，但仍有部分学生在化简结果和处理含有字母的二次根式运算时存在困难，需要在后续的教学中加强辅导和练习。同时，在教学方法上，可以进一步增加一些互动环节，让更多的学生参与到课堂讨论中来，提高课堂的活跃度和学生的学习积极性。
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
一位饱经苍桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地平均分给他的四个孩子，他的三个儿子想出了三种方案，都认为自己是对的，你说他们分得对吗？
生活万象
老大
老二
老三
老四
老二
老大
老二
老三
老四
老三
老大
老大
老二
老三
老四
平行四边形用符号“ ”表示，例如: 平行四边形ABCD 可记做“ ”.
ABCD
两组对边分别平行的四边形
A
D
C
B
∠A与∠C，∠B与∠D
AB与CD，AD与BC
∠A与∠B，∠C与∠D等
AB与AD，AB与BC等
对边:
邻边:
对角:
邻角:
平行四边形定义
平行四边形几何语言表达：
∵AB∥CD，AD∥BC
或∵四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AD∥BC
平行四边形的定义既是平行四边形的一种判定方法，同时又是它的性质。
用两个全等三角形(不等边的锐角三角形)去拼四边形．
你能拼出几种不同形状的四边形？有多少个形状不同的平行四边形？你发现平行四边形有哪些性质？
A
B
C
A,
B,
C,
合作学习
轴对称变换
旋转变换
A
C
D
B
如图,四边形ABCD是平行四边形
线段AD与BC、AB与CD长度有何关系？
（1）平行四边形的对边相等
（2）平行四边形的对角相等
证明命题：平行四边形的对边相等
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，
求证：AB＝CD，AD＝BC.
3
1
2
4
证明：连接AC.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥CD，BC∥DA
∴ ∠1＝∠2, ∠3＝∠4.
∵ AC＝CA,
∴ △ABC≌△CDA
∴ AB＝CD，AD＝BC.
（平行四边形的定义）
（两直线平行，内错角相等）
（ASA）
（全等三角形的对应边相等）
3
1
2
4
平行四边形的性质
几何语言：
定理1：平行四边形的两组对边分别相等
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB＝CD，AD＝BC．（平行四边形的对边相等）
在 ABCD中，
AB＝CD，AD＝BC．（平行四边形的对边相等）
或
平行四边形的对角相等
平行四边形的对角相等，那么平行四边形的邻角又有怎样的关系呢？
已知：四边形ABCD是平行四边形。
求证：∠A+∠B=∠C+∠D=∠B+∠C=∠A+∠D=1800
互补
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形
（平行四边形的定义）
∴ AB∥CD，AD∥BC
∴ ∠A＋∠B＝180°∠C＋∠B＝180°
（两直线平行，同旁内角互补）
∠A+∠D=1800
∠C+∠D=1800
推论：平行四边形邻角互补
知识点1 平行四边形的定义
（第1题）
1. 如图，在中， ，
，，相交于点 ，则图中的
平行四边形有( )
A
A. 9个 B. 8个 C. 6个 D. 4个
【点拨】， ，且由平行
四边形的定义可得, ,
, 图中的四
边形,,,, ,
,,和 都是平行四边
形，共9个.故选 .
（第1题）
返回
（第2题）
2.将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，重
合的部分构成一个四边形，如图，四边形
是一个____________，记做_________.
理由如下： __________________， 四边
形 是一个____________.
平行四边形
，
平行四边形
返回
知识点2 平行四边形的对角相等
3. 已知中，若 ，则
， 的度数分别为( )
A
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4. 在中， 可能等于( )
B
A. B. C. D.
返回
5. [2024·宁波期末] 在中，，则 的度数
是( )
C
A. B. C. D.
【点拨】 四边形 是平行四边形，
， .
.
又， . .
故选 .
返回
6.[2024·杭州钱塘区期末] 如图，在 中，若
，于点， ，则 ____.
（第6题）
（第6题）
【点拨】 四边形 是平行四边形，
，
.
， .
， .
.
返回
知识点3 平行四边形的对边相等
7. 已知一个平行四边形两邻边的长分别为10和6，那么它的
周长为( )
C
A. 16 B. 60 C. 32 D. 30
返回
（第8题）
8. 如图，在平面直角坐
标系中，的顶点，， 的坐标
分别是，，，则点 的坐标
是( )
B
A. B. C. D.
返回
9. 如图，在中， ，
，的平分线交 的延
长线于点，则 的长为( )
C
A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 1.5
返回
10. 如图，延长
的边到点，使 ，
延长到点，使 ，连结
，.求证： .
【证明】 四边形 是平行四边形，
， .
， ，
.
返回
知识点4 平行四边形的不稳定性
11. 数学来源于生活且应用于生活，平行四边
形的不稳定性在日常生活中应用广泛，下列选项中没有应用
平行四边形的不稳定性的是 ( )
D
A. 伸缩门
B. 衣帽架
C. 升降机
D. 长方形门框
的斜拉条
返回
（第12题）
12. [2024·杭州拱墅区期中] 如图，在
中，，， 的垂直
平分线交于点，连结，则 的
周长是( )
C
A. 6 B. 8 C. 9 D. 10
（第12题）
【点拨】 四边形 是平行四边形，
, .
的垂直平分线交于点, .
.
故选 .
返回
（第13题）
13.[2024·温州期中] 如图，在 中，
为边上一点，连结， ，
， ，则
____.
（第13题）
【点拨】 四边形 是平行四边形，
, .
.
设 .
， .
， .
, .
,解得 .
返回
谈谈这节课的收获
1、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形。
2、平行四边形的对角相等。
3、平行四边形的不稳定性在实际生活中的应用。
4、你还有什么问题吗？
谢谢观看！(共29张PPT)
4.2.2 平行四边形的性质
第4章 平行四边形
浙版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
探究二次根式乘法法则
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
= ，，所以。
= ，，所以。
= ，，所以。
引导学生观察上述等式，归纳出二次根式的乘法法则：（，）。
用文字语言表述为：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
法则的证明
对于（，），设，，则，。
那么，而。
所以，即（，），证明了二次根式乘法法则的正确性。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：计算
（1）
解：根据二次根式乘法法则。
（2）
解：。
（3）（）
解：。
在讲解例题过程中，强调：
运用法则时要注意被开方数的取值范围，确保，。
计算结果要化为最简二次根式。
（四）课堂练习（10 分钟）
计算
（1）
（2）
（3）（）
比较大小：与。
让学生在练习本上完成，教师巡视，及时发现学生存在的问题并进行指导。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾二次根式的乘法法则：（，）。
总结运用法则进行计算时的注意事项，如被开方数的取值范围、结果要化为最简二次根式等。
强调从特殊到一般的探究方法以及类比思想在数学学习中的应用。
（六）布置作业（5 分钟）
基础作业
课本课后练习题中关于二次根式乘法运算的题目。
拓展作业
已知，求的取值范围。
若与都有意义，且，请你比较与的大小。
五、教学反思
在本节课的教学过程中，通过复习旧知引入新课，让学生从熟悉的内容过渡到新知识的学习，降低了学习难度。在探究二次根式乘法法则时，让学生通过计算具体式子，观察结果，自己归纳出法则，培养了学生的自主探究能力。在例题讲解和课堂练习环节，大部分学生能够掌握二次根式乘法法则的基本运算，但仍有部分学生在化简结果和处理含有字母的二次根式运算时存在困难，需要在后续的教学中加强辅导和练习。同时，在教学方法上，可以进一步增加一些互动环节，让更多的学生参与到课堂讨论中来，提高课堂的活跃度和学生的学习积极性。
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
一位饱经苍桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地平均分给他的四个孩子，他的三个儿子想出了三种方案，都认为自己是对的，你说他们分得对吗？
生活万象
老大
老二
老三
老四
老二
老大
老二
老三
老四
老三
老大
老大
老二
老三
老四
A
C
D
B
如图,四边形ABCD是平行四边形
猜一猜:
线段AD与BC、AB与CD长度有何关系？
量一量:
验证你的猜想是否正确.
合作探究
平行四边形的对边相等
证明命题：平行四边形的对边相等
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，
求证：AB＝CD，AD＝BC.
3
1
2
4
证明：连接AC.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥CD，BC∥DA
∴ ∠1＝∠2, ∠3＝∠4.
∵ AC＝CA,
∴ △ABC≌△CDA
∴ AB＝CD，AD＝BC.
（平行四边形的定义）
（两直线平行，内错角相等）
（ASA）
（全等三角形的对应边相等）
平行四边形的性质
几何语言：
定理1：平行四边形的两组对边分别相等
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB＝CD，AD＝BC．（平行四边形的对边相等）
在 ABCD中，
AB＝CD，AD＝BC．（平行四边形的对边相等）
或
平行四边形的对角相等
例1.如图，在 ABCD中，AB=8cm，AD=5cm，∠BAD的平分线交CD于点E，∠ABC的平分线交CD于点F，求线段EF的长。
解：∵四边形是平行四边形
∴AB∥CD，AB=CD，AD=BC
（平行四边形的性质）
∴∠BAE=∠DEA
（两直线平行，内错角相等）
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠DAE
∴∠DAE=∠DEA
∴DA=DE
（在一个三角形中，等角对等边）
同理：CF=CB
∴EF=DE+CF-CD=2cm
10cm，5cm
A
C
B
D
E
做一做
2．如图，在 ABCD中，∠B的平分线BE交AD于E，BC＝5，AB＝3，则ED的长为 ．
1、 ABCD的周长为30cm，两邻边之比为2﹕1，则 ABCD的两邻边长分别为 ．
2
3．在 ABCD中， AB＝3cm，BC＝8cm，则 ABCD的周长
是 cm．
4． ABCD的周长为30cm，AB比BC长5cm，则AB＝ cm，
CD＝ cm．
22
10
10
做一做
如图：在笔直的铁轨上夹在两根铁轨之间的枕木是否一样长？
A
B
A′
B′
AB、A'B'：夹在两平行线间的平行线段．
CD、C'D'：夹在两平行线间的垂线段．
C
D
C′
D′
1．夹在两平行线间的平行线段相等．
2．夹在两平行线间的垂线段相等．
推论
例2、已知：如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC上的点，且AF∥CE． 求证：DE＝BF．
若改成求证∠FAB=∠ECD呢？
证明：如图，在平行四边形ABCD中
∵AD∥BC，AF∥CE
∴四边形AFCE是平行四边形
（平行四边形的定义）
∴AE=CF
（平行四边形的对边相等）
又∵AD=BC
（平行四边形的对边相等）
∴AD-AE=BC-CF，即 DE=BF
①对角线__________的四边形是平行四边形.
互相平分
知识点1 对角线互相平分的四边形是平行四边形
1. 如图，在下列给出的条件中，能判定四边形 是平行
四边形的是( )
C
（第1题）
A. ,
B. ,
C. ,
D. ,
返回
（第2题）
2. 小玲的爸爸在钉制平
行四边形框架时，采用了一种方法：如
图，将两根木条， 的中点重叠并
用钉子固定，则四边形 就是平行
四边形，其依据是( )
A
A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
返回
（第3题）
3. 如图，在四边形 中，
， ，
，则此四边形的面积为
( )
C
A. 14 B. 18 C. 24 D. 16
返回
4. 如图，， ，则当
___时，四边形 是平行四边形.
8
（第4题）
返回
5. 如图，的对角线相交于点 ，直
线经过点，分别与，的延长线交于点， .求证：
四边形 是平行四边形.
【证明】 四边形 是平行四边形，
，， .
， .
在和 中，
.
.
又， 四边形 是平行四边
形.
返回
知识点2 平行四边形判定的综合应用
（第6题）
6. [2024·乐山] 如图，下列条件中，不
能判定四边形 是平行四边形的是
( )
D
A. ， B. ，
C. ， D. ，
返回
7. 如图，四边形的对角线， 相
交于点， ，请补充一个条件：_________________
________，使四边形 是平行四边形.
（答案不唯一）
（第7题）
返回
小结
平行四边形的两组对边的性质是怎样的？
平行四边形的两组对角性质是怎样的？
平行四边形的两组邻角性质是怎样的？
几个性质:
两个推论
夹在两条平行线间的平行线段相等
夹在两条平行线间的垂线段相等
一个概念
夹在两条平行线间的垂线段的长度，叫做两条平行线间的距离
求平行线间距离的方法
构成直角三角形求两平行线间的距离
利用面积相等求两平行线间的距离
利用三角形面积求两平行线间的距离
谢谢观看！
